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도-모, 민나=상, 빅-수학빌런 데스.
예전의 뻥광고 어장에서 광고했듯이, 몇 시간 후에,
안드로이드 2B쨩이 가르쳐 주는 두근두근☆흥미진진★대학수학, 시작합니다 !
[강의어장] 안드로이드 2B쨩이 가르쳐 주는 두근두근☆흥미진진★대학수학
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 해석학 개론 하고나서 선형대수도 하고 그 다음엔 대수학 그 다음엔 위상수학
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그 다음엔 미분다양체 이론 그 다음엔 복소해석학 그 다음엔 실해석학 그 다음엔 리군과 리대수의 표현론
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그 다음엔 대수적 위상수학 그 다음엔 함수해석학 그 다음엔 미분위상수학
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 그 다음엔 복소기하학 그 다음엔─ [강의할 것은 무궁무진하니 걱정하지 마세요]
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
대학수학, 하면 역시 선형대수학과 해석학 개론을 빼놓고는 어떤 것도 할 수 없지요.
해석학 개론부터 시작하도록 하겠습니다.
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<제 0강 : 동치관계>
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 공리계 같은 이야기는 안 하는 거예요 지루하니까
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
1강 시작하기 전에 동치관계부터 빠르게 정의하고 가겠어요
집합 S가 있을 때 S 위의 관계 ~는 S x S의 부분집합이에요
(x,y)가 그 부분집합에 속할 때 우리는 x~y라고 쓰는 거에요
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모든 x에 대해 x~x일 때 ~는 reflexive
모든 x와 y에 대해 x~y일 때 y~x인 경우 ~는 symmetric
모든 x와 y와 z에 대해 x~y와 y~z일 때 x~z인 경우 ~는 transitive
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이 세 조건을 모두 만족할 때 ~를 동치관계(equivalence relation)이라고 합니다
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그리고 집합 S가 있을 때 S의 분할(partition)은 다음의 조건들을 만족하는 S의 부분집합들의 집합 P를 말합니다
(1) P의 원소들의 합집합은 S
(2) P의 임의의 서로 다른 두 원소들의 교집합은 공집합
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연습문제:
S의 동치관계 ~가 주어질 때, S의 원소 x에 대해 S의 부분집합 [x]={y∈S|x~y}를 생각할 때,
{[x]|x∈S}가 S의 분할임을 보여라
그리고 S의 분할 P가 주어질 때 SxS의 부분집합 {(x,y)|어떤 A∈P에 대해 x,y∈A}는 동치관계임을 보여라
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이 문제를 풀면 참치 여러분은 동치관계와 분할이 같은 것임을 알 수 있게 됩니다
그러므로 집합 S에 주어진 동치관계 ~에 대해, 그것이 유도하는 S의 분할을 P라고 할 때,
집합 P를 우리는 S/~라고 합니다. <동치인 것들끼리 붙인다>라는 개념이에요.
으으, ~ 기호가 위쪽으로 올라가버리니 읽기 불편해지네요 하지만 어쩔수 없죠
이걸로 0번째 강의는 끝입니다, 자고 일어나서 1번째 강의를 시작하도록 하죠 !
질문이 있으면 여기에 마솝해주시면 나중에 확인해서 답해드립니다 !
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 왜 하나는 동치관계이고 하나는 아닌지 생각해보면?
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동치관계를 이해하지 못하시는 분이 있는 느낌이네요
동치관계의 예시로는 정수 집합에서 n-m이 100의 배수일 때 n~m으로 정의되는 관계 ~가 있고
동치관계가 아닌 관계의 예시로는 정수 집합에서 m/n이 정수일 때 n~m으로 정의되는 관계 ~가 있어요 !
그리고 기호 읽는 법좀... 기호를 뭐라 읽어야 되는지 모르니까 더 이해안된다
수학사부터 해서 관심을 유도한다음에 설명으로 들어가는게 그나마 낫지 않을까요??
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연습문제 풀이:
(1) 집합 S 위의 동치관계 ~가 주어질 때 S/~={[x]|x∈S}가 S의 분할임을 증명하여라
S의 임의의 원소 s를 생각하면 정의에 의해 s∈[s]이며 [s]∈S/~, 따라서 S/~의 모든 원소들의 합집합은 S이죠
또한, S/~의 서로 다른 두 원소 [x]와 [y]를 생각할 때, 만약 [x]와 [y]의 교집합이 공집합이 아니라면,
어떤 원소 z∈[x]∩[y]가 있겠지요. 그렇다면 정의에 의해 x~z이고 y~z.
그런데 ~는 동치관계이므로, x~z이고 y~z -> x~z이고 z~y -> x~y.
그러므로, [x]의 임의의 원소 x'에 대해, x~x'이고 x~y -> y~x이고 x~x' -> y~x' -> x'∈[y]. 따라서 [x]⊂[y].
비슷한 논의를 통해 [y]⊂[x]. 그러므로 [x]=[y]. 하지만 우리는 [x]와 [y]가 서로 다르다고 가정했죠. 모순 !
따라서 S/~는 S의 분할입니다.
(2) S의 분할 T가 주어질 때 SxS의 부분집합 {(x,y)|어떤 A∈T에 대해 x,y∈A}가 동치관계임을 증명하여라
주어진 SxS의 부분집합을 관계 ~라고 하면, ~는 어떤 A∈T에 대해 x,y∈A일 경우 x~y인 것으로 정의된 관계입니다.
S의 임의의 원소 s를 생각하면, T가 S의 분할이므로, T의 모든 원소들의 합집합은 S, 즉 어떤 S의 원소 A가 존재하여 s∈A. 그러므로 s~s.
S의 어떤 원소 s,t가 s~t를 만족한다면, 어떤 A∈T가 존재하여 s,t∈A. 그러므로 정의에 의해 t~s 또한 성립합니다.
S의 어떤 원소 x,y,z가 x~y와 y~z를 만족한다면, 어떤 A,B∈T가 존재하여 x,y∈A이며 y,z∈B입니다.
이 경우 z∈A∩B가 되므로 A∩B는 공집합일 수 없는데, T가 S의 분할이므로, A=B 또는 A∩B=∅여야 하기 때문에, A=B입니다.
따라서 x,y,z∈A. 그러니 정의에 의해 x~z가 됩니다. 따라서 관계 ~는 동치관계입니다.
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＿_ﾉ:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:iγ⌒ヾ}
{^Y 彡i:i:i／:i}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:／:::::∧
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물론 수학의 아름다움은 그 직관성과 자유로움에 있지만,
그래도 대학수학을 하려면 자유로운 직관을 정제해서 엄밀하게 서술할 수 있어야 하는 거에요 !
그래서 제 0강은 집합론스러운 것을 해서 참치 여러분에게 엄밀한 사고를 불러일으키고 싶었답니다 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 수학의 아름다움을 참치 여러분이 느끼게 되기 바래요 !
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자, 그러면 첫 강의를 시작해보도록 할까요?
<제 1강 : 실수란 무엇인가>
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
고등학교 수학책에서는 실수가 뭐라고 했습니까?
에─분명 실수는 수직선으로 나타낼 수 있는 수라고 했죠?
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ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
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그런데 수직선이 뭔지 정의는 했습니까?
수직선이 뭔데요?
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￣＼:.:.:.:.:.:.:.:.:＼ ｀ヽ
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똑바로 그은 무한히 긴 선? 선이 있는 건 그렇다고 치고, 선 위에 점은 대체 뭔데요?
결국 순환논리입니다.
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／ ／ / ＼ ＼
／ / ﾊ ＼
| Х
| | /,
/ / ∧ | /,
/ / |ﾆ∧ | i /,
′ | ∧|ﾆﾆ∧ ∧ | ,
| | |ﾆﾆﾆニ∧ |/ﾊ | |
| | 八 Νﾆﾆﾆﾆﾆﾆ＼_ |ﾆ∧ /}/ |
| | ＼ .|二ﾆﾆ===ァ'⌒¨' 刈二∧ |
j 八 八ﾆﾆニ／ , 、 ⌒| |
厶 |ﾆﾆﾆ／ 厶ｲ |
∨ ＼ ∨ﾆ/ -<⌒>ｰ / | j /
＼ ∧ 刈ﾄ､ ご (ﾞ＼ ／ ﾘ /}/
｀⌒ﾍ 个ｘ,, ＼ ＼ / / / /
＼{＼| ｰ＜ ） ∨厶／}／
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_ -='ニ7ﾆ二/ﾆ＞―‐ ∨ﾆﾆﾆr‐く _ﾉ∨ﾆﾆﾆﾆ- _
／ﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆニ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ癶ﾆﾆﾉ 厂 ∨ﾆﾆﾆﾆﾆ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆﾆ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ＞-ミ ∨ﾆﾆﾆﾆﾆ-_
jﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆﾆ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ｀Y ｷﾆﾆﾆﾆニ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ|ﾆﾆ/ﾆﾆﾆ==―━━―-=ﾆﾆニ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ_
. /ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/|ﾆ厶／::::::ノ///八//人::::::＼ﾆ| ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/∨/::}＼___)/厂∧ ￣|/(___厂ﾊ|: ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ〉
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ八:└=ミY´／//＼ ミ=┐/´_｣ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/
. 〈ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ//∧/(:::)/|└――┘:::::}/(::::)/| ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆ/
＼ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/// ∧// /∠二二二＼∨///ｷ ｷ=ﾆﾆﾆﾆ/
결국 우리는 실수가 뭔지 모르고 쓰고 있었던 거네요 !
사실 우리가 아는 수는 유리수밖에 없었어요 !
그러면서 감히 원주율 같은 걸 써 왔단 말이죠─ 그러면 안 되는 거예요.
하지만 실수 없이 우리가 무엇을 할 수 있단 말입니까?
rヘ ヽ,} _,...........,
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八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
＼ ＼个o｡. .｡s≦:i:i:i:i:i:i:i⌒ヾi:i:/､___/7__ィ^ｙ
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_ﾉ:i:i:i:i:{:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:∧~"''*､
`''＜:i:i:ゞ、:i:i:i:i:i:i:i:i/:i:i:i:i:＼:i:ﾐh､
＿_ﾉ:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:iγ⌒ヾ}
{^Y 彡i:i:i／:i}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:／:::::∧
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Y::::: //
八::::;′
ゞ′
그러니, 오늘은 실수를 정의하는 시간을 갖도록 하죠 !
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| {:i:! .| ./圦 ', ! |
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./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 페아노 공리계를 깔고 시작해요
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그런 공리계 신경 안써도 일단은 상관 없지만
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 궁금하면 영문위키가 잘 알려줄 것입니다
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
먼저 우리는 유리수를 알고 있다는 사실을 확실히 하도록 해요.
태초에 우리는 공집합을 알고 있었습니다.
공집합을 0이라고 정의하고, 0이 자연수라고 선언합니다.
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＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
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／ ./i:i:／ .{ ＼ .＼
/ {:i:i/ .i ,|, ‘:, .‘:,
| {:i:! .| ./圦 ', ! |
,| /ヾ! .|/ﾆﾆ个o｡._ } } |
./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /'
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
어떤 자연수 n이 있을 때, 그 <다음 수> S(n)을 n∪{n}으로 정의합니다.
그러니까 1은 {∅}, 2는 {∅,{∅}}, .....
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＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
／／:i:i＞''"￣ ⌒｀丶、
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| {:i:! .| ./圦 ', ! |
,| /ヾ! .|/ﾆﾆ个o｡._ } } |
./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /'
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
연습문제: 0이 아닌 모든 자연수 n에 대해 유일한 자연수 m이 존재하여 S(m)=n임을 증명하여라.
힌트: 귀납법
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이렇게 만든 자연수들의 집합을 N이라고 합니다.
이제 자연수의 집합을 만들었으니 정수의 집합을 만듭니다.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
집합 NxN 위의 관계 ~를 다음과 같이 정의합니다: n+m'=m+n'일 때 (n,m) ~ (n',m')
연습문제: 이것이 동치관계임을 증명하시오
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
관계 ~가 동치관계임을 알았으면 우리는 (NxN)/~을 생각할 수 있어요
이것에 덧셈을 다음과 같이 줄 수 있죠: [(n,m)]+[(n',m')]=[(n+n',m+m')]
연습문제: 이것이 잘 정의된 연산임을 증명하여라
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
집합 (NxN)/~이 바로 정수집합 Z인 것이에요 그리고 덧셈도 정의한 것이에요
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이제 유리수도 비슷하게 정의해 봅시다
집합 Zx(Z-{0}) 위의 동치관계 ~를 다음과 같이 정의합니다: pq'=qp'일 때 (p,q)~(p',q')
이 때 집합 (Zx(Z-{0}))/~가 바로 유리수집합 Q가 되는 것이에요
연습문제: 유리수의 덧셈, 곱셈, 부등호, 그리고 절대값을 정의하시오
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|: : : : : : : | | t .| ∨ゝ _ ゝ::/ ＼. ＼ / |
|: : : : : : : | .| ヽ i ｀ ― ´ ′ ヽ ヾ､ / .|
|: : : : : : : | t ＼.|⊂⊃ ゝ- ^ - ィ ＼ .i.ヽ / |
|: : : : : : : | t.ヽ i ･ ヾ i / / !
|: : : : : : : | .ヽ| ＼ .|､ /i / ／ ./
|: : : : : : : | ＜三¨ ｀ ‐- _ _ -‐ / ＞ ´ |. /
|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
자 ! 이제 우리는 유리수를 정의했어요 ! 다음은 실수를 정의할 차례입니다 !
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
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유리수 수열 {q0,q1,...}들의 집합을 S라고 부르도록 해요
여기서 우리는 좋은 수열들만들 쓸 거에요
아이디어는, 유리수 수열에 대해, [유리수만을 사용해서 정의할 수 있는 조건]을 부여하되,
만약 우리가 실수를 안다고 했을 때 [그 조건]을 만족하는 유리수열들이 정확히 [실수에서 수렴하는 수열]이 되도록 하는,
그런 신박한 조건을 생각해 내는 것이에요 !
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그런 신박한 ! 조건을 서술하겠습니다
유리수열 {An]이 [코시수열]이라는 것은 임의의 양의 유리수 q에 대해 어떤 자연수 N이 있어,
모든 N보다 큰 자연수 n과 m에 대해, |An-Am|<q인 것을 의미한다.
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이제 유리수열들의 집합 S에서 코시수열인 것들의 부분집합을 T라고 해요
만약 우리가 실수를 안다고 상상한다면, T의 각각의 원소는 그 [수렴값으로서의 실수]에 대응한다고 상상할 수 있어요
그러면 T를 실수집합이라고 할 수 있는가 하면 그렇지 않습니다.
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／ ／ / ＼ ＼
／ / ﾊ ＼
| Х
| | /,
/ / ∧ | /,
/ / |ﾆ∧ | i /,
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| | |ﾆﾆﾆニ∧ |/ﾊ | |
| | 八 Νﾆﾆﾆﾆﾆﾆ＼_ |ﾆ∧ /}/ |
| | ＼ .|二ﾆﾆ===ァ'⌒¨' 刈二∧ |
j 八 八ﾆﾆニ／ , 、 ⌒| |
厶 |ﾆﾆﾆ／ 厶ｲ |
∨ ＼ ∨ﾆ/ -<⌒>ｰ / | j /
＼ ∧ 刈ﾄ､ ご (ﾞ＼ ／ ﾘ /}/
｀⌒ﾍ 个ｘ,, ＼ ＼ / / / /
＼{＼| ｰ＜ ） ∨厶／}／
〔＼＿＿_/￣￣｀丶＼
_人ﾆﾆﾆニ{ﾆ/￣｀丶ﾆ∧＿＿＿
_ -='ニ7ﾆ二/ﾆ＞―‐ ∨ﾆﾆﾆr‐く _ﾉ∨ﾆﾆﾆﾆ- _
／ﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆニ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ癶ﾆﾆﾉ 厂 ∨ﾆﾆﾆﾆﾆ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆﾆ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ＞-ミ ∨ﾆﾆﾆﾆﾆ-_
jﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆﾆ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ｀Y ｷﾆﾆﾆﾆニ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ|ﾆﾆ/ﾆﾆﾆ==―━━―-=ﾆﾆニ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ_
. /ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/|ﾆ厶／::::::ノ///八//人::::::＼ﾆ| ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/∨/::}＼___)/厂∧ ￣|/(___厂ﾊ|: ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ〉
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ八:└=ミY´／//＼ ミ=┐/´_｣ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/
. 〈ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ//∧/(:::)/|└――┘:::::}/(::::)/| ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆ/
＼ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/// ∧// /∠二二二＼∨///ｷ ｷ=ﾆﾆﾆﾆ/
그야 당연하죠? T의 서로 다른 두 원소가 같은 [실수에서의 수렴값]을 가질 수도 있으니까요
하지만 우리는 이 문제를 해결할 수 있습니다 ! 적당한 [동치관계]를 부여하면 되겠죠 !
.._.._.._.._.._ ＿＿
￣＼:.:.:.:.:.:.:.:.:＼ ｀ヽ
／ ＼:.:.:.:.:.:.:.:.:| ヽ
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| Y/ } |
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ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
､＼ ヽ､＼ | ／ / / /
卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
〈=======[================＞===､
／=======[============＞ニ======＼
그래도 문제는 그렇게 간단하지 않습니다.
우리가 찾아야 하는 동치관계는, [유리수만을 사용해서 정의할 수 있는] 관계여야 하는데,
동시에, 만약 우리가 실수를 안다고 가정할 때,
그 관계와 [실수에서의 수렴값이 같다는 관계]가 동치여야 하기 때문입니다
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
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ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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그 관계를 다음과 같이 줄 수 있습니다.
T의 두 원소 {An}과 {Bn}이 주어질 때, {An}~{Bn}이라는 것은, 임의의 양의 유리수 q에 대해,
어떤 자연수 N이 존재하여, N보다 큰 모든 자연수 n에 대해, |An-Bn|<q임을 의미한다.
연습문제: 관계 ~가 동치관계임을 증명하여라
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관계 ~가 동치관계임을 알았다면, 우리는 집합 R=T/~를 생각할 수 있어요
축하합니다 ! 집합 R이 바로 실수집합입니다 !
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／ ＼:.:.:.:.:.:.:.:.:| ヽ
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ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
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卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
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八/／ﾚ==∨{==============＼
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연습문제: 실수들의 덧셈, 곱셈, 부등호, 절대값을 정의하여라
힌트: 부등호는 약간 잘 생각해 볼 필요가 있어요─ 동치관계 ~를 만든 방법을 잘 생각해보고 응용해 봅시다 !
연습문제: 임의의 실수 r과 임의의 양의 실수 ε에 대해, 어떤 유리수 q와 q'가 존재하여, r-ε<q<r<q'<r+ε가 성립함을 증명하여라
(이것이 바로 실수 안에서 유리수의 조밀성(density)입니다)
힌트: 어떤 자연수 N이 존재하여 ε<1/N이 성립함을 증명한 후, r을 표현하는 유리수 코시수열 {An}을 고른 후,
충분히 큰 자연수 n에 대해 An±1/N을 생각해 봐요 !
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이 실수집합 R에는 아주 중요한 세 가지 성질이 있어요
첫 번째는, 1을 아무리 많이 더해도 그 절대값이 0에 가까이 다가가지 않는다는 점
이것이 바로 Archimedian property인 것이에요
보통 [normed field로서의 실수체는 Archimedian이다]라고 서술하는 것이에요
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두 번째는, 임의의 두 실수 r,s에 대해, 다음의 세 가지 경우 중 단 하나만이 성립한다는 점이에요: r<s, r=s, r>s.
이것을 바로 실수의 삼분법 성질(trichotomy)이라고 합니다
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세 번째, 실수집합 R의 어떤 부분집합 X가 위로 유계(bounded above)라면,
즉 어떤 실수 r이 있어서 X의 모든 원소보다 r이 크거나 같다면,
그런 r들의 집합 Y를 생각할 때, Y는 언제나 최소인 원소를 갖는다는 것이에요
이것이 바로 최소상한 성질(least upper bound property), 또는 완비성(completeness)이라고 불리는 실수의 성질이에요
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2B쨩은 친절★하니까, 위의 세 성질들 중 한 가지, 실수의 완비성은 증명해 드리겠습니다 !
위로 유계인 R의 부분집합 X가 주어져 있다고 할 때, 그 상한들의 집합 Y의 임의의 원소 y를 고르고, y 이상의 [유리수]
그리고, X의 어떤 원소 x를 고른 후, x 이하의 [유리수] L0을 고릅니다. 그러면, [만약 최소상한이 존재한다고 할 때, 그 최소상한은 U0 이하, L0 이상이겠죠]
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귀납적으로 수열 {Un}과 {Ln}을 다음과 같이 정의합니다
만약 (Un+Ln)/2가 Y의 원소라면, Un+1=(Un+Ln)/2이고 Ln+1=Ln
만약 (Un+Ln)/2가 Y의 원소가 아니라면, Un+1=Un이고 Ln+1=(Un+Ln)/2
그러면, [만약 최소상한이 존재한다고 할 때, 모든 자연수 n에 대해, 그 최소상한은 Un 이하, Ln 이상이겠죠]
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이제 임의의 자연수 n에 대해 |Un+1 - Un|<=(U0-L0)/2^n이 성립합니다
따라서 임의의 자연수 N과 임의의 N보다 큰 자연수 n,m에 대해 |Un-Um|<=(U0-L0)/2^N이 성립하겠죠
마찬가지로 |Ln-Lm|<=(U0-L0)/2^N 또한 성립할 거에요 물론 모든 자연수 n에 대해 Un과 Ln 모두 유리수에요
그러므로, {Un}과 {Ln} 모두 유리수 코시수열이니, 두 수열을 각각 실수 U와 L으로 표현할 수 있어요
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그런데, 임의의 자연수 n에 대해 |Un-Ln|=(U0-L0)/2^n이에요─ 그리고 (U0-L0)/2^n은 n이 커지면 어떤 양의 유리수보다도 작아지죠
따라서 {Un}~{Ln}인 것이에요 ! 그러니까 실수 U와 L은 사실 같은 실수였던 것이죠 ! 그 공통된 실수를 우리는 이제부터 sup(X)라고 부르도록 해요
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이제 잘 생각해 보면 X의 임의의 원소는 모든 자연수 n에 대해 Un 이하이고, 따라서 U=sup(X) 이하인 것이에요
그러니까 U는 X의 상한들의 집합 Y의 원소였던 것이죠
그런데 임의의 자연수 n에 대해 X에는 Ln 이상인 적어도 하나의 원소가 존재해요
따라서 Y의 임의의 원소는 모든 자연수 n에 대해 Ln 이상이고, 따라서 L=sup(X) 이상인 것이에요
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그러니까 sup(X)는 Y의 원소인 동시에 Y의 임의의 원소 이하여야 합니다.
그러므로 sup(X)는 Y의 최소 원소가 됩니다 ! 증명 끝 !
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ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
､＼ ヽ､＼ | ／ / / /
卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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연습문제: 위의 세 가지 성질들 중 완비성을 뺀 나머지를 증명하시오
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이것으로 제 1강은 끝이에요 !
과연 이걸 볼 참치가 몇 마리나 계실지 모르겠으나 아무쪼록 즐겨 주시면 감사하겠어요 !
[예고] [제 2강 : 거리공간과 연속성]
궁금한 것이나 이해가 안 되는 거이 있으면 아무쪼록 질문해 주세요 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 한 가지 주의할 점
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 하지만 귀찮으니 이런 거 신경 안 써도 좋습니다
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자연수 집합을 정의할 때 그냥 모든 자연수를 모은 거라고 했는데 원래 그러면 안 됩니다
자연수 집합 N의 정의는 0을 포함하며 <다음 수> 연산 S에 대해 닫혀 있는 - 즉 임의의 원소에 대해 그 다음 수 또한 원소로 갖는 - 최소의 집합이에요
그렇기 때문에 자연수 집합의 공집합이 아닌 임의의 부분집합이 최소원 - 여기서 자연수 n,m이 n<m라는 것은 n⊂m인 것으로 정의 - 을 갖죠.
[그 이유 : N의 부분집합 S가 공집합이 아니며 최소원을 갖지 않는다고 할 때, N의 부분집합 T={n∈N | 모든 s∈S에 대해 n<s}를 생각하면, 0∈T이며 모든 n∈T에 대해 S(n)∈T,
그러므로 자연수 집합의 정의에 의해 N⊂T. 그런데 T⊂N이므로 N=T. 그런데 정의에 의해 T∩S=∅이고 S⊂N이므로 S=∅이어야 합니다. 모순]
그래서 우리는 귀납법을 쓸 수 있는 거에요 !
분명 설명을 들었는데 연습문이 어째서 가능한지랑 무엇을 뜻하는지 하나도 이해가 안 간다.
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>>55에서 오타, "y 이상의 [유리수}" -> "y 이상의 [유리수] U0를 생각해요"
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아 그리고 >>66에서 귀납법을 쓸 수 있는 이유는 N의 모든 부분집합이 최소원을 가지기 때문이 아니라
N을 정의한 방법(0을 포함하고 S에 대해 닫힌 최소집합) 때문이에요. 말의 순서가 약간 잘못되었네요
이건 불지옥난이도야 (떨림)
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>>71 햣하─ 튜토리얼 그런 거 없다구 !!
튜토리얼이라 하면 고등학교 수학인데 그거 우리 다 배웠─데스─!!!!
언제부터 참치어장이 글로벌화 되었죠?
>>73 저는 한국어를 쓰고 있어요 !
일단 수포자 많으니까(웃음)
수고롭겠지만
1.고등학생도 이해하게 설명해본다.
덜수고로운.
2.이해하는데 필요한 고등학교의 개념을 언급한다 정도는 어떨까.
>>75 솔직히 지금 상황에서 이해하는 데 필요한 고등학교의 개념은 집합론뿐이에요-
논리라는 생소한 문체로 써 있는 글을 읽는 게 힘들 수 있겠지만 계속 읽으면서 스스로의 말로 재해석하려 하다 보면 쉬워지는 것이에요-
집합론이 수1 수2에서 빠져버려서 다들 모를 가능성이 큰데....
2학년 이후의 파생교과에 나오는지는 잘 모르겠고....
아마 애초에 집합론을 배웠어도 집합론이라고 알고 배운 것도 아닐 테고.
>>77 그런데 그 집합론이란 거에서 이 어장의 이해에 필요한 건 그저 집합이라는 게 원소들을 포함하는 모임이라는 것
그 중에 일부만 모으면 부분집합이 된다는 것, 부분집합은 전체집합에 포함된다는 집합의 포함관계, 그리고 부분집합의 합집합과 교집합 그걸로 끝
2~3문장 정도로 끊어서 다음 레스로 넘겨보는걸 추천.
....근데 ~가 무슨뜻인가.... 무엇부터 무엇까지란 뜻?
일단 수학적으로 엄밀하진 않아도 비유를 사용해 보는 쪽은 어떨까나.
그 불확정성 원리의 풍선 비유같이.
비유로서의 실수의 정의
"실수는 수렴할 것 같이 생긴 유리수열들 중 같은 수렴값을 가질 것 같이 생긴 것들의 모임이다"
비유로서의 동치관계의 정의
"등호가 만족해야 할 조건들을 모두 만족하는 관계가 곧 동치관계이다"
>>86 ~라는 기호 자체가 x~y라는 형태로 쓰일 수도 있고 SxS의 부분집합으로서 쓰일 수도 있는 거에요
관계를 나타내는 기호로 ~ 대신 R을 쓰는 게 좋을 수도 있겠네요
R은 SxS의 부분집합. 그러한 R이 주어질 때, R에 속하는 각각의 순서쌍 (x,y)에 대해 우리는 xRy라고 쓴다.
물론 계속 연재하고 계신다면 말이죠
>>89 집합은 곱할 수 있습니다. 집합 A와 B가 있을 때 AxB는 순서쌍 (a,b) (여기서 a∈A, b∈B)들의 집합입니다.
그러니 SxS는 s,t∈S인 순서쌍 (s,t)들의 집합이죠
문과충입장에서는 하고싶은 말의 방향성은 알겠는데 그 세부논리에서 ???하는 느낌.
2차원 공간을 R^2 or RXR
....
n차원 공간을 R^n or RXR....XR 이렇게?
"어때요. 참 쉽죠!"를 외칠때.
그렇게 하면 쉬운건 알아요! 근대 손이 안따라가 줍니다! 정도?
>>99 ~라는 것 자체가 SxS에 속하는 부분집합이며 x~y는 그저 (x,y)가 ~에 속한다는 뜻의 기호에 불과합니다
예를 들어서 정수집합 Z를 생각할 때, m-n이 짝수인 정수 순서쌍 (m,n)들의 집합 T를 생각하면, T는 ZxZ의 부분집합이니, Z에서의 관계가 되죠.
이 경우, 순서쌍들 (0,0), (-2,2)는 T의 원소이니 우리는 0T0, -2T2라고 씁니다.
사실 T는 동치관계에요.
<제 2강 : 거리공간과 연속성>
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도-모, 기다리셨지요 ! 빅-수학빌런의 2번째 강의가 왔습니다 !
주제는 거리공간과 연속성입니다 !
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여러분, 거리가 뭘까요? 거리는 어떤 조건을 만족해야 할까요?
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현실에서 두 점 p,q 사이의 거리 d(p,q)를 생각해 봐요.
그러면 이 함수 d(p,q)는 다음의 조건들을 만족해요.
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(1) d(p,q)=0과 p=q는 동치이다
(2) 모든 p,q에 대해 d(p,q)>=0
(3) d(p,q)+d(q,r)>=d(p,r)
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위에 서술한 조건 두 가지를 풀이해 볼게요
조건 (1)은 한 점에서 거리가 0만큼 떨어진 점은 그 점 자신밖에 없다는 조건이죠
조건 (2)는 두 점 사이의 거리가 음수일 수 없다는 당연한 조건이죠
조건 (3)은 삼각부등식이에요. 평면에서 삼각형을 그리면 두 변의 길이의 합은 나머지 변의 길이 이상이죠 !
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그러므로 우리는 거리공간이라는 것을 다음과 같이 정의합니다. (R은 실수집합)
X가 집합이고 d:XxX->R이 함수일 때, (X,d)가 거리공간이라는 것은 다음의 조건이 성립한다는 것이다:
(1) 모든 x∈X에 대해 d(x,x)=0이며 만약 어떤 x,y∈X에 대해 d(x,y)=0이라면 x=y
(2) 모든 x,y∈X에 대해 d(x,y)>=0
(3) 모든 x,y,z∈X에 대해 d(x,y)+d(y,z)>=d(x,z)
rヘ ヽ,} _,...........,
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이게 바로 거리공간의 정의랍니다 !
그러면 이제부터 거리공간의 몇 가지 예제들을 나열해 보겠어요 !
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
실수집합 R을 생각하고, RxR에서 R로 가는 함수 d(x,y)=|x-y|를 생각해요
그러면 d는 거리함수의 조건을 만족해요. 그러니 (R,d)는 거리공간이에요.
이것이 바로 실수공간, 혹은 1차원 유클리드 공간입니다.
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ 만약 1강에서 소개한 실수의 정의와 성질들만을 이용해서
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 제곱근을 어떻게 정의할 수 있을지 묻는다면
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 음이 아닌 실수 x에 대해 √x=sup {y∈R|y^2<=x}라고 대답하는 거예요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 여기서 sup는 어제 정의한 최소상한, 즉 최소인 상한이에요
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 집합 {y∈R|y^2<=x}가 위로 유계이므로 실수의 완비성에 의해 그 최소상한이 존재하는 것이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그렇다면 이제 n차원 유클리드 공간 R^n=Rx…xR을 생각해 보는 거예요
이 집합은 r1,…rn∈R인 순서쌍들 (r1,…rn)들의 집합이에요
이제 R^n x R^n에서 R로 가는 함수 d((r1,…rn),(s1,…sn))=√((r1-s1)^2 +…+ (rn-sn)^2)를 생각해요
그러면 이 함수는 거리함수의 조건을 만족해요 따라서 (R^n,d)는 거리공간이에요
이것이 바로 n차원 유클리드 공간인 것이죠
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八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
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l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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연습문제: n차원 유클리드 공간의 거리함수 d가 진짜로 거리함수의 조건을 만족하는지 확인하여라
힌트: 코시-슈바르츠 부등식이죠 이거?
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다른 예제를 들어볼게요
유리수 집합 Q를 생각하는 것이에요 여기에 이제 좀 색다른 거리를 줘볼게요
어떤 소수 p를 생각하고, 0이 아닌 어떤 유리수 q가 주어질 때, q=m/n이라고 표현하고, (m과 n은 정수)
어떤 자연수 a와 b가 있어서 m/p^a는 정수이지만 m/p^(a+1)은 정수가 아니며, n/p^b는 정수이지만 n/p^(b+1)은 정수가 아니라 할 때,
|q|_p=p^(b-a)로 정의하고, |0|_p=0으로 정의해요
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이제 임의의 두 유리수 q와 q'에 대해 d_p(q,q')=|q-q'|_p로 정의해요
연습문제: d_p가 유리수집합에서의 거리함수임을 보여라
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그러면 (Q,d_p)는 거리공간이에요 ! 아아 좋은 예제 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 사실 연속성을 논하려면 거리 말고 위상이라는 것만 있으면 충분합니다
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그런데 보통 해석학 개론에서는 그런 거 안 해요
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그런데 우리가 왜 거리공간이라는 괴상한 개념을 정의했을까요?
그것은 연속성을 논하기 위해서에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이것이 바로 엡실론─델타 논법 !
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거리공간 (X,d)와 (X',d')가 주어지고, 함수 f:X->X'가 있을 때,
f가 점 p∈X에서 연속이라는 것은, 임의의 양(의 실)수 ε에 대해, 어떤 양수 δ가 존재하여,
d(x,y)<δ을 만족하는 임의의 y∈X에 대해, d'(f(x),f(y))<ε가 성립한다는 것이에요
f가 연속이라는 것은 f가 X의 모든 점에서 연속이라는 뜻입니다
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특히, 만약 f가 거리를 보존한다면, 즉 임의의 x,y∈X에 대해 d(x,y)=d'(f(x),f(y))가 성립한다면,
그러한 f는 무조건 연속이어야 해요 ! [연습문제: 왜 그럴까요?]
이 조건을 만족하는 함수를 우리는 등거리사상(isometry)라고 해요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' B_r(p)가 바로 "점 p를 중심으로 반지름이 r인 공"이에요
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이것을 우리는 더 쉬운 방법으로 서술할 수 있어요
거리공간 (X,d)가 주어질 때, X의 부분집합 S가 열린 부분집합(open subset)이라는 것은,
임의의 p∈S에 대해, 어떤 양수 r이 존재하여, d(p,q)<r을 만족하는 임의의 q∈X가 q∈S를 만족한다는 것이에요
만약 d(p,q)<r을 만족하는 모든 q∈X들의 집합을 B_r(p)로 쓴다면, 이 조건은 B_r(p)⊂S라고도 표현할 수 있어요
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예시: 실수공간에서 개구간은 열린 부분집합 !
[연습문제] 임의의 p∈X와 임의의 양수 r에 대해 B_r(p)는 X의 열린 부분집합임을 증명하여라
힌트: 거리함수의 조건 (3)을 사용해 보면?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 열릴 수도 닫힐 수도 있지만 열리면서 닫힐 수는 없는 현실의 문짝과는 다릅니다
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반대로 X의 부분집합 S가 닫힌 부분집합(closed subset)이라는 것은 그 여집합 X-S가 열린 부분집합이라는 뜻이에요
열린 집합의 여집합은 닫힌 집합, 닫힌 집합의 여집합은 열린 집합
하지만 열려 있으면서 닫혀 있는 집합도 있고 [예: 공집합, 전체집합]
열려 있지 않으면서 닫혀 있지 않은 집합도 있습니다 [예: 실수공간 안의 반개구간들, 예를 들어 [1,2)]
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ 여기서 짚고 넘어가는 정의, 함수 g:A->B가 주어질 때
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } A의 부분집합 T에 대해 g(T)={g(t)|t∈T}
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' B의 부분집합 T'에 대해 g^(-1)(T')={s∈A|g(s)∈T'}
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이제 거리구간 (X,d), (X',d')가 있을 때 함수 f:X->X'가 연속인 것은,
X'의 임의의 열린 부분집합 S에 대해 X의 부분집합 f^(-1)(S)이 열린 부분집합이라는 것과 동치입니다
안드로이드 2B쨩은 친절☆하니까, 이것은 (정방향만) 증명해 드리도록 하겠어요 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 역방향의 증명은 참치 여러분들이 스스로 해보는 것이에요
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f가 연속이라고 가정하고 X'의 임의의 열린 부분집합 S를 생각하면,
임의의 p∈f^(-1)(S)가 주어질 때, 정의에 의해 f(p)∈S이죠
그런데 S는 열려 있으므로 어떤 양수 ε이 존재하여 B_ε(f(p))⊂S가 성립해야 해요
그리고, f는 연속이므로, 어떤 양수 δ가 존재하여 f(B_δ(p))⊂B_ε(f(p))가 성립하게 돼요
이 둘을 합치면 f(B_δ(p))⊂S라는 결론이 나오죠. 따라서 B_δ(p)⊂f^(-1)(S)가 성립해요
그러므로 f^(-1)(S)는 X의 열린 부분집합이어야 해요 !
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몇 가지 추가 용어들
(X,d)가 거리공간이고 부분집합 S⊂X가 주어질 때, 그 폐포(closure) cl(S)는 S를 포함하는 가장 작은 닫힌 부분집합이에요
이것을 좀 더 직접적으로 정의하려면 S를 포함하는 X의 모든 닫힌 부분집합들의 교집합으로서 cl(S)를 정의하면 되는 것이에요
전체집합 X는 닫힌 부분집합이므로 cl(S)는 잘 정의되어요
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그리고, 거리공간 (X,d)의 부분집합 S⊂X가 조밀하다(dense)하다는 것은, cl(S)=X가 성립한다는 뜻이에요
예를 들어서 실수공간에서 유리수 집합은 조밀해요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 예를 들어서 실수공간에서 수열 {1/n}은 0으로 수렴
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우리는 거리공간 안의 수열의 극한 또한 정의할 수 있어요
거리공간 (X,d) 안의 수열 {xi}가 어떤 점 x∈X로 수렴한다는 것은
임의의 양수 ε에 대해 어떤 자연수 N이 존재하여 모든 N보다 큰 자연수 n에 대해 d(x,xi)<ε가 성립한다는 뜻이에요
[연습문제]: 거리공간 안의 수열이 수렴한다면 그 수렴값이 유일함을 증명하여라
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 모든 코시수열이 수렴하는 거리공간을 우리는 완비(complete)하다고 불러요
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우리는 실수를 정의할 때 유리수 수열들의 [코시수열] 개념을 사용했죠?
마찬가지로 거리공간 안의 수열에서도 코시수열 개념을 정의할 수 있어요
거리공간 (X,d) 안의 수열 {xi}가 코시수열이라는 것은 임의의 양수 ε에 대해 어떤 자연수 N이 존재하여
N보다 큰 임의의 자연수 n,m에 대해 d(xn,xm)<ε가 성립한다는 뜻이에요
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이제, 어떤 거리공간 (X,d)가 주어질 때, 그 코시완비화(Cauchy completion)이라는 것을 소개할게요
X 안의 코시수열들의 집합을 S라고 쓰도록 해요.
그리고, S의 두 원소들 {Ai}와 {Bi}에 대해, 만약 임의의 양수 ε에 대해 어떤 자연수 N이 존재하여,
N보다 큰 모든 자연수 n에 대해 d(Ai,Bi)<ε가 성립할 때, {Ai}~{Bi}라고 쓰도록 해요
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그러면 ~는 S 위의 관계인 것이에요. 관계 ~는 당연히 reflexive하고 symmetric해요
그리고, 만약 어떤 {Ai},{Bi},{Ci}∈S에 대해 {Ai}~{Bi}이고 {Bi}~{Ci}라면, 관계 ~의 정의에 의해,
임의의 양수 ε에 대해, 어떤 자연수 N이 존재하여 N보다 큰 모든 자연수 n에 대해 d(An,Bn)<ε/2이고 d(Bn,Cn)<ε/2가 될 것이에요
둘을 합치고 삼각부등식을 사용하면 N보다 큰 모든 자연수 n에 대해 d(An,Cn)<=d(An,Bn)+d(Bn,Cn)<ε/2+ε/2=ε
그러므로 {Ai}~{Ci}, 즉 관계 ~는 transitive하기까지 해요.
그러니까 관계 ~는 동치관계인 것이에요.
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그러니 우리는 집합 S/~를 생각할 수 있어요.
이 집합의 원소들은 [{Ai}] 꼴의 S의 부분집합들이에요
이제, S/~의 두 원소 [{Ai}]와 [{Bi}]에 대해, d'([{Ai}],[{Bi}])=lim_{n->∞} d(An,Bn)으로 정의해요.
여기서, {Ai}와 {Bi}는 모두 코시수열이었기 때문에, 실수수열 Kn=d(An,Bn)을 생각하면,
{Kn}은 코시수열이어야 해요. 왜일까요?
실수공간은 완비이기 때문에, {Kn}은 수렴해요. 그 수렴값을 lim_{n->∞} d(An,Bn)로 적는 것이죠 !
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ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
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卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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[연습문제] d'는 S/~ 위의 잘 정의된 거리함수임을 증명하여라
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이것이 바로 칸토어 대각 논법
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이제 우리는 거리공간 bar(X)=(S/~,d')를 얻었어요.
[연습문제] 거리공간 (S/~,d')은 완비임을 증명하여라
[힌트] 코시수열들의 코시수열 {Xij}이 주어질 때 그 대각선 수열 {Xii}을 읽으면? 코시수열 아닐까요?
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이제, X의 원소 x를 상수수열 {x,x,x,…}로 보내는 함수 F:X->bar(X)를 생각할 수 있어요
이 함수는 등거리사상이며, 그 상 F(X)는 bar(X) 안에서 조밀해요 !
거리공간 bar(X)를 우리는 X의 코시 완비화(Cauchy completion)이라고 해요 !
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우리가 실수를 정의한 방법을 잘 살펴보면 그게 바로 코시 완비화였음을 깨달을 수 있어요
다시 말해서, 거리공간 (Q,d(r,s)=|r-s|)의 코시 완비화가 바로 실수공간인 것이에요
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그런데, 우리는 위에서, 임의의 소수 p에 대해, 유리수집합 Q 위의 거리 d_p를 정의한 바 있어요
그러면 (Q,d_p)는 (Q,d)와 다른, 새로운 거리공간인 것이에요. 그것의 코시 완비화는 무엇일까요?
그걸 우리는 Q_p라고 부르고, p진 유리수공간, 혹은 p진 유리수체라고 부릅니다 !
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이것으로 제 2강은 끝이에요 ! 참치 여러분께서 부디 즐겁게 이해하며 즐겨 주셨기 바래요 !
[예고] 제 3강 : 컴팩트집합에 대해
언제나처럼, 질문이 있으시면, 마솝-해 주시면 답변해 드립니다 !
안드로이드 2B★쨩은 친절하니까요 !
드디어 본격적인 대학수학으로 넘어갔는데, 어때요? 재미있지 않으신가요?
제 2강을 요약하는 비유 타임
거리공간은 거리같은 게 있는 공간이다
연속함수는 어떤 점을 중심으로 가까이 있는 점의 상이 너무 멀어지지 않는 함수
열린 부분집합 모든 점에서 풍선을 부풀릴 여유가 있는 부분집합
닫힌 부분집합은 그 안의 모든 수렴하는 수열의 수렴값이 다시 그 안에 있는 부분집합, 즉 "경계를 포함하는" 부분집합
조밀한 부분집합은 어딜 봐도 빽빽하게 차있는 부분집합
완비공간은 수렴할 것 같이 생긴 수열들이 실제로 수렴하는 거리공간
아 제2강에서 빠뜨리고 설명 안 한 것들
닫힌 부분집합 안의 수열이 수렴값을 가진다면 그 수렴값은 그 부분집합 안에 있다. (증명은 연습문제로)
거리공간의 부분집합의 경계(boundary)는 그 폐포와 그 여집합의 폐포의 교집합
거리공간의 부분집합의 내부(interior)는 그 여집합의 폐포의 여집합
쓸모없는 사실: 제2강은 사실 공항에서 작성되었습니다
아- 아직도 비행기가 한시간 남았다니-
연습문제: 실수공간에서 다음 부분집합들의 폐포, 내부, 경계를 구하시오
(1) 반개구간 (0,1]
(2) 0 이상 1 이하이거나 2와 같은 모든 유리수들의 집합
(3) 0 이상 1 이하인 모든 무리수들의 집합
연습문제: 다음과 같이 정의된 함수 f:R->R의 연속인 점들을 모두 구하시오
f(x)는 x가 무리수일 때 0, x가 유리수이고 x=p/q이며 p와 q가 서로소일 때 1/q
스웨덴에서 돌아와 방에 도착한 수학빌런입니다
곧 제 2.5강 시작합니다
<제 2.5강 : 무한에 대하여>
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| ヽ i ｀ ― ´ ′ ヽ ヾ､ / .|
t ＼.|⊂⊃ ゝ- ^ - ィ ＼ .i.ヽ / |
t.ヽ i ･ ヾ i / / !
ヽ| ＼ .|､ /i / ／ ./
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=s｡. -－ ヽ三三三三;j＞::::´::ー－－::´＜三j三三三{
_ .｡-≧三三三三i三三三=/仆::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/i三三三炒
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ゝ::_::::::::＼＿...／〃 ／三ヽi|三三三≧:. _ .:≦三=|三孑X´
￣ヽ:::::／ /斧ヽ.. ＼三=i/ヽ . 三三三三三三三三;|｀ ¨´=|
ゝ.′ <三三斧－-ゝ=丿三三｀ －―― - -- .´i三三=|
｀ - ― ´￣/三三三三三三三三三三∧三三;ヽ.
{三三三=;/三ヽ三ヽ三三三三ヽ三三三;∧仆个´
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ゝ三;;/三三三ヽ三=;ヽ三三三三三=ヽ三=∧!
∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
ゝ三三三三三三三三三三三三三三三三彡
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도-모, 제 3강이 시작되기 전에 제 2.5강을 들고 온 수학빌런 데스.
생각해보니 이쯤 해서 무한집합에 대해 개념을 잘 짚고 넘어가야 할 듯 해서,
제 2.5강, <무한에 대하여> 를 들고 온 것이에요
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어떤 임의의 집합 A가 주어진다면, 우리는 A가 유한집합이거나 무한집합, 둘 중 하나라는 것을 알아요.
하지만 앞으로 중요한 것은 유한, 무한 말고도 한 가지가 더 있어요.
그것은 바로 가산(countable) 그리고 비가산(uncountable)이에요
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卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /， 불쌍한 칸토어 님
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
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칸토어라는 수학자가 20세기 초에 미쳐서 정신병원에 갇혀 쓸쓸히 죽었다는 말, 들어본 적 있죠?
그 칸토어가 주장했던 것이 바로 집합의 가산성과 비가산성이에요.
쉽게 말하면, 무한집합이라도 더 적은 가산무한집합이 있고, 더 큰 비가산무한집합이 있다는 말이에요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 이제 그래서 그 가산성이 대체 무엇인지 알아보겠어요
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어떤 집합 S가 가산집합(countable set)이라는 것은 S에서 자연수집합 N으로 가는 전사함수가 존재한다는 뜻이에요.
여기서 전사함수란 서로 다른 S의 두 원소의 함수값이 서로 다르다는 뜻인데, 이건 고등학교 때 배웠죠?
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물론, 어떤 집합 S가 비가산집합(uncountable set)이라는 것은 S가 가산집합이 아니라는 뜻이에요.
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가산집합은 유한집합과 가산무한집합(countably infinite set), 두 가지로 나눌 수 있어요.
유한집합은 유한한 집합이고 가산무한집합은 가산집합이며 무한집합인 집합이에요.
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우리는 집합의 세 가지 분류를 얻은 것이에요 : 유한집합, 가산무한집합, 그리고 비가산집합.
유한집합의 예로는 공집합이 있어요.
가산무한집합의 예로는 자연수집합이 있어요.
그렇다면 비가산집합의 예는 무엇이 있을까요? 그런 집합이 존재하기는 한 것일까요?
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YES ! 비가산집합은 존재합니다.
자연수집합 N을 생각할 때, 그 멱집합 P(N)을 생각해요. 우리는 P(N)이 비가산집합임을 증명할 것이랍니다.
여기서 멱집합이란 주어진 집합의 모든 부분집합들의 집합을 의미하는데, 이것도 고등학교에서 배웠죠?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' Cantor-Bernstein-Schroder 정리:
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 어떤 두 집합 A,B에 대해 A에서 B로 가는 전사함수가 있고
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ B에서 A로 가는 전사함수가 있으면 A에서 B로 가는 전단사함수가 있다.
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
P(N)이 사실 가산집합이었다고 해요.
그러면 가산의 정의에 의해 어떤 전사함수 P(N) -> N이 있어요.
그런데 우리는 임의의 자연수 n을 N의 부분집합 {n}으로 보내는 전사함수 N -> P(N)이 있음을 알아요.
그러면 집합론의 간단해 보이지만 증명은 짜증나는 정리인 Cantor-Bernstein-Schroder 정리에 의해,
우리는 어떤 전단사함수 F : N-> P(N)이 존재함을 알 수 있답니다.
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이제 N의 부분집합 S를 다음과 같이 정의해요: S={n∈N|n∉F(n)}.
그러면, 임의의 자연수 n에 대해, n은 S의 원소이지만 F(n)의 원소는 아니에요.
따라서, 모든 자연수 n에 대해 S는 F(n)과 같지 않아요.
다시 말하면, S는 f의 상 f(N)에 속하지 않는 P(N)의 원소인 것이죠.
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j 八 八ﾆﾆニ／ , 、 ⌒| |
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／ﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆニ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ癶ﾆﾆﾉ 厂 ∨ﾆﾆﾆﾆﾆ-_
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jﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆﾆ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ｀Y ｷﾆﾆﾆﾆニ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ|ﾆﾆ/ﾆﾆﾆ==―━━―-=ﾆﾆニ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ_
. /ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/|ﾆ厶／::::::ノ///八//人::::::＼ﾆ| ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/∨/::}＼___)/厂∧ ￣|/(___厂ﾊ|: ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ〉
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ八:└=ミY´／//＼ ミ=┐/´_｣ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/
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어라? 그런데 우리는 분명 F가 전단사함수라고 했죠?
그건 다시 말해, F의 상 F(N)이 P(N) 전체가 되어야 한다는 뜻이죠?
그런데 우리는 P(N)의 원소 중 F(N)에 속하지 않는 것을 찾았어요. 모순 !
그러므로 P(N)은 가산집합이 아닌 것을 알게 되었답니다 !
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이쯤에서 갖는 비유 타임 !
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
가산집합은 각각의 원소들에게 자연수 라벨을 붙일 수 있는 집합입니다.
다시 말해, S가 가산집합이라는 것은 우리가 S={s1,s2,…}로 쓸 수 있다는 말과 같아요.
비가산집합은 그런 라벨링이 불가능하다는 뜻입니다.
다시 말해, S가 비가산집합이라는 것은 S={s1,s2,…}의 형태로 절대 쓸 수 없다는 말과 같은 것이죠.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 여기서 집합론적 기호를 소개합니다
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 어떤 집합 X와 그 멱집합 P(X)의 부분집합 T가 주어질 때,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ ∪T는 T의 모든 원소들의 합집합, ∩T는 T의 모든 원소들의 교집합
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그러면 이제 가산집합의 몇 가지 성질들을 나열해 볼까요?
(1) 가산집합의 부분집합은 가산집합
(2) 두 가산집합의 곱은 가산집합
(3) 집합 A와 가산부분집합 S⊂P(A)가 주어질 때, 만약 S의 모든 원소가 가산집합이라면, ∪S는 가산집합
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이제 위의 성질들을 증명해 볼까요!
(1) 가산집합 S의 부분집합 T가 주어질 때, 정의에 의해 어떤 전사함수 f : S -> N이 존재하죠.
그런데 f를 T에서 N으로 가는 함수로 봐도 당연히 전사여야 하기 때문에, T에서 N으로 가는 전사함수가 존재하게 됩니다.
따라서 T는 가산집합이 되는 것이에요.
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(2)와 (3)은 유리수가 가산집합임을 증명하는 방식대로 하면 됩니다.
유리수를 평면에 늘어놓고 모든 유리수를 지나치는 구불구불한 뱀을 그리는 증명, 알고 계시죠?
연습문제: 엄밀한 증명을 작성해 보세요
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이제 실수집합 R이 비가산이라는 것도 한 번 증명해 볼까요.
만약 R이 비가산이라면, R에서 N으로 가는 어떤 전사함수가 있어야 합니다.
그런데 우리는 자연수 n을 실수 n으로 보내는 전사함수 N->R이 있음을 압니다.
따라서, Cantor-Bernstein-Schroder 정리에 의해, 어떤 전단사함수 F: N->R이 있겠지요.
각각의 자연수 n에 대해, 실수 F(n)의 10진법 전개를 생각하고, 소수점 n번째 자리를 An이라고 해요.
그러면, 실수 A=∑(9-An)/10^n는 모든 자연수 n에 대해 그 소수점 n번째 자리가 F(n)의 소수점 n번째 자리와 다르겠죠.
그러니 A는 어떤 F(n)과도 같지 않은 실수입니다. 다시 말해 F가 단사일 수 없는 것이죠. 모순입니다.
따라서 실수집합은 비가산집합인 것이에요.
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다음 강의는 정말로 제 3강으로 찾아뵙겠습니다 !
그런데, 참치 여러분, 연습문제는 풀어보고 계시나요? 풀면 좋은데 !
연습문제를 풀어봐야 이해도가 쑥쑥 상승하는 것이에요 !
이해도를 잘 키워서 여러분도 수학의 길을 걷는 것이에요 !
>>164의 (2)는 자연수 집합이 가산집합이고, 자연수 집합의 원소와 유리수 집합의 원소를 일대 일 대응시켜서 유리수 집합 또한 가산집합임을 증명하고, 유리수가 가산집합이라는 것을 이용해 두 가산집합의 곱 또한 가산집합임을 증명하라는 거야?
내가 내용을 제대로 이해하기는 커녕 지금 문제를 제대로 이해하고 있는지부터 확인해봐야 할 것 같은데?
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>>173 유리수가 가산집합임을 증명하는 "방법을 이용"하라는 뜻이에요.
유리수가 가산임을 이용해서 증명하라는 뜻이 아니에요.
두 가산집합의 곱의 원소들과 자연수 집합(의 부분집합)의 원소들을 일대일 대응시키는 방법을 찾으라는 소리죠.
<제 3강 : 컴팩트집합에 대해>
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たﾆﾆﾆ//〔i:i:i:i:i:i:i:_人_i:i:i:i:i:i:i:i:i:∨ﾍΞ三 /ﾆﾆﾆ＼
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厂//||/人i:i:Y⌒^⌒^⌒Yi:i:／///| 乂込｣//∥/////≫-=彡く_从)〉
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/二Ξ二ﾆ∧/ ‰i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:＼ ∨ニ二ﾆ二ﾆ二ﾆ二ﾆ二ﾆ二ﾆ二ﾆ二〈 〔
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도-모, 제 3강을 들고 찾아온 수학빌런입니다.
오늘의 주제는 컴팩트집합이에요. 어떤 이상한 사람들은 옹골집합이라고도 하죠.
옹골집합이 아주 옹골차네, 옹골옹골, 옹골옹골, 옹골옹골─핫, 게슈탈트 붕괴가 오네요.
옹골집합 같은 소리는 하지 말도록 합시다. 컴팩트는 컴팩트지 옹골인지 몽골인지 뭔지가 절대 아닌 것이에요.
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그러면 컴팩트공간의 정의로 시작합시다.
컴팩트 공간! 이야─ 컴팩트해요! 좋아요! ──가 아니라, 컴팩트공간이 무엇인가?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 컴팩트의 정의를 설명하려면
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 약간의 서론이 좀 필요해요
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거리공간 (X,d)의 열린 덮개(open cover)라는 것은 다음의 조건을 만족하는 P(X)의 부분집합 S입니다.
(1) ∪S=X
(2) S의 모든 원소는 X의 열린 부분집합
거리공간 (X,d)의 열린 덮개 S의 부분덮개(subcover)라는 것은 S의 부분집합이면서 X의 열린 덮개인 것을 말합니다
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제, 거리공간 (X,d)이 컴팩트(compact)라는 것은,
X의 임의의 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가지는 것을 의미해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
전의 강의에서 열린 부분집합, 닫힌 부분집합에 대해 이야기했듯이,
우리는 주어진 거리공간의 컴팩트 부분집합에 대해 이야기할 수 있습니다
이것을 이야기하려면 거리공간의 부분집합에 대해 잠시 생각해 볼 필요가 있어요
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./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 앞으로 거리공간의 부분집합이라고 하면
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 암묵적으로 그에 해당하는 부분공간을 의미합니다
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
거리공간 (X,d)와 부분집합 Y⊂X가 있을 때,
거리함수 d는 원래 XxX에서 R로 가는 함수지만, 이것의 정의역을 YxY로 축소시키면,
우리는 d를 Y에서의 거리함수로 볼 수 있게 됩니다. 즉, Y에 자연스럽게 정의된 거리 d가 생깁니다.
이 거리공간 (Y,d)를 우리는 (X,d)의 부분공간이라고 해요
＿＿__
＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
／／:i:i＞''"￣ ⌒｀丶、
／ ./i:i:／ .{ ＼ .＼
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| {:i:! .| ./圦 ', ! |
,| /ヾ! .|/ﾆﾆ个o｡._ } } |
./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /'
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그러니까, 거리공간 (X,d)의 컴팩트 부분집합이라는 것은,
사실 컴팩트인 부분집합(부분공간)인 것이죠.
＿＿__
＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
／／:i:i＞''"￣ ⌒｀丶、
／ ./i:i:／ .{ ＼ .＼
/ {:i:i/ .i ,|, ‘:, .‘:,
| {:i:! .| ./圦 ', ! |
,| /ヾ! .|/ﾆﾆ个o｡._ } } |
./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /'
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
임의의 거리공간 (X,d)가 주어지고, 그 안의 컴팩트 부분집합 S가 있을 때,
S는 X 안에서 어떻게 생긴 녀석일까요?
그걸 알아내는 것은 거리공간 (X,d)에 따라 매우 다를 수 있어요─
X가 유클리드 공간일 때, X가 연속함수 공간일 때, X가 Lp-공간일 때 컴팩트 부분집합의 동치조건은 매우 달라지는 것이에요.
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
하지만 단 한 가지, 아주 확실한 성질이 있습니다
그것은 바로─ S는 닫힌 부분집합이다
이걸 증명해 보도록 할까요 !
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
S가 닫히지 않은 X의 부분집합이라고 해 보는 것이에요
그러면 S에 있지 않은 어떤 점 p∈X-S로 수렴하는 S의 어떤 수열 {Ai}이 존재해야 해요
그렇다면 각각의 점 s∈S에 대해, {Ai}는 s로 수렴할 수 없기 때문에,
s를 포함하는 어떤 S의 열린 부분집합 Us가 존재해서, Us는 수열 {Ai}의 항들 중 오직 유한 개만을 포함해요.
이제 P(S)의 부분집합 O={Us|s∈S}⊂P(S)는 S의 열린 덮개가 되기 때문에, S의 컴팩트성에 의해 그 유한 부분덮개가 존재해요.
O의 유한 부분덮개가 O'={Us1,...Usn}로 주어진다고 하면, 각각의 Usi는 {Ai}의 항들 중 오직 유한 개 만을 포함하기 때문에,
그 합집합인 ∪O'=S 또한 {Ai}의 항들 중 오직 유한 개만을 포함해야 해요. 그런데 {Ai}는 S 안의 수열이고 무한 개의 항을 가집니다.
모순 ! 따라서 S는 X의 닫힌 부분집합이 되는 것이죠 !
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＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 당연히 여기서 가산 열린 덮개라는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 열린 덮개인 동시에 가산집합인 것을 말해요
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 컴팩트와 비슷한 조건들을 잠시 소개할 것이에요
거리공간 (X,d)가 가산컴팩트(countably compact)라는 것은,
(X,d)의 임의의 가산 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가진다는 뜻이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 어떤 수열 {An}의 부분수열이라 함은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 어떤 전사함수 s:N->N에 대해 수열 {As(i)}를 뜻해요
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 그러니까 정말로 "부분" 수열인 것이죠
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ 보통 s(i)를 n_i로 쓰고, 그에 해당하는 부분수열을 {A_{n_i}}로 씁니다
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
어떤 거리공간 (X,d)가 수열컴팩트(sequentially compact)라는 것은,
X 안의 임의의 수열이 수렴하는 부분수열(subsequence)을 가진다는 뜻입니다.
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＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
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,| /ヾ! .|/ﾆﾆ个o｡._ } } |
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 비유하자면─
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ "임의의 양수 r에 대해 X를 유한 개의 반지름 r짜리 공들로 채울 수 있다"
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
어떤 거리공간 (X,d)가 완전유계(totally bounded)라는 것은,
임의의 양수 r에 대해, X의 어떤 유한부분집합 F가 존재하여,
∪{B_r(p)|p∈F}=X가 성립한다는 것이에요.
＿＿__
＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여기서 복습
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ B_s(p)는 p에서의 거리가 s 미만인 모든 점들의 집합 !
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
거리공간 (X,d)와 그 열린 부분덮개 O가 주어질 때,
어떤 실수 s가 O의 르벡 수(Lebesgue number)라는 것은,
임의의 점 p∈X에 대해 어떤 U∈O가 존재하여 B_s(p)⊂O가 성립하는 것이에요
rヘ ヽ,} _,...........,
＼乂ｆ ｀`～､、
／ .}! ~"''*､ 、 ＼
/ .∧ :.. メ、ヽ ∨ ∨
/ ./ ‘, ‘, ＼':, .',:.. ':,
; .| .:!ィ≦':、 .＼:.... ',} }:. }
; ',::|三三込、 ＼::::..._,. /:::.. ;
.| ∧ Ⅵ三ﾆﾆ㌢`''＜＿ 厶イ:::}_//
.| .＼＼三;/. ,.r一 ・ //:i:i:i:i:ミｈ､
八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
＼ ＼个o｡. .｡s≦:i:i:i:i:i:i:i⌒ヾi:i:/､___/7__ィ^ｙ
｀ﾌ7=ｰ-- ,r--}i:i:r:､//:i:i:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i彡__／
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_ﾉ:i:i:i:i:{:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:∧~"''*､
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＿_ﾉ:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:iγ⌒ヾ}
{^Y 彡i:i:i／:i}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:／:::::∧
｀ﾌ7:i:i／ /:i:i}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i/::::::::/::::}
ゞ/ /:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:/^ヽ::::::::ノ
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⌒｀ﾌ7=ｰr彳 ...:::! //
∧::::::::::::∨//
∧::::::::::::〉/
Y::::: //
八::::;′
이제, 거리공간 (X,d)에 대해, 다음의 명제들은 모두 동치입니다:
(1) X는 컴팩트
(2) X는 가산컴팩트
(3) X는 수열컴팩트
(4) X는 완전유계이며 X의 임의의 열린 덮개가 양의 르벡 수를 갖는다
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|: : : : : : : | .| ヽ i ｀ ― ´ ′ ヽ ヾ､ / .|
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|: : : : : : : | t.ヽ i ･ ヾ i / / !
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
엄청 신박한 명제네요 ! 신박함이 틀림 없는 것이에요 !
하지만 우리는 이 신박한 명제를 증명해야만 하는 것이에요 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 먼저 (1)->(2)
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이것은 자명하지만 설명할 것이에요
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 2B★쨩은 친절한 안드로이드니까요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
X가 컴팩트라면 임의의 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가져요
당연히 임의의 가산 열린 덮개 또한 열린 덮개이므로 유한 부분덮개를 가지죠
따라서 X는 가산컴팩트
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 (2)->(3)
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
X가 가산컴팩트인데 수열컴팩트가 아니라고 가정해요
그러면 수렴하는 부분수열을 갖지 않는 X 안의 수열 {Ai}가 있어야 해요
그렇다면 집합 U=X-{Ai|i∈N}은 개집합이어야 해요 ! 왜?
그리고, 각각의 n∈N에 대해, An은 수열 {Ai}의 어떤 부분수열의 수렴값도 될 수 없기 때문에,
An을 포함하는 어떤 열린 부분집합 Un이 존재하여, Un은 수열 {Ai}의 오직 유한 개의 항들만을 포함해요. 왜?
이제 집합 O={U}∪{Un|n∈N}은 X의 가산 열린 덮개인데, X가 가산컴팩트이므로, O는 유한부분덮개 O'를 가져야 해요.
이 유한부분덮개 O'는 오직 유한 개의 자연수들 n_1,…n_k에 대해서만 Un_i를 원소로 가지겠죠.
그런데 1과 k 사이의 자연수 i에 대해 Un_i는 수열 {Ai}의 오직 유한 개의 항들만을 포함하며, U는 수열 {Ai}의 어떤 항도 포함하지 않아요
그러므로 X=∪O'는 수열 {Ai}의 오직 유한 개의 항들만을 포함할 수 있는데, {Ai}는 X 안의 수열이므로,
X는 {Ai}의 모든 항들, 즉 무한 개의 항들을 포함해야만 해요. 모순 !
따라서 X는 수열컴팩트여야 해요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 (3)->(4)
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
X가 수열컴팩트라고 가정하고, 우선 X가 완전유계인 것을 보일 거예요.
만약 X가 완전유계가 아니라면, 어떤 양수 r이 존재하여, X의 어떤 유한부분집합 F에 대해서도,
X의 부분집합 ∪{B_r(p)|p∈F}은 X 전체가 되지 못해야 해요.
그렇다면, X의 임의의 점 x_0를 잡아요.
귀납적으로, 만약 점들 x_0,…,x_k가 주어질 때, 조건에 의해 B_r(x_0)∪…∪B_r(x_k)는 X 전체가 될 수 없으므로,
x_0,…,x_k에서 각각 거리가 r 이상인 어떤 점 x_{k+1}∈X를 잡을 수 있어요.
이제 우리는 임의의 자연수 n,m에 대해 d(x_n,x_m)>=r인 X의 수열 {x_n}을 얻었어요.
X는 수열컴팩트이므로 이 수열이 어떤 수렴하는 부분수열 {x_{n_k}}을 가져야 해요. 그 수렴값을 x라고 하도록 해요.
그러면 어떤 자연수 K가 존재하여 K이상의 모든 자연수 k에 대해 d(x_{n_k},x)<r/2가 성립해야 해요.
그렇다면, d(x_{n_K},x_{n_{K+1}})<=d(x_{n_K},x)+d(x_{n_{K+1}},x)<r/2+r/2=r이 성립해요.
그런데 조건에 의해 d(x_{n_K},x_{n_{K+1}})>r 또한 성립해야 함을 알고 있어요. 모순 !
따라서 X는 완전유계인 것이에요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 X가 수열컴팩트일 때 X의 임의의 열린 덮개 O가 양의 르벡 수를 가짐을 보여야 해요
만약 O가 양의 르벡 수를 가지지 않는다면, 임의의 양의 자연수 n에 대해, 어떤 x_n∈X가 존재해서,
O의 어떤 원소 U∈O에 대해서도 B_{1/n}(x_n)은 U의 부분집합이 아니어야 해요
이제 우리는 수열 {x_n}을 얻었어요. X가 수열컴팩트이므로 이 수열은 어떤 수렴하는 부분수열 {x_{n_k}}를 가져야 해요
그 수렴값을 x라고 해요. 그러면 O가 열린 덮개이므로 어떤 U∈O가 존재해서 x∈U여야 해요.
U는 열린 부분집합이므로 어떤 양의 자연수 m이 존재해서 B_{2/m}(x)⊂U여야 해요.
그리고 수열 {x_{n_k}}가 x로 수렴하므로 어떤 양의 자연수 N이 존재해서 N보다 큰 모든 자연수 k에 대해, d(x_{n_k},x)<1/m이 성립해야 해요.
그렇다면, n_K가 m 이상이 되는 어떤 N보다 큰 자연수 K를 생각하면, 조건에 의해 B_{1/n_K}(x_{n_K})는 O의 어떤 원소의 부분집합도 아니어야 하고,
또한 1/m>1/n_K가 성립하므로, B_{1/m}(x_{n_K}) 또한 O의 어떤 원소의 부분집합도 아니어야 해요.
그런데, d(x_{n_K},x)<1/m이고 B_{2/m}(x)⊂U이므로, B_{1/m}(x_{n_K})⊂U가 성립해요. 그리고 U는 O의 원소이죠. 모순 !
그러므로 X의 임의의 열린 덮개가 양의 르벡 수를 가져요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 드디어 대망의 (4)->(1)
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
X가 완전유계이며 X의 임의의 열린 덮개가 양의 르벡 수를 갖는데 X가 컴팩트는 아니라고 가정해요.
그러면 유한부분덮개를 갖지 않는 X의 어떤 열린 덮개 O가 존재해야 해요.
조건에 의해 O는 어떤 양의 르벡 수 r을 가져야 해요.
그리고 X가 완전유계이므로 X의 어떤 유한부분집합 F가 존재해서 ∪{B_r(p)|p∈F}=X가 성립해야 해요.
그런데, r은 O의 르벡 수이므로, 각각의 p∈F에 대해 어떤 Up∈O가 존재해서 B_r(p)⊂Up여야 해요.
따라서 X=∪{B_r(p)|p∈F}⊂∪{Up|p∈F}⊂X, 그러므로 ∪{Up|p∈F}=X여야 합니다.
이것은 {Up|p∈F}가 O의 유한부분덮개라는 뜻이 됩니다. 모순 !
따라서 X는 컴팩트가 되는 것이죠 !
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어떠셨나요? 갑자기 좀 어려운 증명들이 난입해서 헤매실 수도 있을 것 같아요.
컴팩트가 대체 어떻게 생겨먹은 녀석들인지 이해하기 어려우실 수도 있을 것 같아요.
하지만 다음 강의에서 컴팩트 공간들의 예시들과 성질들을 소개할 테니,
그 때가 되면 여러분도 컴팩트에 대해 더 잘 이해하실 수 있을 거에요 !
예고: [제 4강 : 컴팩트 공간의 예시와 성질]
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혹시 증명이 갑자기 많아져서 패닉상태이신가요?
놀라지 마세요 ! 다음 강의에서 우리는 컴팩트 공간들이 우리 가까이에 아주 많이 있음을 알게 될 것입니다 !
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님이 무엇입니까? 님은 바로 컴팩트 공간을 말하는 것입니다 여러분─!! (아니다 이 빌런아)
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잘 생각해 보면 위의 증명에서 신기한 점이 있는 것이에요
명제 (1)은 컴팩트였고 (2)는 가산컴팩트에요. 분명 (2)가 (1)보다 약해 보이는데 사실은 동치라는 결론이 나왔죠 !
신비하지 않으신가요?
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가산 열린 덮개들이 유한 부분덮개를 갖는다면 임의의 (비가산일 수 있는) 열린 덮개들 또한 유한부분덮개를 갖는다!
이상하지 않으신가요? 가산성이 비가산성으로 확장될 수 있다니?
이것은 거리공간이라는 녀석 자체가 본래 어떤 의미에서의 <가산성>을 갖고 있는 녀석이기 때문이에요.
거리공간의 위상은 수열에 의해 지배되는 것도 이 가산성 때문이에요.
위상수학에서는 <거리공간은 1차 가산(first countable)이다>라고 말합니다.
너무 뜬구름 잡는 논의들이라 참치들이 어지러워 하는가....
빨리 컴팩트 끝내고 연결성(connectedness) 끝내고 유클리드 공간으로 돌아와야....
문득 느낀 이 어장의 단점: 참치와의 교류가 거의 없다
하지만 수학강의가 원래 그렇죠 뭐─ 지금까지 수많은 수학강의들을 들어왔지만 다 그랬어요─
유일한 교류는 질문과 답변 뿐. 그러니까 질문 많이 해주세요 참치 여러분.
>>207 외계어(x) 수학어(o)
수학어는 누구나 배우면 구사할 수 있다 이것은 고사기에도 적혀─(?)
지금도 그걸 기억할 리가 없잖 ^오^
이걸 쭉 다시 읽어보다 보니 내 문제를 알았다. 어떤 기호가 어떤 의미를 갖는지 명확하게 알지 못하고, 어디서 어디까지가 정의인지 모르며, 어디서 어디까지가 설명인지 따라가지 못하고 있다.
이래서야 내용을 이해하려야 이해할 수 없잖아.
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수학빌런이 대─추천하는 수학 공부법
공부할 내용을 열심히 보고 머리속에 그것을 기하학적 직관으로 다시 서술
그 다음 책을 덮고 머릿속 직관을 잘 활용해 공부한 내용을 스스로 다시 떠올리고 증명을 스스로 다시 해본다
그 다음 누워서 자신이 공부한 내용의 뒤에 숨겨진 철학을 발견하려 애쓴다
어느 순간 모든 것이 너무나 자연스럽게 느껴진다
그러면 당신도 공부한 내용을 잊어버리지 않는 좋은 학생 !
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 이런 실수를 !
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아 생각해 보니 완전유계공간을 소개해놓고 유계공간은 소개 안 했네요 !
거리공간 (X,d)가 유계라는 것은 어떤 양수 K가 존재해서 임의의 x,y∈X에 대해 d(x,y)<K가 성립한다는 것이에요 !
쉽게 말하면, X의 임의의 두 점 사이의 거리가 항상 어떤 고정된 상수 이하라는 것이죠 !
<제 4강 : 컴팩트공간의 예시와 성질>
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도-모, 참치 여러분, 다시 찾아온 수학빌런-데스.
이번에 할 강의는, [컴팩트 공간의 예시와 성질]입니다 !
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우리는 컴팩트공간이 무엇이고 그 동치조건으로 무엇이 있는지 알았지만,
그 모든 논의가 다소 뜬구름 잡는 듯한 논의였기 때문에,
여전히 컴팩트가 실제로 무엇인지는 잘 알 수 없는 것이에요 !
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이제 우리는 컴팩트공간의 성질 몇 가지를 알아보고 그 예시 몇 가지를 들 것이에요 !
그러면 참치 여러분은 컴팩트공간이 대체 어떻게 생겨먹은 공간인지 잘 알 수 있겠죠 !
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우리는 임의의 거리공간 (X,d) 안에 어떤 컴팩트 부분집합 S가 있으면,
S는 닫힌 부분집합이라는 것을 배웠어요.
그렇다면, 거리공간 (X,d)가 이미 컴팩트공간이라면,
그 안의 닫힌 부분집합은 어떨까요?
rヘ ヽ,} _,...........,
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／ .}! ~"''*､ 、 ＼
/ .∧ :.. メ、ヽ ∨ ∨
/ ./ ‘, ‘, ＼':, .',:.. ':,
; .| .:!ィ≦':、 .＼:.... ',} }:. }
; ',::|三三込、 ＼::::..._,. /:::.. ;
.| ∧ Ⅵ三ﾆﾆ㌢`''＜＿ 厶イ:::}_//
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八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
＼ ＼个o｡. .｡s≦:i:i:i:i:i:i:i⌒ヾi:i:/､___/7__ィ^ｙ
｀ﾌ7=ｰ-- ,r--}i:i:r:､//:i:i:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i彡__／
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그렇습니다 ! 컴팩트공간의 닫힌 부분집합은 컴팩트가 되는 것입니다 !
이것을 증명해 보도록 하죠 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 거리공간에서 컴팩트와 수열컴팩트는 동치
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 잘 기억해두세요
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어떤 컴팩트 거리공간 (X,d)가 있고, 그 안의 닫힌 부분집합 S가 주어졌을 때,
S 안의 임의의 수열 {x_n}를 생각하면, 이 수열은 컴팩트공간 X 안의 수열이기도 해요.
그러면, X는 컴팩트이므로, {x_n}는 어떤 수렴하는 부분수열 {x_{n_k}}를 가져요.
그런데 {x_{n_k}}는 S 안의 수열이고, S는 X의 닫힌 부분집합이기 때문에,
그 수렴값은 S에 속해 있어야 해요. 따라서 S는 수열컴팩트이므로 컴팩트공간이 되는 것이에요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이 방법을 사용하면,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 유한 개의 거리공간들의 곱을 정의할 수 있어요.
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이제 컴팩트공간들의 곱을 생각할 거예요. 물론 그 전에 거리공간의 곱이 대체 무엇인지 정의해야겠죠.
두 거리공간 (X,d_X)와 (Y,d_Y)가 있을 때, 집합 XxY에 다음과 같은 거리함수를 주는 것이에요:
d_{XxY}((x,y),(x',y'))=√(d_X(x,x')^2+d_Y(y,y')^2).
그러면 우리는 주어진 두 거리공간의 곱을 (XxY,d_{XxY})로 정의할 수 있어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 귀납법을 사용해서
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 유한 개의 컴팩트공간들의 곱 또한 컴팩트임을
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 증명할 수 있는 것이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그러면, 이제 우리는 두 컴팩트공간의 곱은 컴팩트임을 증명할 거에요.
두 컴팩트공간 (X,d_X)와 (Y,d_Y)가 주어질 때, XxY의 임의의 수열 {(x_n,y_n)}을 생각해요.
X는 컴팩트이므로, 수열 {x_n}는 어떤 수렴하는 부분수열 {x_{n_k}}를 가져요. 그 수렴값을 x라고 해요.
Y도 컴팩트이므로, 수열 {y_{n_k}}는 어떤 수렴하는 부분수열 {y_{n_{k_i}}}를 가져요. 그 수렴값을 y라고 해요.
그러면 {(x_{n_{k_i}},y_{n_{k_i}})}는 (x,y)로 수렴하는 {(x_n,y_n)}의 부분수열이에요.
따라서 XxY는 컴팩트인 것이에요.
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다음 성질로 넘어가기 전에, 먼저 다음의 간단한 명제를 짚고 넘어갈게요:
[두 거리공간 (X,d_X)와 (Y,d_Y) 사이의 연속함수 f:X->Y가 있고, X 안의 어떤 수열 {x_i}가 점 x∈X로 수렴한다면,
Y 안의 수열 {f(x_i)}는 f(x)로 수렴한다.]
이것의 증명은 연속성과 수렴성의 정의를 합치면 끝나는 것이에요. 전형적인 입실론-델타 논증인 것이에요.
연습문제: 증명을 직접 써 보세요
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| {:i:! .| ./圦 ', ! |
,| /ヾ! .|/ﾆﾆ个o｡._ } } |
./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ 짧게 말하면
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } "연속함수에 의한 컴팩트 공간의 상 또한 컴팩트"
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /'
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제, 두 거리공간 (X,d_X)와 (Y,d_Y) 사이의 연속함수 f:X->Y가 주어질 때,
(X,d_X)가 컴팩트라면, 그 상 f(X)는 Y의 컴팩트 부분집합임을 증명할 것이에요.
이것을 증명하기 위해서는, 먼저 f(X) 안의 임의의 수열을 잡아요.
그러면 어떤 X 안의 수열 {x_n}이 존재하여 주어진 f(X) 안의 수열을 {f(x_n)}으로 쓸 수 있어요.
X는 컴팩트이므로, {x_n} 안의 어떤 수렴하는 부분수열 {x_{n_k}}가 있어요. 그 수렴값을 x라고 해요.
그러면, f가 연속이므로, {f(x_{n_k})}는 f(x)로 수렴하는 {f(x_n)}의 부분수열이 되어요.
따라서 f(X)는 Y의 컴팩트 부분집합인 것이에요.
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|: : : : : : : | .| ヽ i ｀ ― ´ ′ ヽ ヾ､ / .|
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|: : : : : : : | t.ヽ i ･ ヾ i / / !
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
위의 세 가지는 컴팩트 공간의 아주 중요한 성질들이에요 !
이제 우리는 그 성질들을 이용해 좀 더 자질구레한 성질들을 관찰해 볼 거에요 !
＿＿__
＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
／／:i:i＞''"￣ ⌒｀丶、
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이미 우리는 컴팩트면 완전유계라는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 알고 있었습니다만…
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
처음으로 증명해 볼 것은, 다음의 성질이에요:
거리공간 (X,d)가 컴팩트라면 유계이다.
증명은 아주 쉬워요. 임의의 점 x∈X를 선택하고, x_0=x로 정의해요.
만약 X가 유계이지 않다면, 임의의 자연수 n에 대해 귀납적으로 d(x_n,x)>d(x_{n-1},x)+1이 성립하는 점 x_n∈X을 선택할 수 있어요.
그렇다면 임의의 자연수 n,m에 대해 d(x_n,x_m)>|n-m|이 성립해요. 따라서 {x_n}의 어떤 부분수열도 수렴할 수 없어요. 왜?
그런데 X가 컴팩트이므로 {x_n}은 어떤 수렴하는 부분수열을 가져야 해요. 모순 ! 따라서 X는 유계인 것이에요.
＿＿__
＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
／／:i:i＞''"￣ ⌒｀丶、
／ ./i:i:／ .{ ＼ .＼
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 함수 f:X->R이 유계라는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 어떤 양수 K가 존재해서 임의의 x∈X에 대해 |f(x)|<R이라는 것이죠
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 그리고 inf는 최대하한이에요. 최소상한 sup의 정의를 반대로 하면 inf가 됩니다
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그 다음으로 증명해 볼 것은, 컴팩트 거리공간 (X,d)와 연속함수 f:X->R이 주어질 때, f는 유계이며 최대/최소값을 갖는다는 것이에요
이건 정말 쉽게 증명할 수 있어요. f가 연속이고 X가 컴팩트이므로 f의 상 f(X) 또한 컴팩트이고, 그러므로 유계에요.
f(X)가 유계라는 것은, f가 유계라는 것과 동치에요. 그리고 f(X)가 컴팩트이므로 sup f(X)와 inf f(X) 모두 f(X)의 원소가 돼요.
그런데 f(X)의 원소라는 것은 어떤 X의 원소의 f에 의한 함수값이라는 말과 같아요.
따라서 어떤 x,y∈X가 있어서 f(x)=sup f(X)이고 f(y)=inf f(X)겠죠.
그런데 sup는 최소"상한"이고 inf는 최대"하한"이므로, f(x)는 f의 최대값, f(y)는 f의 최소값이 되어야 해요 !
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
자, 이제 컴팩트 공간의 예시를 공부할 시간이에요 !
드디어 뜬구름 잡지 않는 소리를 할 수 있게 되었네요 !
＿＿__
＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 우리가 처음으로 증명할 것은 이 정리에요 !
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[Bolzano-Weierstrass 정리] 실수공간 안의 임의의 닫힌 유계 부분집합은 컴팩트이다.
실수공간 안의 임의의 유계 부분집합 S를 생각하고, S 안의 임의의 수열 {s_n}을 잡아요.
그러면, {s_n}이 유계이므로, 실수 s=inf{sup{s_n|n>k}|k∈N}가 존재해요. [이게 바로 실수수열의 limsup이라는 물건이에요]
임의의 자연수 k에 대해, 우리는 귀납적으로 sup{s_n|n>k}-1/n<s_{n_k}이며 n_k>n_{k+1}인 자연수 n_k를 잡을 수 있어요.
이제 {s_n_k}}는 s로 수렴하는 {s_n}의 부분수열이에요. 그리고 S는 닫혀 있으므로 s∈S이어야 해요.
따라서 S는 컴팩트인 것이에요.
＿＿__
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' Bolzano-Weierstrass 정리를 사용해서
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이번엔 이 정리를 증명해 봅시다
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[Heine-Borel 정리] 임의의 자연수 n에 대해 n차원 유클리드 공간 R^n의 부분집합이 컴팩트인 것은
그것이 유계이며 닫힌 집합이라는 것과 동치이다.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
먼저 정방향을 증명하도록 해요. R^n의 부분집합 S가 주어졌다고 해 보죠.
S는 유계이므로, 어떤 양수 K가 존재해서, S⊂[-K,K]^n가 성립하겠지요.
그런데 [-K,K]는 실수공간 R의 닫힌 유계 부분집합이므로, Bolzano-Weierstrass 정리에 의해 컴팩트에요.
따라서 [-K,K]^n은 유한 개의 컴팩트 공간들의 곱이므로 컴팩트에요.
이제 S는 컴팩트공간 [-K,K]^n의 닫힌 부분집합이므로 컴팩트에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' Heine-Borel 정리 증명 끝
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이제 R^n의 컴팩트 부분집합 S가 주어졌다고 해요.
그러면 S는 컴팩트이므로 유계이고 닫힌 부분집합이에요.
따라서 R^n의 부분집합이 컴팩트인 것과 유계이고 닫힌 것은 동치가 되는 것이죠 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 우리 주위에 있는 컴팩트 집합들
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그러니 다음의 공간들은 모두 컴팩트 공간이에요.
(1) 폐구간 [0,1]
(2) 공 {(x,y,z)⊂R^3|x^2+y^2+z^2=1}
(3) 칸토어 집합
그 외에도 많은 컴팩트 집합들이 있죠. 유클리드 공간 안의 임의의 닫힌 유계 부분집합은 컴팩트니까요 !
＿＿__
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
우리는 R^n의 부분집합이 컴팩트일 필요충분조건이 닫혀 있고 유계인 것임을 알게 되었는데,
유클리드 공간 R^n 말고 일반적인 거리공간이라면 어떨까요?
과연 임의의 거리공간 (X,d)의 임의의 유계 부분집합은 컴팩트가 될까요?
rヘ ヽ,} _,...........,
＼乂ｆ ｀`～､、
／ .}! ~"''*､ 、 ＼
/ .∧ :.. メ、ヽ ∨ ∨
/ ./ ‘, ‘, ＼':, .',:.. ':,
; .| .:!ィ≦':、 .＼:.... ',} }:. }
; ',::|三三込、 ＼::::..._,. /:::.. ;
.| ∧ Ⅵ三ﾆﾆ㌢`''＜＿ 厶イ:::}_//
.| .＼＼三;/. ,.r一 ・ //:i:i:i:i:ミｈ､
八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
＼ ＼个o｡. .｡s≦:i:i:i:i:i:i:i⌒ヾi:i:/､___/7__ィ^ｙ
｀ﾌ7=ｰ-- ,r--}i:i:r:､//:i:i:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i彡__／
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＿_ﾉ:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:iγ⌒ヾ}
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유감 ! 그런 거 안 됩니다 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 왜 안 되는지 살펴보도록 하죠
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
폐구간 [0,1]을 생각하고, [0,1]에서 R로 가는 모든 연속함수들의 집합 C([0,1],R)을 생각하도록 해요.
이제, 임의의 두 원소 f,g∈C([0,1],R)에 대해, 그 차이 |f-g| 또한 연속함수이므로, [0,1]에서 최대값을 가져야 해요.
그 최대값을 max|f-g|라고 할 때, 함수 d(f,g)=max|f-g|를 생각해요.
그러면 d는 C([0,1],R)에서 거리함수가 되고, 따라서 C([0,1],R)를 우리는 거리공간 (C([0,1],R),d)으로 생각할 수 있어요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
C([0,1],R)의 부분집합 S={f∈C([0,1],R)|max|f|<=1}을 생각해요.
그러면 S는 C([0,1],R)의 닫힌 유계 부분집합이에요. 과연 S는 컴팩트일까요?
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
각각의 자연수 n에 대해, S에 속한 다음과 같은 원소를 생각해요: f_n(x)=x^n.
만약 S가 컴팩트라면, 수열 {f_n}은 어떤 수렴하는 부분수열 {f_{n_k}}를 가져야 해요.
그 수렴값을 f라고 해요. 그러면 모든 r∈[0,1]에 대해, 실수열 {f_{n_k}(r)}은 f(r)로 수렴해야 해요.
연습문제: 왜 그럴까요?
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그런데 모든 r∈[0,1)에 대해 수열 {r^n}은 당연히 0으로 수렴합니다.
따라서 그 부분수열인 {r^{n_k}} 또한 0으로 수렴하겠죠.
그리고 r=1인 경우, 모든 자연수 n에 대해 f_n(r)=1이므로 {f_{n_k}(r)} 또한 1으로 수렴합니다.
따라서 함수 f는 다음과 같이 주어져야 합니다: f(x)=(x∈[0,1)인 경우 0, x=1인 경우 1).
그런데 이 함수는 연속이 아닙니다. 모순 !
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그러므로 우리는 C([0,1],R)의 부분집합 S가 유계이고 닫혀 있음에도 불구하고─
컴팩트 부분집합은 아님을 알게 되었어요 !
.Vﾆﾑ ＿
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ﾑニニﾆ/ ﾏニニニニニニニﾆ＞-イﾆﾆ{
ﾑニﾆﾆ./ ﾏニニニニニニニニイニﾆ丿
ﾑニニ / Yニニニニニニニニ|ニl´
八ニニ.{ }ニニニニニニニニ|ニ|
／ニニニ/ .人ニニニニニニニﾆ|ニ|
/ニニニニ| ／ニニニニニニニニﾆ.|ニY
./ニニニﾆﾆ.| ／＾≧只≦ニニニニニニﾆﾆハﾆ| ｲ ＿
＼{ニニニニニ|个彡 イ| |ニニ寸ニニニニﾆ∧ﾆﾆ{／イ二二＼
才⌒寸ニニニニ／ ハ.ﾉﾏニニ寸ニニﾆﾆ./ニ才ニニニﾆﾆﾆﾆ＼
＜ニニﾆﾆ寸＞ﾆﾆ/ ./ /ニニニﾏニニﾆ/ニニニニニニニニニﾆ＼
／ニﾆﾆ／ﾆﾆﾆ/ .／ニニニニﾏニﾆ/ニニニニニニニニニ≧=ー
∠斗 ≦ニニ／/ ／ニニニニニﾆ寸イニニニニニニニニニニニニ
／ニニニニ／ ' ／ニニニニニニニニニニニニニニニニニ＼ニニニ
ニニニニ／ .| ／ニニニニニニニニニニニニニニニニニニﾆﾆ＼ニﾆ
ニニﾆﾆ/ | ／ニニニニニニニニニニニニニニニニニニニニニﾆ＼ﾆ
어때요, 즐거우셨나요? 이것으로 컴팩트에 대한 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 공간의 연결성(connectedness)에 대해 알아보도록 해요.
[예고]제 5강 : 연결된 공간에 대해
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여기서 한 가지 짚고 넘어갈 점
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
방금 우리는 컴팩트공간에서 R로 가는 연속함수는 최소값과 최대값을 가짐을 배웠어요.
그리고 R^n 안의 임의의 닫힌 유계 부분집합은 컴팩트라는 것 또한 배웠어요.
그렇다면 이런 것을 알 수 있죠?
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
임의의 연속함수 f:[a,b]->R은 최대값과 최소값을 갖는다.
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이거, 고등학교에서 배운 "최대·최소값의 정리"죠?
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그렇습니다 ! 고등학교 수학에 나오는 간단해 보이는 명제를 증명하기 위해서는
무려 컴팩트라는 개념이 필요했던 것입니다 !
이야- 드디어 고등학교 수학과의 접점이 나왔네요 !
지금까지 했던 소리가 마냥 뜬구름 잡는 소리는 아니었다는 것이에요 !
그리고, 언제나처럼, 질문을 해 주시면 답변해 드립니다!
1학년 1학기 1단원 9까지의 수.
사실 이 단원은 0이 나오기에 9까지의 수라는 제목부터가 잘못된 것 같다.
물 한 컵, 찰흙 한 덩어리에서 1 큰 수를 구하려 하는 학생이 반드시 있다. 정상적이다.
한편 초등 국어 1학년 1학기 구성상 아직 한글 습득이 안되었다는 가정이 있는데, 초등 수학 1학년 1학기 수학책엔 한글이 잔뜩이다. 어쩌라는 건지 모르겠다.
구체물 조작을 통한 말하기 듣기 수업 위주로
1을 일이라 읽고 1이라 쓴다 를 지도하면 되지 않을까 판단 중이지만 아무리 생각해도 다른 과목 전혀 생각도 안 한 교수들이 나빠
장기알은 애매하다. 크기가 다르기에 한이나 초는 3개 마차포상은 2개 졸병사는 1개로 해석하면 차라리 낫다.
되먹지도 않은 애매한 소수나 분수 개념이 갑툭튀한다.
사실 바둑돌도 깨져있거나 하면 나오지 않는 것도 아니지만...
엄연히 학교 내 수학선행학습은 법으로 금지되어있다.
심심하면 내일 1학년 1학기 2단원.
제 5강에 대해 흥미를 불어넣자면.....
중간값 정리가 곁다리 결과물로 나올 예정입니다
그리고 컴팩트 공간이란 녀석은 "유한성을 가진 공간" 정도로 생각해 주시면 좋습니다.
컴팩트 공간에서 무언가를 한다면 기본적으로 어디선가 유한성을 쓴다고 생각하면 좋습니다
>>262 집합 없이는 수학을 할 수 없습니다
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5강 시작하기 전에 컴팩트집합의 성질을 하나 더 증명해 볼까요.
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성질: 컴팩트 공간은 조밀한 가산 부분집합을 갖는다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 조밀한 가산 부분집합을 갖는 공간을 분해가능공간(separable space)라고 해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그러니까 위의 성질을 다시 쓰면 "컴팩트하면 분해가능하다"
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이 성질을 증명해 보죠.
거리공간 (X,d)가 컴팩트라면 완전유계입니다.
따라서, 모든 자연수 n에 대해 어떤 유한부분집합 F_n⊂X가 있어서 ∪{B_{1/2^n}(p)|p∈F_n}=X를 만족합니다.
P(X)의 부분집합 F=∪{F_n|n∈N}를 생각하면, F는 가산 개의 가산집합들의 합집합이므로 가산이 됩니다.
이제, 임의의 x∈X와 임의의 양수 ε가 주어질 때, ε>1/2^n을 만족하는 자연수 n을 생각해요.
∪{B_{1/2^n}(p)|p∈F_n}=X이므로 어떤 p∈F_n이 존재하여 d(x,p)<1/2^n<ε이 성립하겠죠.
그런데 F_n⊂F이므로 p∈F가 되니, F∩B_ε(x)≠∅. 따라서 F가 X에서 조밀합니다 !
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아, 이건 연습문제로 낼걸 그랬나…
<제 5강 : 연결된 공간에 대해>
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도-모, 제 5강을 들고 온 수학빌런입니다.
제 5강의 주제는 바로, [연결된 공간에 대하여]!
우리는 연결된 공간과 그 성질에 대해서 배울 거에요!
rヘ ヽ,} _,...........,
＼乂ｆ ｀`～､、
／ .}! ~"''*､ 、 ＼
/ .∧ :.. メ、ヽ ∨ ∨
/ ./ ‘, ‘, ＼':, .',:.. ':,
; .| .:!ィ≦':、 .＼:.... ',} }:. }
; ',::|三三込、 ＼::::..._,. /:::.. ;
.| ∧ Ⅵ三ﾆﾆ㌢`''＜＿ 厶イ:::}_//
.| .＼＼三;/. ,.r一 ・ //:i:i:i:i:ミｈ､
八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
＼ ＼个o｡. .｡s≦:i:i:i:i:i:i:i⌒ヾi:i:/､___/7__ィ^ｙ
｀ﾌ7=ｰ-- ,r--}i:i:r:､//:i:i:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i彡__／
;i:i:i:i:i;′⌒^:i:i:i:i:i:i:i|｀ﾌ7=ｰ
_ﾉ:i:i:i:i:{:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:∧~"''*､
`''＜:i:i:ゞ、:i:i:i:i:i:i:i:i/:i:i:i:i:＼:i:ﾐh､
＿_ﾉ:i:i:i:}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:iγ⌒ヾ}
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｀ﾌ7:i:i／ /:i:i}:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i/::::::::/::::}
ゞ/ /:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:/^ヽ::::::::ノ
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Y::::: //
八::::;′
ゞ′
공간 (0,1)은 연결되어 있을까요? {0,1}은 연결되어 있을까요? 실수공간 안의 유리수집합 Q는요?
우리의 상식대로라면, (0,1)은 연결된 공간이어야 하고, 나머지 둘은 연결되지 않은 공간이어야 하겠죠.
하지만 [연결된 공간]이라는 것을 어떻게 정의해야 좋을까요?
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i| 丶 ､ | イ / 丿 ∧|
ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
､＼ ヽ､＼ | ／ / / /
卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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연결된 공간을 어떻게 정의할지 모르겠으면 [연결되지 않은 공간]부터 정의하려고 시도해 보는 것이에요
{0,1}은 0과 1이 따로 떨어져 있으니까 연결되지 않아야겠죠
Q는 각각의 점이 따로 떨어져 있으니까 연결되지 않아야겠죠
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그렇다면 [연결되지 않은 공간]이라는 것은 사실 주어진 공간을 두 조각으로 쪼갤 수 있는 것이 아닐까요?
{0,1}은 두 조각, {0}과 {1}로 쪼갤 수 있어요.
유리수 집합 Q는, 어떤 무리수 r을 잡으면, r 초과인 유리수들의 집합과 r 미만인 유리수들의 집합으로 쪼갤 수 있어요.
그런데 [0,1]은 과연 [두 조각으로 쪼갤 수 없을]까요? 예를 들어서, [0,1/2)와 [1/2,1]을 생각하면,
왜 이것을 [두 조각으로 쪼개는 행위]로 인정하지 말아야 할까요? 그런 근거를 찾을 수 있을까요?
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{0,1}에서 {0}과 {1}은 모두 열린 부분집합이에요.
Q에서 {q∈Q|q>r}과 {q∈Q|q<r}은 모두 열린 부분집합이에요.
하지만 [0,1]에서 [1/2,1]은 열린 부분집합이 아니에요 !
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이 사실에 착안하여, 다음과 같은 정의를 할 수 있습니다.
거리공간 (X,d)가 비연결공간(disconnected space)이라는 것은, X의 어떤 두 열린 부분집합 U와 V가 존재하여,
U와 V 모두 공집합이 아니고, U∪V=X이며 U∩V=∅를 만족한다는 것이에요.
거리공간 (X,d)가 연결공간(connected space)라는 것은 비연결공간이 아니라는 뜻이에요.
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하지만 우리는 연결됨을 따질 때 이런 생각을 할 수도 있죠.
"주어진 공간의 임의의 두 점을 선으로 연결할 수 있으면 연결된 공간이 아니겠는가?"
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제부터 거리공간 (X,d)에서 d를 명시적으로 활용하지 않는 경우에
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 귀찮음을 줄이기 위해 그냥 X라고 쓰도록 하겠어요
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그래서 이런 정의를 해요.
거리공간 X가 경로연결공간(path-connected space)라는 것은 임의의 x,y∈X에 대해
어떤 연속함수 f:[0,1]∈X가 존재하여 f(0)=x, f(1)=y를 만족하는 것이다.
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／ ／ / ＼ ＼
／ / ﾊ ＼
| Х
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/ / ∧ | /,
/ / |ﾆ∧ | i /,
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그런데 과연 경로연결공간을 정의할 때 사용된 [0,1]은 정말로 연결공간일까요?
만약 [0,1]이 연결공간이 아니라면, 어떤 두 공집합이 아닌 열린 부분집합 U,V⊂[0,1]이 존재해서, U∪V=[0.1]과 U∩V=∅가 성립해야 해요.
그렇다면 {U,V}는 [0,1]의 열린 덮개에요. 그런데 [0,1]은 컴팩트이기 때문에, 열린 덮개 {U,V]에 대한 양의 르벡 수 r이 존재해야 해요.
이제 r>1/n이 성립하는 자연수 n을 선택해요. 그리고, 일반성을 잃지 않고 0∈U이라고 가정해요.
그러면 B_{1/n}(0)=[0,1/n)은 U에 포함되거나 V에 포함되어야 하는데, 0은 V의 원소일 수 없으므로, U에 포함되어야 해요.
따라서 1/n∈U가 성립해요. 마찬가지로 2/n∈U여야 하고, 이렇게 계속 반복하면 결국 n 이하의 모든 자연수 k에 대해 k/n∈U여야 해요.
그러나, 같은 논리를 사용하면, n 이하의 모든 k에 대해 B_{1/n}(k/n)⊂U임을 알 수 있어요.
따라서 [0,1]=∪{B_{1/n}(k/n)|k=1,…,n}⊂U⊂[0,1]이 성립해요. 그러니 [0,1]=U, 즉 V=∅이어야 해요. 모순 !
그래서 [0,1]은 연결공간인 것이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 경로연결이면 연결이다, 직관에도 잘 들어맞죠?
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이제 경로연결인 거리공간은 연결공간임을 증명해 보겠어요.
경로연결공간인데 연결공간은 아닌 거리공간 X가 있다고 가정해요.
그러면 X의 공집합이 아닌 두 열린 부분집합 U,V가 있어서 U∪V=X와 U∩V=∅가 성립해야 해요.
U의 임의의 원소 u와 V의 임의의 원소 v를 선택하면, X가 경로연결이므로, 어떤 연속함수 f:[0,1]->X가 있어서 f(0)=u, f(1)=v여야 해요.
이제 f^-1(U)와 f^-1(V)는 [0,1]의 두 열린 부분집합인데, 그 합집합은 [0,1]이고, 그 교집합은 공집합이 돼요.
그러므로 [0,1]은 비연결공간이어야 해요. 하지만 우리는 [0,1]이 연결공간임을 이미 증명했어요. 모순!
따라서 경로연결공간은 연결공간이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 풀이를 서술하기 까다로운 문제에요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 하지만 참치 여러분은 풀 수 있을 것으로 믿어요
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그러면, 모든 연결공간은 경로연결공간일까요? 물론 그렇지 않아요.
R^2의 부분공간 X={(x,sin(1/x)|x≠0}∪{(0,0)}을 생각하면,
X는 연결공간이지만 경로연결공간은 아닌 것이에요.
연습문제: X가 연결공간이지만 경로연결공간은 아님을 증명하시오
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이제 연결공간의 몇 가지 성질들을 알아보죠!
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먼저 증명할 것은 다음의 성질이에요:
[X가 연결된 거리공간이고 Y가 거리공간이며 둘 사이의 연속함수 f:X->Y가 주어질 때, f(X)는 연결공간이다.]
이 성질을 증명해 보죠. 만약 f(X)가 연결공간이 아니라면, Y의 어떤 공집합이 아닌 두 열린 부분집합 U와 V가 존재해서,
f(X)⊂U∪V와 U∩V∩f(X)=∅가 성립해야 해요. 왜 그럴까요?
그러면 f^-1(U)와 f^-1(V)는 X 안의 공집합이 아닌 열린 부분집합들이고, 그 합집합은 X이며, 교집합은 공집합이 되어야 해요.
따라서 X는 비연결공간이어야 해요. 하지만 X는 연결공간이라고 처음에 가정한 것이에요. 모순!
그러므로 f(X)는 연결공간이어야만 하는 것이에요.
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이번엔 연결공간을 곱하면 어떤 일이 일어나는지 확인해 보도록 해요.
[거리공간 X와 Y가 모두 연결공간이면 그 곱공간 XxY 또한 연결공간이다.]
만약 XxY가 비연결공간이라면, 그 안의 어떤 공집합이 아닌 두 열린 부분집합 U,V가 존재해서 U∪V=XxY, U∩V=∅가 성립해야 해요.
U에 속하는 임의의 원소 (u,v)를 선택해요. 그러면 {y∈Y|(u,y)∈U}와 {y∈Y|(u,y)∈V}는 합집합이 Y이고 교집합이 공집합이에요.
그런데 Y는 연결공간이고 {y∈Y|(u,y)∈U}는 v를 원소로 포함하기 때문에 공집합일 수 없으므로, {y∈Y|(u,y)∈V}=∅이어야 해요.
이것은, 다시 말해서, 모든 y∈Y에 대해 (u,y)∈U라는 것이에요.
이제, 각각의 y∈Y에 대해, {x∈X|(x,y)∈U}와 {x∈X|(x,y)∈V}는 합집합이 X이고 교집합이 공집합인데,
X가 연결공간이고 u∈{x∈X|(x,y)∈U}이기 때문에, {x∈X|(x,y)∈V}=∅이에요. 다시 말해, 임의의 x∈X에 대해 (x,y)∈U가 성립해요.
그런데 이것이 모든 y에 대해서 성립하는 명제이기 때문에, 우리는 U=XxY, 즉 V=∅를 얻어요. 모순!
따라서 XxY는 연결공간이에요.
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경로연결공간에 대해서도 같은 명제들이 성립해요.
[X가 경로연결공간이고 Y가 거리공간이며 f:X->Y가 연속함수이면 f(X)는 경로연결이다.]
[X와 Y가 경로연결공간이면 XxY도 경로연결공간이다.]
첫 번째 성질의 증명은, X의 두 점을 연결하는 경로 g:[0,1]->X가 주어지면 그걸 f와 합성해서 Y에서의 경로를 만들어내는 것으로 끝나요.
두 번째 성질의 증명은, 임의의 두 점 (x,y)와 (x',y')를 연결하는 경로를 찾으면 되는데,
(x,y)와 (x',y)를 잇는 경로와 (x',y)와 (x',y')를 잇는 경로가 각각 존재할 테니, 그 두 경로를 이어붙이면 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 확장된 실수는 실수 또는 ±∞를 말하는 것이에요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 즉, r이 확장된 실수라는 것은, r이 실수이거나 r=∞ 또는 r=-∞임을 말하는 것이죠.
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ R의 임의의 부분집합 S에 대해, sup(S)와 inf(S)는 확장된 실수로서 항상 존재해요.
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ S가 위로 유계이면 sup(S)는 실수로서 존재하고, 그렇지 않으면 sup(S)=∞로 정의하면 돼요.
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′ 마찬가지로 inf(S) 또한 정의할 수 있어요.
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이제 실수공간 R에서 어떤 부분집합들이 연결공간이 되는지 살펴보겠어요.
R 안의 연결된 부분집합 S가 주어져 있다고 하고, 두 확장된 실수 u=sup(S)와 v=inf(S)를 생각해요.
그리고 u 이상 v 이하인 어떤 실수 r을 선택해요.
만약 r∉S라면, S∩(-∞,r)과 S∩(r,∞)는 공집합이 아닌 S 안의 두 열린 부분집합이며, 그 합집합이 S이고, 교집합이 공집합이에요.
그러므로 S는 비연결공간이어야 해요. 모순! 따라서 (u,v)⊂S가 성립해야 해요.
하지만, 최소상한(sup)와 최소하한(inf)의 정의에 의해, S⊂[u,v] 또한 성립해야 해요.
따라서 우리는 S가 하나의 개구간, 반개구간, 혹은 폐구간임을 알게 돼요.
다시 말해, S는 하나의 구간이어야 해요.
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그렇다면, R 안의 임의의 구간은 연결공간일까요?
당연합니다. 왜냐하면, R 안의 임의의 구간 I의 두 원소 r,s를 뽑으면,
f(t)=(1-t)r+ts:[0,1]->I는 f(0)=r, f(1)=s를 만족하는 연속함수가 되므로, I는 경로연결공간이어야 하기 때문입니다.
위에서 우리가 증명했듯이, 모든 경로연결공간은 연결공간이죠.
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따라서 우리는 다음과 같은 결론을 얻습니다.
실수공간의 부분집합 S가 연결공간인 것은 S가 하나의 구간이라는 것과 동치이다.
rヘ ヽ,} _,...........,
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이제 이것을 사용해서 흥미로운 성질을 하나 증명해 볼까요?
[X가 연결공간이고 f:X->R이 연속함수이고, 어떤 x,y∈X에 대해 f(x)≤f(y)이면,
f(x)≤r≤f(y)를 만족하는 모든 실수 r에 대해 어떤 z∈X가 존재하여 f(x)=r이다.]
증명은 아주 쉬워요. X가 연결공간이고 f가 연속함수이므로 f(X)는 연결공간이에요.
그러면 f(X)는 R 안의 연결된 부분집합이므로 하나의 구간이어야만 해요.
f(x)와 f(y)는 f(X)의 원소이고 f(X)가 하나의 구간이므로, [f(x),f(y)]⊂f(X)가 성립해야 해요.
그런데, r∈[f(x),f(y)]이므로, r∈f(X). 따라서 어떤 z∈X가 존재해서 f(z)=r이 성립해요.
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만약 위의 성질에서 X를 폐구간 [a,b]로 놓으면 어떨까요?
[a,b]는 연결공간이므로, 위의 성질을 사용하면, 다음의 명제를 얻어요.
[연속함수 f:[a,b]->R가 주어질 때, f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 실수 r에 대해, 어떤 c∈[a,b]가 존재하여 f(c)=r이다.]
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어라? 이거 고등학교에서 배운 중간값 정리 아냐?
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그렇습니다. 중간값 정리를 증명하기 위해서는 거리구간의 연결성에 대해 알아야 했던 것이죠.
고등학교 수학이 이렇게 무섭습니다!
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이번 강의, 어떠셨나요? 잘 들어주셨다면 감사합니다!
다음 강의는 미분에 대한 내용으로 진행하겠습니다!
[예고] 제 6강: 1변수 함수와 그 미분
이야아─ 이제 고등학교 수학과의 연결고리가 하나 둘 씩 생기고 있어요 ! 감격 !
참치 여러분, 포기하지 마세요 !
안드로이드 2B쨩은 너무나 친절한 것이에요─(아냐)
벌써 일변수 함슈라니 ㄷㄷㄷㄷ:;;
컴팩트를 지금 정의할 필요가 있을까 싶긴한데, 이건 다변수해석이나 위상수학 가서 정의해도 안늦다고 생각해요
동치 라고 불리는 ~ 어렇게 생긴 함수 가 있다고 가정하는겁니다.
함수라고 했으니 어떠한 관계성을 지녀야겠지요. 흔히 고등학교에서 보던 실수를 실수로 보낸다는 것 같은 관계성을 말이지요
그게 어장주님이 말한 3가지 조건입니다.
0. 먼저 ~는 S X S 를 S로 보내는 함수이다. (S는 임의의 집합으로 이해하기 쉽게 실수같은거라 생각하시면 됩니다.)
즉 (a,b)가 c로 가는데 abc모두 S의 원소인것이지요
1. a~a 가 연산 가능하다.
2. a~b가 b~a 랑 동일하다.
3. a~b 이고 b~c 가 가능하면 a~c도 가능하다.
1학년 2학기 혹은 2학년 1학기에 배우는 이 실수공리는 참 사람 멘붕시키기 좋습니다. 그 뒤의 입델을 이용한 극한의 엄밀한 정의같은게 더 꽃이지만요
실수라는건 "완비성 순서 체" 입니다.
즉 체의 성질을 가지며, 순서를 가지고, 완비성을 지니는 집합. 이것이 실수라고 우리가 불러왔던 놈이지요
먼저 체라는걸 정의하도록 합시다.
R, 즉 실수가 체라는것은 다음과 필요충분조건을 가집니다. (필충조건은 고등학교때 배웠습니다. 양쪽으로 화살표 나있는 그거요)
특정한 이항연산 +(덧셈) 과 X(곱셈)이 실수에 정의되어 있어서 아레의 조건을 만족하면 됩니다.
( 이때 이항연산이라는 것은 R에 있는 a와 b를 연산하면 다시 R에 있는 놈이 나와야한다는 것입니다. 알기쉬운걸로는 무리수에서 곱셈은 이항연산이 될수 없지요. loot2랑 loot2를 곱하면 무리수가 아니니까요)
1. 모든 a, b, c에 대해 (a+b)+c=a+(b+c) (덧셈의 결합법칙)
2. 실수위에 0이란것이 존재해서, 모든 a에 대해 a+0=a=0+a 를 만족한다. (덧셈의 항등원)
3. 모든 a에 대해 특정한 b가 존재하여 a+b=0=b+a 를 만족한다. 이때 b를 -a라고 한다 (덧셈의 역원)
(계속)
(고등학교까지 당연하다고 생각한 이 교환이 된다는성질은 전혀 당연하지 않은 법칙이기도 하지요, 대수학같은곳에서 교환이라도 성립해주면 참 고맙게 증명을 할수 있어요)
5. 모든 a, b, c 에 대해 a(bc)=(ab)c 이다. (곱셈의 결합법칙)
6 실수위에 0이 아닌 또다른 수 1이 존제해서, 모든 a에 대해 a x 1 = a = 1 x a 를 만족한다. (곱셈의 항등원)
7. 모든 a,b 에 대해 ab=ba 를 만족한다 (곱셈의 가환성)
8. 모든 0을 제외한 실수 a에 대해 ab = 1 = ba 를 만족시키는 b가 항상 존제한다.
9. 모든 a, b, c에 대해 (a+b)c = ac + bc 이다 (분배법칙)
그 다음으로 순서공리 입니다.
집합이 순서를 가진다는건 무슨 의미인지 살펴보겠습니다.
우선 < 를 집합 위에 정의할수 있습니다 ( 이 때 유의점은 < 만 있습니다 , =< 나 > 이거는 나중에 정의하게 됩나다.)
그레서 특정한 4가지 성질을 만족하면 그 집합은 순서를 가집니다.
2. 모든 a, b, c에 대해 a<b 이고 b<c 이면 a<c 가 됩니다
3. 모든 a, b, c 에 대해 a<b 이면 a+c < b+c 를 만족합니다..
4. 특정한 a, b , c 가 a<b 이고 0 < c 일 경우에 ac < bc를 만족합니다.
이것이 순서를 가진다는 계념입니다.
실수의 부분집합인 E가 bounded above (위로 유계) 이면 , supE (최소상계) 가 존제하여 이는 실수위에 있다.
수학적 기호는 되도록 사용하지 않고 풀어 쓰면 다음과 같은 공리입니다
이걸 알아야 완비성공리를 논할수 있겠지요
먼저 위로 유계는 다음과 같이 정의됩나다.
실수의 부분집합 E가 위로 유계이다. <=> 특정한 M이 실수위에 있어서 E에 속하는 모든 수들은 이 M을 넘지 못한다. 즉 e=<M 이다. 는 것이지요
sup(슈프리멈) 은 좀더 재밌는 계념이지만 여기까지만 정의해도 문제가 없기에 다음기회로 넘기겠습니다,
이걸로 실수를 정의 할 수 있습니다.
즉 실수는 위의 3가지 조건을 모두 만족해야하는것이지요.
유리수가 조밀하다는것은
특정한 유리수 a, b 를 어떻게 잡든 a랑 b 사이에 c라는 유리수가 존제할수밖에 없다. 이것이 유리수의 조밀성입니다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 고마워요 학부생참치
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 참치들의 이해에 도움이 되면 좋겠네요
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제 6강을 시작하기 전에, 1변수 함수의 극한부터 정의하고 갈까요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 비슷한 방법으로 우극한과 좌극한도
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 정의할 수 있겠죠
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
거리공간 X와 어떤 (연속이 아닐 수 있는) 함수 f:(a,b)->X가 주어질 때,
어떤 c∈(a,b)에서 함수 f의 극한이 존재한다는 것은 어떤 x∈X가 존재하여
모든 양수 ε에 대해 어떤 양수 δ이 있어서 |r-c|<δ인 모든 r∈(a,b)에 대해 d(f(r),x)<ε라는 것이에요
여기서 x는 함수 f의 c에서의 극한이라고 하고, lim_{r->c} f(r)=x라고 표기하는 거에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이 정의는 위에서 말한 1변수 함수의 극한, 좌극한, 우극한 모두를 포함하는 정의이죠
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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똑같은 방법으로 두 거리공간 X,Y 사이의 함수 f:X->Y의 특정한 점 x∈X에서의 극한도 정의할 수 있어요
어떤 x∈X에서 f의 극한이 존재한다는 것은 어떤 y∈Y가 존재하여 모든 양수 ε에 대해 어떤 양수 δ이 있어서
f(B_δ(x))⊂B_ε(y)가 성립한다는 것. 이 때 우리는 y를 점 x에서의 함수 f의 극한값이라고 하며,
[p->x일 때 f(p)->y]라고 표기합니다. 물론 극한값이 존재하면 유일합니다.
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>>297 컴팩트를 이야기한 이유는 1변수 리만적분 할 때 써먹을 예정이라 그렇습니다
특히 리만적분가능의 필요충분조건이 가산 개의 비연속점을 가지는 것이라는 정리를 보일 때
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저처럼 해석학을 싫어하는 대학원생이 되더라도
수학과 처음 들어올 때 해석학 개론은 어렵게 배워야 해요
그런 의미에서 1변수 이론에서 다룰 수 있는 토픽은 최대한 다룰 거에요
Stone-Weierstrass나 Arzela-Ascoli도 죄다 짚고 넘어가야죠
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아 맞다 무한대로 가는 극한을 정의하지 않았네요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 실수 실수
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거리공간 X와 어떤 (연속이 아닐 수 있는) 함수 f:(a,∞)->X가 주어질 때,
∞에서 함수 f의 극한이 존재한다는 것은 어떤 x∈X가 존재하여
모든 양수 ε에 대해 어떤 양수 K가 있어서 r>K인 모든 r∈(a,∞)에 대해 d(f(r),x)<ε라는 것이에요
여기서 x는 함수 f의 ∞에서의 극한이라고 하고, lim_{r->∞} f(r)=x라고 표기하는 거에요
∞에서의 극한 말고 -∞에서의 극한도 비슷하게 정의할 수 있어요
문예창작과 출신에 수학지식은 덧셈 뺄셈 곱하기
나누기밖에 모르거든
근데 아버지가 경영하시는 회사에 품질관리팀이
공금횡령 짓을 계속해서 골치라면서 나보고
품질관리사 자격공부하라고 책 던져줬어
문제는 수학 파트야
정규분포와 확률
뭔 개소린지 모를 기호가 난무하는데 아버지는
그냥 외우기만 하래
근데 난 진짜 수학은 경기를 일으켜
설명이 교재에 나와있긴 한데 뭔 개소린지 모르겠어
수학지능이 초딩수준인데 어쩌지
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 해석학은 학부때 함수해석까지 다 들었지만
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 확률론은 여전히 적응이 안됩니다
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>>324 어....음..... 힘내세요, 무명 참치 님 !
저는 3차원 위상수학 전공하는 수학과 대학원생이지만
확률론과 통계에 대해서는 완전히 문외한이랍니다 !
<제 6강 : 1변수 함수와 그 미분>
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도-모, 참치 여러분, 빅-수학빌런입니다.
이번 강의에서 우리는 드디어! 1변수 실수함수의 미분에 대해 알아보는 시간을 가질 것이에요!
이야─먼 길을 돌아서 드디어 고등학교 수학으로 안착했네요! 이제 더 이해가 쉬울 것이 분명해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 처음으로 할 정의는
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 모든 고등학생이 알 만한 정의
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 여기서 a,b는 확장된 실수
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어떤 함수 f:(a,b)->R이 점 c∈(a,b)에서 미분가능하다는 것은
(a,b)에서 정의된 실수함수 g(x)=((f(x)-f(c))/(x-c) if x≠c, 0 if x=c)가 c에서 극한값을 갖는다는 것.
그 극한값을 우리는 c에서 g의 미분계수 g'(c)라고 해요.
주어진 함수 f가 모든 c∈(a,b)에서 미분가능할 때 우리는 f가 미분가능이라고 합니다.
이 때 x->f'(x)는 (a,b)에서 정의된 실수함수가 되고, 그 함수를 우리는 f의 도함수 f'라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 물론 C^0 함수는 연속함수를 의미합니다
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만약 f:(a,b)->R이 미분가능하고 f'가 연속일 때 우리는 f가 C^1 함수라고 해요.
귀납적으로, 만약 f가 미분가능하고 f'가 C^k 함수일 때 우리는 f가 C^{k+1} 함수라고 해요.
만약 f가 무한번 미분가능하면 우리는 f가 C^∞ 함수라고 해요.
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그렇다면 여기서 질문. 혹시 C^1 함수는 미분가능함수와 같은 말일 수 있지 않을까요?
다시 말해, f:(a,b)->R가 미분가능하다면, 그 도함수 f'는 항상 연속일까요?
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￣＼:.:.:.:.:.:.:.:.:＼ ｀ヽ
／ ＼:.:.:.:.:.:.:.:.:| ヽ
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| Y/ } |
i| 丶 ､ | イ / 丿 ∧|
ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
､＼ ヽ､＼ | ／ / / /
卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
〈=======[================＞===､
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절대 아닙니다
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|: : : : : : : | .| .| .|. 〃t._..ィ:::ヽ.＼ ヽ | |
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실수공간 전체에서 정의된 실수함수 f(x)=x^2 sin(1/x)를 생각해요 !
그러면 f'(0)=0이고 임의의 x≠0에 대해 f'(x)=-cos(1/x)가 되지요.
그런데, 임의의 양수 δ에 대해, 1/2πδ보다 큰 자연수 N을 하나 잡으면,
1/2πN<δ이고 |f'(1/2πN)|=1>|1/2-f'(0)|이기 때문에, f'는 0에서 연속이 아닌 것이죠 !
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이제 우리는 1변수 미분가능함수의 몇 가지 성질들을 알아보겠어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 먼저 가장 기초적인 성질들부터!
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 증명은 입실론 델타 잘 쓰면 돼요 딱 미적분학 수준이죠
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[f가 미분가능하고 c가 실수이면 cf는 미분가능]
[f와 g가 미분가능하면 f+g와 fg 모두 미분가능]
[f와 g가 미분가능하고 f의 상이 g의 정의역에 포함되면 g∘f는 미분가능하며 (g∘f)'(x)=g'(f(x))f'(x)]
매우 기초적인 성질들이죠. 증명은 참치 여러분께 맡깁니다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' f:(a,b)->R이 c∈(a,b)에서 극값(local extremum)을 갖는다는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 어떤 양수 ε가 존재하여 모든 x∈(c-ε,c+ε)∩(a,b)에 대해
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ [항상 f(x)≤f(c)이거나] [항상 f(x)≥f(c)이다] 라는 뜻이에요
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ 전자가 성립하면 극대값(local maximum), 후자가 성립하면 극소값(local minimum)
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첫 번째로 증명할 것은─[미분가능한 함수 f:(a,b)->R이 c∈(a,b)에서 극값을 가지면 f'(c)=0이다]
증명은 아주 간단해요. 일반성을 잃지 않고 f가 c에서 극대값을 갖는다고 가정해요.
그러면, min(b-c,c-a)보다 작은 어떤 양수 r가 있어서 0<c-x<r인 모든 실수 x에 대해 (f(x)-f(c))/(x-c)≥0이고,
임의의 양수 ε에 대해 어떤 양수 s가 있어서 |c-x|<s인 모든 x∈(a,b)에 대해 |f'(c)-(f(x)-f(c))/(x-c)|<ε이 성립해야 하므로,
|c-x|<min(r,s)인 임의의 실수 x를 선택하면, f'(c)>(f(x)-f(c))/(x-c)-ε≥-ε가 성립해야 해요.
따라서, f'(c)는 어떤 음의 실수보다도 큰데, 이것은 f'(c)≥0을 의미하는 것이에요.
이제, 0<x-c<r인 실수 x에 대해 비슷한 논증을 거치면 f'(c)≤0을 증명할 수 있어요. 따라서 f'(c)=0이어야 해요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 함수 f:[a,b]->R이 (a,b)에서 미분가능하다는 것은
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' f를 (a,b)에서 R로 가는 함수로 생각했을 때 미분가능하다는 뜻
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이제 증명할 것은 Rolle의 정리!
[실수 a,b에 대해 어떤 연속함수 f:[a,b]->R이 (a,b)에서 미분가능하고 f(a)=f(b)=0이라면 어떤 c∈(a,b)가 존재하여 f'(c)=0.]
이것도 증명은 간단해요. [a,b]가 컴팩트이고 f가 연속이니까 f는 [a,b]에서 최대값 M과 최소값 m을 가져요.
당연히 M≥0≥m이에요. 그런데, 만약 M=m=0이라면, 이것은 함수 f가 상수함수 f=0이라는 말이 돼요.
그러면 임의의 c∈(a,b)가 문제의 조건 f'(c)=0을 만족하겠죠? 따라서 M>0 또는 m<0이라고 가정할 수 있어요.
일반성을 잃지 않고 M>0이라고 가정해요. 그러면, f(r)=M인 r∈[a,b]를 잡으면, f(a)=f(b)=0이기 때문에, r≠a,b이므로 r∈(a,b)이에요.
그런데 r은 최대값이므로 극대값이에요. 따라서 f'(r)=0이네요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번에는 평균값 정리를 증명해 보도록 해요
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[평균값 정리: 실수 a,b에 대해 어떤 연속함수 f:[a,b]->R이 (a,b)에서 미분가능하면 어떤 c∈(a,b)가 존재하여 f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)]
이것의 증명은 그냥 함수 g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)에 대해 Rolle의 정리를 쓰면 돼요.
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아까 우리는 반례 f(x)=x^2 sin(1/x)를 통해 미분가능한 함수의 도함수가 연속이 아닐 수 있음을 배웠어요.
하지만 도함수가 연속은 아니더라도 연속 비스무리한 성질은 성립하는 것이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 어떤 함수가 Darboux 연속이라는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그 함수가 중간값 정리를 만족시킨다는 것
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어떤 함수 f:(a,b)->R이 Darboux 연속이라는 것은 임의의 구간 [r,s]⊂(a,b)
그리고 f(r)과 f(s) 사이에 있는 임의의 실수 c에 대해 어떤 t∈[r,s]가 존재하여 f(t)=c라는 것
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이제 우리가 증명할 것은─ [미분가능한 함수 f:(a,b)->R의 도함수 f'는 Darboux 연속이다.]
폐구간 [r,s]⊂(a,b)를 잡고 f'(r)과 f'(s) 사이에 있는 임의의 실수 c를 생각해요. 일반성을 잃지 않고 f'(r)<c<f'(s)라고 하도록 해요.
이 때, 함수 g(x)=f(x)-cx를 생각해요. [r,s]는 컴팩트이므로 g는 어떤 x∈[r,s]에서 최소값을 가져요.
그런데 g'(r)=f'(r)-c<0이므로, 어떤 양수 ε가 존재해서 r+ε∈[r,s]이고 g(r+ε)>g(r)이어야 해요. 왜?
따라서 x≠r이에요. 비슷한 논리로 x≠s 또한 성립해야 해요. 따라서 우리는 x∈(r,s)라는 사실을 알게 되었어요.
이제 x는 함수 g의 (r,s)에서의 최대값이므로 극대값이어야 해요. 그러므로 g'(x)=0, 즉 f'(x)=c에요. 증명 끝!
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|: : : : : : : | ＜三¨ ｀ ‐- _ _ -‐ / ＞ ´ |. /
|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
그러니, 우리는 다음과 같은 사실을 알게 되었어요.
[실수공간에서 정의된 실수함수 g(x)=(x=0일 때 0, x≠0일 때 -cos(1/x))는 Darboux 연속이지만 연속은 아니다.]
신기한 것이에요 ! 연속함수는 중간값 정리를 만족하지만 중간값 정리를 만족한다고 연속함수는 아닌 것이에요 !
rヘ ヽ,} _,...........,
＼乂ｆ ｀`～､、
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/ .∧ :.. メ、ヽ ∨ ∨
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; ',::|三三込、 ＼::::..._,. /:::.. ;
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八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
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이번 강의는 여기까지입니다 ! 정말로 고등학교 수학 스러웠네요 !
유난히 쉬웠던 강의이니 참치 여러분 또한 쉽게 이해하실 거라고 믿어요 !
다음 강의에서는 테일러 전개에 대해 배워 보도록 하죠 !
[예고] 제 7강 : 1변수 실수함수의 테일러 전개
3일 출장인고로
1학년 1학기 2단원과 3단원까지
내일과 모레는 확실히 못 남기니
의외로 입체도형이 평면도형보다 먼저 나오는데 정상이다
당장 주위를 둘러보면 보이는 모든 것이 입체인데 당연히 익숙한 것이 입체일 수 밖에 없다
1은 일 이라 읽고 1이라 쓴다는 약속하기와는 살짝 맥락이 다르다
이 단원에서는 자신들만의 약속이 들어가기 때문이다.
직육면체를 상자모양 원기둥을 기둥모양 구를 공모양으로 약속하지만 이는 어디까지나 예시일 뿐이며 다른 용어로 약속을 해도 상관없다
이것이 수학이라는 학문에 있어서 '약속하기'가 지닌 절대성을 지도 하는 방법이다.
>>349 호오.... 정의가 무엇인지 알려주는 방법이군요. 신기해라....
특히 같은 뾰족한 부분이 있고 잘 쌓을 수 있는 특징이 있는 모양, 평평한 부분과 둥근 모양이 다 같이 있는 모양, 잘 굴러가고 평평하고 뾰족한 부분이 없는 모양의 물체 형태가 다양할 수 있음을 알게 하기 위해서는 직접 만지게 하는 구체물을 다양하게 제시해야 한다.
이 분류하기는 확률과 통계(2015 교육과정. 자료와 가능섬) , 도형, 수와 연산, 측정, 규칙성 등 초등 수학 5대 영역 지도를 할 때 무한히 반복하여 나오는 것이다. 여기서 실수하면 바로 가르기와 모으기도 안 된다!
기둥모양을 눕히면 공모양이라고 한다.
이 오개념을 정상개념으로 수정인식하게 하려면
아무튼 구체물을 많이 만지게 하는 수 밖엔 없다.
대망의 오개념 천국.
덧셈과 뺄셈.
이 부분 때문에 수학에 대한 공포심이 생긴다고 장담한다.
선행학습을 한 애들 조차 모으기와 가르기는 헷갈리는 경우가 상당하다.
그런 아이들은 1+4=5 는 배우지만 1과 4를 모으면 5가 된다는 배우지 않기 때문이다.
바둑돌 만세!
12
---->3
21
식으로 모으기와 가르기를 정리하기는 하지만
이걸 정리하기 전에 아무튼 반복 구체 조작이 우선이다
드디어
기대하고
고대하고
사랑하는
모든 수학도들의 로망
+ - = 이 정의된다
수학은 곧 숫자에 대한 약속과 기호에 대한 약속, 그리고 용어에 대한 약속이 알파이자 오메가인 학문이다.
- 는 빼기와 차
= 은 ~와 같다 와 ~입니다 로 정의하는데
합 차 개념이 벌써 나오는 건 외우라는 것 말곤 다른 뜻이 없지 않을까
국어에서 ㄱ+ㅏ=가 등으로 이루어진 표가 이미 제시된 지 오래이기 때문에 별 문제가 없어 보이지만
그건 국어고 이건 수학이다. 엄연히 수학에서의 표는 한참 나중에 나오는 영역인데...
교과서와 지도서 부터 법령을 무시하다니 역시 대단하다
♡♡♡♡♡
♡♡
를 빼면
♡♡♡♡♡♡♡로 만드는 것이다.
빼기를 더하기로 하는 건데 이 때 학생에게 물어보면 9할은 이리 답한다
♡그림이 7개 라서 7을 썼어요!
보이는 게 전부이다.
하지만 교과서는 더하기 빼기를 그림과 숫자로만 지도한다
가르기와 모으기에서 한 구체물 조작은 어디서 버린거냐...
+0 -0
아무것도 없음을 '더하'거나 '뺀'다는 걸 이해못하는 경우가 상당하다.
왜 0을 더해야하는지 빼야 하는지를 이해하지 못한다는 것이다.
수에 변화가 없는데.
이는 나중에 나오는 위치적 기수법과 100까지의 수에 필수이기 때문이다.
고로 다음에 설명하겠다. 오늘의 초등 수학 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 제 7강 하기 전에 짚고 넘어가야 하는 것
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 명제의 국소성
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거리공간 X 위에서 어떤 명제 P가 있을 때, 거기에 [국소]라는 단어를 붙여서,
[어떤 x∈X 주위에서 국소적으로 P]라는 명제를 만들면,
그것은 [어떤 양수 ε가 존재하여 P가 B_ε(x)에서 성립한다]라는 뜻이 돼요
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그리고 [X에서 국소적으로 P]라는 것은 모든 x∈X 주변에서 국소적으로 P라는 뜻입니다
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예를 들어서 거리공간 X가 국소컴팩트(locally compact)라는 것은
임의의 x∈X에 대해 어떤 양수 r이 존재해서 cl(B_r(x))가 컴팩트라는 것
어떤 함수 f:X->R이 국소적으로 상수(locally constant)라는 것은
임의의 x∈X에 대해 어떤 양수 r이 존재해서 f가 B_r(x)에서 상수함수라는 것
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더 쉬운 예를 들어보면
어떤 함수 f:X->R이 국소적으로 최대인 것은 극대라는 것과 동치
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하지만 어떤 성질들은 원래부터 [국소적입니다]
어떤 성질이 성립하는 것과 그 성질이 모든 점에서 국소적으로 성립하는 것이 동치일 때 그 성질을 우리는 [국소적 성질(local property)]라고 합니다
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예를 들어서 연속성은 국소적입니다. 미분가능성 또한 국소적입니다.
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이걸로 참치분들이 국소성에 대해 이해하실 수 있다면 좋겠네요 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아 그리고 이 이야기를 안 했네
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
f,g가 미분가능한 함수면 (fg)'=f'g+fg'죠?
증명은 쉬우니까 참치분들께서 스스로 하는 것으로 해요 !
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 본 강의가 아니니 상관 없지만
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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아 >>318에서 말을 잘못 했네요
가산 개의 불연속점이 아니라 불연속 집합이 measure zero
<제 7강: 1변수 실수함수의 테일러 전개>
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＿ , ´ 弋㌧｀ ＜
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| t .| ∨ゝ _ ゝ::/ ＼. ＼ / |
| ヽ i ｀ ― ´ ′ ヽ ヾ､ / .|
t ＼.|⊂⊃ ゝ- ^ - ィ ＼ .i.ヽ / | 로피탈 정리는 안 할 꺼야
t.ヽ i ･ ヾ i / / ! 궁금하면 스스로 증명
ヽ| ＼ .|､ /i / ／ ./
＜三¨ ｀ ‐- _ _ -‐ / ＞ ´ |. /
,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
=s｡. -－ ヽ三三三三;j＞::::´::ー－－::´＜三j三三三{
_ .｡-≧三三三三i三三三=/仆::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/i三三三炒
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ゝ::_::::::::＼＿...／〃 ／三ヽi|三三三≧:. _ .:≦三=|三孑X´
￣ヽ:::::／ /斧ヽ.. ＼三=i/ヽ . 三三三三三三三三;|｀ ¨´=|
ゝ.′ <三三斧－-ゝ=丿三三｀ －―― - -- .´i三三=|
｀ - ― ´￣/三三三三三三三三三三∧三三;ヽ.
{三三三=;/三ヽ三ヽ三三三三ヽ三三三;∧仆个´
. ゝ三三=/三三ヽ三=ヽ三三三三=ヽ三三=∧ |
ゝ三;;/三三三ヽ三=;ヽ三三三三三=ヽ三=∧!
∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
ゝ三三三三三三三三三三三三三三三三彡
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도-모, 참치 여러분, 수학빌런이 돌아왔어요!
이번 강의는 고등학생들의 필수품, 테일러 전개예요!
이야─ 이거 또 고등학교 수학이네요! 쉬운 강의가 될 것이에요!
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하지만 테일러 전개를 하기 위해서는 신박한 정리가 하나 필요해요!
그것은 바로─ 코시의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem)!
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코시의 평균값 정리는 이런 거예요.
[두 연속함수 f,g:[a,b]가 (a,b)에서 미분가능하고 g(a)≠g(b)일 때,
어떤 c∈(a,b)가 존재해서 f'(c)/g'(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))를 만족한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명을 해 보도록 해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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증명은 아주 쉬워요. 함수 h(x)=f(x)-g(x)(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))를 생각해요.
그러면 h(b)-h(a)=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a))(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=0이니까, h(a)=h(b)에요.
이제 H(x)=h(x)-h(a)를 생각하면 H(a)=H(b)=0이므로, Rolle의 정리에 의해 어떤 c∈(a,b)가 있어서 H'(c)=0이어야 해요.
그런데 H'(x)=f'(x)-g'(x)(f(b)-f(a))/(g(b)-f(a))이므로, f'(c)/g'(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))인 것이에요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 테일러 전개!
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ f의 k계 도함수를 우리는 f^(k)라고 씁니다
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
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테일러 정리(평균값 형태):
[함수 f:[a,x]->R이 어떤 자연수 k에 대해 (a,x)에서 k+1번 미분 가능하고, f^(k)가 [a,x]에서 연속이면,
어떤 c∈(a,x)가 존재하여 f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+…+f^(k)(x)(x-a)^k/k!+f^(k+1)(c)(x-a)^{k+1}/(k+1)!이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 증명을 해야겠죠
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 아이디어는 텔-레-스-코-핑
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 참고: 우리는 함수 F(r) 그리고 G(r)=(x-r)^k에 대해 코시의 평균값 정리를 씁니다
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
증명은 간단해요 (이 소리 요즘 좀 많이 하는 것 같지만 신경쓰지 마세요!)
함수 F(r)=f(r)+f'(r)(x-r)+…+f^(k)(r)(x-r)^k/k!를 생각해요.
그러면 그 도함수는 F'(r)=f'(r)+(f''(r)(x-r)-f'(r))+…+(f^(k+1)(r)(x-r)^k/k!-f^(k)(r)(x-r)^{k-1}/(k-1)!)=f^(k+1)(r)(x-r)^k/k!이에요
그리고 F(x)-f(a)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-…-f^(k)(a)(x-a)^k/k!가 성립해요.
이제 코시의 평균값 정리에 의해 어떤 c∈(a,x)가 존재해서─
(f^(k+1)(c)(x-c)^k/k!)/(k+1)(x-c)^k=-(f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-…-f^(k)(a)(x-a)^k/k!)/(x-a)^{k+1}가 성립해요.
이것을 정리하면 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+…+f'(k)(a)(x-a)^k/k!+f^(k+1)(c)(x-a)^{k+1}/(k+1)! 이 돼요. 증명 끝!
rヘ ヽ,} _,...........,
＼乂ｆ ｀`～､、
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八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
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어때요? 아이디어 하나만 잘 잡으니 증명이 너무 쉬워졌죠?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번에는 테일러 정리(일반적 형태)
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테일러 정리(일반적 형태):
[함수 f:(a,b)->R가 k번 미분 가능하면 임의의 c∈(a,b)에 대해 다음이 성립한다:
lim_{x->c} (f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)-…-f^(k)(c)(x-c)^k/k!)/(x-c)^k=0.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이것도 증명은 쉬워요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
쉬운 증명이라도 굳이 해 보자면─
f가 k번 미분 가능하므로, 임의의 충분히 큰 자연수 N에 대해, 어떤 r_n∈(c-1/N,c+1/N)이 존재하여,
모든 x∈(c-1/N,c+1/N)에 대해, f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)-…-f^(k-1)(x-c)^{k-1}/(k-1)!=f^(k)(r_n)(x-c)^k/k!가 성립해요.
그런데 f가 k번 가능하다는 것은 f가 C^{k-1}, 즉 k-1계도함수 f^(k-1)이 연속이라는 것이므로,
극한 N->∞를 취할 때 f^(k)(r_n)는 f^(k)(c)로 수렴해야겠지요.
따라서 우리는 lim_{x->c} (f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)-…-f^(k-1)(x-c)^{k-1}/(k-1)!)/(x-c)^k=f^(k)(c)/k!를 얻어요.
이제 양변에서 f^(k)(c)/k!를 빼 주면 테일러 정리를 얻는 것이에요!
rヘ ヽ,} _,...........,
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그러니까, 이 어장을 보고 계신 참치 여러분,
이제 여러분은 테일러 정리를 배우셨으니,
앞으로 테일러 전개를 할 때 그냥 전개만 하고 끝내지 마시고,
테일러 정리가 알려주는 오차에 대한 제한을 사용해 더욱 엄밀한 논증을 해 보세요!
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이번 강의는 매우 짧고 쉽고 고등학교스러웠지요? 해석학 개론의 미분 파트가 원래 좀 재미없어요.
하지만 이제 그것도 끝입니다! 다음 강의에서 우리는 적분을 배울 거에요!
각오해주세요! 누루후후후후─우후후후후후후─
[예고] 제 8강: 1변수 리만 적분에 대해
고교수학도 이제 당분간 아웃인 것이에요- 누루후후후후-
안그래도 내용 따라가려면 머리에 부하가 걸리는 내용인데 가독성까지 떨어지면 더 어렵게 느껴지거든.
설명해주는 걸 읽고 눈에 익은 형태로 다시 적어가면서 내용을 따라가야 할까.
>>392 앞으로는 그런 일은 드물 거에요. 테일러 전개가 짜증나게 식이 길죠.
<제 8강 : 1변수 리만 적분에 대해>
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도-모, 또 하나의 강의를 들고 온 수학빌런=데스.
이번 강의에서 우리는 1변수 실수함수의 리만적분에 대해서 알아볼 거에요!
우와! 적분 한다! 우와!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 먼저 몇 가지 정의를 해야 해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
어떤 폐구간 [a,b]의 [분할(partition)]이라는 것은 a=x_0<x_1<…<x_n=b를 만족하는 유한집합 {x_0,…,x_n}⊂[a,b]예요.
그리고 어떤 폐구간 [a,b]의 분할 P=(a=x_0<…<x_n=b)에 대한 [점 선택]이라는 것은,
각각의 자연수 i=0,…,n-1에 대해 [x_i,x_{i+1}]∩T가 정확히 한 개의 원소를 갖는 부분집합 T⊂[a,b]예요.
이해를 돕기 위해 조금 더 설명해 보면, [a,b]의 분할 P와 P에 대한 점 선택 T에 대해, 우리는 P={x_0,…,x_n}, T={t_0,…,t_{n-1}},
a=x_0<…<x_n=b, x_0≤t_0≤…≤x_{n-1}≤t_{n-1}≤x_n이 되도록 실수 x_0,…,x_n,t_0,…,t_{n-1}∈[a,b]를 잡을 수 있어요.
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편의를 위해 [a,b]의 모든 분할들의 집합을 P[a,b], 분할 P의 모든 점 선택들의 집합을 T(P)라고 할게요.
그리고, 분할 P∈P[a,b]에 대해 mesh(P)=max (x_{i+1}-x_i)를 정의해요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 유계 실수 수열이 주어질 때 그것이 수렴하는 부분수열을 가짐을 보이기 위해
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 우리는 그 lim sup, 즉 "최소상한들의 최대하한"을 생각했죠?
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ U(f)라는 것도 그것과 비슷하게 보면 돼요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제, 임의의 함수 f:[a,b]->R이 주어질 때, 임의의 P=(a=x_0<…<x_n=b)∈P[a,b]와 T={t_0,…,t_{n-1}}∈T(P)를 선택하고,
S(f,P,T)=∑(x_{i+1}-x_i)f(t_i)를 정의해요.
그리고, 만약 f가 유계라면, U(f,P)=∑(x_{i+1}-x_i)sup f([x_i,x_{i+1}]), L(f,P)=∑(x_{i+1}-x_i)inf f([x_i,x_{i+1}])를 정의하고,
U(f)=inf {U(f,P)|P∈P[a,b]}, L(f)=sup {L(f,P)|P∈P[a,b]}
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이제, f가 리만 적분 가능하다는 것은, 어떤 실수 K가 존재해서, 임의의 양수 ε에 대해, 어떤 양수 δ가 있어서,
mesh(P)<δ를 만족하는 임의의 P∈P[a,b]와 그에 대한 임의의 T∈T(P)에 대해, |S(f,P,T)-K|<ε가 성립한다는 뜻이에요.
이 때, K를 바로 [a,b]에서 f의 리만적분값이라고 하고, ∫_[a,b] f라고 써요.
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그리고, f가 Darboux 적분 가능하다는 것은, f가 유계이고 U(f)=L(f)라는 뜻이에요.
이 때, 그 공통된 실수 U(f)=L(f)를 우리는 f의 Darboux 적분값이라고 해요.
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ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
､＼ ヽ､＼ | ／ / / /
卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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여러분이 아는 적분은 보통 리만적분밖에 없을 거에요. 그런데 왜 Darboux 적분이 나왔을까요?
이제부터 그 이유를 알아봅시다.
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먼저, 가장 기초적인 성질: [f:[a,b]->R이 리만적분가능이라면 유계이다.]
증명을 위해 f가 리만적분가능하지만 유계이지 않다고 가정해 봐요. 그 리만적분값을 K라고 해요.
그러면 어떤 양수 r이 있어서 mesh(P)<r인 모든 P∈P[a,b]와 모든 T∈T(P)에 대해 |S(f,P,T)-K|<1/2이 성립해야 해요.
이제 mesh(P)<r인 P=(a=x_0<…<x_n=b)∈P[a,b] 하나를 고정하면, 임의의 T,T'∈T(P)에 대해 |S(f,P,T)-S(f,P,T')|<1이어야 해요.
그런데, f는 [a,b]에서 유계가 아니므로, 어떤 i가 존재해서 f가 [x_i,x_{i+1}]에서 유계가 아니어야 해요.
따라서 어떤 t_i,t'_i∈[x_i,x_{i+1}]이 존재해서 |f(t_i)-f(t'_i)|>1/(x_{i+1}-x_i)가 성립해야 해요.
이제 j≠i, 0≤j<n인 모든 자연수 j에 대해 어떤 t_j=t'_j∈[x_j,x_{j+1}]를 고정하고, T={t_k|0≤k<n}, T'={t'_k|0≤k<n}을 생각하면,
우리는 |S(f,P,T)-S(f,P,T')|=(f(t_i)-f(t'_i))(x_{i+1}-x_i)<1을 얻어요. 모순 !
따라서 리만적분가능인 함수는 항상 유계인 것이에요.
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이제야 우리는 리만적분가능성과 Darboux 적분가능성의 비교를 시도할 수 있게 되었어요.
왜냐면 둘 모두 유계인 함수들에 대해서만 생각할 수 있음을 알게 되었기 때문이에요.
그렇다면, 어떤 유계함수 f:[a,b]->R에 대해, f가 리만적분가능인 것과 Darboux 적분가능인 것 사이에는,
과연 어떤 관련이 있는 걸까요? 이제부터 그걸 알아보도록 해요.
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어떤 리만적분가능 함수 f:[a,b]->R이 있다고 해요. 그러면 f는 유계이므로 U(f)와 L(f)가 정의되어요.
f의 리만적분값을 K라고 해요. 그러면 임의의 양수 e에 대해 어떤 양수 r이 있어서,
mesh(P)<r인 모든 P∈P[a,b]와 임의의 T∈T(P)에 대해 |S(f,P,T)-K|<e가 성립해야 하죠.
이제, U(f)의 정의에 의해, 어떤 P∈P[a,b]에 대해 U(f)≤U(f,P)<U(f)+e가 성립해야 해요.
주어진 분할 P에 점을 더 추가해서 mesh(P')<r이고 P⊂P'인 분할 P'∈P[a,b]를 만들면,
당연히 U(f,P')≤U(f,P)이므로, U(f)≤U(f,P')<U(f)+e가 돼요.
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그런데 U(f,P')의 정의를 떠올려 보면, 우리는 어떤 T∈T(P')가 존재해서 U(f,P')-e<S(f,P',T)≤U(f,P')가 성립함을 알 수 있어요.
그리고 mesh(P')<r이므로 |S(f,P',T)-K|<e도 성립해요.
따라서, |U(f)-K|≤|U(f)-U(f,P')|+|U(f,P')-S(f,P',T)|+|S(f,P',T)-K|<3e.
이것이 모든 양수 e에 대해 성립해야 하므로, 결국 |U(f)-K|=0, 즉 U(f)=K를 얻을 수 있어요.
같은 방법으로 우리는 K=L(f) 또한 얻을 수 있어요. 따라서 U(f)=L(f)=K.
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정리하면, 이거죠!
[함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능하면 Darboux 적분가능하며, 그 리만적분값과 Darboux 적분값은 같다.]
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이번에는 어떤 유계함수 f:[a,b]->R이 Darboux 적분가능하다고 해 봐요.
그 Darboux 적분값을 K라고 해요. 그리고 |f|의 상한이 되는 어떤 양수 C를 생각해요.
그러면 임의의 양수 e에 대해 어떤 P_0∈P[a,b]가 있어서 K-e/2<L(f,P_0)≤K≤U(f,P_0)<K+e/2가 성립해요.
분할 P_0의 원소 갯수가 n+1개라고 하고, mesh(P)<e/4(n-1)K를 만족하는 임의의 P∈P[a,b]와 임의의 T∈T(P)가 주어졌다고 해요.
그러면, 분할 P'=P∪P_0를 생각하고, T⊂T'를 만족하는 임의의 T'∈T(P')를 잡으면, |S(f,P,T)-S(f,P',T')|<e/2가 성립해요. 왜?
그리고, P_0⊂P'이므로, K-e/2<L(f,P')≤K≤U(f,P')<K+e/2 또한 성립해요.
이제, S(f,P',T')∈[L(f,P'),U(f,P')]⊂(K-e/2,K+e/2)이므로, |S(f,P',T')-K|<e/2이어야 해요.
따라서 |S(f,P,T)-K|≤|S(f,P,T)-S(f,P',T')|+|S(f,P',T')-K|<e/2+e/2=e에요. 그러므로 f는 리만적분가능이고 그 리만적분값이 K에요.
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정리하면, 이번엔 이런 결론을 얻었죠!
함수 f:[a,b]->R이 Darboux 적분가능하면 리만적분가능하며, 그 Darboux 적분값과 리만적분값은 간다.
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결국 우리는 이것을 알게 되었어요.
[어떤 함수 f:[a,b]->R가 리만적분가능한 것과 Darboux 적분가능한 것은 동치이며, 그 리만적분값과 Darboux 적분값은 같다.]
그러니까 결국 리만적분이나 Darboux 적분이나 모두 같은 것이에요! 만세!
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／ / ﾊ ＼
| Х
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| | |ﾆﾆﾆニ∧ |/ﾊ | |
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| | ＼ .|二ﾆﾆ===ァ'⌒¨' 刈二∧ |
j 八 八ﾆﾆニ／ , 、 ⌒| |
厶 |ﾆﾆﾆ／ 厶ｲ |
∨ ＼ ∨ﾆ/ -<⌒>ｰ / | j /
＼ ∧ 刈ﾄ､ ご (ﾞ＼ ／ ﾘ /}/
｀⌒ﾍ 个ｘ,, ＼ ＼ / / / /
＼{＼| ｰ＜ ） ∨厶／}／
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_人ﾆﾆﾆニ{ﾆ/￣｀丶ﾆ∧＿＿＿
_ -='ニ7ﾆ二/ﾆ＞―‐ ∨ﾆﾆﾆr‐く _ﾉ∨ﾆﾆﾆﾆ- _
／ﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆニ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ癶ﾆﾆﾉ 厂 ∨ﾆﾆﾆﾆﾆ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆﾆ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ＞-ミ ∨ﾆﾆﾆﾆﾆ-_
jﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/ﾆﾆ/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ｀Y ｷﾆﾆﾆﾆニ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ|ﾆﾆ/ﾆﾆﾆ==―━━―-=ﾆﾆニ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ_
. /ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/|ﾆ厶／::::::ノ///八//人::::::＼ﾆ| ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ-_
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/∨/::}＼___)/厂∧ ￣|/(___厂ﾊ|: ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ〉
/ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ八:└=ミY´／//＼ ミ=┐/´_｣ ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/
. 〈ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ//∧/(:::)/|└――┘:::::}/(::::)/| ｷ=ﾆﾆﾆﾆﾆ/
＼ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆ/// ∧// /∠二二二＼∨///ｷ ｷ=ﾆﾆﾆﾆ/
이제 우리는 이런 질문을 던져 볼 수 있겠지요.
"어떤 함수 f:[a,b]->R가 리만 적분가능할 [적분개념을 쓰지 않는 필요충분조건]이 있을까?"
물론 있습니다. 이제부터 그걸 살펴보도록 하죠.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
어떤 실수공간의 부분집합 S가 [측도 0]이라는 것은, 임의의 양수 ε에 대해,
어떤 개구간들의 수열 {(a_n,b_n)}이 있어서, S⊂∪{(a_n,b_n)|n∈N}이며 ∑(b_n-a_n)<ε라는 뜻이에요.
예를 들어서, 실수공간의 모든 가산 부분집합은 측도 0이에요. 증명은 쉬우니까 참치 여러분들이 직접 하는 것으로 해요.
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만약 실수공간 안의 가산 개의 측도 0 부분집합 S_0,S_1,…이 있다면,
그 합집합 ∪{S_n|n∈N} 또한 가산이겠죠. 그렇잖아요?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 본격적으로 들어가기 전에
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 함수의 불연속점에 대해 잠시 공부해 보도록 하죠
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 이번에도 [최소상한들의 최대하한] 이 쓰입니다
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 함수 f:[a,b]->R와 점 c∈[a,b]에 대해, 다음의 수를 정의해요:
osc(f,c)=inf{sup{|f(x)-f(c)|x∈[a,b],|x-c|<r}|r>0}.
그러면 f가 c에서 연속인 것은 osc(f,c)=0인 것과 동치에요.
왜냐고요? 그럴 수밖에 없죠? 엄밀하게 만드는 건 이제 참치 여러분에게 맡겨도 될 시기인 거에요─
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그러니까, 주어진 함수 f의 불연속점 집합을 D(f)라고 하면,
D(f)={c∈[a,b]|osc(f,c)=0}인 것이에요!
따라서, 임의의 자연수 n에 대해 D(f,n)={c∈[a,b]|osc(f,c)>1/2^n}을 생각하면,
우리는 D(f)를 D(f)=∪{D(f,n)|n∈N}으로 쓸 수 있는 것이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 본론으로 들어가서─
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
어떤 함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능이라고 해 봐요. 그리고 임의의 자연수 m을 잡아요.
그러면, 임의의 양수 e에 대해, U(f,P)-L(f,P)<e/2^{m+1}를 만족하는 분할 P∈P[a,b]이 존재해요.
분할 P를 a=x_0<…<x_n=b로 나타내고, 집합 S_N={k|k∈N,0≤k<n,[x_k,x_{k+1}]∩D(f,m)≠∅}를 생각해요.
정의에 의해 U(f,P)-L(f,P)≥(1/2^m)∑_{k∈S_N}(x_{k+1}-x_k)이 성립해야 해요.
그러므로 ∑_{k∈S_N}(x_{k+1}-x_k)<e/2여야 해요.
따라서, 집합 S_N의 원소 갯수를 M이라고 하면, ∑_{k∈S_N}((x_{k+1}+e/2M)-(x_k-e/2M))<e가 성립해요.
그런데, ∪(x_k-e/2M,x_{k+1}+e/2M)⊃D(f,m)이고, e는 임의의 양수였기 때문에,
우리는 D(f,m)이 측도 0임을 알게 되었어요.
이제, D(f)=∪{D(f,m)|m∈N}이기 때문에, D(f) 또한 측도 0이어야 해요.
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우와! 우리는 리만적분가능한 함수의 불연속점 집합은 (유계이며) 측도 0이어야만 한다는 놀라운 사실을 알게 되었어요?
그렇다면 그 역은 어떨까요? 불연속점 집합이 측도 0인 유계함수는 리만적분 가능할까요?
이제부터 그것에 대해 알아보도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' [a,b]-D(f)는 [a,b]에 속하지만 D(f)에는 속하지 않는 원소들의 집합
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 단순한 집합론적 기호지만 지금껏 소개를 안 했네요
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어떤 유계함수 f:[a,b]->R가 있어서 그 불연속점 집합 D(f)가 측도 0이라고 해 봐요. 그리고 함수 |f|의 어떤 상한 M을 생각해요.
그러면 임의의 양수 e가 있어서 어떤 개구간들의 수열 {(a_i,b_i)}에 대해 ∪{(a_i,b_i)|i∈N}⊃D(f)이고 ∑(b_i-a_i)<e/4M여야 해요.
또한, 모든 c∈[a,b]-D(f)에 대해 f는 c에서 연속이므로, c를 포함하는 어떤 개구간 (A_c,B_c)가 있어서,
모든 t∈(A_c,B_c)에 대해 |f(t)-f(c)|<e/4(b-a)여야 하고, 따라서 f의 (A_c,B_c)에서의 최소상한과 최대하한의 차가 e/2(b-a) 이하여야 해요.
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이제 집합 {(A_c,B_c)∩[a,b]|c∈[a,b]-D(f)}∪{(a_i,b_i)∩[a,b]|i∈N}은 [a,b]의 열린 덮개예요.
[a,b]는 컴팩트공간이므로, 주어진 열린 덮개는 양의 르벡 수 d를 가져요.
이제, d/2(b-a)보다 큰 임의의 자연수 C를 잡고, [a,b]를 C등분하는 분할 P를 생각해요.
그러면, P가 a=x_0<…<x_n=b 형태로 나타난다고 했을 때, 임의의 i=0,…,n-1에 대해,
[x_i,x_{i+1}]는 주어진 열린 덮개의 어떤 원소의 부분집합이어야 해요.
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이제 집합 X={i=0,…,n-1|[x_i,x_{i+1}]⊂(A_c,B_c) for some c∈[a,b]-D(f)}와
Y={i=0,…,n-1|[x_i,x_{i+1}]⊂(a_i,b_i) for some i∈N}을 생각해면, 조건에 의해 X∪Y={0,…n-1}이어야 해요.
또한, 임의의 i∈X에 대해 sup f([x_i,x_{i+1}])-inf f([x_i,x_{i+1}])<2sup |f([a,b]])|=2M이며,
임의의 i∈Y에 대해 sup f([x_i,x_{i+1}])-inf f([x_i,x_{i+1}])<e/2(b-a)여야 해요.
따라서 U(f,P)-L(f,P)<2M∑_{i∈X}(x_{i+1}-x_i)+(e/2(b-a))∑_{i∈Y}(x_{i+1}-x_i)<2M(e/4M)+(e/2(b-a))(b-a)=e/2+e/2=e여야 해요.
즉, 0≤U(f)-L(f)≤U(f,P)-L(f,P)<e가 성립해야 해요.
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그런데, 이것이 모든 양수 e에 대해 성립해야 하므로, U(f)-L(f)=0, 즉 U(f)=L(f)여야 해요.
따라서 f는 Darboux 적분가능, 그러므로 리만적분가능인 것이에요!
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참치 여러분! 우리는 드디어 엄청난 사실을 증명하고야 말았습니다!
[함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능일 필요충분조건은 f가 유계이며 그 불연속점 집합 D(f)가 측도 0인 것이다.]
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이것은 아주 강력한 정리이죠!
예를 들어서, [0,1]에서 정의된 실수함수 f(x)=(x가 무리수일 때 0, x=m/n이고 m과 n이 서로소일 때 1/n)를 생각해 봐요.
이 함수는 정확히 모든 유리수점에서만 불연속이에요. 즉, D(f)=[0,1]∩Q에요.
그런데 유리수 집합은 가산이므로 D(f) 또한 가산이에요.
그러므로 f는 리만적분가능이에요. 그 리만적분값은? 당연히 0이죠!
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들어 주셔서 감사합니다, 참치 여러분! 오늘의 강의는 좀 어려웠네요!
하지만 다음 강의는 다시 고등학교 수학으로 회귀할 예정이니, 열심히 읽어 주시면 좋겠어요!
[예고] 제 9강: 1변수 리만적분의 성질과 예시
역시 리만적분에서 필요충분조건 정리부터 증명하고 들어가는 건 좀 어려웠나
<제 9강: 1변수 리만적분의 성질과 예시>
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도-모, 참치=상, 수학빌런 데스.
오늘의 강의는 1변수 리만적분의 성질과 예시에요.
더 쉽게 말하면, 오늘 우리는 미적분학의 기본 정리를 증명할 것이랍니다.
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어제 우리는 함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능할 필요충분조건이
f의 불연속점 집합 D(f)이 측도 0인 것이라고 배웠어요.
정말 강력한 정리인 만큼 이제 이것을 좀 사용해 봐야겠죠?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 실수공간의 부분집합 S가 측도 0이면
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ S의 임의의 부분집합 또한 측도 0
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 이것은 자명하죠.
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[함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능하고 c가 실수이면 cf는 리만적분가능하며 ∫cf=c∫f.]
증명: f가 연속인 모든 점에서 cf 또한 연속이니 D(cf)⊂D(f)죠. 그런데 D(f)가 측도 0이니 D(cf) 또한 측도 0.
따라서 cf는 리만적분가능. 그런데 임의의 P∈P[a,b]와 T∈T(P)에 대해 S(cf,P,T)=cS(f,P,T)이므로 ∫cf=c∫f가 되죠!
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[두 함수 f,g:[a,b]->R이 리만적분가능하면 f+g와 fg 모두 리만적분가능하며, ∫(f+g)=∫f+∫g]
증명: D(f+g)와 D(fg)는 D(f)∪D(g)의 부분집합인데, D(f)와 D(g) 모두 측도 0이니, D(f+g)와 D(fg) 모두 측도 0.
따라서 f+g와 fg는 리만적분가능. 그런데 임의의 P∈P[a,b]와 T∈T(P)에 대해 S(f+g,P,T)=S(f,P,T)+S(g,P,T).
그러므로 ∫f+g=∫f+∫g가 되는 것이죠!
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[두 함수 f,g:[a,b]->R가 리만적분가능하고 모든 x∈[a,b]에 대해 f(x)≤g(x)를 만족한다면 ∫f≤∫g]
증명: 임의의 P∈P[a,b]와 T∈T(P)에 대해 S(f,P,T)≤S(g,P,T)이므로 ∫f≤∫g여야 해요!
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[함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능하면 |f|도 리만적분가능하고 |∫f|≤∫|f|이다]
증명: D(|f|)⊂D(f)이고 D(f)가 측도 0이므로 D(|f|)도 측도 0이니까 |f|는 리만적분가능해요.
그리고 ±f≤|f|니까 ∫f≤∫|f|이고 -∫f=∫(-f)≤∫|f|이에요. 그러므로 |∫f|≤∫|f|가 성립해야 해요!
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[실수 M과 [a,b]에서 정의된 상수함수 f(x)=M에 대해, ∫f=M(b-a)]
증명: 임의의 P∈P[a,b]와 T∈T(P)에 대해 S(f,P,T)=M(b-a)이므로 ∫f=M(b-a)인 것이죠!
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[임의의 연속함수 f:[a,b]->R는 리만적분가능]
증명: [a,b]가 컴팩트이므로 f는 유계. 함수 f는 이미 연속함수이므로 D(f)는 공집합, 따라서 측도 0.
그러므로 f는 리만적분가능해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 단조함수는 증가함수 혹은 감소함수
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[임의의 단조함수(monotone function) f:[a,b]->R는 리만적분가능]
주어진 f가 단조함수이기 때문에, 임의의 유한집합 F⊂D(f)에 대해, ∑_{c∈F} osc(f,c) ≤ |f(b)-f(a)|가 성립해야 해요.
그리고, 각각의 c∈D(f)에 대해, osc(f,c)>0이죠.
만약 D(f)가 비가산집합이라면, 어떤 자연수 k가 존재해서 D(f,k)이 비가산이어야 해요. 그렇지 않으면 D(f)=∪{D(f,k)|k∈N}가 가산이겠죠?
그렇다면 D(f,k)는 무한집합이에요. 따라서, 원소 갯수가 |f(b)-f(a)|/2^k보다 큰 유한부분집합 F⊂D(f,k)를 뽑으면,
∑_{c∈F} osc(f,c) > (|f(b)-f(a)|/2^k)2^k=|f(b)-f(a)이에요. 모순! 따라서 D(f)는 실수공간의 가산부분집합이에요.
그런데 가산이면 측도 0이에요. 따라서 D(f)는 측도 0, 그러므로 f는 리만적분가능해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' X,Y가 거리공간일 때 f:X->Y가 Lipschitz 연속이라는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 어떤 실수 C가 존재해서 모든 x,y∈X에 대해
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ d(f(x),f(y))≤Cd(x,y)가 성립한다는 것
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ 이 조건을 만족하는 C를 우리는 f의 Lipschitz 상수라고 해요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[함수 f:[c,d]->R가 리만적분가능이고 g:[a,b]->[c,d]가 전단사함수이며 그 역함수 g^-1가 Lipschitz 연속이라면 f∘g는 리만적분가능]
주어진 f가 리만적분가능이므로 D(f)⊂[c,d]는 측도 0이에요. 그리고 D(f∘g)⊂g^-1(D(f))가 성립해요.
D(f)가 측도 0이므로 임의의 양수 e>0에 대해 ∪{(a_i,b_i)|i∈N}⊃D(f)와 ∑(b_i-a_i)<e/2C를 만족하는 개구간들의 수열 {(a_i,b_i)}를 생각해요.
그러면, g^-1가 Lipschitz 연속이므로, 그 Lipschitz 상수 C를 하나 잡으면, g^-1((a_i,b_i))⊂(g^-1(a_i)-C(b_i-a_i),g^-1(a_i)+C(b_i-a_i))가 성립해요.
그런데, 구간 (g^-1(a_i)-C(b_i-a_i),g^-1(a_i)+C(b_i-a_i))들의 길이를 모두 합치면 ∑2C(b_i-a_i)이고, 이것은 2C(e/2C)=e 미만이에요.
따라서 g^-1(D(f))는 측도 0이고, 그 부분집합인 D(f∘g) 또한 측도 0. 그러므로 f∘g는 리만적분가능해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여기서 잠시 짚고 넘어갈 점
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Lipschitz 연속함수는 항상 연속이에요. 당연히 그렇죠?
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[함수 f:[c,d]->R가 리만적분가능이고 g:[a,b]->[c,d]가 전단사함수이며 그 역함수 g^-1가 C^1 함수라면 f∘g는 리만적분가능]
이건 그냥 g^-1가 Lipschitz 연속임을 보여주기만 하면 돼요.
[c,d]가 컴팩트이고 g^-1가 C^1이므로 |(g^-1)'|는 유계이니, |(g^-1)'|의 상한이 되는 적당한 양수 M을 잡아요.
그러면, 평균값 정리에 의해, x<y를 만족하는 임의의 x,y∈[c,d]에 대해서 (g^-1)'(r)=(g^-1(y)-g^-1(x))/(y-x)를 만족하는 어떤 r∈(x,y)가 존재하겠죠.
그런데 M이 |(g^-1)'|의 상한이라고 했으니, |g^-1(y)-g^-1(x)|<M|y-x|가 성립하게 돼요. 그러므로 g^-1는 Lipschitz 연속이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번에 소개할 것은 미적분학의 기본 정리!
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[함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능할 때, [a,b]에서 정의된 함수 F(x)=∫_[a,x] f는 연속이며,
f가 연속인 점에서 F가 미분가능(a와 b에서는 좌/우미분)하고, F'(x)=f(x)가 성립한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 미적분학의 기본 정리를 증명해 보겠어요
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주어진 f가 리만적분가능하므로 유계이니, |f|의 상한이 되는 어떤 양수 M을 잡아요.
그러면, x<y인 임의의 x∈[a,b]에 대해 [x,y]에서 ±f≤M이므로, |F(y)-F(x)|=|∫_[x,y] f|≤∫_[x,y|] M=M|y-x|여야 해요.
따라서 F는 Lipschitz 연속이고, 그러므로 연속이어야 해요.
이제, f가 연속인 임의의 c∈[a,b]와 임의의 양수 e에 대해, 어떤 양수 h가 존재해서, |x-c|<h인 모든 x∈[a,b]에 대해 |f(x)-f(c)|<e/(b-a)여야 해요.
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그렇다면, |x-c|<h인 어떤 x∈[a,b]에 대해, 일반성을 잃지 않고 c<x라고 하면,
우리는 |f(c)-(F(x)-F(c))/(x-c)|=|∫_[c,x] (f(c)-f)|≤∫_[c,x] |f(c)-f|≤e|x-c|/(b-a)≤e를 얻어요.
그러므로 F'(c)=lim_{x->c} |(F(x)-F(c))/(x-c)|=f(c)가 성립하게 돼요! 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 우리는 원시함수라는 것을 정의해요.
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함수 f:[a,b]->R가 리만적분가능할 때, 함수 F:[a,b]->R가 f의 원시함수(antiderivative)라는 것은,
F가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하며 F'=f라는 뜻이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 원시함수 정리
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[함수 f:[a,b]->R이 리만적분가능하고 어떤 원시함수 F를 갖는다면, 모든 x∈[a,b]에 대해 F(x)-F(a)=∫_[a,x] f이다]
증명은 쉬워요. 임의의 분할 P=(a=x_0<…<x_n=x)∈P[a,x]에 대해 F(x)-F(a)=∑(F(x_{i+1})-F(x_i)인데,
평균값 정리에 의해 각각의 i=0,…,n-1에 대해 어떤 t_i∈(x_i,x_{i+1})이 존재해서 F(x_{i+1})-F(x_i)=(x_{i+1}-x_i)F'(t_i)이에요.
따라서, 점 선택 T={t_0,…,t_{n-1}}∈T(P)를 생각하면 S(f,P,T)=F(x)-F(a)가 돼요.
그런데 P는 임의의 분할이었으므로, 임의의 양수 e에 대해 mesh(P)<e를 만족하는 P∈P[a,x]를 뽑아도 같은 소리를 할 수 있어요.
함수 f가 리만적분가능하므로, 이것은 ∫_[a,x] f=F(x)-F(a)라는 뜻이에요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번엔 치환적분
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[함수 f:[c,d]->R가 리만적분가능이고 g:[a,b]->[c,d]가 전단사 C^1 함수이며 그 역함수 g^-1도 C^1 함수라면 ∫ g'(f∘g)=∫f이다]
이것도 쉽게 증명할 수 있어요. g'가 연속이고 f∘g가 리만적분가능하므로, g'(f∘g) 또한 리만적분가능해요.
함수 f가 리만적분가능하므로, 어떤 양수 r'이 존재해서, mesh(P)<r'인 임의의 분할 Q∈P[c,d]와 임의의 T'∈T(Q)에 대해 |S(f,Q,T')-∫f|<e/2여야 해요.
함수 g'(f∘g)가 리만적분가능하므로, 임의의 양수 e에 대해 어떤 양수 r이 존재해서, mesh(P)<r인 임의의 분할 P∈P[a,b],
그리고 임의의 점 선택 T∈T(P)에 대해, |S(g'(f∘g),P,T)-∫g'(f∘g)|<e/2가 성립해야 해요.
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g는 단조함수여야 하니, 일반성을 잃지 않고 g가 증가함수라고 가정해요. 그러면 g(a)=c, g(b)=d여야 해요.
g가 Lipschitz이므로, 그 Lipschitz 상수가 되는 양수 M을 잡고, mesh(P)<min(r,r'/M)인 임의의 분할 P=(a=x_0<…<x_n=b)∈P[a,b]을 선택해요.
그러면, mesh(P)<r이므로, 임의의 T∈T(P)에 대해 |S(g'(f∘g),P,T)-∫g'(f∘g)|<e/2여야 해요.
또한, 분할 g(P)=(c=g(x_0)<…<g(x_n)=d)∈P[c,d]는 mesh(g(P))≤M·mesh(P)<r를 만족하므로, 임의의 T'∈T(g(P))에 대해 |S(f,g(P),T')-∫f|<e/2여야 해요.
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이제 평균값 정리에 의해, 각각의 i=0,…,n-1에 대해 어떤 t_i∈(x_i,x_{i+1})이 존재해서 g(x_{i+1})-g(x_i)=(x_{i+1}-x_i)g'(t_i)가 성립해요.
점 선택 T={t_0,…t_{n-1}}∈T(P)와 g(T)={g(t_0),…,g(t_{n-1})}∈T(g(P))를 생각하면,
우리는 S(f,g(P),g(T))=∑f(g(t_i))(g(x_{i+1})-g(x_i))=∑g'(t_i)(f∘g)(t_i)(x_{i+1}-x_i)=S(g'(f∘g),P,T)가 성립함을 알게 돼요.
그러므로 |∫f-∫g'(f∘g)|<|∫f-S(f,g(P),g(T)|+|S(f(g(P),g(T))-S(g'(f∘g),P,T)|+|S(g'(f∘g),P,T)-∫g'(f∘g)|<e/2+0+e/2=e가 성립해요.
그런데, 여기서 e는 임의의 양수였으니까, 결국 우리는 ∫f=∫g'(f∘g)를 얻어요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번에는 부분적분
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[두 함수 f,g:[a,b]->R이 미분가능하고 그 도함수 f',g'가 리만적분가능하면 ∫fg'=f(b)g(b)-f(a)g(a)-∫f'g이다]
증명은 정말 간단해요. f'와 g'가 리만적분가능하므로, 원시함수 정리와 미적분학의 기본 정리에 의해, f와 g는 연속이에요.
연속함수는 리만적분가능하므로 f와 g 모두 리만적분가능해요. 따라서 f'g와 f'g 모두 리만적분가능한 함수임을 알게 되어요.
이제 fg는 미분가능한 함수이고 (fg)'=f'g+fg'가 성립해요. 따라서 리만적분가능한 함수 f'g+fg'는 fg를 원시함수로 가져요.
그러므로 원시함수 정리에 의해 ∫(fg'+f'g)=f(b)g(b)-f(a)g(a)에요. 그러므로 ∫fg'=f(b)g(b)-f(a)g(a)-∫f'g가 성립하게 되죠!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 마지막으로 이상리만적분(improper Riemann integral)을 정의하도록 해요
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실수 a와 확장된 실수 b가 a<b를 만족하고, 함수 f:[a,b)->R가 주어졌을 때,
만약 임의의 실수 c∈[a,b)에 대해 f가 [a,c]에서 리만적분가능하다면, 우리는 극한 lim_{c->b} ∫_[a,c] f을 생각해 볼 수 있어요.
만약 이 극한이 존재한다면, 우리는 f가 이상리만적분 가능하다고 하고, 그 극한값을 f의 이상리만적분값이라고 하고, ∫_[a,b) f 라고 써요.
물론 a가 확장된 실수이고 b가 실수이며 a<b일 때, (a,b]꼴의 구간에 대해서도 같은 정의를 할 수 있어요.
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그렇다면, 만약 실수공간 전체에서 정의된 함수 f:R->R가 주어진다면 어떨까요?
이 경우에, f가 이상리만적분 가능하다는 것은, 임의의 실수 r에 대해, 이상리만적분값 ∫_(-∞,r] f와 ∫_[r,∞) f가 존재한다는 것을 의미하고,
그 경우 ∫_R f=∫_(-∞,r] f + ∫_[r,∞) f으로서 f의 이상리만적분값을 정의하게 돼요.
물론, f가 이상리만적분 가능할 때, 그 이상리만적분값 ∫_R f은 실수 r의 선택과 무관해요. 증명은 자명한 수준이니 그냥 넘어갈게요.
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이것으로 리만적분은 끝이에요!
이번 강의는 거의 고등학교 수학에서 나온 정리들을 증명하는 내용이었는데, 어떠셨나요?
이제 참치 여러분은 고등학교 수학의 비엄밀성을 느끼고 그것을 어떻게 엄밀하게 만들 수 있을지 아시게 되었을 것으로 저는 믿어요!
다음 강의에서는─ 유계 변동(bounded variation) 함수에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 10강: 유계변동함수에 대해
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, 한 가지 짚고 넘어가야 하는 점
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1변수 실수함수 f가 C^k 미분동형이라는 것은 f가 전단사이며 C^k이고 그 역함수 f^-1 또한 C^k라는 뜻이에요
그 예로 제 10강에서 치환적분 정리를 증명할 때 우리는 C^1 미분동형인 치환함수를 사용했죠
전단사이고 C^k 라고 해서 미분동형인 것은 아니에요. 역함수가 C^k라는 조건은 꼭 필요해요.
실수, 거리공간, 컴팩트, 커넥티드까지 지지부진한 뜬구름 잡는 논의들을 열심히 하고 났더니
실제 유용해 보이는 미분과 적분 파트는 순식간에 넘어갔죠?
이게 바로 수학에서 이론의 중요성입니다!
추상적인 이론을 열심히 공부하면 그걸 사용해서 구체적인 논의들은 눈 깜짝할 새에 해결하고 넘어갈 수 있죠!
bounded variation 끝나면 남은 1변수 이론은 함수열의 균등수렴, Arzela-Ascoli, Stone-Weierstrass.....
수열의 cesaro sum, abel sum은 할까 말까.....
예정대로 캔슬
<제 10강 : 유계변동함수에 대해>
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|: : : : : : : | .∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
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도-모, 또 찾아온 수학빌런이에요.
이번 강의에서 우리는 유계변동함수에 대해서 알아볼 거예요!
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유계변동함수가 무엇일까요?
그걸 정의하려면 어떤 주어진 함수 [a,b]->R가 [얼마나 변하는지] 알 수 있어야 하겠죠
하지만 그걸 도대체 어떻게 알 수 있다는 걸까요?
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그래서 이렇게 생각하는 거예요
a와 b 사이에서 유한 개의 점들을 뽑아서 그 점들에서 주어진 함수의 함수값들이 얼마나 변하는지,
그것들을 재서 더한 것들을 모조리 모아서, 그 중에 최소상한을 뽑으면,
그것이 바로 주어진 함수의 변동량이 아닐까?
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바로 그 아이디어를 사용해서 함수의 변동을 정의해 보도록 해요!
함수 f:[a,b]->R이 주어질 때, 임의의 분할 P=(a=x_0<…<x_n)∈P[a,b]에 대해,
우리는 V(f,P)=∑|f(x_i)-f(x_{i+1})|을 생각하고, V(f)=sup{V(f,P)|P∈P[a,b]}를 정의해요.
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우리는 V(f)를 주어진 함수 f의 [전변동(total variation)]라고 해요.
만약 V(f)가 어떤 유한한 실수라면, 즉 무한대가 아니라면,
그 때 우리는 f가 유계변동(bounded variation) 함수라고 할 거예요.
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그러면 전변동이 만족하는 몇 가지 성질들을 알아보도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명은 죄다 자명한 수준이니 생략
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 참치 여러분이 직접 해 보시는 것이에요
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[함수 f,g:[a,b]->R에 대해 V(f+g)≤V(f)+V(g)]
[함수 f:[a,b]->R와 실수 c에 대해 V(cf)=|c|V(f)]
[함수 f:[a,b]->R과 x∈[a,b]에 대해 f의 [a,x]에서의 변동을 V_[a,x](f), [x,b]에서의 변동을 V_[x,b](f)라고 할 때, V(f)=V_[a,x](f)+V_[x,b](f)]
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그렇다면 어떤 함수들이 유계변동함수일까요?
이제부터 그걸 알아보도록 해요.
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[함수 f:[a,b]->R이 단조함수라면 유계변동이다]
아주 당연하죠. 임의의 P∈P[a,b]에 대해 V(f,P)=|f(b)-f(a)|일 테니까 말이죠!
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[함수 f:[a,b]->R이 Lipschitz 연속함수라면 유계변동이다]
이것도 당연하죠. 주어진 함수 f의 적당한 Lipschitz 상수 C를 잡으면,
임의의 P∈P[a,b]에 대해 V(f,P)≤C|b-a|이 되니까, V(f)≤C|b-a|가 될 수밖에 없어요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[함수 f:[a,b]->R이 C^1 함수라면 유계변동이며 V(f)=∫|f'|이다]
함수 |f'|는 연속이므로 리만적분가능이에요. 따라서, 임의의 양수 e를 하나 잡으면, 어떤 양수 r이 있어서,
mesh(P)<r인 모든 P∈P[a,b]와 임의의 T∈T(P)에 대해 |S(|f'|,P,T)-∫|f'||<e/2가 성립해야 해요.
그리고, f는 컴팩트 구간 [a,b]에서 C^1이므로, Lipschitz 함수이기 때문에 유계변동이에요.
따라서, 어떤 P_0∈P[a,b]가 존재해서 V(f)-e/2<V(f,P_0)≤V(f)가 성립해야 해요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 mesh(P)<r이며 P_0를 포함하는 임의의 분할 P∈P[a,b]를 잡고, P가 a=x_0<…<x_n=b로 주어진다고 하면, 평균값 정리에 의해,
각각의 i=0,…,n-1에 대해 어떤 t_i∈[x_i,x_{i+1}]이 존재해서, f(x_{i+1})-f(x_i)=(x_{i+1}-x_i)f'(t_i)가 성립해야 해요.
이것은, 다시 말해서, T={t_0,…,t_{n-1}}∈T(P)를 생각할 때, S(|f'|,P,T)=V(f,P)가 성립한다는 뜻이에요.
따라서 |∫|f'|-V(f)|≤|∫|f'|-S(|f'|,P,T)|+|S(|f'|,P,T)-V(f,P)|+|V(f,P)-V(f)|<e/2+0+e/2=e가 성립해요.
그런데 e는 임의의 양수였으므로 우리는 V(f)=∫|f'|라는 결론을 얻었어요!
rヘ ヽ,} _,...........,
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八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
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자, 이제 어떤 함수들이 유계변동함수인지는 조금 알았으니,
이제 유계변동함수들이 어떤 함수인지 알아볼 차례에요.
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[함수 f:[a,b]->R이 유계변동함수라면 어떤 두 증가함수 g,h:[a,b]->R이 존재하여 f=g-h이다]
임의의 x∈[a,b]에 대해, 구간 [a,x]에서의 f의 전변동 V_[a,x](f)을 g(x)라고 하고, h(x)=g(x)-f(x)로 정의하도록 해요.
당연히 g는 증가함수예요. 그런데 과연 h는 증가함수일까요?
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만약 h가 증가함수가 아니라면, x<y를 만족하는 어떤 x,y∈[a,b]에 대해 h(x)>h(y)가 성립해야 해요.
그렇다면 g(y)-g(x)<f(y)-f(x)라는 뜻인데, g(y)-g(x)=V_[a,y](f)-V_[a,x](f)=V_[x,y](f)이니까, 결국 V_[x,y](f)<f(y)-f(x)라는 말이 돼요.
그런데, 자명한 분할 P={x,y}∈P[x,y]를 생각하면, V(f,P)=|f(y)-f(x)|이므로, V_[x,y](f)≥V(f,P)=|f(y)-f(x)|≥f(y)-f(x)여야 해요.
모순! 그러므로 h는 증가함수예요!
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[두 함수 g,h:[a,b]->R가 증가함수라면, g-h는 유계변동함수이다]
자명하죠? g와 h는 단조함수이므로 유계변동이고, V(g-h)≤V(g)+V(-h)=V(g)+V(h)니까요.
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그러므로 우리는 다음과 같은 엄청난 사실을 알았어요!
[어떤 함수 f:[a,b]->R이 유계변동함수인 것은 f가 두 증가함수의 차이라는 것과 동치이다]
어때요, 놀랍지 않나요?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 그 엄청난 사실을 이용해
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 몇 가지 성질을 증명해 보도록 해요
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[함수 f:[a,b]->R이 유계변동함수라면 오직 가산 개의 불연속점만을 가진다]
주어진 함수 f가 유계변동이므로, 어떤 두 증가함수 g,h가 있어서 f=g-h에요.
함수 g,h는 단조함수이므로 각각 가산 개의 불연속점만을 가져요. 다시 말해서, D(g)와 D(h)는 가산이에요.
그런데 D(f)=D(g-h)⊂D(g)∪D(h)이므로, D(f) 또한 가산이에요!
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[함수 f:[a,b]->R이 유계변동이라면 리만적분가능하다]
주어진 함수 f의 불연속점 집합 D(f)이 가산이므로 측도 0이에요. 따라서 f가 리만적분가능해요!
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[함수 f:[a,b]->R이 유계변동이라면 모든 x∈[a,b]에서 f는 좌극한과 우극한을 갖는다]
단조함수는 모든 점에서 좌극한과 우극한을 갖지요.
그러니 두 단조함수의 차이로 나타낼 수 있는 f 또한 모든 점에서 좌극한과 우극한을 가져야 하는 것이죠!
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이번 강의는 여기까지에요! 이야─ 이번 강의는 참 쉬웠네요!
그렇죠, 참치 여러분? 잘 따라오고 계시다면 좋겠네요!
다음 강의에서 우리는 드디어 함수들의 수열에 대해 알아볼 거에요! 기대해 주세요!
[예고] 제 11강: 함수열의 균등수렴에 대하여
<제 11강 : 함수열의 균등수렴에 대하여>
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도-모, 드디어 리만적분이 끝났네요!
이번 강의에서 우리는 다시 고등학교 수학에서 벗어나서─
함수들의 수열의 수렴성에 대해 배울 것이에요!
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거리공간 X와 Y가 있고, 함수들의 수열 {f_n:X->Y}가 주어졌다고 해요.
이 때, 함수열 {f_n}이 어떤 함수 f:X->Y로 [수렴한다]라는 것은 대체 어떤 뜻인 걸까요?
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먼저, 우리는 각각의 점 p∈X에 대해 Y의 수열 {f_n(p)}가 f(p)로 수렴하는 경우를 생각할 수 있어요.
이 경우에 우리는 함수열 {f_n}이 f로 [점별수렴(converge pointwise)]한다고 해요.
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그런데, 우리는 점별수렴성보다 훨씬 강력한 수렴성 또한 생각할 수 있어요.
만약, 임의의 양수 ε에 대해 어떤 자연수 N이 있어서 N 이상의 모든 자연수 n과 모든 p∈X에 대해 d(f_N(p),f(p))<ε가 성립한다면,
우리는 함수열 {f_n}이 f로 [균등수렴(converge uniformly)]한다고 해요.
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자! 그러면 우리는 무려 두 가지나 되는 함수열의 수렴성을 알게 되었어요.
그런데 왜 두 가지나 소개했을까요? 그냥 점별수렴만 있으면 다 되는 거 아닐까요?
.._.._.._.._.._ ＿＿
￣＼:.:.:.:.:.:.:.:.:＼ ｀ヽ
／ ＼:.:.:.:.:.:.:.:.:| ヽ
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| Y/ } |
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ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
､＼ ヽ､＼ | ／ / / /
卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
〈=======[================＞===､
／=======[============＞ニ======＼
안 됩니다. 둘 다 필요해요.
사실 점별수렴은 너무 약한데 의외로 괜찮고 균등수렴은 괜찮아 보이지만 지나치게 강한데─
이걸 느끼려면 실해석학까지 가야 합니다.
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뭐 어쨌든 현재로서 우리는 균등수렴을 빨고 점별수렴을 까는 게 목표에요.
본격적으로 시작해 보도록 합시다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 처음으로 다룰 이슈는 연속성
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[거리공간 X,Y와 그 사이의 함수들의 수열 {f_n}이 어떤 함수 f:X->Y로 균등수렴하고 어떤 x∈X에 대해 모든 f_n이 x에서 연속이면 f는 x에서 연속이다]
균등수렴성에 의해 임의의 양수 e에 대해 어떤 자연수 N이 존재해서 N보다 큰 모든 자연수 n과 모든 x∈X에 대해 d(f(x),f_n(x))<e/3여야 해요.
이제, N보다 큰 임의의 자연수 n을 선택하면, d(f(x),f_n(x))<e/3이죠.
그런데 함수 f_n은 x에서 연속이므로 어떤 양수 r이 존재해서 d(x,x')<r을 만족하는 임의의 x'∈X에 대해 d(f_n(x),f_n(x'))<e/3이어야 해요.
그리고 조건에 의해 d(f(x'),f_n(x'))<e/3 또한 성립하죠. 따라서 d(f(x),f(x'))≤d(f(x),f_n(x))+d(f_n(x),f_n(x'))+d(f_n(x'),f(x'))<e/3+e/3+e/3=e가 돼요.
그러므로 f는 x에서 연속이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 위에서 증명한 성질에서 이걸 바로 얻을 수 있습니다
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[거리공간 X,Y와 그 사이의 연속함수들의 수열 {f_n}이 어떤 함수 f:X->Y로 균등수렴하면 f는 연속이다]
자명하죠? f는 X의 모든 점에서 연속이어야 하니까요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 다음으로 다룰 이슈는 리만적분
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[리만적분가능한 함수열 {f_n:[a,b]->R}이 어떤 함수 f:X->Y로 균등수렴하면 f는 리만적분가능하며 ∫f=lim_{n->∞} ∫f_n이 성립한다]
균등수렴성에 의해 임의의 양수 e에 대해 어떤 자연수 N이 존재해서 N보다 큰 모든 자연수 n과 모든 x∈X에 대해 d(f(x),f_n(x))<e/3(b-a)여야 해요.
그러므로, N보다 큰 임의의 자연수 n을 선택하면, 임의의 분할 P∈P[a,b]에 대해 |U(f,P)-U(f_n,P)|<(e/3(b-a))(b-a)=e/3가 돼요.
마찬가지로 |L(f,P)-L(f_n,P)|<e/3 또한 성립해요.
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그리고, f_n은 리만적분 가능하므로, 어떤 분할 P∈P[a,b]가 존재해서 |U(f_n,P)-L(f,P)|<e/3이 성립하겠죠.
그러므로 |U(f)-L(f)|≤|U(f,P)-L(f,P)|≤|U(f,P)-U(f_n,P)|+|U(f_n,P)-L(f_n,P)|+|L(f_n,P)-L(f,P)|<e/3+e/3+e/3=e여야 해요.
여기서 e는 임의의 양수이므로, U(f)=L(f)여야 해요. 따라서 f는 리만적분가능해요.
이제, N보다 큰 임의의 자연수 n에 대해 |f-f_n|<e/3(b-a)이므로, |∫f-∫f_n|=|∫f-f_n|≤∫|f-f_n|<∫e/3(b-a)=(e/3(b-a))(b-a)=e/3이에요.
그러므로 lim_{n->∞} ∫f_n=∫f여야 해요!
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그렇다면 과연 {f_n}이 f로 균등수렴이 아니라 점별수렴할 때, lim_{n->∞} ∫f_n=∫f는 성립할까요?
각각의 자연수 n에 대해 구간 [0,1]에서 정의된 함수 f_n(x)=(x≠0일 때 (n+1)x^n, x=0일 때 0)을 생각해 보도록 해요.
그러면 함수열 {f_n}은 0으로 점별수렴해요.
하지만 임의의 자연수 n에 대해 ∫f_n=1이기 때문에, lim_{n->∞} ∫f_n=1인 반면에, ∫f=0이네요!
역시 점별수렴은 적분값의 수렴을 이끌어내기에 너무 약한 조건이네요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 점별수렴은 약해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 균등수렴은 강해요
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그러면, 과연 {f_n}이 f로 점별수렴하고 모든 자연수 n에 대해 f_n이 연속일 때, f는 연속일까요?
각각의 자연수 n에 대해 [0,1]에서 정의된 함수 f_n(x)=x^n을 생각해요.
그리고 [0,1]에서 정의된 함수 f(x)=(x≠0일 때 0, x=0일 때 0)을 생각해요.
그러면 함수열 {f_n}은 f로 점별수렴해요. 하지만 모든 자연수 n에 대해 f_n이 연속임에도 불구하고 f는 연속이 아니에요.
역시 점별수렴은 수렴값의 연속성을 이끌어내기에도 너무 약한 조건이네요!
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이제 적분 말고 미분의 수렴을 알아보도록 합시다
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 적분을 했으니 이번엔 미분
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 적분보다는 조건이 많이 까다롭죠?
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[어떤 함수열 {f_n:[a,b]->R}의 각각의 항이 미분가능하고 어떤 함수 f:[a,b]->R으로 균등수렴하며,
함수열 {f'_n} 또한 어떤 함수 g:[a,b]->R로 점별수렴하면, f는 미분가능하고, f'=g이다.]
증명을 해 보도록 해요. 점 x∈[a,b]를 고정하고, 함수 h_n(t)=(t≠x일 때 (f_n(x)-f_n(t))/(x-t), t=x일 때 f'_n(x))를 생각해요.
함수열 {f_n}이 f로 균등수렴하므로, [a,b]-{x}에서 함수열 {h_n}은 ([a,b]-{x}에서 정의된) 함수 h(t)=(f(x)-f(t))/(x-t)로 균등수렴해야 해요.
함수열 {f'_n}은 g로 점별수렴하므로, lim_{n->∞} f'_n(x)=g(x)가 성립해요.
그러면 임의의 양수 e에 대해 자연수 N_0이 존재해서 N_0보다 큰 모든 자연수 n에 대해 |f'_n(x)-g(x)|<e/3이 성립해요.
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그런데 h_n(x)=f'_n(x)이고 함수 h_n은 연속이므로,
어떤 양수 r이 존재해서 |x-y|<r인 모든 y∈[a,b]에 대해 |h_n(y)-f'_n(x)|<e/3이 성립해요.
또한, {h_n}이 [a,b]-{x}에서 h로 균등수렴하므로, 어떤 자연수 N_1이 존재해서,
N_1보다 큰 모든 자연수 n과 x≠y인 모든 y∈[a,b]에 대해 |h_n(y)-h(y)|<e/3이 성립해요.
그러면, max(N_0,N_1)보다 큰 모든 자연수 n과 0<|x-y|<r인 모든 y∈[a,b]에 대해,
우리는 |h(y)-F|≤|h(y)-h_n(y)|+|h_n(y)-f'_n(x)|+|f'_n(x)-F|<e/3+e/3+e/3=e를 얻어요.
따라서, lim_{y->x} (f(x)-f(y))/(x-y)=F가 돼요. 다시 말해서, f가 x에서 미분가능하고, 그 미분계수가 g(x)가 돼요.
점 x는 [a,b] 안의 임의의 점이었으므로, 우리는 f가 미분가능하고 f'=g라는 것을 알았어요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제는 함수열의 무한합을 다뤄보도록 해요
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두 거리공간 X,Y가 있고 함수열 {f_n:X->Y}가 주어질 때,
그 무한합 ∑f_n이 어떤 함수 f:X->Y로 (점별/균등)수렴한다는 것은,
유한 부분합들의 수열 {f_0+…+f_n}이 f로 (점별/균등)수렴한다는 뜻이에요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 함수들의 무한합을 배웠으니
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그 균등수렴성에 대한 정리를 하나 증명해 보죠.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이름하여 Weierstrass M-test
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[거리공간 X와 함수열 {f_n:X->R}이 주어질 때, 만약 어떤 양수들의 수열 {r_n}이 존재해서,
모든 자연수 n에 대해 |f_n|≤r_n이 성립하고 ∑r_n<∞이라면, ∑f_n은 균등수렴한다]
일단 ∑f_n이 점별수렴하는 건 자명하니, 그 점별수렴값 f:X->R을 생각해요.
양수들의 무한합 ∑r_n이 수렴하므로, 임의의 양수 e에 대해 자연수 N이 있어서, N보다 큰 모든 자연수 n에 대해 (r_{n+1}+r_{n+2}+…)<e여야 해요.
그러면, 임의의 x∈X와 N보다 큰 임의의 자연수 n에 대해서
|f(x)-(f_0(x)+…+f_n(x))|=|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+…|≤|f_{n+1}(x)|+|f_{n+2}(x)|+…≤r_{n+1}+r_{n+2}+…<e가 성립해요.
따라서 ∑f_n은 f로 균등수렴하게 돼요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 이걸로 엄청난 것을 해 보겠습니다.
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[모든 점에서 미분불가능한 연속함수 f:R->R이 존재한다]
먼저 다음의 조건을 만족하는 함수 φ:R->R을 생각해요: 모든 x∈R에 대해 φ(x)=φ(x+2), 모든 x∈[-1,1]에 대해 φ(x)=|x|.
함수 φ는 연속이고, |φ|≤1이 성립해요.. 이제 함수 f(x)=∑φ(x·4^n)·(3/4)^n를 정의해요.
모든 자연수 n에 대해 |φ(x·4^n)·(3/4)^n|<(3/4)^n이고, 양수 무한합 ∑(3/4)^n은 당연히 수렴하므로,
Weierstrass M-test에 의해, 함수 f는 연속임을 알 수 있어요.
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이제 임의의 x∈R와 양의 자연수 m을 생각하고, (x·4^m,(x+d_m)·4^m)이 어떤 정수도 포함하지 않도록 d_m=±2·4^{m-1}을 잡아요.
그리고, 각각의 자연수 n에 대해, r_n=(φ((x+d_m)·4^n)-φ(x·4^n))/d_m을 생각해요.
그러면 n>m일 때는 d_m·4^n이 짝수인 정수가 되므로 r_n=0이고, n=m일 때는 |r_n|=4^m이며, n<m일 때는 |r_n|≤4^n이어야 해요.
그러므로 |(f(x+d_m)-f(x)/d_m|=|∑r_n·(3/4)^n|≥3^m-(3^{m-1}+…+3^0)=(1+3^m)/2≥(1+1)/2=1이 성립해요.
그런데 lim_{m->∞} d_m=0이므로, 이것은 f의 연속성에 모순이에요!
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|: : : : : : : | t.ヽ i ･ ヾ i / / !
|: : : : : : : | .ヽ| ＼ .|､ /i / ／ ./
|: : : : : : : | ＜三¨ ｀ ‐- _ _ -‐ / ＞ ´ |. /
|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
이것으로 우리는 모든 점에서 미분불가능하지만 연속인 무시무시한 함수가 있음을 알게 되었어요!
무시무시하지요! 놀랍죠! 하지만 사실 그런 함수들은 사실 너무너무 많답니다!
이번 강의도 참치들께서 재미있게 들으셨다면 좋겠네요! 다음 강의에서는─ 함수공간에서의 컴팩트성에 대해 다뤄 보겠습니다!
[예고] 제 12강: 함수공간에서의 컴팩트성에 대해
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그런데 혹시 내용에 대한 해설 같은 거 달아 주실 수학과 참치분 안 계신가요?
아무래도 제 강의좀 불친절하지 않나 싶은 생각이 들어서─
하지만 리얼이 급하니까 일단 지켜보기만 한다! 뭔가 이 어장은 친한 형이 노트필기 대신해주는 느낌!
<제 12강 : 함수공간에서의 컴팩트성>
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안녕하세요 여러분! 오늘도 강의를 들고 온 수학빌런이에요!
이번 강의에서 우리는 함수공간의 부분집합이 언제 컴팩트가 되는지 배울 것이에요!
재밌는 것이에요! 신나는 것이에요! 아하하하─
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 공간 C(X)가 바로 이 강의에서
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 우리가 다루게 될 공간입니다
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컴팩트 거리공간 X가 주어질 때, 우리는 X에서 R로 가는 모든 연속함수들을 모은 공간, C(X)를 생각할 수 있어요.
그리고 임의의 f,g∈C(X)에 대해, 함수 |f-g|는 컴팩트공간 X에서 연속이기에 유계이므로, 그 최대값 max|f-g|가 있어요.
이것을 바로 f와 g 사이의 거리, d(f,g)=max|f-g|로 정의하도록 해요. 그러면 (C(X),d)는 거리공간이에요.
귀찮으니 (C(X),d)에서 d를 생략하고 그냥 공간 C(X)라고만 쓰도록 해요.
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어떤 C(X)의 수열 {f_n}이 수렴하는 것은 {f_n}이 균등수렴하는 것과 동치에요.
당연한 이야기에요. 증명은 궁금한 참치들이 직접 해 보는 것으로 해요.
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하지만 본격적인 이야기로 들어가기 전에 한 가지,
증명하고 넘어가야 할 것이 있어요.
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[X가 컴팩트일 때 C(X)는 완비공간이다]
증명은 아주 쉬워요. C(X)의 어떤 코시수열 {f_n}이 있다고 해요. 그러면 임의의 x∈X에 대해 {f_n(x)}는 실수의 코시수열이에요.
X는 컴팩트이므로 {f_n(x)}은 유계 코시수열이 되니까, 실수의 완비성에 의해 {f_n(x)}는 수렴해야 해요.
그 수렴값을 f(x)라고 하도록 해요. 그러면 x를 f(x)로 보내는 함수 f:X->R를 생각할 수 있어요. 그러면 {f_n}은 f로 점별수렴해요.
만약 {f_n}이 f로 균등수렴하지 않는다면, 어떤 양수 e가 존재해서, 임의의 자연수 N에 대해 N보다 큰 자연수 n과 어떤 x∈X가 존재해서,
부등식 |f_n(x)-f(x)|>2e를 만족해야만 해요.
하지만 실수수열 {f_n(x)}}는 f(x)로 수렴하므로, N보다 큰 어떤 자연수 m이 존재해서 |f_m(x)-f(x)|<e를 만족해야 해요.
그러면 |f_n(x)-f_m(x)|≥|f_n(x)-f(x)|-|f_m(x)-f(x)|>2e-e=e가 성립해요. 이것은 {f_n}이 C(X)에서 코시수열이 아니라는 뜻이에요. 모순!
따라서 {f_n}은 f로 균등수렴하고, 그러므로 C(X)는 완비공간이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그리고 개념 하나를 간단히 소개해요
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부분집합 S⊂C(X)가 [동등연속(equicontinuous)]이라는 것은 임의의 양수 e와 점 x∈X에 대해 어떤 양수 r이 존재하여
임의의 f∈S와 d(x,y)<r을 만족하는 임의의 y∈S에 대해 |f(x)-f(y)|<e가 성립한다는 뜻이에요.
부분집합 대신 C(X) 안의 수열에 대해서도 같은 정의를 할 수 있어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 Arzela-Ascoli 정리를 소개하겠어요
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[Arzela-Ascoli 정리: X가 컴팩트일 때, 부분집합 S⊂C(X)가 컴팩트인 것은
S가 유계이고 동등연속인 닫힌 부분집합이라는 것과 동치이다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 정방향 증명
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어떤 주어진 S⊂C(X)가 컴팩트라고 가정해요. 그러면 S는 당연히 유계이고 닫힌 부분집합이겠죠.
임의의 주어진 양수 e와 어떤 주어진 점 x∈X에 대해, 어떤 주어진 원소 f∈S는 x에서 연속이므로,
어떤 양수 r(f)가 존재해서, d(x,y)<r(f)인 모든 y∈X에 대해 |f(x)-f(y)|<e가 성립해요.
그렇다면, 만약 우리가 C(X)의 부분집합 U(f)={g∈C(X)|d(x,y)<r_f인 모든 y∈X에 대해 |g(x)-g(y)|<e}을 생각하면,
당연히 f∈U(f)이고, U(f)는 C(X)의 열린 부분집합이에요. 그리고 {U(f)|f∈S}는 S의 열린 덮개가 되죠.
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S가 컴팩트라고 가정했으므로, 주어진 열린 덮개는 어떤 유한부분덮개 {U(f_1),…,U(f_k)}를 가져야 해요.
이제, 임의의 f∈S에 대해, 그리고 d(x,y)<min(r_1,…,r_n)인 모든 y∈X에 대해,
f∈U(f_i)인 1과 k 사이의 자연수 i를 생각하면, d(x,y)<r_i가 성립하므로, 조건에 의해, 우리는 |f(x)-f(y)|<e가 성립함을 알게 되어요.
그러므로 S는 동등연속이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 역방향
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어떤 S⊂C(X)가 유계이고 동등연속인 닫힌 부분집합이라고 가정해요. 그리고 S의 임의의 수열 {f_i}를 잡아요.
X는 컴팩트이므로 분해가능해요. 따라서 우리는 어떤 조밀한 가산부분집합 C={c_1,c_2,…}⊂X를 생각할 수 있어요.
S가 유계이므로, {f_i(c_1)}은 유계인 실수수열이에요.
따라서, 실수의 완비성에 의해, {f_i}의 어떤 부분수열 {g_{1,i}}가 존재해서, {g_{1,i}(c_1)}이 수렴해요.
또한, {f_i(c_2)} 또한 유계인 실수수열이므로 {g_{1,i}}의 어떤 부분수열 {g_{2,i}}가 존재해서 {g_{2,i}(c_2)}가 수렴해요.
이런 방식으로 귀납적으로 계속 부분수열을 찾으면, 임의의 자연수 i,j에 대해 수열 {f_i}의 어떤 항 g_{i,j}가 존재해서,
g_{0,j}=f_j이고, {g_{i+1,j}}는 {g_{i,j}의 부분수열이며, {g_{i,j}(c_i)}가 수렴하게 할 수 있어요.
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이제 h_i=g_{i,i}라고 하면, {h_i}는 {f_i}의 부분수열이며, 모든 c∈C에 대해 {h_i(c)}는 수렴해요.
따라서, 임의의 고정된 자연수 k에 대해 수열 {h_i(c_k)}는 수렴하므로 코시수열이에요.
그러므로, 임의의 주어진 양수 e에 대해, 어떤 자연수 N_k가 있어서, N_k보다 큰 모든 자연수 n,m에 대해,
부등식 |h_n(c_k)-h_m(c_k)|<e/3이 성립해야 해요.
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이제, S가 동등연속이므로, 임의의 x∈X에 대해 어떤 r(x)가 있어서,
모든 f∈S와 d(x,y)<r(x)인 모든 y∈X에 대해 |f(x)-f(y)|<e/6이 성립해야 해요.
그러면 {B_{r(x)}(x)|x∈X}는 X의 열린 덮개인데, X가 컴팩트이므로, 그 유한부분덮개 {B_{r(x_1)}(x_1),…,B_{r(x_s)}(x_s)}가 있어야 해요.
C가 조밀하므로, 각각의 i=1,…,s에 대해 c_{k(i)}∈B_{r(x_i)}(x_i)를 만족하는 자연수 k(i)가 존재해요.
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이제, 임의의 x∈X가 주어질 때, x∈B_{r(x_i)}(x_i)를 만족하는 i=1,…,s를 잡으면, c_{k(i)}∈B_{r(x_i)}(x_i)여야 해요.
그러면, N=max(N_{k(1)},…,N_{k(s)})보다 큰 모든 자연수 n,m에 대해,
|h_n(x)-h_m(x)|≤|h_n(x)-h_n(x_i)|+|h_n(x_i)-h_n(c_{k(i)})|+|h_n(c_{k(i)})-h_m(c_{k(i)})|+|h_m(c_{k(i)})-h_m(x_i)|+|h_m(x_i)-h_m(x)|
<e/6+e/6+e/3+e/6+e/6=e.
따라서 {f_i}의 부분수열인 {h_i}는 C(X)에서의 코시수열인데, C(X)는 완비공간이므로, {h_i}는 C(X)에서 어떤 h∈C(X)로 수렴합니다.
그런데, {h_i}는 S 안의 수열이고, S는 C(X)의 닫힌 부분집합이므로, h∈S여야 합니다.
따라서 {f_i}는 S 안에서 수렴하는 부분수열을 갖습니다. 증명 끝!
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결국 우리는 Arzela-Ascoli 정리를 증명하고 말았어요!
증명은 약간 까다로웠지만 정말 놀라운 정리죠!
그러면 위에서 소개한 증명에 대한 약간의 코멘트를 하고 끝내도록 할까요!
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Arzela-Ascoli 정리의 역방향 부분을 증명할 때,
우리는 사실 S가 [균등유계(uniformly bounded)], 즉 C(X)에서 유계라는 사실을 쓴 게 아니라,
S가 [점별유계(pointwise bounded)], 즉 임의의 x∈X에 대해 {f(x)|f∈S}가 유계라는 사실만을 썼어요.
그런데 그것만을 사용해서 역방향을 성립시킨 뒤 다시 정방향 부분을 사용하면,
우리는 다시 S가 균등유계라는 사실을 얻어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 놀랍지 않나요? 놀랍지 않나요?
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결국 우리는 이런 사실을 알게 되었어요.
[X가 컴팩트일 때, 어떤 부분집합 S⊂C(X)가 균등연속이고 점별유계라면, 균등유계이다]
어라? 닫힌 부분집합이라는 조건은 어디 갔냐고요? S가 안 닫혀 있으면 그 폐포 cl(S)를 쓰면 됩니다.
S가 균등연속이고 점별유계면 cl(S)는 균등연속이고 점별유계인 닫힌 부분집합이니까,
컴팩트여야 하고, 따라서 균등유계여야 하는 것이죠!
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이번 강의도 들어 주셔서 감사해요! 짧지만 약간 까다로운 강의였네요!
다음 강의에서 우리는─ 함수공간의 분해가능성에 대해 배울 거에요!
기대해 주세요! 누루후후후후─
[예고] 제 13강: 함수공간의 분해가능성에 대해
이거 잘하면 오늘, 못하면 내일 안에 해석학 개론 1학기 분량 끝나겠는걸요
물론 그 다음엔 증명 쓰기 매우 짜증나는 2학기 분량, 다변수해석학이 기다리고 있어요.
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14강 들어가기 전에 한 가지 짚고 넘어가겠어요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' Dini의 정리
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[컴팩트 거리공간 X 위의 연속함수열 {f_n:X->R}이 모든 자연수 n에 대해 f_n≤f_{n+1}을 만족하고,
어떤 연속함수 f:X->R로 점별수렴하면, {f_n}은 사실 f로 균등수렴한다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명을 하자면─
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임의의 양수 e를 잡고, 각각의 자연수 n에 대해 함수 g_n=f-f_n을 정의하고, 집합 E_n={x∈X|g_n(x)<e}를 생각해요. (당연히 g_n≥0이죠)
그러면 ∪{E_n|n∈N}=X이고 모든 자연수 n에 대해 E_n은 X의 열린 부분집합이므로, {E_n|n∈N}은 X의 열린 덮개에요.
그런데 X는 컴팩트이므로 어떤 유한부분덮개 {E_{n_1},…,E_{n_k}}가 존재해야 해요.
이제 N=max(n_1,…,n_k)를 생각하면, 모든 i=1,…,k에 대해 n_i≤n이므로, g_{n_i}≤g_N이 성립하여, E_{n_i}⊂E_N이 성립하게 돼요.
그렇다면 X⊃E_Nn⊃ E_{n_1}∪…∪E_{n_k}=X가 성립하기 때문에, E_N=X, 즉 0≤g_N<e가 성립해야 해요.
따라서 조건에 의해 N보다 큰 모든 자연수 n에 대해 0≤g_n<g_N<e가 성립해요.
그러므로 {g_n}은 0으로 균등수렴, 다시 말해 {f_n}은 f로 균등수렴해야 해요. 증명 끝!
>>532 아 14강이 아니라 13강 들어가기 전에(...)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그리고 또 한 가지
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거리공간 X,Y와 함수 f:X->Y가 있을 때 f가 균등연속(uniformly continuous)라는 것은
임의의 양수 e에 대해 어떤 양수 r이 존재하여 d(x,y)<r인 모든 x,y∈X에 대해 d(f(x),f(y))<e가 된다는 뜻이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 우리가 증명할 것
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[거리공간 X,Y와 연속함수 f:X->Y가 주어질 때, 만약 X가 컴팩트라면, f는 균등연속이다]
증명은 간단해요. 양수 e가 주어질 때, 임의의 x∈X에 대해 어떤 양수 r(x)가 존재해서,
d(x,x')<r(x)를 만족하는 모든 x'∈X에 대해 d(f(x),f(x'))<e/2가 되어야 해요.
그러면 {B_{r(x)}(x)|x∈X}는 X의 열린 덮개인데, X가 컴팩트이므로, 주어진 열린 덮개에 대한 어떤 양의 르벡 수 c가 존재해요.
그렇다면 d(x,y)<c를 만족하는 임의의 x,y∈X에 대해, y∈B_c(x)이므로, 어떤 z∈X가 존재해서 x,y∈B_c(x)⊂B_{r(z)}(z)가 성립해야 해요.
이제 d(f(x),f(y))≤d(f(x),f(z))+d(f(z),f(y))<e/2+e/2=e에요. 그러므로 f는 균등연속이어야 해요!
<제 13강 : 함수공간의 분해가능성에 대해>
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안녕하세요 참치 여러분, 새로운 강의를 들고 온 수학빌런이에요!
이번 강의에서 우리는 함수공간의 분해가능성에 대해 알아볼 것이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' [복습] 거리공간이 분해가능하다는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그 공간에 조밀한 가산부분집합이 존재함을 의미합니다
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컴팩트 거리공간 X가 주어졌다고 해요. 그러면 우리는 함수공간 C(X)을 생각할 수 있어요.
우리가 이번 강의에서 관심을 가질 것은 그 분해가능성(separability)이에요.
과연 함수공간 C(X)에는 조밀한 가산부분집합이 있을까요?
만약 있다면 정확히 어떤 가산부분집합을 찾을 수 있을까요?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 먼저 X=[0,1]의 경우를 생각해요
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[공간 C[0,1]에서 다항식들의 집합은 조밀하다]
공간 [0,1]이 컴팩트이므로 f는 균등연속이에요.
따라서 임의의 양수 e에 대해 어떤 양수 r이 있어서 |x-y|<r인 모든 x,y∈[0,1]에 대해 |f(x)-f(y)|<e/2가 성립해요.
이제 |f|는 컴팩트공간 [0,1]에서 연속이므로 유계이니, |f|<M을 만족하는 어떤 양수 M을 생각해요.
그리고 어떤 z∈[0,1]을 잡아요. 그러면 |x-z|<r인 모든 x∈[0,1]에 대해 |f(x)-f(z)|<e/2여야 해요.
또한, |x-z|≥r인 모든 x∈[0,1]에 대해 |f(x)-f(z)|<2M≤2M((x-z)/r)^2+e/2가 성립해요.
따라서 모든 x,z∈[0,1]에 대해 |f(x)-f(z)|<2M((x-z)/r)^2+e/2라는 결론을 얻어요.
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이제, [Bernstein 다항식] B_n(x,f)=∑_{k=0,…,n} f(k/n)(nCk)x^{k}(1-x)^{n-k}를 생각해요.
그러면 B_n(x,f-f(z))=∑(f(k/n)-f(z))(nCk)x^{k}(1-x)^{n-k}=B_n(x,f)-f(z)B_n(x,1)이 성립해요.
그리고, 이항정리에 의해 B_n(x,1)=∑(nCk)x^{k}(1-x)^{n-k}=(1+(1-x))^n=1이에요.
따라서 |B_n(x,f)-f(z)|=|B_n(x,f-f(z))|<B_n(x,2M((x-z)/r)^2+e/2)=(2M/r^2)B_n(x,(x-z)^2)+e/2가 성립해요.
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그런데 B_n(x,x)=x이고 B_n(x,x(1-x))=(1-1/n)x(1-x)이므로 (왜일까요? 직접 증명해 보세요)
B_n(x,(x-z)^2)=B_n(x,x^2)-2zB_n(x,x)+z^{2}B_n(x,1)=x^2+(1/n)(x-x^2)-2xz+z^2이에요.
따라서 |B_n(x,f)-f(z)|<e/2+2M(x-z)^2/r^2+2M(x-x^2)/nr^2가 성립하고,
그러므로 x에 z를 대입하면, |B_n(z,f)-f(z)|<e/2+2M(z-z^2)/nr^2이 성립해요.
그런데 [0,1]에서 함수 z-z^2의 최대값은 1/4니까, 결국 |B_n(z,f)-f(z)|<e/2+M/2nr^2이 성립하게 돼요.
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따라서, M/2er^2보다 큰 모든 자연수 n에 대해, 그리고 모든 z∈[0,1]에 대해, 우리는 |B(z,f)-f(z)|<e임을 알게 되었어요.
그러니, 다항식 P(z)=B(z,f)를 생각하면, 모든 x∈[0,1]에 대해 |f(x)-P(x)|<e임을 알게 돼요.
그러므로 C[0,1]에서 다항식들의 부분집합은 조밀해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 임의의 폐구간으로 확장
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이것이 바로 Weierstrass approximation theorem
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[임의의 폐구간 [a,b]에 대해 C[a,b]에서 다항식들의 집합은 조밀하다]
증명은 아주 자명해요. [a,b]에서 정의된 어떤 함수가 있으면 선형 변수변환을 통해 정의역을 [0,1]로 옮길 수 있어요.
그 변수변환을 다항식에 적용하면 다시 다항식이 돼요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제는 임의의 컴팩트 거리공간으로 확장
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이것이 바로 Stone-Weierstrass 정리
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[X가 컴팩트 거리공간이고 어떤 부분집합이 A⊂C(X)이 다음의 조건들을 만족한다고 하자:
(1) A의 임의의 두 원소의 합과 곱은 A의 원소이다
(2) A의 임의의 원소의 실수배는 A의 원소이다
(3) x≠y를 만족하는 모든 x,y∈X에 대해 어떤 f∈A가 존재하여 f(x)≠f(y)를 만족한다
(4) 상수함수 1은 A의 원소이다
그렇다면 A는 C(X)에서 조밀하다]
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 증명이 꽤 기니까 여러 단계를 거쳐서
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 천천히 증명해 보도록 해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 여기서 cl(A)는 A의 폐포
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ [참고: cl(A)는 덧셈, 곱셈, 실수배에 대해 닫혀 있겠죠?
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ 왜 그런지 모르겠으면 스스로 증명해 보는 것으로 해요]
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[단계 1: f∈cl(A)이면 |f|∈cl(A)이고, f,g∈cl(A)이면 max(f,g),min(f,g)∈cl(A)이다]
임의의 f∈cl(A)를 생각해요. X가 컴팩트이므로 X에서 정의된 연속함수인 f는 유계여야 해요.
그러니 a<f<b임 어떤 실수 a,b를 잡아요. 그리고 [a,b]에서 정의된 절대값 함수를 생각해요.
절대값 함수는 연속이므로, Weierstrass approximation theorem을 사용하면,
어떤 다항식 P가 존재해서 모든 x∈[a,b]에 대해 |P(x)-|x||<e가 성립함을 알 수 있어요.
그러면 함수 g=P∘f는 함수 f들을 서로 곱하고 더해서 만들어진 함수이므로, g∈cl(A)이 성립해요.
그런데 P의 정의에 의해 |g-|f||<e가 성립하고 cl(A)는 닫혀 있으므로, |f|∈cl(A)여야 해요!
그리고, max(f,g)=(f+g+|f-g|)/2, min(f,g)=(f+g-|f-g|)/2이므로, max(f,g)와 min(f,g) 모두 cl(A)의 원소가 돼요!
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
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[단계 2: 임의의 f∈C(X), x∈X, 그리고 임의의 양수 e에 대해, 어떤 g_x∈cl(A)가 있어서 g_x<f+e이고 g_x(x)>f(x)이다]
A의 조건에 의해 y≠x인 임의의 y∈X에 대해 어떤 H_y∈A가 있어서 h_y(x)≠h_y(y)여야 해요.
이제 함수 h_y(z)=pH_y(z)+q가 h_y(x)=f(x)+e/2와 h_y(y)=f(y)-e/2를 만족하게 하는 실수 p,q를 선택해요.
그러면 h_y∈A여야 해요. 이제 X의 열린 부분집합 U_y={z∈X|h_y(z)<f(z)+e}을 생각하면,
x,y∈U_y가 성립하므로, {U_y|y∈X-{x}}는 X의 열린 덮개가 돼요.
그런데 X는 컴팩트이므로 그 유한부분덮개 {U_{y_1},…,U_{y_n}}가 존재해야 해요.
이제 g_x=min(h_{y_1},…,h_{y_n}}을 생각하면, 단계 1에 의해 g_x∈cl(A)이며, g_x(x)=f(x)+e/2>f(x)이고,
임의의 z∈X를 잡으면, 어떤 i=1,…,n이 있어서 z∈U_{y_i}이어야 하니, g_x(z)≤h_{y_i}(z)<f(z)+e가 성립해요.
그러므로 g_x∈cl(A)이며 g_x<f+e이고 g_x(x)>f(x)이에요. 따라서 g_x가 바로 우리가 원하는 함수에요!
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[단계 3: 마무리]
임의의 f∈C(X)를 잡고, 각각의 x∈X에 대해, 단계 2에서 만든 함수 g_x를 생각해요.
그리고 X의 열린 부분집합 V_x={z∈X|g_x(z)>f(z)}를 생각해요. 그러면 x∈V_x이므로, {V_x|x∈X}는 X의 열린 덮개가 돼요.
그런데 X가 컴팩트이므로, 그 유한부분덮개 {V_{x_1},…,V_{x_n}}이 존재해야 해요.
이제 함수 g=max(g_{x_1},…,g_{x_n})을 생각해요. 그러면 g∈cl(A)가 성립해요.
그런데, 임의의 z∈X에 대해, 어떤 i=1,…,n이 존재해서 z∈V_{x_i}여야 하니, f(z)+e>g(z)≥g_{x_i}(z)>f(z)가 성립해요.
따라서 f<g<f+e, 그러므로 |g-f|<e예요.
여기서 e는 임의의 양수였으므로, f∈cl(cl(A))이 되는데, cl(A)는 닫혀 있으므로, cl(cl(A))=cl(A)이니, f∈cl(A)여야 해요.
그러므로 cl(A)=C(X), 즉 A가 C(X)에서 조밀해요!
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卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
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l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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이제 Weierstrass approximation 정리와 Stone-Weierstrass 정리를 사용해서
우리가 뭘 할 수 있는지 알아보도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 먼저 함수공간의 분해가능성에 대해서─
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[임의의 컴팩트 거리공간 X에 대해 C(X)는 분해가능이다]
공간 X는 컴팩트이므로 분해가능이니, 어떤 조밀가산부분집합 C⊂X가 존재해요.
그리고, x≠y를 만족하는 임의의 x,y∈C에 대해, 함수 f_xy(z)=d(x,z)-d(y,z)는 연속이며 f_xy(x)≠f_xy(y)가 성립해요.
이제 모든 함수 f_xy들과 그것들을 유리수배한 것들과 그것들끼리 더하고 곱해서 나오는 모든 함수들의 집합을 S라고 해요.
그러면 S는 가산이에요. 그런데 S는 Stone-Weierstrass 정리의 모든 조건들을 만족해요.
따라서 S는 C(X)에서 조밀해요. 그러므로 C(X)는 분해가능이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 폐구간에 대해서는, 약간 더 구체적으로─
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[모든 유리수계수 다항식들의 집합을 S라고 할 때, 임의의 폐구간 [a,b]에 대해, S는 C[a,b]의 조밀가산부분집합이다]
자명하죠? S의 폐포 cl(S)는 모든 실수계수 다항식들을 포함할 테니,
Weierstrass approximation 정리에 의해, 모든 연속함수들을 포함해야 하겠죠!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그리고 아주 기발한 응용법 하나
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[어떤 폐구간 [a,b]와 연속함수 f:[a,b]->R가 모든 자연수 n에 대해 ∫f(x)x^n dx=0을 만족하면, f=0이다]
모든 (실수계수) 다항식들의 집합 S는 C[a,b]에서 연속이므로, 어떤 균등수렴하는 다항함수 수열 {P_n}이 존재해서 그 극한이 f여야 해요.
이제, 주어진 조건과 적분의 선형성에 의해, 모든 다항식 P에 대해 ∫f(x)P(x)dx=0이 성립해요.
그러므로 모든 자연수 n에 대해 ∫f(x)P_n(x)=0이에요. 그런데 함수열 {fP_n}은 f^2으로 균등수렴해요.
따라서 우리는 ∫f^2=lim_{n->∞} ∫f(x)P_n(x)=0임을 알 수 있어요.
그런데 f^2은 연속함수이며 f^2≥0을 만족해요. 따라서 f^2=0이어야 해요. 왜 그럴까요?
그러므로 f=0이어야 함을 알 수 있어요!
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그런데, 만약 f가 실수공간 전체에서 정의된 연속함수이고 모든 자연수 n에 대해 이상리만적분값 ∫_{R} f가 0이라면,
과연 f=0이 성립해야 할까요?
rヘ ヽ,} _,...........,
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八 斗匕彡 . ′＾ ,.ィi:i;′:i:{:i:i:i:i:i/
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ゞ′
아뇨, 그렇지 않습니다! 반례가 있어요!
그런데 수학빌런은 그 반례를 까먹었습니다! 죄송해요─데헷!
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이것으로 함수공간에 대한 논의는 끝이에요! 참치분들이 즐거우셨다면 좋겠네요!
다음 강의에서 우리는─ 수열의 Cesaro 합과 Abel 합에 대해서 배워 보도록 해요!
[예고] 제 14강 : 수열의 Cesaro 합과 Abel 합
<제 14강 : 수열의 Cesaro 함과 Abel 합>
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|: : : : : : : | .∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
|: : : : : : : | ゝ三三三三三三三三三三三三三三三三彡
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|: : : : : : : | ./::::::::::::::::::::::/ ｀ ‐-三_三三, ､ _三三彡.;＂
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도-모, 민나=상, 수학빌런입니다.
이번 Lecture 에서 우리는 수렴하지 않는 수열의 합을 계산하는 방법에 대해 Learn 해 볼 것인 데스!
이 글은 한본리쉬체로 작성되었 DEATH !!
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실수들의 수열 {x_n}을 생각해요. 만약 그 무한합 ∑x_n이 존재한다면 참 좋겠죠.
하지만 세상에는 무한합이 수렴하지 않는 실수열들이 너무 많아요.
예를 들어서 -1,1,-1,-1,…은 무한합이 수렴하지 않아요.
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그렇다면 우리는 어떻게 해야 할까요?
옛날 서양의 두 성현, Cesaro와 Abel이 제안한 방법을 알아보도록 합시다.
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실수열 {x_n}이 주어질 때, 그 유한합들의 수열 {s_n=x_0+…+x_n}을 생각해요.
이 때, 주어진 수열 {x_n}이 Cesaro summable이라는 것은, 극한 lim_{n->∞} (s_0+…+s_{n-1}/n)이 존재한다는 것이에요.
{x_n}이 Cesaro summable한 경우, 극한값 lim_{n->∞} (s_0+…+s_{n-1})/n을 그 Cesaro 합으로 정의해요.
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이번에는, 실수열 {x_n}이 주어질 때, 멱급수 f(t)=∑(x_n)t^n을 생각해요.
주어진 수열 {x_n}이 Abel summable이라는 것은, 무한급수 f(t)가 모든 t∈(-1,1)에 대해서 수렴하고,
좌극한 lim_{t->1-} f(t)가 존재한다는 것이에요. 그 극한값을 {x_n}의 Abel 합으로 정의해요.
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자, 그렇다면 수열의 무한합의 수렴성, Cesaro summability, 그리고 Abel summability 사이에는
어떤 관계가 있을까요?
이제부터 그것을 알아보도록 해요.
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[실수열 {x_n}의 무한합 ∑x_n이 어떤 실수 L로 수렴한다면 {x_n}은 Cesaro summable하며 그 Cesaro 합은 L이다]
증명을 위해 ∑x_n=L인 실수열 {x_n}을 생각해요. 그리고 수열 {s_n=x_0+…+x_n}을 생각해요.
그러면 lim_{n->∞} s_n=L이므로, 임의의 양수 e에 대해 어떤 자연수 N이 있어서 N보다 큰 모든 자연수 n에 대해 |L-s_n|<e/2여야 해요.
이제 S=max(|L-s_0|,…,|L-s_N|)를 생각하면, 2SN/e보다 큰 모든 자연수 n에 대해,
|L-(s_0+…+s_n)/n|≤(|L-s_0|+…+|L-s_n|)/n<(SN+(e/2)(n-N))/n<e/2+SN/n<e/2+e/2=e가 성립해요.
그러므로 {x_n}은 Cesaro summable하며, 그 Cesaro sum은 L이에요.
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[실수열 {x_n}이 Cesaro summable하고 그 Cesaro 합이 L이면, {x_n}은 Abel summable하고 그 Abel 합이 L이다]
수열 {s_n=x_0+…+x_n}, {S_n=s_0+…+s_n}을 생각해요.
{x_n}이 Cesaro summable하고 그 Cesaro 합이 L이므로, lim_{n->∞} S_n/(n+1)=L이에요.
이제, |x|<1인 모든 실수 x에 대해, ∑(S_n)x^n=(1/(1-x))∑(s_n)x^n=(1/(1-x)^2)∑(x_n)x^n인데,
S_n은 n이 증가함에 따라 산술적으로 증가하므로 ∑(S_n)x^n이 수렴하고,
따라서 ∑(s_n)x^n과 ∑(x_n)x^n 모두 수렴해야 해요.
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＞''"ィ:i:i:i:i:i:iミｈ､_
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 참고: 1/(1+x)^2=∑(n+1)x^2
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 증명은 고등학교 수학이니 생략
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 임의의 x∈[0,1)을 잡으면 (1-x)^2∑(S_n)x^n=∑(n+1)(1-x)^2·x^n·(S_n/(n+1))이고 L=∑(n+1)(1-x)^2·x^n·L이므로,
|L-(1-x)^2∑(S_n)x^n|≤∑_{n=0,…,N} (n+1)(1-x)^2·x^n·|(S_n/(n+1))-L| + ∑_{n=N+1,…,∞} (n+1)(1-x)^2·x^n·|(S_n/(n+1))-L|이에요.
그런데, lim_{n->∞} S_n/(n+1)=L이므로, 첫 번째 항은 N이 고정될 때 극한 x->1에서 0으로 수렴해요.
그리고, 두 번째 항은 x에 상관없이 N이 충분히 클 때 그 값이 0에 충분히 가까워져요. 왜?
그러므로 lim_{x->1-} ∑(x_n)x^n=L, 따라서 {x_n}은 Abel summable하고 그 Abel 합이 L이에요!
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결국 우리는 수렴하는 무한합은 그 수렴값으로 Cesaro summable하고,
Cesaro summable한 무한합은 그 Cesaro 합의 값으로 Abel summable함을 알게 되었어요!
도식으로 그리면 이렇게 나타낼 수 있어요. [수렴] -> [Cesaro summable] -> [Abel summable]
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그렇다면 과연 Cesaro summable한 수열 중 그 무한합이 수렴하지 않는 것들이 있을까요?
과연 Abel summable한 수열 중 Cesaro summable하지 않은 것이 있을까요?
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네, 그렇습니다! 이제부터 그 반례들을 알아보도록 해요!
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먼저, 수열 a_n=(-1)^n을 생각해요.
그러면 이 수열의 무한합 ∑a_n은 당연히 수렴하지 않아요.
하지만, 수열 {s_n=a_0+…+a_n}의 일반항을 계산하면 s_n=(n이 짝수일 때 1, n이 홀수일 때 0)이기 때문에,
그 Cesaro sum은 lim_{n->∞} (s_0+…+s_{n_1})/n=1/2이에요!
다시 말해서, 수열 {1,-1,1,-1,…}은 무한합이 수렴하지 않지만 Cesaro summable하고, 그 Cesaro sum이 -1이에요!
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이제, 수열 a_n=(n+1)·(-1)^n을 생각해요. 그러면 수열 {s_n=a_0+…+a_n}은 1,-1,2,-2,3,-3,…으로 주어져요.
그러면, lim_{n->∞} (s_0+…+s_{2n})/(2n+1)=0이고 lim_{n->∞} (s_0+…+s_{2n+1})/(2n+2)=1/2이기 때문에,
극한 lim_{n->∞} (s_0+…+s_{n-1})/n은 존재하지 않아요. 따라서 {a_n}은 Cesaro summable하지 않아요.
하지만, lim_{x->1-} ∑(a_n)x^n=lim_{x->1-} 1/(1+x)^2=1/4이에요.
따라서 {a_n}은 Abel summable하고, 그 Abel 합은 1/4이에요!
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어떠셨나요? 무한합이 수렴하지 않는 수열이라도 어떤 경우에 무한합 비슷한 걸 계산할 수 있다는 것, 놀랍지 않나요?
아쉽지만 이 강의로 1변수 해석학은 끝이에요! 이걸로 해석학 개론의 1학기 내용은 끝이에요!
다음 강의부터는 해석학 개론의 2학기 내용, 다변수 해석학으로 찾아뵙겠습니다!
[예고] 제 15강 : 다변수함수의 미분에 대해
참치 여러분, 여기까지 잘 따라오셨다면 축하드립니다.
여러분은 해석학 개론이라는 전공수업의 한 학기 분량의 내용을 단 5일만에 익히셨습니다.
<제 15강 : 다변수함수의 미분에 대해>
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ゝ::_::::::::＼＿...／〃 ／三ヽi|三三三≧:. _ .:≦三=|三孑X´
￣ヽ:::::／ /斧ヽ.. ＼三=i/ヽ . 三三三三三三三三;|｀ ¨´=|
ゝ.′ <三三斧－-ゝ=丿三三｀ －―― - -- .´i三三=|
｀ - ― ´￣/三三三三三三三三三三∧三三;ヽ.
{三三三=;/三ヽ三ヽ三三三三ヽ三三三;∧仆个´
. ゝ三三=/三三ヽ三=ヽ三三三三=ヽ三三=∧ |
ゝ三;;/三三三ヽ三=;ヽ三三三三三=ヽ三=∧!
∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
ゝ三三三三三三三三三三三三三三三三彡
/:::::::｀ ‐----三三三三三三三三三三三, ´
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안녕하세요, 새로운 강의를 들고 찾아온 수학빌런입니다
오늘의 강의에서 우리는 다변수함수의 미분에 대해서 배울 것이에요!
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제부터 우리가 다룰 함수는 어떤 자연수 n,m에 대해
그리고 R^n의 열린 부분집합 U에 대해 f:U->R^m꼴의 함수들이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 연속성은 이미 거리공간 시절에 배웠죠?
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 하하호호 누루후후후
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
함수 f:U->R^m이 어떤 점 p∈U에서 미분가능하다는 것은
어떤 선형함수 D_p(f)(x):R^n->R^m이 존재해서
lim_{v->0} (f(p+v)-f(p)-[D_p(f)(x)](v))/||v||=0이라는 것이에요
여기서 ||v||는 R^n에서의 거리 d(v,0)의 제곱근을 의미하는 것이에요
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잠깐! 우리가 왜 1변수 함수에서처럼 (f(p+v)-f(p))/v 같은 걸 쓰지 않았을까요?
당연하죠, 혹시 벡터를 벡터로 나누는 방법 아시는 분 있으세요? (웃음)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 특별한 말이 없다면
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ U는 R^n의 열린 부분집합
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 함수 f:U->R^m과 p∈U 그리고 v∈R^n이 주어질 때,
함수 f가 [p에서 v방향의 방향미분을 가진다]는 것은 극한 D_v(f)(p)=lim_{h->0} (f(p+hv)-f(p))/h||v||가 존재한다는 뜻이에요.
그리고, 자연수 i=1,…,n에 대해 i방향의 단위벡터 e_i∈R^n을 생각하면,
함수 f가 [i번째 편미분을 가진다]는 것은 f가 e_i 방향의 방향미분을 가진다는 것이에요.
그 경우에, 그 방향미분 D_{e_i}(f)(p)를 우리는 D_i(f)(p)라고 써요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 1학기 분량 해석학 개론을 끝마치신 참치 여러분은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이제 이 정도 논리 비약은 뇌내필터링이 되실 것으로
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 저는 믿어 의심치 않사옵니다
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
물론 어떤 점에서 모든 방향으로 방향미분을 가진다고 그 점에서 미분가능해지는 것은 당연히 아니에요
하지만 어떤 점에서 미분가능하면 당연히 그 점에서는 모든 방향으로 방향미분을 가져요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여기서도 [미분가능]=[정의역의 모든 점에서 미분가능]
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 여기서도 [연속]=[C^0]
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
어떤 함수 f:U->R^m이 미분가능하면, 모든 점 x∈U에서 미분계수 D(f)(x)가 있어요
그 미분계수는 정의에 의해 R^n에서 R^m으로 가는 어떤 선형함수에요
이제 그런 선형함수들의 집합은 행렬 표현을 통해 nm차원 유클리드 공간에 집어넣을 수 있고,
nm차원 유클리드 공간은 거리공간이니, 우리는 x를 D(f)(x)로 보내는 함수 D(f):U->R^{nm}을 생각할 수 있어요
이 함수가 연속일 때 우리는 f가 C^1이라고 하는 것이에요
마찬가지로, 만약 f가 미분가능하고 Df가 C^k 함수라면 우리는 f가 C^{k+1} 함수라고 하는 것이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제, 만약 실수함수 f:U->R가 C^2라면, 2계 편미분 D_i(D_j(f))와 D_j(D_i(f))를 생각할 수 있어요
이 둘은 과연 같은 걸까요?
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YES, 그 둘은 같습니다. 이제부터 증명을 해 보도록 하죠!
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C^2인 어떤 실수함수 f:U->R, 그리고 점 p=(p_1,…,p_n)∈U가 주어졌다고 해요
U는 R^n의 열린 부분집합이므로 어떤 양수 e가 존재해서 (p_1-2e,p_1+2e)×…×(p_n-2e,p_n+2e)⊂U가 성립해야 해요
일반성을 잃지 않고 i=1, j=2라고 가정한 후, 실수 C=(f(p_1+e,p_2+e,p_3,…)-f(p_1+e,p_2,…)-f(p_1,p_2+e,p_3,…)+f(p))/e^2을 생각해요
그러면 평균값의 정리에 의해 어떤 r∈(0,e)가 존재해서, C=(D_1(f)(p_1+e,p_2+r,p_3,…)-D_1(f)(p_1,p_2+r,p_3,…))/e가 성립해요
그러면 다시 평균값의 정리에 의해 어떤 r'∈(0,e)가 존재해서, C=D_2(D_1(f))(p_1+r',p_2+r,p_3,…)가 성립하게 돼요
그런데 f가 C^2이므로 D_2(D_1(f))는 연속, 따라서 극한 e->0를 취해 주면 C->D_2(D_1(f))(p)가 돼요!
그런데 이건 1,2번째 좌표를 뒤집어도 똑같이 할 수 있으니, 극한 e->0에서 C->D_1(D_2(f))(p)가 돼요!
그러므로 D_2(D_1(f))=D_1(D_2(f))가 성립하는 것이죠!
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만약 주어진 함수 f:U->R이 C^2가 아니라 그저 2번 미분가능하기만 하다면, 과연 D_i(D_j(f))=D_j(D_i(f))가 성립할까요?
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卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云 궁금하면 직접 계산해 보세요
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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물론 그렇지 않아요. f(x,y)=((x,y)≠(0,0)일 때 xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2), (x,y)=(0,0)일 때 0)을 생각해 보면 알 수 있어요.
계산해 보면 D_1(D_2(f))(0,0)=1이고 D_2(D_1(f))(0,0)=-1임을 알 수 있어요.
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마지막으로 한 가지, 실수함수 f:U->R이 점 p∈U에서 미분가능할 때,
그 점에서의 미분계수를 우리는 f의 gradient라고 하고, ∇f(p)라고 써요.
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어떠셨나요? 이번 강의는 엄청 쉬웠지요?
다음 강의에서 우리는 역함수 정리를 증명해 보도록 해요!
[예고] 제 16강: 역함수 정리
역함수 정리는 증명이 엄청 길고 짜증나지만
저도 쓰기 정말 귀찮지만
어쩔 수 없습니다 해야만 해요(진지)
<제 16강 : 역함수 정리>
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ゝ::_::::::::＼＿...／〃 ／三ヽi|三三三≧:. _ .:≦三=|三孑X´
￣ヽ:::::／ /斧ヽ.. ＼三=i/ヽ . 三三三三三三三三;|｀ ¨´=|
ゝ.′ <三三斧－-ゝ=丿三三｀ －―― - -- .´i三三=|
｀ - ― ´￣/三三三三三三三三三三∧三三;ヽ.
{三三三=;/三ヽ三ヽ三三三三ヽ三三三;∧仆个´
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ゝ三;;/三三三ヽ三=;ヽ三三三三三=ヽ三=∧!
∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
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도-모, 민나=상, 제 16강을 가지고 돌아온 수학빌런 데스.
이번 강의에서 우리는 역함수 정리를 증명하고, 그것을 사용해서 상수계수정리(constant rank theorem)을 증명하고,
그 특수한 경우로서 음함수 정리(implicit function theorem)을 증명할 거에요!
쾌속으로 증명을 해 나갈 테니 최대한 또렷한 정신으로 집중해 주세요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 먼저 역함수 정리의 국소 버전
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[함수 f:U(⊂R^n)->R^n이 C^1이고, 어떤 p∈U에 대해 행렬 Df(p)가 역행렬을 가지면,
(1) 어떤 양수 r이 존재해서 f가 B_r(p)에서 전사함수이고,
(2) B_r(p)의 f에 의한 상 f(B_r(p))는 R^n의 열린 부분집합이며,
(3) f의 B_r(p)에서의 역함수를 g라고 하면 g는 C^1이다.]
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./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ 증명은 차근차근 단계를 밟아가며 하도록 해요
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }[참고] 역행렬을 갖는 행렬과 아주 가까운 행렬은 역행렬을 가져요.
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명은 행렬식 가지고 하면 돼요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ [참고 2] 행렬 A에 대해 ||A||=max_{||v||=1} ||Av||/||v||를 쓰면 d(A,B)=||A-B||는
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 행렬들의 공간에서 거리함수가 되고, 다른 행렬 B에 대해 ||AB||≤||A||·||B||가 성립해요.
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ 이 거리함수를 쓰나 A의 각각의 항들을 제곱해서 더한 후 제곱근을 취한 걸 쓰나
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′ 연속의 개념은 같아요(왜 그럴까요?). 그러니 우리는 앞으로 이 거리를 사용할 것이에요.
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[(1)의 증명]
Df(p)의 역행렬이 존재하므로, 각각의 y∈R^n에 대해, 함수 A(x)=x+(Df(p))^-1(y-f(x))를 생각해요.
그러면 A(x)=x라는 것은 y=f(x)라는 것과 동치에요. 그리고 DA(x)=I-(Df(p))^-1·Df(x)=(Df(p))^-1(Df(p)-Df(x))가 성립해요.
그런데 f가 C^1이므로, Df는 p에서 연속이에요.
따라서 어떤 양수 r이 있어서 모든 x∈B_r(p)에 대해 Df(x)가 역행렬을 갖고 ||Df(x)-Df(p)||<1/2||(Df(p))^-1||을 만족해요.
그렇다면 모든 x∈B_r(p)에 대해 ||DA(x)||≤||(Df(p))^-1||·||Df(p)-Df(x)||<1/2가 성립하게 돼요.
이제 평균값의 정리에 의해(어떻게?) 우리는 임의의 x,y∈B_r(p)에 대해 ||A(x)-A(y)||<||x-y||/2가 된다는 사실을 알게 돼요.
만약 어떤 서로 다른 두 x,y∈B_r(p)에 대해 A(x)=x이고 A(y)=y라면, ||x-y||=||A(x)-A(y)||<||x-y||/2가 되어서 모순이니,
우리는 방정식 A(x)=x가 B_r(p)에서 많아 봐야 한 개의 근을 가짐을 알 수 있어요.
따라서 y=f(x) 또한 B_r(p)에서 많아 봐야 한 개의 근을 가질 수 있으며, 그러므로 f는 B_r(p)에서 연속이어야 해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' T는 행렬의 transpose
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[(2)의 증명]
임의의 v∈f(B_r(p))를 생각하면, f(x)=v를 만족하는 어떤 x∈B_r(p)가 있어요.
B_t(x)⊂B_r(p)를 만족하는 양수 t를 잡고, B_t(x)의 경계 ∂B_t(x)에서 정의된 함수 L(z)=||f(z)-v||를 생각해요.
집합 ∂B_t(x)는 컴팩트이므로 L(x)는 ∂B_t(x)에서 최소값 m을 가져야 해요. 그런데 L의 함수값은 언제나 양수이므로 m도 양수여야 해요.
그러면, ||y-v||<m/3인 임의의 y∈R^n을 잡으면, 모든 z∈∂B_t(x)에 대해 ||f(z)-y||≥||f(z)-v||-||v-y||>2m/3이어야 해요.
이제 B_t(x)의 폐포 cl(B_t(x))에서 정의된 함수 H(z)=||f(z)-y||^2을 생각하면, H(x)=||y-v||^2<m^2/9이고,
모든 z∈∂B_t(x)에 대해 H(z)≥(2m/3)^2=4m^2/9가 성립해요. 따라서 H의 cl(B_t(x))에서의 최소값은 그 내부 B_t(x)에서 가져야 해요.
H가 최소값을 갖게 하는 점 w∈B_t(x)를 잡으면, ∇H(w)=0이어야 해요. (왜 그럴까요?)
그런데 f=(f_1,…,f_n), y=(y_1,…,y_n)으로 쓰면, 모든 j=1,…,n에 대해,
D_j(H)(w)=2·∑D_j(f_k)·(f_k(z)-y_k)가 성립하므로, ∑D_j(f_k)·(f_k(z)-y_k)=0이어야 해요.
따라서 (Df(w))^T·(f(w)-y)=0이에요. 그런데, Df(w)는 역행렬을 가지므로, f(w)=y여야 해요. 따라서 B_t(x)⊂f(B_r(p))에요.
그러므로 f(B_r(p))는 R^n의 열린 부분집합이어야 해요!
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[(3)의 증명]
(2)에 의해 f(B_r(p))는 R^n의 열린 부분집합이므로, 임의의 y∈f(B_r(p))에 대해, y에 아주 가까이 있는 y+k∈f(B_r(p))를 잡을 수 있어요.
(1)에 의해 f는 B_r(p)에서 전사함수이므로, 어떤 유일한 x∈B_r(p)와 x+h∈B_r(p)가 존재해서 f(x)=y와 f(x+h)=y+k가 성립해야 해요.
그런데 ||g(y+k)-g(y)-(Df(x))^-1·k||/||k||=||h-(Df(x))^-1·(f(x+h)-f(x))||/||k||=-(||h||/||k||)·||(Df(x))^-1·(f(x+h)-f(x)-Df(x)(h))||/||h||가 성립해요.
Df(x)의 정의에 의해, |h|->0에 대해 ||f(x+h)-f(x)-Df(x)(h)||/||h||->0이에요.
그리고, (1)에서 정의했던 함수 A를 생각하면, A(x+h)-A(x)=h-(Df(p))^-1·k가 성립하는데,
우리는 이미 ||A(x+h)-A(x)||<||h||/2임을 알고 있으므로, ||(Df(p))^-1·k||>||h||/2여야 하고, 따라서 ||h||/||k||<2||(Df(p))^-1||여야 해요.
그러므로 ||h||->0일 때, ||g(y+k)-g(y)-(Df(x))^-1·k||/||k||->0임을 알게 돼요.
따라서 g는 f(B_r(p))에서 미분가능하고, 그 미분계수는 Dg(y)=Df(g(y))^-1가 성립해요.
그런데, g가 연속이고 Df 또한 연속이며, 함수 A->A^-1는 역행렬은 갖는 행렬들의 (열린) 집합에서 연속이므로,
그들의 합성으로 나타낼 수 있는 Dg 또한 연속이어야 해요. 그러므로 g는 C^1 함수가 돼요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번엔 진짜 역함수 정리
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７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ [참고] 합성함수의 미분: D(g∘f)(x)=Dg(f(x))·Df(x)
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[함수 f:U(⊂R^n)->R^n이 C^1이고 모든 x∈U에 대해서 Df(x)가 역행렬을 가지면,
f(U)는 R^n의 열린 부분집합이고 f는 전사함수이며, 그 역함수 f^-1:f(U)->U 또한 C^1이다]
증명은 역함수 정리의 국소 버전을 사용하면 곧바로 할 수 있으니 생략하도록 해요.
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어때요? 우리는 말로만 듣던 역함수 정리를 증명할 수 있었어요!
이제 상수계수 정리로 넘어가 보도록 하죠!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번엔 상수계수 정리
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ [참고] 행렬 A의 계수 rk A는 A의 상의 차원수로 주어진다
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ [참고] C^k 미분동형사상은 전단사이며 C^k이고 그 역함수도 C^k인 함수
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[함수 f:U(⊂R^m)->R^n이 C^1이고 모든 x∈U에 대해 rk Df(x)=k이면,
임의의 p∈U에 대해 p를 포함하는 U의 열린 부분집합 S와 f(p)를 포함하는 R^n의 열린 부분집합 T,
그리고 C^1 미분동형사상 A:S->A(S)(⊂R^m), B:T->B(T)(⊂R^n)이 존재해서, A^-1∘f∘B(x_1,…,x_m)=(x_1,…,x_k,0,…,0)이 성립한다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 증명을 해 보도록 해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
rk Df(x)=k이므로, 일반성을 잃지 않고 행렬 Df(p)의 제일 왼쪽 위의 k×k 부분행렬이 역행렬을 가진다고 가정할 수 있어요.
그리고, 함수 f와 그 정의역 U를 적당히 평행이동시켜서 p=0, f(p)=0이 되게 할 수 있어요.
또한, R^m의 좌표를 (x_1,…,x_k,y_1,…,y_{m-k})로 쓰고, R^n의 좌표를 (u_1,…,u_k,v_1,…,v_{n-k})라고 쓰도록 해요.
이제, 사영함수 P_u(u_1,…,u_k,v_1,…,v_{m-k})=(u_1,…,u_k)와 P_v(u_1,…,u_k,v_1,…,v_{n-k})=(v_1,…,v_{n-k})를 생각하고,
함수 Q=P_u∘f, R=P_v∘f를 생각하면, 우리는 함수 f를 f(x,y)=f(Q(x,y),R(x,y))라고 쓸 수 있어요.
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이제 함수 H(x,y)=(Q(x,y),y)를 생각하면, H는 C^1이며,
만약 DQ의 왼쪽 k×k 부분행렬을 D_x(Q), 나머지 k×(m-k) 부분행렬을 D_y(Q)라고 쓰면,
D_x(Q)는 Df의 왼쪽 위 부분의 k×k 부분행렬이므로 가정에 의해 역행렬을 가지고,
DH=(D_x(Q) D_y(Q)) 가 성립하므로, det DH=det D_x(Q)≠0이 되어, DH는 역행렬을 가져요.
( 0 1 )
따라서, 역함수 정리에 의해, DH는 국소적으로 C^1 미분동형사상이 되어, C^1 역함수 H^-1(x,y)=(A(x,y),B(x,y))를 가져요.
여기서 A는 첫 k개 좌표, B는 나머지 m-k개 좌표를 나타내요. 물론 A와 B 모두 C^1이에요.
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그런데 H^-1의 정의역에 속한 모든 (u,v)에 대해 (u,v)=H(H^-1(u,v))=(Q(A(u,v),B(u,v)),B(u,v))이므로,
B(u,v)=v와 Q(A(u,v),v)=u가 성립하게 되어, f∘(H^-1)(u,v)=(Q(A(u,v),v),R(A(u,v),v))=(u,R(A(u,v),v))가 돼요.
그리고, 함수 R'(u,v)=R(A(u,v),v)를 생각하면, 우리는 f∘(H^-1)(u,v)=(u,R'(u,v))로 쓸 수 있어요.
그런데 DH는 역행렬을 가지므로, rk D(f∘(H^-1))=rk D(f)=k여야 하는데,
D(f∘(H^-1))=( I 0 )이 성립하므로, rk D_y(R')=0이어야 하고, 따라서 D_y(R')=0이에요.
(D_x(R') D_y(R'))
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그러므로, 평균값의 정리에 의해 함수 R'(u,v)의 값은 v와 무관하며,
따라서 어떤 C^1 함수 S가 있어서 f∘(H^-1)(u,v)=(u,S(u))가 성립해야 해요.
이제 함수 s(u,v)=(u,v-S(u))를 생각하면, s는 C^1 미분동형사상이고, s∘f∘(H^-1)(u,v)=(u,0)가 성립해요!
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우리는 역함수 정리를 이용해서 상수계수 정리를 증명하는데 성공했어요!
이제 마지막으로 상수계수 정리를 이용해 음함수 정리를 증명해 보도록 해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 음함수 정리!
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[함수 f:U(⊂R^{n+m})->R^m이 C^1이고, 어떤 (x,y)∈U에 대해 f(x,y)=0이며 D_y(f)(x,y)가 역행렬을 가지면,
점 x를 포함하는 열린 부분집합 W⊂R^n과 (x,y)를 포함하는 열린 부분집합 V⊂U,
그리고 C^1 함수 g:W->R^m이 존재해서 {(x,y)∈V|f(x,y)=0}={(x,g(x)|x∈W}이 성립한다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 상수계수 정리를 사용해 음함수 정리를 증명해 보아요
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조건에 의해 함수 f는 rank D(f)=m을 만족해요.
따라서, 상수계수 정리에 의해, 적당한 C^1 미분동형사상을 좌우에 합성함으로서,
우리는 일반성을 잃지 않고 f(x,y)=y라고 가정할 수 있어요.
이제 g를 항등함수 g(y)=y로 잡으면 문제의 조건이 만족돼요!
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어떠셨나요? 증명에 증명을 거듭했지만 결국 우리는 음함수 정리, 역함수 정리, 그리고 상수계수 정리를 증명할 수 있었어요!
이 세 정리는 다변수해석학의 미분 파트에서 가장 중요한 세 가지 정리랍니다!
다음 강의에서 우리는 다변수함수의 리만적분에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 17강: 다변수함수의 리만적분에 대해
<제 17강 : 다변수함수의 리만적분>
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도-모 참치=상, 강의를 들고 돌아온 빅-수학빌런 DEATH.
지난 강의에서 우리는 다변수함수의 미분에 대해 알아봤어요.
그러니 이번 강의에서 우리는 다변수함수의 적분에 대해 알아볼 것이에요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 직사각형을 그물모양으로 자르는 것을 상상해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
n차원 초입방체 C=[a_1,b_1]×…×[a_n,b_n]이 주어질 때,
C의 분할은 각각의 [a_i,b_i]들의 분할들의 곱을 뜻하고, C의 분할들의 집합을 P(C)라고 쓰도록 해요.
그리고, 분할 P∈P(C)가 주어질 때, P는 C를 여러 개의 작은 초입방체들로 나누는데,
P에 대한 점 선택이라는 것은, 나눠진 초입방체들에 각각에서 점 하나씩을 뽑아서 만든 집합을 의미하고,
P에 대한 점 선택들의 집합을 우리는 T(P)라고 쓰도록 해요.
분할 P∈P(C)에 대해, P가 만드는 초입방체 조각들의 부피들 중 가장 작은 값을 mesh(P)라고 쓰도록 해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
함수 f:C->R, 분할 P∈P(C), 그리고 점 선택 T∈T(P)에 대해,
P에 의해 분할된 C의 조각들 중 점 t∈T를 포함하는 조각을 c_t라고 하고, 그 부피를 vol(c_t)라고 할 때,
우리는 R(f,P,T)=∑_{t∈T} f(t)vol(c_t)를 정의해요.
또한, P에 의한 분할된 C의 조각들의 집합을 C(P)라고 할 때,
U(f,P)=∑_{c∈C(P)} vol(c)·sup f(c), L(f,P)=∑_{c∈C(P)} vol(c)·inf f(c)를 생각하고,
U(f)=inf_{P∈P(C)} U(f,P), L(f)=sup_{P∈P(C)} L(f,P)를 정의해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 앞으로 딱히 말이 없다면
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ C=[a_1,b_1]×…×[a_n,b_n] 이라고 하도록 해요
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함수 f:C->R이 리만적분가능이라는 것은, 어떤 실수 ∫_{C} f가 있어서, 임의의 양수 e에 대해 어떤 양수 r이 존재해서,
mesh(P)<r인 모든 P∈P(C)와 임의의 T∈T(P)에 대해 |R(f,P,T)-∫_{C} f|<e가 성립한다는 뜻이에요.
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[함수 f:C->R이 리만적분가능한 것과 U(f)=L(f)인 것은 동치이며, f가 리만적분가능할 때 U(f)=L(f)=∫_{R} f가 성립한다]
증명은 1변수 리만적분에서 했던 것과 똑같이 하면 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 측도 0이라는 개념을 R^n의 부분집합에 대해서도
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ R의 부분집합들과 같은 방법으로 정의할 수 있어요
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 그저 구간 대신 입방체를 쓰면 되는 일이에요
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[함수 f:C->R이 리만적분가능할 필요충분조건은 f가 유계이며 f의 불연속점 집합 D(f)가 측도 0인 것이다]
이것도 1변수의 경우와 똑같은 방법으로 증명할 수 있어요!
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이제, 임의의 부분집합 S⊂R^n에 대해서 S가 [조르당 가측(Jordan measurable)]이라는 것은, S가 유계이며,
함수 ch_S(p)=(p∈S일 때 1, 그렇지 않을 때 0)이 S를 포함하는 적당한 유계 입방체에서 리만적분가능하다는 뜻이에요
이 때, ch_S의 불연속점 집합 D(ch_S)는 정확히 S의 경계 ∂S로 나타나므로,
S가 조르당 가측이라는 것은 S가 유계이며 ∂S가 측도 0이라는 것과 동치가 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' D(f·ch_S)⊂D(f)∪D(ch_S)=D(f)∪∂S니까 당연하죠
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부분집합 S⊂R^n에서 정의된 함수 f:S->R이 리만적분가능이라는 것은,
함수 f·ch_S가 리만적분가능하다는 뜻이에요.
만약 S가 조르당 가측이고 f가 유계이며 D(f)가 측도 0이라면, f는 리만적분가능해요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 주어진 입방체 C=[a_1,b_1]×…×[a_n,b_n]⊂R^n에서 정의된 함수 f:C->R에 대해,
C'=[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n]으로 쓸 때, 각각의 점 p∈C'에 대해서,
구간 [a_1,b_1]에서 정의된 함수 f_p(x)=f(x,p)를 생각할 수 있어요.
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 우리가 증명할 것은 바로 푸비니의 정리!
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[리만적분가능한 함수 f:C->R이 주어질 때,
(1) 집합 T(f)={p∈C'|f_p는 리만적분 불가능}은 측도 0이며,
(2) C'에서 정의된 함수 p->∫f_p는 리만적분가능하고,
(3) ∫_{C} f=∫_{C'}(∫f_p)가 성립한다]
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 차근차근 증명해 보도록 해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 처음으로 증명할 것은 (1)
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
임의의 자연수 n에 대해, 집합 T(f,n)={p∈C'|U(f_p)-L(f_p)>1/2^n}을 생각해요. 그러면 T(f)=∪{T(f,n)|n∈N}이 성립해요.
임의의 P''∈P(C')에 대해, 집합 T(P'',f,n)={c∈C(P'')|c∩T(f,n)≠∅}을 생각해요. 그러면 T(f,n)⊂∪T(P''f,n)이 성립해요.
함수 f는 리만적분가능하므로 임의의 양수 e에 대해,
어떤 P=P'×P''∈P(C)=P[a_1,b_1]×P(C')가 존재해서 U(f,P)-L(f,P)<e/2^{n}이 성립해야 해요.
그러면 ∑_{c∈T(P'',f,n)} vol(c)≤2^n·∑_{c''∈C(P'')} vol(c'')·sup_{p∈c''}(U(f_p)-L(f_p))
≤2^n·∑_{c'∈C(P')}∑_{c''∈C(P'')} vol(c')vol(c'')·(sup f(c'×c'')-inf f(c×c''))
=2^n·∑_{c∈C(P) vol(c)(sup f(c)-inf f(c))=2^n(U(f,P)-L(f,P))<2^n(e/2^n)=e가 돼요.
그런데 e는 임의의 양수였으므로 우리는 T(f,n)이 측도 0이라는 결론을 얻어요.
그런데 T(f)=∪{T(f,n)|n∈N}이므로 T(f) 또한 측도 0이어야 해요!
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,| /ヾ! .|/ﾆﾆ个o｡._ } } |
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이번에는 (2)와 (3)을 동시에 증명하도록 해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
임의의 P∈P(C)를 P=P'×P'', P'∈P[a_1,b_1], P''∈C'로 표현하고, 점 p∈C'에 대해 함수 F(p)=∫f_p를 정의하면,
U(F,P'')=∑_{c''∈C(P'')} vol(c'')·sup F(c'')
≤∑_{c''∈C(P'')} vol(c'')·sup_{p∈C''} U(f_p,P')
=∑_{c'∈C(P')}∑_{c''∈C(P'')} vol(c')vol(c'') sup f(c'×c'')=U(f,P)가 성립해요.
마찬가지로 L(F,P'')≥L(f,P)가 성립해요. 따라서 L(f)≤L(F)≤U(F)≤U(f)가 성립하게 돼요.
그런데 f는 리만적분가능하므로 U(f)=L(f)=∫f여야 해요. 따라서 U(F)=L(F)=∫f예요.
그러므로 F는 리만적분가능하고 그 리만적분값이 ∫f가 돼요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이걸 이용한 한 가지 결과
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[조르당 가측인 S⊂R^m, T⊂R^n이 있고, 리만적분가능한 함수 f:SxT->R이 주어질 때,
(1) 집합 {s∈S|함수 f_s(t)=f(s,t):T->R이 리만적분 불가능}은 측도 0이고,
집합 {t∈T|함수 f_t(s)=f(s,t):S->R이 리만적분 불가능}도 측도 0이며,
(2) S에서 정의된 함수 s->∫f_s와 T에서 정의된 함수 t->∫f_t는 모두 리만적분 가능하고,
(3) ∫_{T}∫_{S} f_s=∫_{S} ∫_{T} f_t=∫_{S×T} f이다]
증명은 푸비니 정리 쓰면 곧바로 할 수 있어요!
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|: : : : : : : | .| ヽ i ｀ ― ´ ′ ヽ ヾ､ / .|
|: : : : : : : | t ＼.|⊂⊃ ゝ- ^ - ィ ＼ .i.ヽ / |
|: : : : : : : | t.ヽ i ･ ヾ i / / !
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|: : : : : : : | ＜三¨ ｀ ‐- _ _ -‐ / ＞ ´ |. /
|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
어때요? 우리는 미적분학에 나오는 푸비니 정리를 증명할 수 있었어요!
다음 강의에서는 다변수 미적분학에서의 변수변환 공식을 증명해 보도록 할게요!
[예고] 제 18강: 다변수 리만적분에서의 변수변환에 대해
죽음을!
택하겠다!!
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>>628 참치 씨, 혹시 이해가 가지 않으면 더 천천히 다시 한 번 읽어보는 것이에요!
계속 읽다보면 다 자연스럽게 느껴질 것이에요!
팁: 머리속에 최대한 이미지를 그리면서 읽어보세요!
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, 한 가지 말 안 한 게 있어요
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어떤 조르당 가측인 S,T⊂R^n이 있어서 S∩int(T)=int(S)∩T=∅이 성립하면,
임의의 리만적분가능한 f:S∪T->R에 대해 ∫_{S∪T} f=∫_{S} f+∫_{T} f입니다
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
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증명은 쉽죠? S∩T가 측도 0일 테니까요.
엄밀한 증명은 쓰기 귀찮으니 참치 여러분이 직접 하는 것으로 해요
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아, 물론 S와 T가 조르당 가측이면 S∪T 또한 조르당 가측이에요
왜냐고 물으시면 ∂(S∪T)⊂∂S∪∂T이기 때문이라고 대답할 수 있어요
<제 18강 : 다변수 리만적분에서의 변수변환에 대해>
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／ ㍊〟＼
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t.ヽ i ･ ヾ i / / !
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_ .｡-≧三三三三i三三三=/仆::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/i三三三炒
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ゝ::_::::::::＼＿...／〃 ／三ヽi|三三三≧:. _ .:≦三=|三孑X´
￣ヽ:::::／ /斧ヽ.. ＼三=i/ヽ . 三三三三三三三三;|｀ ¨´=|
ゝ.′ <三三斧－-ゝ=丿三三｀ －―― - -- .´i三三=|
｀ - ― ´￣/三三三三三三三三三三∧三三;ヽ.
{三三三=;/三ヽ三ヽ三三三三ヽ三三三;∧仆个´
. ゝ三三=/三三ヽ三=ヽ三三三三=ヽ三三=∧ |
ゝ三;;/三三三ヽ三=;ヽ三三三三三=ヽ三=∧!
∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
ゝ三三三三三三三三三三三三三三三三彡
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도-모, 참치=상, 새로운 강의를 가지고 돌아온 수학빌런 DEATH.
1변수 함수의 리만적분에서 우리는 이미 치환적분 정리를 증명했었죠.
이번 강의에서 우리는 다변수 함수의 리만적분의 치환적분정리는 어떤 형태인지,
그리고 그것을 어떻게 증명할 수 있을지, 알아보도록 해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 먼저 함수의 Jacobian을 정의하도록 해요
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미분가능한 함수 f=(f_1,…,f_n):U(⊂R^n)->R^n과 점 p∈U가 주어질 때,
행렬 (D_j(f_i)(p))를 우리는 점 p에서의 함수 f의 Jacobian이라고 하고, J(f)(p)라고 써요.
만약 f가 C^1이라면, p∈U를 행렬 J(f)(p)로 보내는 함수 J(f)는 연속이겠지요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 치환적분 정리를 서술!
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[V가 R^n의 열린 부분집합이고, 리만적분가능한 함수 f:V->R과 C^1 미분동형사상 g:U(⊂R^n)->V가 주어질 때,
만약 det J(g)가 U에서 유계이고 det J(g^-1)가 V에서 유계이면,
V에서 정의된 함수 |det J(g)|·f∘g는 리만적분가능하며, ∫_{U} |det J(g)|·f∘g=∫_{V} f가 성립한다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 참치 여러분…
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 저, 여러분을 믿어요? (초롱초롱)
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에에─ 솔직히 이 정리는 증명을 엄밀하게 서술하기 정말 귀찮아요─
하지만 여러분은 이미 해석학 개론의 테크닉들을 많이 배웠잖아요?
그러니까 대충 아이디어만 서술하도록 할게요─
나머지는 이 어장을 읽고 계시는 참치 여러분들이 메꿀 수 있으리라 믿는 거예요─
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처음으로 할 것은, V를 포함하는 유계 입방체 C'를 잡는 것이에요.
그러면, g가 C^1 미분동형사상이므로, U는 유계여야 해요.
따라서 U를 포함하는 유계 입방체 C를 잡을 수 있어요.
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그 다음으로 우리는 C'의 아주아주 촘촘한 분할 P'∈P(C')를 선택해요
우리는 이미 f가 리만적분 가능함을 알고 있으므로,
임의의 작은 양수 e에 대해, P'가 충분히 촘촘하다면, 즉 mesh(P')가 매우 작다면,
부등식 U(f,P')-L(f,P')<e가 성립할 거에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 테일러 전개를 떠올려도 좋아요
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이제 c'∈C(P')를 아무거나 잡아요. 그리고 그 역상 g^-1(c')⊂U를 생각해요.
그리고, 임의의 점 선택 T'∈T(P')를 생각하고, c'에 속한 T'의 유일한 원소 t'(c')를 생각해요.
그러면 g^-1의 Jacobian J(g^-1)(t'(c'))는 선형함수예요.
그런데, g^-1가 C^1이므로, D(g^-1)는 연속이니까, 그리고 P''가 충분히 촘촘했으니까,
영역 c'에서 함수 g^-1은 함수 L(x)=g^-1(t'(c'))+J(g^-1)(t'(c'))(x)와 매우 가깝다고 할 수 있을 것이에요.
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그렇다면, 어떤 입방체 c_0와 c_1이 있어서, (1-e)vol(c')<vol(c_0)<vol(c')<vol(c_1)<(1+e)vol(c')이고,
c_0⊂c'⊂c_1이 성립하고, 또한 L(c_0)⊂g^-1(c')⊂L(c_1)가 성립하게 할 수 있을 거에요.
이제, 매우매우 촘촘한 P∈P(C)를 잡으면 집합 {c∈C(P)|c∩(L(c_1)-L(c_0))≠∅}의 원소들의 부피의 합이 e보다 작게 할 수 있어요.
그리고 P'가 충분히 촘촘했다면 집합 {c∈C(P)|c∩(L(c_1)-L(c_0))≠∅} 안의 각각의 원소 c에서 임의의 점 x를 뽑으면,
||f(g(x))-f(t(c))||<e가 되게 할 수 있을 거에요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
함수 f는 리만적분가능하므로 유계이어서, 어떤 양수 M이 존재해 ||det J(g)|·f∘g|<M이 성립할 것이에요.
그러면 임의의 T∈T(P)에 대해 |S(|det J(g)|·f∘g,P,T)-S(f,P',T')|<(e->0일 때 0으로 수렴하는 항)이 될 것이에요.
양변에 모든 T∈T(P)에 대한 상한과 하한을 취하고 삼각부등식을 사용하면,
우리는 |U(|det J(g)|·f∘g,P)-L(|det J(g)|·f∘g,P)|<(e->0일 때 0으로 수렴하는 항)이라는 사실을 얻어요.
그러므로 함수 |det J(g)|·f∘g는 리만적분가능해요.
따라서, ∫|det J(g)|·f∘g=∫f를 얻어요. 증명 끝!
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ﾄ､ ＼ | / ／ , / }!
､＼ ヽ､＼ | ／ / / /
卜 `ーr─‐＼ | ／ /ﾚ
} ＼/ ヽ| |i /，
八 「｀ヽ. __ | /! ／|/ ’-
ノ ヽ | ｌ| `‐､ / / }／ ノ云
l从| ハ/ハ /＿ -=≦===八
八/／ﾚ==∨{==============＼
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[연습문제] 위의 증명을 엄밀하게 만드시오
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
어때요? 증명의 아이디어는 쉽지요?
지금까지 해석학 개론을 잘 따라와 주신 참치분들이라면 빠진 엄밀성을 채워넣으실 수 있으리라 믿어요!
이것으로 해석학 개론은 끝이에요! 다음 강의부터는 선형대수학을 배워 보도록 해요!
[예고] 제 19강 : 체와 벡터공간에 대해
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, 해석학 개론의 마지막 연습문제.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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[f:[a,b]x[c,d]->R이 C^1이면 (∫f(x,y)dy)'=∫D_1(f)임을 증명해라]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 풀이는 아이디어만 쓸게요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 참치분들이 디테일을 알아서 채워넣는 것으로
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
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증명: 원시함수 정리, 푸비니 정리
사실 조건은 f가 C^1일 필요가 없고 그저 D_1(f)가 연속이기만 하면 됩니다
<제 19강 : 체와 벡터공간에 대해>
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도-모, 해석학 개론 강의가 끝나서 선형대수학 강의를 들고 온 수학빌런이에요!
드디어 해석학 개론은 끝인 거에요! ㅈ같은 입실론 델타 논법 더 안 봐도 돼요!
너무 신나는 것이에요! 사실 강의하는 입장에서도 쓰기 너무 귀찮았던 것이에요!
이번 강의에서 우리는 체와 벡터공간에 대해 알아보도록 해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' a×b를 줄여서 ab로 쓰는 것이에요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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어떤 집합 S와 연산 +:SxS->S, ×:SxS->S가 주어질 때, (S,+,×)가 [체(field)]라는 것은, 다음의 조건이 성립한다는 것이에요!
(1) 어떤 0,1∈S가 있어서 0≠1이고 모든 s∈S에 대해 s+0=s×1=s이며 s×0=0
(2) 모든 s,t∈S에 대해 s+t=t+s이고 st=ts
(3) 모든 s,t,u∈S에 대해 s(t+u)=st+su, s+(t+u)=(s+t)+u, s(tu)=(st)u
(4) 모든 s∈S에 대해 어떤 -s∈S가 존재해서 s+(-s)=0
(5) 모든 s∈S에 대해 만약 s≠0이라면 어떤 s^-1∈S가 존재해서 s×s^-1=1
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어떤 체 (K,+,×)가 주어질 때, 만약 어떤 부분집합 F⊂K가 존재해서,
임의의 c∈F에 대해 -c∈F이고 임의의 c∈F-{0}에 대해 c^-1∈F'이며,
임의의 c,c'∈F에 대해 c+c',cc'∈F이면, 우리는 F가 K의 [부분체(subfield)]라고 해요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 체의 예시를 들어 보도록 해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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우리 주위에 있는 체의 예시들
(1) 유리수체 (Q,+,×), 실수체 (R,+,×), 복소수체 (C,+,×). 실수체는 복소수체의 부분체이고, 유리수체는 실수체의 부분체에요.
(2) 임의의 소수 p에 대해 ({0,1,…,p-1},(덧셈한 후 p로 나눈 나머지),(곱셈한 후 p로 나눈 나머지))
(3) 임의의 소수 p에 대해 해석학 개론에서 배운 p진 유리수체 (Q_p,+,×)
(4) 임의의 체 (F,+,×)에 대해 F에서 계수를 갖는, 변수 x에 대한 다항식들의 집합을 F[x]라고 하고,
집합 F(x)={p/q|p,q∈F[x],q≠0}을 생각하면, (F(x),+,×)은 체가 돼요. 그리고 F는 F(x)의 부분체가 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 체 (F,+,×)에서 연산 +와 ×를 명시하기 귀찮으니
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그냥 F라고 불러요
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이제, 체 F가 주어질 때, 어떤 집합 V와 함수 +:VxV->V, ×:FxV->V가 있어서 다음의 조건을 만족할 때,
우리는 (V,+,×)를 F 위의 [벡터공간]이라고 불러요.
(1) 어떤 0∈V가 있어서 임의의 v∈V에 대해 v+0=v
(2) 임의의 v,w∈V에 대해 v+w=w+v, 임의의 u,v,w∈V에 대해 u+(v+w)=(u+v)+w
(3) 임의의 v∈V에 대해 1×v=v, 0×v=0
(4) 임의의 c∈F와 v,w∈V에 대해 c(v+w)=cv+cw
(5) 임의의 c,c'∈F와 v∈V에 대해 (cc')v=c(c'v)
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
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참고: 벡터공간 V에 대해 연산 ×:FxV->V는 [스칼라 곱셈]이라고 부릅니다.
F의 원소는 [스칼라]라고 부릅니다. V의 원소는 [벡터]라고 부릅니다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 우리 주위에는 벡터공간들이 많아요
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벡터공간의 예시들
(1) n차원 유클리드 공간 R^n은 R 위의 벡터공간
(2) 체 K와 그 부분체 F⊂K가 주어질 때 K는 F 위의 벡터공간 (그러므로 임의의 체 F는 F 위의 벡터공간)
(3) 체 F에 대해 F[x]와 F(x)는 모두 F 위의 벡터공간
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' S가 어떤 연산에 대해 [닫혀 있다]는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ S의 원소들에 대해 그 연산을 적용하면 결과값이 다시 S에 있다는 것
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체 F 위의 벡터공간 V와 그 부분집합 W⊂V가 있을 때,
W가 V의 부분공간이라는 것은 W가 V에서 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있다는 것
이 경우에 W는 자연스럽게 F 위의 벡터공간이 되는 것이에요
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체 F 위의 벡터공간 V와 그 부분집합 S⊂V가 주어질 때
S의 [선형생성(linear span)] span(S)은 S를 포함하는 가장 작은 V의 부분공간이에요
더 구체적으로 말하면 어떤 S의 유한부분집합 T와 어떤 함수 c:T->F에 대해
∑_{t∈T} c(t)·t 형태로 쓸 수 있는 V의 모든 원소들의 집합이 바로 span(S)인 것이에요
만약 span(S)=V라면 우리는 S가 V를 선형생성한다고 해요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' S의 진부분집합은 S의 부분집합이면서
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ S 자체가 아닌 임의의 집합을 말해요
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체 F 위의 벡터공간 V와 그 부분집합 S⊂V가 있을 때,
만약 span(S)=V이고 S의 임의의 진부분집합 T에 대해 span(T)≠V라면,
우리는 S가 V의 [기저(basis)]라고 말해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명은 참치들에게 맡기는 것이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
벡터공간 V가 있을 때 어떤 부분집합 S⊂V가 V의 기저라는 것은,
임의의 v∈V에 대해, 어떤 유일한 함수 c:S->F가 있어서,
집합 supp(c)={s∈S|c(s)≠0}이 유한집합이고, v=∑_{t∈supp(c)} c(t)·t가 된다는 것과 동치에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 선택공리는 참이라고 합시다
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 수학에서 우리는 선택공리가 참이라고 믿어야 하는 거에요
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임의의 벡터공간은 기저를 가져요. (선택공리를 가정하면요)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' cardinality라는 건 대충 집합의 원소 갯수로 생각하면 돼요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 유한집합에 대해서는 원소 갯수가 cardinality와 같으니까요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
임의의 벡터공간의 임의의 두 기저는 같은 cardinality를 가져요
다시 말해서, 벡터공간 V의 임의의 두 기저 S,T를 생각할 때,
어떤 전단사 함수 S->T가 존재해요
따라서 우리는 V의 [차원수(dimension)]를 V의 임의의 기저의 cardinality라고 정의해요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /'
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
cardinality라는 단어가 무서울 수 있지만 걱정하지 않아도 돼요
만약 V가 유한한 기저 S를 갖는다면 S의 원소 갯수가 바로 V의 차원수가 되니까요
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임의의 체 F와 임의의 집합 S가 주어질 때, 모든 함수 S->F들의 집합 F^S는 벡터공간이에요
또한, 임의의 s∈S를 s에서만 1의 값을 갖고 다른 S의 원소들에서 0의 값을 갖는 함수로 보내는 함수 i:S->F^S를 생각하면,
i는 전사함수이고 그 상 i(S)는 F^S의 기저가 돼요. 이것을 우리는 S로 생성되는 F 위의 벡터공간이라고 불러요.
이것으로부터 우리는 임의의 차원수를 갖는 벡터공간이 존재함을 알 수 있어요.
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임의의 체 F 위의 어떤 벡터공간 V와 그 부분집합 S⊂V가 주어질 때,
S의 원소들이 [선형독립(linearly independent)]라는 것은, S의 임의의 유한부분집합 T와,
임의의 함수 c:T->F에 대해, ∑_{t∈T} c(t)·t≠0이 성립한다는 뜻이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명은 참치들이 직접 해 보는 것이에요
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체 F 위의 벡터공간 V와 그 부분집합 S에 대해,
만약 S의 원소들이 선형독립이라면, S는 span(S)의 기저가 돼요
그리고, 만약 S가 V의 기저라면 S의 원소들은 선형독립이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 당연히 f(0)=0이겠죠
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)일 테니까
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이제 벡터공간들로부터 새로운 벡터공간을 만드는 방법을 알아보도록 해요.
체 F 위의 두 벡터공간 V,W가 있을 때, V에서 W로 가는 [선형사상(linear map)]은
다음의 조건들을 만족하는 함수 f:V->W에요.
(1) 임의의 v,w∈V에 대해 f(v+w)=f(v)+f(w)
(2) 임의의 c∈F와 v∈V에 대해 f(cv)=cf(v)
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만약 두 벡터공간 V,W 사이의 전단사 선형사상 T:V->W가 있으면,
우리는 T를 [동형사상(isomorphism)]이라고 하고, V와 W가 [동형(isomorphic)]하다고 하며, V≅W라고 써요.
동형인 두 벡터공간은 같은 차원수를 가져요.
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체 F 위의 두 벡터공간 V,W가 있을 때 그 사이의 선형사상들의 집합 L(V,W)를 생각하면,
임의의 두 원소 T,T'∈L(V,W)를 더하면 다시 선형사상이 되므로 T+T'∈L(V,W)가 돼요
그리고 임의의 c∈F와 T∈L(V,W)에 대해 cT 또한 선형사상이므로 cT∈L(V,W)가 돼요
따라서 우리는 L(V,W)가 F 위의 벡터공간이 됨을 알 수 있어요.
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우리는 다음의 방법을 통해 벡터공간 사이의 선형사상을 쉽게 기술할 수 있어요.
벡터공간 V,W의 기저 S,T가 각각 주어지고, 어떤 함수 f:S->T가 있으면,
supp(c)가 유한인 임의의 c:S->F에 대해 F(∑_{s∈S} c(s)·s)=∑_{s∈S} c(s)·f(s)가 되는 유일한 선형사상 F＝L(V,W)가 존재해요.
이 선형사상 F를 우리는 함수 f의 [선형확장(linear extension)]이라고 불러요.
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이제, 만약 W가 벡터공간 V의 부분공간이라면,
우리는 다음과 같이 V에 동치관계 ~을 줄 수 있어요:
[임의의 x,y∈V에 대해 x~y라는 것은 x-y∈W라는 것과 동치이다]
이 때 동치관계 ~에 의해 만들어지는 집합 V/~는 자연스럽게 벡터공간이 돼요.
이 공간을 우리는 W에 의한 V의 [몫공간(quotient space)]라고 하고, V/W라고 써요.
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이 때, dim(V/W)+dim(W)=dim(V)가 성립해요. 증명은 스스로 하는 것으로 해요.
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또한, 체 F 위의 벡터공간 V,W가 주어질 때 그 곱 V×W는 당연히 벡터공간이에요.
이것을 바로 V와 W의 [곱공간(product space)]라고 불러요.
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이 때 dim(V×W)=dim(V)+dim(W)가 성립해요. 증명은 스스로 하는 것으로 해요.
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벡터공간 V 안의 두 부분공간 W,W'가 있다면,
우리는 W∪W'로 생성된 부분공간 span(W∪W')를 생각할 수 있어요.
이 부분공간을 우리는 W+W'라고 써요.
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이제, 벡터공간 V,W와 선형사상 T∈L(V,W)에 대해,
그 [핵(kernel)] ker(T)는 V의 부분공간 {v∈V|T(v)=0}을 뜻하고,
그 [상(image)] im(T)는 W의 부분공간 T(V)를 뜻하고,
그 [여핵(cokernel)] coker(T)는 몫공간 W/im(T)를 뜻하며,
그 [여상(coimage)] coim(T)는 몫공간 V/ker(T)를 말해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이것이 바로 첫째 동형사상 정리(first isomorphism theorem)
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이제, 임의의 T∈L(V,W)는 T([v])=T(v)로 정의된 선형사상 T:coim(T)->im(T)를 만들어요.
이 선형사상은 전단사여야 해요. 따라서 coim(T)≅im(T)이고, dim coim(T)=dim im(T)가 성립해요.
그런데 coim(T)=V/ker(T)이므로 V/ker(T)≅im(T)이며 dim ker(T)+dim im(T)=dim V가 성립하게 돼요!
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 우리는 벡터공간 안의 두 부분공간의 합의 차원수를 계산할 수 있어요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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만약 벡터공간 V 안의 두 부분공간 W,W'를 생각하면,
우리는 자연스러운 함수 W×W'->W+W'를 생각할 수 있어요.
이 함수는 단사이고 그 핵은 W∩W'예요.
따라서 우리는 W×W'/W∩W'≅W+W'를 얻고,
그를 통해 dim(W)+dim(W')=dim(W+W')+dim(W∩W')라는 사실을 알 수 있어요.
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|:::::::::::::::::::| , ´ ㍉㌔ ＼
|:::::::::::::::::::| ／ ㍊〟＼
| ￣￣￣.| ./ i ㍻〟.∨
|: : : : : : : | / i - － - ㍉,. ∨
|: : : : : : : | / |i i ∨ ㍉. ∨
|: : : : : : : | ./ /t., ― ､´ Ⅱ. ∨
|: : : : : : : | .i| | i / ._ .__.ヽ . i ∨
|: : : : : : : | .| .| .|. 〃t._..ィ:::ヽ.＼ ヽ | |
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
어때요? 이것으로 첫 선형대수학 강의는 끝이에요.
참치 여러분이 재미있게 보셨기 바라는 수학빌런이에요!
[예고] 제 20강: 쌍대공간과 소멸자에 대하여
<제 20강 : 쌍대공간과 소멸자에 대하여>
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＿ , ´ 弋㌧｀ ＜
, ´ ㍉㌔ ＼
／ ㍊〟＼
/ i ㍻〟.∨
/ i - － - ㍉,. ∨
/ |i i ∨ ㍉. ∨
/ /t., ― ､´ Ⅱ. ∨
i| | i / ._ .__.ヽ . i ∨
| .| .|. 〃t._..ィ:::ヽ.＼ ヽ | |
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| t .| ∨ゝ _ ゝ::/ ＼. ＼ / |
| ヽ i ｀ ― ´ ′ ヽ ヾ､ / .|
t ＼.|⊂⊃ ゝ- ^ - ィ ＼ .i.ヽ / |
t.ヽ i ･ ヾ i / / !
ヽ| ＼ .|､ /i / ／ ./
＜三¨ ｀ ‐- _ _ -‐ / ＞ ´ |. /
,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
=s｡. -－ ヽ三三三三;j＞::::´::ー－－::´＜三j三三三{
_ .｡-≧三三三三i三三三=/仆::::::::::::::::::::::::::::::::::::::/i三三三炒
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ゝ::_::::::::＼＿...／〃 ／三ヽi|三三三≧:. _ .:≦三=|三孑X´
￣ヽ:::::／ /斧ヽ.. ＼三=i/ヽ . 三三三三三三三三;|｀ ¨´=|
ゝ.′ <三三斧－-ゝ=丿三三｀ －―― - -- .´i三三=|
｀ - ― ´￣/三三三三三三三三三三∧三三;ヽ.
{三三三=;/三ヽ三ヽ三三三三ヽ三三三;∧仆个´
. ゝ三三=/三三ヽ三=ヽ三三三三=ヽ三三=∧ |
ゝ三;;/三三三ヽ三=;ヽ三三三三三=ヽ三=∧!
∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
ゝ三三三三三三三三三三三三三三三三彡
/:::::::｀ ‐----三三三三三三三三三三三, ´
/::::::::::::::::::::::/ ｀ ‐-三_三三, ､ _三三彡.;＂
. /::::::::::::::::::::::/ ∨:::::::::::::::::::∧
도-모, 또 강의를 하나 들고 온 수학빌런이에요.
이번 강의에서는 쌍대공간과 소멸자 공간에 대해 알아보도록 해요!
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쌍대공간에 대해 알아보기 전에, 한 가지 짚고 넘어가도록 해요.
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[벡터공간 V와 선형독립인 부분집합 S⊂V가 주어질 때, 어떤 기저 B⊂V가 존재해서 B⊂S이다]
증명은 선택공리를 쓰면 되는데, 생략할게요. 귀찮으니까요!
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체 F가 있을 때 F는 그 자신 F 위에서의 1차원 벡터공간이죠
그러니, F 위의 벡터공간 V가 주어질 때,
우리는 선형사상들의 공간 V*=L(V,F)를 생각할 수 있어요
이것을 우리는 V의 [쌍대공간(dual space)]라고 해요
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어떤 벡터공간 W와 선형사상 T∈L(V,W)가 주어지면,
임의의 선형사상 f∈W*를 T와 합성해서 선형사상 f∘T∈V*를 얻을 수 있어요.
이것을 함수 T*(f)=f∘T로 나타내면, T*는 선형사상이 되어요. 즉, T*∈L(W*,V*)인 것이에요.
이 선형사상 T*를 우리는 T의 [전치(transpose)]라고 불러요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그냥 부분공간이라고 하면 거리공간의 부분공간과 혼동할 수 있으니
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이제부터 부분공간이 아니라 선형부분공간(linear subspace)라고 할게요
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체 F 위의 벡터공간 V와 임의의 부분집합 S⊂V에 대해,
집합 {f∈V*|모든 s∈S에 대해 f(s)=0}은 V의 선형부분공간이 돼요.
이 공간을 우리는 S의 [소멸자(annihilator)]라고 하고, S˚로 써요.
당연히, S˚=(span(S))˚가 성립해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 선형확장은 두 기저 사이의 함수뿐만 아니라,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ B가 V의 기저이고 W가 벡터공간일 때,
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 임의의 함수 g:B->W를 선형확장해서 유일한 G∈L(V,W)를 만드는 데 쓸 수도 있어요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
만약 S가 공집합이거나 {0}이라면, S˚=V*일 것이에요.
그렇다면, 만약 S˚=V*이고 S가 공집합이 아니라면, S는 어떤 집합일까요?
어떤 공집합이 아닌 S⊂V가 있어서 S˚=V*라고 가정하고, s≠0인 어떤 s∈S가 있다고 하면,
임의의 T∈V*에 대해 T(s)=0이어야 해요.
그런데 {s}⊂V는 선형독립인 부분집합이므로, s∈B를 만족하는 V의 기저 B를 잡고,
s에서만 함수값이 1이고 나머지 모든 원소에서 함수값이 0인 함수 g:B->F를 생각하면,
그 선형확장 G∈L(V,F)=V*은 G(s)=1을 만족해요. 모순! 그러므로 S는 {0}이어야 해요.
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이제, 벡터공간 V가 주어질 때, 그 [이중쌍대공간(double dual)], 즉 V의 쌍대의 쌍대, V**를 생각해요.
그러면 임의의 v∈V를 잡을 때, 임의의 T∈V*를 T(v)∈F로 보내는 함수 L(v)를 생각할 수 있고,
v를 L(v)로 보내는 함수 L:V->V**를 생각하면, L은 선형사상이 되어요.
또한, 만약 L(v)=0이라면, 임의의 T∈V*에 T(v)=0이어야 하므로 {v}˚=0이 되어, v=0임을 알게 돼요.
따라서 L은 전사함수인 선형사상이 돼요.
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일반적으로 L은 동형사상이 아니에요. 즉, 단사함수가 되지 않아요.
하지만, 만약 V가 유한차원이라면 어떤지 지금부터 알아볼게요.
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체 F 위의 유한차원 벡터공간 V가 주어질 때, 그 기저 B={b_1,…,b_n}을 잡아요.
그러면 각각의 i=1,…,n에 대해 T_i(b_j)=(j=i일 때 1, j≠i일 때 0)을 만족하는 선형사상 T_i∈V*가 있어요.
집합 {T_1,…,T_n}⊂V*는 선형독립이 되며, 임의의 T∈V*는 T=∑T(b_i)T_i로 나타낼 수 있으므로,
B*={T_1,…,T_n}은 V*의 기저가 돼요. 이 기저 B*를 바로 B의 [쌍대기저(dual basis)]라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 무한차원에서는 성립 안 합니다
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이제 각각의 i,j=1,…,n에 대해, L(b_i)(T_j)=T_j(b_i)는 i=j일 때 1, 그렇지 않을 때 0이 돼요.
따라서 {L(b_1),…,L(b_n)}⊂V**은 B*의 쌍대기저가 돼요.
그러니 L은 단사함수여야 하고, 그러므로 L은 동형사상이에요.
즉, 우리는 유한차원 벡터공간 V가 주어질 때 V와 V**는 동형임을 알게 되었어요.
또한, dim V=dim V*이라는 것도 알게 되었죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' res는 "restriction"의 줄임말
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ V에서 정의된 함수의 정의역을 S로 "제한한다"는 의미
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그렇다면, 체 F 위의 벡터공간 V와 그 부분지비합 S⊂V에 대해, 그 소멸자 S˚의 차원수는 어떻게 될까요?
span(S)는 V의 선형부분공간이므로, 자연스러운 선형사상 i:span(S)->V가 있어요.
이제 그 전치 i*:V*->span(S)*를 생각하도록 해요.
그런데 span(S)에서 정의된 임의의 선형사상은 V에서 정의된 선형사상으로 확장할 수 있으니(왜?) i*는 단사함수이고,
i*(T)=0이라는 것은 모든 s∈S에 대해서 T(s)=0이라는 것과 동치이므로 ker(i*)=S˚가 돼요.
따라서 1차 동형사상 정리에 의해 dim V*=dim ker(i*)+dim im(i*)=dim S˚+dim span(S)*가 돼요.
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만약 V가 유한차원이었다면, span(S)도 유한차원일 것이고,
따라서 dim V*=dim V와 dim span(S)*=dim span(S)가 성립할 거에요.
그러므로, 이 경우에, dim S˚=dim V-dim span(S)가 성립하게 돼요.
만약 S가 V의 선형부분공간이었다면, dim S˚=dim V-dim S가 되었겠죠?
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이제, 체 F 위의 유한차원 벡터공간 V와 그 부분집합 S⊂V가 주어질 때,
그 소멸자의 소멸자 S˚˚⊂V**는 무엇이 될까요?
먼저, V는 유한차원이므로 L:V->V**는 동형사상이니, V**의 임의의 원소는 어떤 v∈V에 대해 L(v)의 꼴로 쓸 수 있어요.
그러니, 임의의 원소 L(v)∈V**를 잡으면, L(v)∈S˚˚라는 것은 임의의 T∈S˚에 대해 T(v)=L(v)(T)=0이라는 뜻이고,
이것은 다시 말하면 모든 s∈S에 대해 T(s)=0인 모든 T∈V*에 대해 T(v)=0이라는 뜻이에요.
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만약 v∈span(S)라면 이것이 성립하게 되므로, L(span(S))⊂S˚˚라는 사실을 알 수 있어요.
만약 v∉span(S)라면, span(S)의 어떤 기저 B를 잡을 때 B∪{v}는 선형독립이고,
따라서 B∪{v}⊂B'인 V의 기저 B'가 존재해야 해요.
v에서 1의 값을 갖고 v가 아닌 모든 원소에서 0의 값을 갖는 함수 g:B'->F를 생각하면,
그 선형확장 G∈V*는 모든 s∈S에 대해서 G(s)=0이어야 하고 G(v)=1을 만족하니, 우리는 S˚˚⊂L(span(S))라는 것도 알 수 있어요.
따라서 S˚˚=L(span(S))가 돼요. 만약 우리가 L을 통해 V와 V**를 "같은 공간"으로 치부한다면, S˚˚=span(S)로도 쓸 수 있어요.
만약 S가 V의 선형부분공간이었다면, S˚˚=S가 되었겠지요.
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어때요? 오늘의 강의는 엄청 쉬웠죠? 참치분들이 다들 잘 이해하셨으면 좋겠어요!
다음 강의에서 우리는 선형사상과 행렬의 관계에 대해 알아볼 거예요!
[예고] 제 21강: 선형사상과 행렬의 관계에 대해
1장당 분량을 최소 지금의 2-4배로 늘려주실 수 있을까요??사싱 2-4배 분량도 컴팩트한 편이겠이지맘 지금은 무슨 해석학 시험전 전단웜 20분 총정리 급의 압축성이라 초입자는 정말 힘들어요...
그리고 특히나 어려운 수학인데 가독성이 낮다고 해야되나요...
글씨크기는 어찌하기 힘들다 치더라도 정말 중요한 정리나 정의같은건 강조를 한다던가....
아니 일단 한 문장마다 엔터를 쳐주실 수 있을까요??
<제 21강 : 선형사상과 행렬의 관계에 대해>
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￣ヽ:::::／ /斧ヽ.. ＼三=i/ヽ . 三三三三三三三三;|｀ ¨´=|
ゝ.′ <三三斧－-ゝ=丿三三｀ －―― - -- .´i三三=|
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{三三三=;/三ヽ三ヽ三三三三ヽ三三三;∧仆个´
. ゝ三三=/三三ヽ三=ヽ三三三三=ヽ三三=∧ |
ゝ三;;/三三三ヽ三=;ヽ三三三三三=ヽ三=∧!
∨;;/三三三三丶三三丶三三三三三三三=ヽ
ゝ三三三三三三三三三三三三三三三三彡
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도-모, 새로운 강의를 들고 온 빅-수학빌런 데스.
우리는 지금까지 선형사상을 공부했는데, 선형사상들을 우리는 어떻게 나타낼 수 있는 걸까요?
이번 강의에서 우리는 행렬과 선형사상 사이의 관계를 알아볼 거에요!
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유한차원 벡터공간 V가 주어지고, dim V=n이라고할 때,
V의 [순서기저]라는 것은, V의 기저 B와 어떤 전단사 함수 f의 {1,…,n}->B의 순서쌍 (B,f)를 말해요.
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다시 말해서, V의 순서기저는 {b_1,…,b_n}이 V의 기저가 되는 순서쌍 (b_1,…,b_n)을 말해요.
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이제, 체 F 위의 어떤 유한차원 벡터공간 V,W와,
그 순서기저 {v_1,…,v_m},{w_1,…,w_n}에 대해,
어떤 n×m 행렬 A=(A_ij)가 주어지면, 임의의 c_1,…,c_m∈F에 대해 A(∑c_i·v_i)=∑c_i·A_ij·w_j를 생각함으로서,
우리는 행렬 A를 선형사상 A∈L(V,W)로 해석할 수 있어요.
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반대로, 선형사상 T∈L(V,W)가 주어질 때,
각각의 i=1,…,n에 대해 T(v_i)=∑T_ij·w_j를 만족하는 T_ij∈F를 찾으면,
우리는 선형사상 T를 행렬 T=(T_ij)로 해석할 수 있어요.
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그러니, 정의역과 공역의 순서기저가 이미 주어져 있다는 가정 하에,
우리는 선형사상과 행렬이 서로 완전히 같다고 이야기할 수 있어요.
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하지만 유한차원 벡터공간이 주어질 때, 그 공간은 항상 순서기저를 갖긴 하지만,
순서기저의 선택은 당연히 유일하지 않아요.
다시 말해서, 주어진 유한차원 벡터공간에 주어지는 자연스러운 순서기저는 없어요.
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만약 V의 순서기저 B_V={v_1,…,v_m}, B'_V={v'_1,…,v'_m},
그리고 W의 순서기저 B_W={w_1,…,w_n}, B'_W={w'_1,…,w'_n}을 생각하고,
어떤 주어진 선형사상 T∈L(V,W)를 기저 B_V, B_W를 사용해서 표현한 행렬이 A=[T]_{B_V,B_W}이고,
T를 기저 B'_V, B'_W를 사용해서 표현한 행렬이 A'=[T]_{B'_V,B'_W}라고 하면,
행렬 A와 A' 사이에는 어떤 관계가 있을까요?
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주어진 V의 순서기저 B_V와 B'_V를 생각해 보면,
우리는 각각의 i=1,…,n에 대해 v_i=∑P_ij·v'_i가 성립하는 P_ij∈F들을 찾을 수 있어요.
마찬가지로 w_i=∑Q_ij·w'_i가 성립하는 Q_ij∈F들도 찾을 수 있어요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 행렬 P=(P_ij)와 Q=(Q_ij)를 생각해요.
그러면, A'=QAP^-1가 성립해요! (연습문제: 왜 그럴까요?)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 어떤 행렬 A의 켤레류(conjugacy class)란
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ PAP^-1형태로 나타나는 모든 행렬들의 집합을 말해요
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
만약 V=W이고 V와 W에서 같은 순서기저를 사용했다면,
우리는 A'=PAP^-1를 얻었겠죠!
그러니까, 주어진 벡터공간 V에 순서기저가 주어지지 않았을 때,
선형사상 T∈L(V,V)에 해당하는 행렬은 그저 행렬 하나가 아니라,
행렬들의 켤레류 하나에 대응되어야 해요!
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|: : : : : : : | ,´三三三三=;i;三ヽ三= ￣=三／三i斧≧s｡ ゝ′
이제 이걸 가지고 재미있는 것을 해 보도록 해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 체 F 위의 행렬이란
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 행렬의 각 항이 F의 원소인 것들을 말해요
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ [참고] S_n={전단사함수 s:{1,…,n}->{1,…,n}}
（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′ 그리고 s∈S_n에 대해 sgn(s)=(∏_{1≤i,j≤n} (i-j))/(∏_{1≤i,j≤n} (s(i)-s(j)))∈{1,-1}
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉 그러면 sgn(ss')=sgn(s)sgn(s')가 성립해요
체 F 위의 n×n 행렬 A를 생각해요.
그러면 우리는 다음의 수들을 정의할 수 있어요.
det(A)=∑_{s∈S_n} (sgn(s)∏_{i=1,…,n} A_{is(i)}), Tr(A)=∑_{i=1,…,n} A_ii.
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ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
연습문제: det(A)det(B)=det(AB), Tr(AB)=Tr(BA)를 증명하시오.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 1=det(I)=det(AA^-1)=det(A)det(A^-1)이므로
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ det(A^-1)=det(A)^-1이 성립
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
위의 연습문제를 풀었다면, 우리는 임의의 행렬 B와 역행렬을 갖는 임의의 행렬 A에 대해 (둘 다 n×n)
det(ABA^-1)=det(A)det(B)det(A^-1)=det(B), Tr(ABA^-1)=Tr(A^-1·AB)=Tr(B)가 성립함을 알 수 있어요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
따라서, 임의의 선형사상 T∈L(V,V)에 대해, V의 임의의 순서기저 B를 잡고,
행렬 [T]_{B,B}의 det와 Tr을 생각하면, 그 값은 B와 무관하게 돼요.
그러므로 우리는 det T와 Tr T를 정의할 수 있게 돼요!
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어때요? 재미있으셨나요? 행렬식(det)과 trace는 사실 선형사상에 대해 주어지는 값이었답니다!
다음 강의에서는 특성벡터(eigenvector)와 특성치(eigenvalue)에 대해 배워 보도록 해요!
[예고] 제 21강: 특성벡터와 특성치에 대해
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아 이거 빼먹었다
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벡터공간 V,W가 있고 그 순서기저 B_V,B_W가 있을 때,
그 쌍대기저를 B*_V, B*_W라고 쓰면,
어떤 선형사상 T∈L(V,W)에 대해, 그 행렬표현 [T]_{B_V,B_W}와,
그 전치 T*∈L(V*,W*)의 행렬표현 [T]_{B*_V,B*_W} 사이에는 어떤 관계가 있을까요?
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B_V={v_1,…,v_n}, B_W={w_1,…,w_m}이라고 하고,
그 쌍대순서기저를 B*_V={S_1,…,S_n}, B*_W={T_1,…,T_m}이라고 쓰면,
정의에 의해 S_i(v_j)와 T_i(v_j) 모두 i=j일 때만 1이고 그렇지 않을 때는 0이에요.
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이제, 조건에 의해 T(v_i)=∑T_ij·v_j니까,
임의의 k=1,…,n에 대해 T*(T_i)(v_k)=T_i(T(v_k))=T_i(∑T_ki·v_k)=T_ki가 돼요.
따라서 T*(T_i)=∑T_ki·T_k가 돼요.
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따라서 행렬 [T]_{B*_W,B*_V}의 (i,j)번째 항은 T_ji가 되어야 해요.
그러므로 [T]_{B*_W,B*_V}는 행렬 [T]_{B_V,B_W}의 항들을 뒤집은 것, 즉 그 전치행렬이 되어야 해요!
이게 바로 선형사상의 전치와 행렬의 전치 사이의 관계인 것이에요!
<제 21강 : 특성벡터와 특성치에 대해>
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
벡터공간 V,W와 그 사이의 어떤 선형사상 T∈L(V,W)가 있을 때,
우리는 det(T)가 잘 정의된 F의 원소임을 알았어요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그렇다면, 미지수 x에 대해, 다항식 ch_T(x)=det(T-xI)를 생각하면,
ch_T는 잘 정의된 F[x]의 원소, 즉 F의 원소들을 계수로 갖고 x를 미지수로 하는 1변수 다항식이 돼요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } >>723에 오타, V,W가 아니라 V, 그리고 T∈L(V,V)
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
ch_T의 해, 즉 ch_T(c)=0을 만족하는 c∈F를 우리는 T의 [특성치]라고 해요.
만약 c가 T의 특성치라면 det(T-cI)=ch_T(c)=0이므로, (T-cI)(v)=0인 v∈V가 존재해야 해요.
그렇다면 Tv-cv=(T-cI)v=0이므로, Tv=cv여야 해요. 이러한 v를 우리는 T의 [특성벡터]라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' ch_T를 우리는 T의 [특성다항식]이라고 합니다
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 대수적으로 닫힌 체의 예: 복소수체 C
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
물론 주어진 선형사상 T가 특성치를 갖는다는 보장은 없어요.
그 선형다항식이 F에서 근을 갖지 않을 수 있기 때문이에요.
하지만, F가 [대수적으로 닫혀 있다]면, 즉 F에서 계수를 갖는 임의의 다항식이 F에서 모든 근을 갖는다면,
임의의 선형사상은 특성치를 가져야 해요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
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（ﾆ乂ﾆﾆﾆﾘﾆﾆﾆ}ﾆ;′
仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
만약 선형사상 T가 [대각화가능(diagonalizable)]이라면,
즉 V의 어떤 순서기저 B가 있어서 T의 행렬표현 [T]_{B,B}의 대각선을 제외한 모든 항이 0이라면,
그 행렬의 대각선에 나오는 항들이 바로 T의 모든 특성치들이 돼요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그렇다면 주어진 선형사상 T가 대각화가능할 필요충분조건은 무엇일까요?
지금부터 그것을 알아보도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 다항식 P∈F[x]와 선형사상 A∈L(V,V)에 대해,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ P(A)는 다항식 P의 x 자리에 A를 넣어서 계산한 값으로, P(A)∈L(V,V)입니다.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
먼저 알아야 할 정리가 있어요.
(Cayley-Hamilton 정리) 임의의 선형사상 T에 대해, ch_T(T)=0이다.
증명은 생략하도록 해요.
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이제 T의 [최소다항식(minimal polynomial)] m_T(x)를,
최고차항 계수가 1이며 p(T)=0인 다항식들 p∈F[x] 중 그 차수 deg(p)가 최소인 것으로 정의해요.
그러면 m_T는 ch_T를 나누어야 해요. 즉, 어떤 q∈F[x]가 존재해서 ch_T(x)=q(x)m_T(x)가 성립해야 해요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 대수적으로 닫힌 체 F 위의 벡터공간 V와 선형사상 T∈L(V,V)가 주어질 때,
우리는 어떤 c_1,…,c_k∈F와 n_1,…,n_k∈N-{0}을 잡아서 ch_T(x)=(x-c_1)^{n_1}…(x-c_k)^{n_k}로 쓸 수 있을 거예요.
m_T는 ch_T를 나누므로, 어떤 m_1,…,m_k∈N을 잡아서 m_T(x)=(x-c_1)^{m_1}…(x-c_k)^{m_k}롤 쓸 수 있어야 하겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 특성벡터는 0이 아닌 것으로 정의해요 (깜빡했다!)
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
만약 m_1=0이라면, 어떤 아주아주 큰 자연수 N을 잡으면,
m_T(x)가 ((x-c_1)…(x-c_k))^N을 나누므로, ((T-(c_1)I)…(T-(c_k)I))^N=0이어야 해요.
이제 c_1은 ch_T의 근이므로 T의 특성치이니, 특성치 c_1을 갖는 특성벡터 v∈V를 잡아요.
그리고 귀납적으로 다음의 논증을 할 것이에요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[어떤 c,c'∈F와 0이 아닌 v∈V에 대해, 만약 v가 특성값 c를 갖는 T의 특성벡터이고,
c≠c'라면, (T-c'I)v 또한 특성값 c를 갖는 T의 특성벡터이다]
증명은 간단해요. (T-c'I)v=Tv-c'v=(c-c')v인데, v≠0이고 c≠c'이므로 (T-c'I)v≠0이며,
(T-cI)(T-c'I)v=(T^2-(c+c')T+cc'I)v=(T-c'I)(T-cI)v=(T-c'I)(0)=0이기 때문이에요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제 >>732의 상황으로 돌아가면,
우리는 >>733의 결과를 귀납적으로 사용해서 [((T-(c_1)I)…(T-(c_k)I))^N](v)≠0임을 알 수 있어요.
모순! 따라서 m_1>0이에요. 마찬가지로, m_2,…,m_k 또한 양의 자연수가 되어야겠죠!
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만약 T가 대각화가능이라면, 당연히 m_1=m_2=…=m_k=1이 될 거에요.
이제, 만약 어떤 T∈L(V,V)에 대해 m_1=m_2=…=m_k=1, 즉 m_T(x)가 서로 다른 1차항들의 곱으로 표현된다면,
우리는 과연 T가 대각화가능이라는 결론을 낼 수 있을까요?
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어떤 T에 대해 m_T가 서로 다른 1차항들의 곱으로 표현될 때,
각각의 i=1,…,k에 대해 V의 선형부분공간 V_i=ker(T-(c_i)I)를 생각해요.
그리고 다항식 P_i(x)=m_T(x)/(x-c_i)를 생각해요.
그러면, 임의의 v∈V에 대해 (T-(c_i)I)P_i(T)v=m_T(T)(v)=0이므로,
주어진 v∈V를 순서쌍 (P_1(v),…,P_k(v))로 보내는 선형사상 A:V->V_1×…×V_k를 정의할 수 있어요.
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이제, 만약 어떤 다항식 p∈F[x]가 P_1,…,P_k를 모두 나눈다면 p는 상수, 즉 p∈F여야 하므로,
어떤 다항식들 Q_1,…,Q_k가 있어서 ∑P_i(x)Q_i(x)=1이 성립해야 해요. [연습문제: 왜 그럴까요? 힌트: 귀납법]
그렇다면, 순서쌍 (v_1,…,v_k)∈V_1×…×V_k을 ∑Q_i(v_i)로 보내는 함수 A':V->V_1×…×V_k를 생각하면,
임의의 v∈V에 대해 A'A(v)=(∑P_i(T)Q_i(T))v=v이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아 >>736, >>737에 오타
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ (P_1(v),…,P_k(v))가 아니라 (P_1(T)v,…,P_k(T)v)
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ ∑Q_i(v_i)가 아니라 ∑Q_i(T)v_i
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 아, 이번 강의에서
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' V는 암묵적으로 유한차원입니다
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그러므로 선형사상 A는 전사여야 하고, 따라서 dim V≤dim V_1×…×V_k=∑dim V_i가 성립합니다.
그런데, 만약 어떤 (v_1,…,v_k)∈V_1×…×V_k가 어떤 d_1,…,d_k∈F에 대해 ∑d_i·v_i=0을 만족시킨다면,
각각의 i에 대해 0=P_i(T)(∑d_j·v_j)=d_i·P_i(T)v_i가 되는데, >>733의 논의에 의해 P_i(T)v_i≠0이어야 하므로, d_i=0이어야 하죠.
따라서 모든 d_i가 0이고, 그러므로 (v_1,…,v_k)를 ∑v_i로 보내는 함수 V_1×…×V_k->V는 전사입니다.
그러므로 ∑dim V_i≤dim V, 즉 dim V=∑dim V_i.
다시 말해서, 전사 선형사상 A의 상의 차원수는 그 공역의 차원수와 같아야 하고, 그것은 즉 A가 사실 전단사임을 의미해요!
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같은 논리로, (v_1,…,v_k)를 ∑v_i로 보내는 전사 선형사상 V_1×…×V_k->V 또한 사실 전단사여야 해요.
이것은 다시 말해서, 임의의 v∈V에 대해 유일한 (v_1,…,v_k)∈V_1×…×V_k가 있어서 v=∑v_i로 나타낼 수 있다는 뜻이에요.
따라서, 각각의 i=1,…k에 대해 V_i의 순서기저 B_i를 잡으면, ∪{B_i|i=1,…,k}는 V의 순서기저가 됩니다.
그런데 이 순서기저를 이용해 T를 표현하면 대각행렬이 됩니다!
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그러므로 우리는 이런 정리를 증명했습니다.
[대수적으로 닫힌 체 F 위의 벡터공간 V와 선형사상 T∈L(V,V)가 있을 때,
T가 대각화가능할 필요충분조건은 다항식 m_T∈F[x]가 서로 다른 1차항들의 곱으로 나타나는 것이다]
그런데, 만약 F가 대수적으로 닫히지 않았다면, 우리는 무슨 말을 할 수 있을까요?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 기약다항식: 인수분해가 안 되는 다항식
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F가 임의의 체이고, 그 위의 벡터공간 V와 선형사상 T∈L(V,V)가 주어질 때,
T의 특성다항식 ch_T(x)가 일차항들의 곱으로 나타나지 않을 수 있습니다.
하지만 우리는 여전히 ch_T(x)를 기약다항식들의 곱으로 나타낼 수 있어요.
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선형사상 T가 [삼각화가능(triangulable)]이라는 것은,
V의 어떤 순서기저 B가 존재해서 T의 행렬표현 [T]_{B,B}가 우삼각행렬이라는 것이에요.
여기서 우삼각행렬은, 대각선 아래의 모든 항들이 0인 행렬을 의미해요.
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그러면 위에서 사용한 것과 같은 논리를 이용해, 이것을 증명할 수 있어요.
[ch_T(x)를 나누는 임의의 기약다항식은 m_T(x) 또한 나눈다]
[선형사상 T가 삼각화가능하다면, m_T(x)는 서로 다른 기약다항식들의 곱이다]
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그렇다면, 만약 m_T(x)가 서로 다른 기약다항식들의 곱이라면,
선형사상 T는 과연 삼각화가능할까요?
그것은 다음 강의에서 알아보도록 해요!
[예고] 제 22강: 선형사상의 유리표준형과 조르당표준형
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아 실수, >>744에서 [m_T는 서로 다른 기약다항식들의 곱이다]가 아니라 [m_T를 나누는 임의의 기약다항식은 1차다항식이다]
>>745에서 [m_T가 서로 다른 기약다항식들의 곱이라면]이 아니라 [m_T가 1차다항식들의 곱이라면]
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수학빌런은 오늘 피곤하기 때문에
다음 강의는 내일 하도록 해요
아 아니다, 그냥 지금 빨리 투하해버리고 자도록 하죠....
<제 22강: 선형사상의 유리표준형과 조르당표준형>
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체 F 위의 유한차원 벡터공간 V와 선형사상 T∈L(V,V)가 있을 때,
T의 최소다항식 m_T(x)를 P_1(x)^{n_1}…,P_k(x)^{n_k}, P_1,…,P_k는 기약다항식, n_1,…,n_k∈N-{0}으로 분해할 수 있을 거에요.
그리고, 지난번 강의에서 썼던 논리를 사용하면,
우리는 어떤 선형부분공간 V_1,…,V_k⊂V가 있어서, 각각의 i에 대해 V_i=ker(P_1(T)^{k_i})이고,
임의의 v∈V에 대해 유일한 v_1∈V_1,…,v_k∈V_k가 존재해서 v=v_1+…+v_k로 쓸 수 있음을 알 수 있어요.
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따라서 우리는 문제를 단순화시켜서, T의 최소다항식 m_T(x)가 어떤 기약다항식 P(x)과 양의 정수 n에 대해,
m_T(x)=P(x)^n으로 나타내는 경우만 생각하면 충분해요.
이 경우에, 우리는 T를 어떤 행렬로 표현할 수 있는 걸까요?
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어떤 v∈V에 대해, p(T)v=0인 다항식 p∈F[x] 중 최고차항의 계수가 1이며 차수가 최소인 다항식 p_v(x)을 생각해요.
그러면, 우리는 이미 (P(T)^n)v=0임을 알기 때문에, p_v(x)는 P(x)^n을 나눠야 해요.
그런데 P(x)는 기약다항식이므로, n 이하의 어떤 자연수 k가 존재해서 p_v(x)=P(x)^k가 성립해야 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 다항식 p에 대해 deg(p)는 p의 차수
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그런데 T의 최소다항식은 P(x)^n이에요. 따라서 k가 n 미만이라면 P(T)^k≠0이 되어야 해요.
그러니, (P(T)^{n-1})v≠0인 v∈V를 찾을 수 있겠지요.
그러면 m_v(x)=P(x)^n=m_T(x)여야 해요.
따라서, 우리는 v,Tv,(T^2)v,…,(T^{k·deg(m_T)-1})v가 모두 선형독립임을 알 수 있어요.
이런 벡터 v를 일단 찾아놓고, 만약 {v,Tv,(T^2)v,…,(T^{k·deg(m_T)-1})v}가 V의 기저가 되지 않는다면,
우리는 같은 짓을 또 할 새로운 벡터 w를 찾아야 해요.
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w를 어떻게 찾아야 할까요?
선형사상 T는 V에 작용하지만, W=span{v,Tv,(T^2)v,…,(T^{k·deg(m_T)-1})v}⊂V를 생각하면, T는 L(V/W,V/W)의 원소이기도 해요.
V/W에 작용하는 T의 최소다항식을 m'_T라고 하면, m'_T(x)=P(x)^k가 어떤 k≤n에 대해 성립해야 해요.
만약 k=n이라면 위에서 했던 짓을 똑같이 해서 원소 [w]∈V/W를 찾고, 그걸 V로 올려서 적당한 w∈V를 찾으면 되니,
우리는 k<n이 과연 가능한지 알아보면 충분하겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 물론 k<n일 수 있어요
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만약 k<n이라면, P(T)^k∈L(V,V)는 그 상이 W에 들어 있어야 하기 때문에, P(T)^k∈L(V,W)가 돼요.
그리고 임의의 p∈W를 p 자신으로 보내는 함수 A∈L(W,V)를 생각하면,
임의의 w∈W에 대해 (P(T)^k)Aw=w가 되므로, ker(P(T)^k))=V/W가 되고, 이 등호는 T의 작용을 보존해야 해요.
따라서 이렇게 계속 해 나가면, 우리는 다음의 결론을 얻을 수 있어요.
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[어떤 V의 선형부분공간들이 존재해서, 각각의 부분공간들은 서로 교집합이 0이며, 그 모두의 합은 V이고,
각각의 부분공간 W에 대해 m_T(x)를 나누는 어떤 항 P(x)^t (여기서 P는 기약다항식, t는 자연수)가 존재해서,
어떤 w∈W에 대해 W는 {w,Tw,…,T^{t·deg(P)-1}w}를 기저로 갖는다]
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그런데, 만약 어떤 벡터공간 V에 선형사상 T∈L(V,V)가 존재해서 어떤 v∈V에 대해 {v,Tv,…,T^{deg(m_T)-1}v}가 V의 기저가 된다면,
그것을 순서기저 B로 생각하게되면 B에 대한 T의 행렬표현 [T]_{B,B}는 아주 간단해요.
그걸 companion행렬이라고 하는데, AA로 행렬을 표현하기 힘드니, 위키를 참고하도록 해요: https://en.wikipedia.org/wiki/Companion_matrix
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따라서 우리는 주어진 선형사상 T를 companion 행렬들을 나열할 꼴로 표현할 수 있음을 알았어요.
정확한 꼴은 http://mathworld.wolfram.com/RationalCanonicalForm.html 을 참고하도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' >>758에서 나온 것이 바로 T의 유리기본형이에요.
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만약 체 F가 대수적으로 닫혀 있다면, 기약다항식은 1차다항식들밖에 없어요.
이 경우에, 우리는 companion matrix 대신 훨씬 좋은 행렬들을 쓸 수 있어요.
그럴 때 우리가 얻는 것이 바로 T의 조르당 기본형이에요.
구체적인 행렬은 http://mathworld.wolfram.com/JordanCanonicalForm.html 을 참고하도록 해요.
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선형사상 T가 주어질 때, 그 유리기본형과 (가능하다면) 조르당기본형은 유일해요.
왜 유일한지 증명하는 것은 간단하니, [연습문제로 남기도록 해요].
[예고] 제 23강: 노름공간과 내적공간
<제 23강 : 노름공간과 내적공간>
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 노름은 화투로 해야 제맛
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 벡터란 V의 원소를 의미
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실수체 R 위의 벡터공간 V가 있을 때,
V의 노름(norm)이란 다음의 조건을 만족하는 함수 ||·||:V->R이에요
(1) 모든 벡터 v에 대해 ||v||≥0
(2) ||x||=0은 x=0과 동치
(3) 실수 r과 벡터 v에 대해 ||rv||=|r|·||v||
(4) 모든 벡터 u,v에 대해 ||u+v||≤||u||+||v||
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노름의 예시로는 R^n에서 ||(x_1,…,x_n)||=√((x_1)^2+…+(x_n)^2)
그리고 컴팩트공간 X에 대해 C(X)에서 ||f||=max |f|가 있어요
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실수체 위의 벡터공간 V가 있을 때
V의 내적(inner product)는 다음의 조건을 만족하는 함수 <·,·>:V×V->R을 말해요.
(1) <x,y>=<y,x>
(2) 모든 x에 대해 <x,x>≥0, 그리고 <x,x>=0은 x=0과 동치
(3) 실수 r에 대해 r<x,y>=<rx,y>
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V에 내적이 있으면 ||x||=√<x,x>는 V의 노름이 돼요
따라서 내적은 노름보다 강한 무언가인 것이에요
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내적공간에서는 아주 중요한 부등식이 성립해요
[코시-슈바르츠 부등식] 모든 x,y에 대해 <x,y>^2≤<x,x><y,y>, 즉 <x,y>≤||x||·||y||
증명을 위해서는, 먼저 실수 c=<x,y>/<y,y>를 생각해요.
그러면 0≤<x-cy,x-cy>=<x,x>-2c<x,y>+c^2·<y,y>=<x,x>-2<x,y>^2/<y,y>+<x,y>^2/<y,y>=<x,x>-<x,y>^2/<y,y>가 돼요.
따라서 <x,y>^2≤<x,x><yy>가 성립해요!
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어떤 노름 ||·||이 어떤 내적 <·,·>에서 온다면, 다음의 등식이 성립해야 해요.
[평행사변형 법칙] ||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)
증명은 간단해요. ||x+y||^2+||x-y||^2=<x+y,x+y>+<x-y,x-y>=2<x,x>+2<y,y>=2(||x||^2+||y||^2)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아 실수, >>767에 (4) <u+v,w>=<u,w>+<v,w>를 추가해야 합니다
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어떤 노름 ||·||이 평행사변형 법칙을 만족한다면, 우리는 그것이 내적으로부터 온다는 것을 알 수 있어요.
[Polarization identity] <x,y>=(||x+y||^2-||x-y||^2)/4.
이것이 정말로 내적임을 알기 위해서는, <x+y,z>=<x,z>+<y,z>이고 실수 r에 대해 r<x,y>=<rx,y>를 보이면 충분해요.
먼저, ||x+y+z||^2=2(||x+z||^2+||y||^2)-||x-y+z||^2=2(||y+z||^2+||x||^2)-||y-x+z||^2이고,
따라서 ||x+y+z||^2=||x||^2+||y||^2+||x+z||^2+||y+z||^2-(||x-y+z||^2+||y-x+z||^2)/2가 돼요.
또한, 여기에서 z를 -z로 바꾸면 ||x+y-z||^2=||x||^2+||y||^2+||x-z||^2+||y-z||^2-(||x-y-z||^2+||y-x-z||^2)/2가 돼요.
그런데 ||x-y+z||^2=||-(x-y+z)||^2=||y-x-z||^2이고 ||y-x+z||^2=||-(y-x+z)||^2=||x-y-z||^2이므로,
우리는 <x+y,z>=(||x+y+z||^2-||x+y-z||^2)/4=(||x+z||^2-||x-z||^2+||y+z||^2-||y-z||^2)/4=<x,z>+<y,z>가 돼요.
이것으로부터 우리는 임의의 자연수 n에 대해 <nx,y>=<x+…+x,y>=<x,y>+…+<x,y>=n<x,y>임을 알 수 있어요.
그런데 <-x,y>=(||-x+y||^2-||-x-y||^2)/4=(-||x+y||^2+||x-y||^2)/4=-<x,y>이므로,
우리는 임의의 정수 n에 대해 <nx,y>=n<x,y>임을 알 수 있어요.
그렇다면 임의의 정수 p,q(여기서 q≠0)에 대해 <(p/q)x,y>=q<(p/q)x,y>/q=<px,y>/q=p<x,y>/q=(p/q)<x,y>가 되므로,
우리는 임의의 유리수 r에 대해 <rx,y>=r<x,y>임을 알게 되었어요.
그런데 norm은 연속이어야 하니, 고정된 y에 대해 x를 <x,y>로 보내는 함수는 연속이 되므로,
등식 <rx,y>=r<x,y>는 유리수뿐만이 아니라 임의의 실수 r에 대해서 성립해야 해요. 증명 끝!
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만약 노름 ||·||이 내적 <·,·>에서 나왔다면, Polarization identity에서 얻는 내적은 원래의 내적과 같아야 해요.
(증명: (||x+y||^2-||x-y||^2)/4=(<x+y,x+y>-<x-y,x-y>)/4=<x,y>)
그러므로 어떤 노름이 내적에서 올 필요충분조건은 그것이 평행사변형 법칙을 성립시키는 것이며,
평행사변형 법칙이 성립하는 노름을 만들어내는 내적은 유일하다는 사실을 알게 돼요.
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이걸로 내적과 노름의 기초이론은 끝이에요.
다음 강의에서는 내적공간에서의 대칭행렬의 특성값과 특성벡터 그리고 정부호사상의 성질에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 24강 : 내적공간에서의 spectral theory
해석학 왜 한학기만에 때려쳤는지 기분을 참치어장에서 느끼게 될 줄이야
<제 24강 : 내적공간에서의 spectral theory>
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실수체 위의 유한차원 벡터공간 V에 내적 <·,·>이 주어져 있다면,
v∈V를 함수 w-><v,w>로 보내는 함수는 V에서 V*로 가는 선형사상이 되고,
이 선형사상은 사실 동형사상이 됩니다
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그러므로 어떤 S∈L(V,V)가 주어질 때, 그 전치사상 S*∈L(V*,V*)를 생각하면,
위에서 만든 V와 V* 사이의 동형사상을 사용해 S*를 S^t∈L(V,V)를 만들 수 있습니다.
만약 S=S^t일 경우, 우리는 S를 [대칭]이라고 합니다
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그렇다면 대칭인 선형사상과 대칭인 행렬 사이에는 어떤 관계가 있을까요?
우선 사상과 행렬을 연관짓기 위해서는 순서기저가 필요하겠죠.
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V의 순서기저 B가 [직교]라는 것은, B의 임의의 서로 다른 두 원소가 직교라는 것입니다
물론 여기서 직교는 내적이 0이라는 뜻입니다
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임의의 순서기저를 가져오면, 우리는 그것으로부터 순서직교기저를 만들 수 있습니다
순서기저 {b_1,b_2,…,b_n}이 주어졌다고 할 때,
b'_1=b_1, b'_2=b_2-<b_2,b_1>/||b_1||, b'_3=b_2-<b_3,b_1>/||b_1||-<b_3,b_2>/||b_2||,…를 사용해 B'={b'_1,…,b'_n}를 만들면,
B'는 V의 순서직교기저가 됩니다.
이것을 우리는 [Gram-Schmidt 과정]이라고 해요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 아 이 주제글의 781에 오타
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' <b_2,b_1>/||b_1||이아니라 <b_2,b_1>b_1/||b_1||, 다른 것들도 모두 이렇게 바꿔야해요
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그러므로 실수체 위의 임의의 유한차원 내적공간 V는 순서직교기저를 가져요
여기서 우리는 직교를 넘어서서 정규직교(orthonormal)이 되게 만들 수 있는데,
정규직교란 직교이면서 주어진 기저의 각각의 원소의 노름이 1이라는 뜻입니다
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이제, 순서정규직교기저에 대한 대칭사상의 행렬표현은 대칭행렬이며,
그 역 또한 성립해요
왜 그런지는 아시겠죠? 순서정규직교기저의 쌍대기저는 자기 자신이 되어야 하기 때문이에요
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V의 두 순서정규직교기저 B,B'가 있고,
B'를 B로 보내주는 선형사상 P를 생각하면,
P^t=P^-1가 성립함을 쉽게 알 수 있어요.
이러한 선형사상 P를 우리는 [직교(orthogonal)사상]이라고 해요.
마찬가지로 A^t=A^-1인 행렬 A를 우리는 [직교행렬]이라고 해요.
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어떤 선형사상이 대칭사상인 것은 사실 self-adjoint라는 것과 동치에요.
내적공간 V,W가 있을 때, 어떤 사상 S∈L(V,W)가 self-adjoint라는 것은,
임의의 v,w에 대해 <Sv,w>=<v,(S^t)w>가 성립한다는 거에요.
증명은 간단하니 생략!
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주의: 무한차원에서는 성립하지 않는 이야기입니다
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 갑자기 복소수로 넘어가서 당황스러우실 수 있지만
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 대충 넘어가주세요 여기서 텐서곱을 설명할 수는 없으니
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 실수 위의 내적을 복소수 위의 Hermitian 내적으로 확장할 수 있다는 것만 알아두세요
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이제 spectral theory라는 걸 해 보도록 하죠!
어떤 self-adjoint 선형사상 T∈L(V,V)가 주어질 때,
T는 실수 위에서 특성치와 특성벡터를 갖지 않을 수 있지만, 복소수 위에서는 가져야 합니다
그런데, T의 복소수 위에서의 특성치 c와 그에 딸린 특성벡터 v를 생각하면, Tv=cv이므로,
만약 c의 켤레복소수를 c', v의 켤레벡터의 전치를 v'라고 쓰면, c<v,v'>=<Tv,v'>=<v,Tv'>=c'<v,v'>가 되는데,
<v,v'>=||v||^2≠0이므로, c=c', 따라서 T의 모든 특성치는 실수에요.
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이제 self-adjoint 선형사상 T가 (양/음의) 정부호행렬이라는 것은,
임의의 0이 아닌 벡터 v에 대해 <v,Tv>가 (양/음)수라는 뜻이에요.
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당연히 어떤 대칭행렬이 양/음의 정부호행렬인 것은
모든 특성치가 양/음이라는 것과 동치에요
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그런데 특성치를 알려면 방정식을 열심히 풀어야 돼요.
그러지 않고도 주어진 대칭행령이 양/음이라는 것을 보이는 방법이 있을 까요?
네, 있습니다.
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대칭행렬 A가 주어질 때 그 k번째 주소행렬(principal minor)이란 제일 좌상단에 있는 k×k 부분행렬을 말해요
[Sylvestor의 판별법: A가 양의 정부호행렬인 것은 모든 주소행렬들의 행렬식(determinant)가 양수인 것과 동치이며,
A가 음의 정부호행렬인 것은 1번째 주소행렬이 음수이고 주소행렬들의 행렬식의 부호가 계속 바뀌는 것과 동치이다]
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증명은 귀납법으로 하도록 해요. A가 1×1 행렬, 즉 실수일 때는 자명한 이야기죠.
그러니, 우리는 이제 (k-1)×(k-1) 행렬에 대해 Sylvester의 판별법을 알고 있다고 가정해요.
그리고 A가 양의 정부호행렬인 경우만 다루도록 해요. 음의 경우도 똑같이 하면 되거든요.
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이제 어떤 k×k 대칭행렬 A가 주어질 때, 그 특성치들을 생각해요.
그들 중 가장 큰 특성치는 정확히 max_{v≠0} ||Av||/||v||와 같아야 해요.
그런데, 만약 A의 i번째 주소행렬을 A_i라고 하고 A_i가 작용하는 V의 부분공간을 V_i라고 하면,
(A의 가장 큰 특성치) = max_{v≠0} ||Av||/||v|| ≥ max{v≠0,v∈V_{k-1}} ||Av||/||v|| = max{v≠0,v∈V_{k-1}} ||(A_i)v||/||v||=(A_i의 가장 큰 특성치) > 0이 성립하므로,
A의 가장 큰 특성치는 양수에요.
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과연 A의 특성치들 중 2번째로 큰 녀석은 양수일까요?
A의 가장 큰 특성치를 갖는 특성벡터 v를 잡고, V의 원소들 중 v와 직교하는 것들의 부분공간을 W라고 하면,
임의의 w∈W에 대해 <Aw,v>=<w,Av>=(A의 가장 큰 특성치)·<w,v>=0이므로, A는 W를 W로 보내고,
따라서 W에 작용하는 self-adjoint 선형사상으로 볼 수 있어요.
마찬가지로, A_i는 W_i=V_i∩W에 작용하는 self-adjoint 선형사상으로 볼 수 있어요.
이제, (A의 2번째로 큰 특성치)=max_{w≠0,w∈W} ||Aw||/||w|| ≥ max_{w≠0,w∈W_i} ||Aw||/||w||=(A_i의 W_i에서의 가장 큰 특성치) ≥ (A_i의 가장 작은 특성치) > 0이 성립하므로,
A의 2번째로 큰 특성치 또한 양수여야 해요.
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이렇게 계속 해 나가면, A의 가장 작은 특성치를 제외한 모든 특성치들이 양수임을 알 수 있어요.
그런데, A의 가장 작은 특성치가 양수가 아니라면, det A=(A의 모든 특성치들의 곱)이므로, det A≤0이어야 해요.
그런데 A의 k번째 주소행렬은 A 자신이므로, 조건에 의해 det A>0이에요. 모순!
따라서 A의 모든 특성치들은 양수여야 해요. 그러므로 A는 양의 정부호행렬이어야 해요!
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어때요? 재미있는 결과였지요?
이것으로 선형대수학은 끝이에요. 다음 강의에서는 일반위상수학으로 만나도록 해요!
[예고] 제 25강: 위상공간이란 무엇인가
우와 드디어 수학과 1학년을 벗어났어요 여러분! 박수!
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아 >>787에 오타
V,W가 아니고 V, L(V,W)가 아니라 L(V,V)
<제 25강 : 위상공간이란 무엇인가>
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오늘은 드디어 위상수학을 시작하도록 해요!
여러분, 위상공간이라는 게 대체 뭘까요?
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위상공간을 쉽게 말하면 함수의 연속성을 논하기 위한 최소의 조건인 것이에요
그렇다면 그게 대체 뭘까요?
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해석학 개론 파트에서 우리는 거리공간이라는 걸 정의했죠
어떤 집합 X에 거리 d를 주면, 우리는 X의 부분집합들 중 [열린 집합]들이 무엇인지 정의할 수 있었어요
그리고 두 거리공간 사이의 함수의 연속성은 열린 집합들만 가지고 정의할 수 있었죠
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그러면 우리는 이제 이렇게 생각하는 거에요
[연속성은 열린 집합을 사용해 정의할 수 있다]
[거리공간에서 열린 집합들은 거리를 사용해 정의할 수 있다]
[그렇다면 거리함수가 없더라도, 주어진 집합의 부분집합들 중 열린 집합들이 무엇인지 먼저 정해 놓고 시작하면 어떨까?]
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거리공간이 주어질 때, 열린 부분집합들은 다음의 성질을 만족하죠
[열린 부분집합들의 합집합은 열려 있다]
[유한 개의 열린 부분집합들의 교집합은 열려 있다]
[공집합과 전체집합은 열려 있다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' P(X)는 X의 모든 부분집합들의 집합
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이제, 집합 X가 주어질 때, 어떤 T⊂P(X)가 X 위의 [위상(topology)]라는 것은
(1) 공집합과 X가 T의 원소이고
(2) 임의의 S⊂T에 대해 ∪S∈T이고
(3) 임의의 유한부분집합 S⊂T에 대해 ∩S∈T라는 뜻이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 귀찮으니 웬만하면 (X,T) 대신 그냥 X라고 쓸거에요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ T의 원소들은 [열린 부분집합]이라고 하고
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ T의 원소들의 여집합들은 [닫힌 부분집합]이라고 할 거에요
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X 위의 두 위상 T,T'가 주어질 때, 만약 T⊂T'라면,
우리는 T'가 T보다 [촘촘하다(finer)]라고 하고, T가 T'보다 [성기다(coarse)]라고 해요
그리고 X 위의 위상 T가 있다면, 순서쌍 (X,T)를 우리는 [위상공간(topological space)]라고 해요
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이제 두 위상공간 X,Y와 함수 f:X->Y가 있을 때
f가 [연속]이라는 것은 임의의 Y의 열린 부분집합 S에 대해 그 역상(preimage) f^{-1}(S)가 열려 있다는 뜻이에요
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보통 위상공간들에는 열린 집합들이 너무 많아서 직접 표현하기가 힘들어요
그래서 우리는 집합 위의 위상을 쉽게 만드는 방법을 알아볼거에요
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어떤 집합 X가 있을 때 어떤 S⊂P(X)가 [기저(basis)]라는 것은
(1) ∪S=X이고
(2) 임의의 U,V∈X와 p∈U∩V에 대해 어떤 W∈S가 있어서 p∈W이고 W⊂U∩V라는 뜻이에요
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집합 X와 X 위의 기저 B가 주어질 때, 집합 S={∪A | A⊂B}⊂P(X)를 생각하면,
S는 X의 위상이 돼요. 이 위상 S를 우리는 [기저 B에 의해 생성된] 위상이라고 해요
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또한, 집합 X가 주어질 때, S⊂P(X)가 X의 [부분기저(subbasis)]라는 것은 ∪S=X라는 뜻이에요
부분기저 S가 있으면 B={∩Z | Z⊂S, Z는 유한집합}은 X의 기저가 돼요.
이 기저 B로 생성된 위상 T를 우리는 [부분기저 S에 의해 생성된] 위상이라고 해요
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이제 몇 가지 예시를 들고 끝내도록 해요
위상공간들의 집합 X가 주어질 때, 즉, X의 모든 원소가 위상공간일 때,
우리는 그 합집합 ∪X에 위상을 줄 수 있어요.
S={P|어떤 Z∈X에 대해 P는 Z의 열린 부분집합}은 ∪X의 기저이기 때문에,
그 기저에 의해 생성된 위상을 준 위상공간을 간단히 X의 원소들의 분리합공간 ∪X라고 써요
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이제, 위상공간들의 집합 X가 주어질 때, 그 곱집합 ∏X를 생각해요.
각각의 Z∈X에 대해, 자연스러운 사영(projection)함수 p_Z:∏X->Z를 생각하고,
각각의 열린 부분집합 U⊂Z에 대해 그 역상 (p_Z)^{-1}(U)를 생각하고, 그렇게 만들어진 ∏X의 부분집합들의 집합을 S라고 하면,
S는 ∏X의 부분기저가 돼요. 부분기저 S로 생성된 위상을 ∏X에 줘서 만들어지는 위상공간을, 우리는 곱공간 ∏X라고 해요.
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곱공간에서 주의할 점은, 각각의 Z∈X에 대해서 열린 부분집합 U_Z⊂Z를 선택했을 때,
그 곱집합 ∏{U_Z|Z∈X}는 ∏X에서 열려 있지 않을 수 있다는 점이에요.
이게 열린 부분집합이 되려면 X의 유한 개의 원소들을 제외한 모든 원소 Z에 대해 U_Z=Z여야 해요.
이게 바로 곱공간의 위상에서 가장 헷갈리지만 중요한 점이에요.
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거리공간 (X,d)가 주어질 때, 집합 B={B_r(x)(={y∈X|d(x,y)<r}) | r>0, x∈X}는 X의 기저가 돼요.
이 기저에 의해 생성되는 위상이 바로 d에 의해 생성되는 [거리위상(metric topology)]이에요.
거리공간의 열린 부분집합들과 거리위상에서의 열린 부분집합들은 완전히 같아요.
즉, 거리공간에서의 연속함수 이론은 결국 거리위상으로 다시 쓸 수 있는 것이에요.
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이번 강의는 여기까지에요! 다음 강의에서는 몫공간(quotient space)에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 26강: 몫공간에 대해
<제 26강 : 몫공간에 대해>
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하이 헬로 참치들, 수학빌런이 돌아왔death.
이번 강의에서는 몫공간에 대해 알아보도록 해요.
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위상공간 X가 주어지고, 집합으로서의 X 위에 동치관계 ~가 주어질 때,
우리는 그 몫집합 X/~={[x]|x∈X} 위에 자연스러운 위상을 줘서 위상공간으로 만들고 싶은 것이에요
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이 조건을 수학적으로 서술하면 어떻게 될까요?
자연스러운 위상이란 무엇일까요?
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우리가 만족시켜야 할 조건은 이렇게 쓸 수 있을 것이에요
[x를 [x]로 보내는 함수 p:X->X/~는 연속이고, 임의의 위상공간 Y가 있을 때,
어떤 함수 f:X->Y가 있어서 x~x'인 모든 x,x'∈X에 대해 f(x)=f(x')라면,
어떤 유일한 연속함수 g:X/~->Y가 있어서 f=gp가 성립한다]
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우리는 함수 g가 무엇인지 알고 있어요. 동치류 [x]∈X/~를 f(x)로 보내는 함수겠죠.
문제는 이 함수 g가 언제나 연속이 되려면 X/~에 어떤 위상을 줘야 하냐는 것이에요
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X/~에 위상을 줘서 위의 조건이 성립하게 했다고 가정해 봐요
만약 g가 연속이라면, 임의의 열린 부분집합 U⊂Y에 대해 g^-1(U)는 X/~의 열린 부분집합이어야 해요.
그리고 f=gp 또한 연속이므로 p^-1(g^-1(U))는 X의 열린 부분집합이어야 해요
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그렇다면 우리는 이렇게 생각할 수 있어요
[U⊂X/~가 열린 집합이라는 것이 p^-1(U)가 X에서 열린 집합이라는 것과 동치가 되게 하자]
즉, X/~ 위의 위상 {U⊂X/~ | p^-1(U)는 X의 열린 부분집합}을 생각해요
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이 위상이 정말 위상인지 체크해보면
(1) 공집합과 X/~의 역상은 각각 공집합과 X인데, 이들은 X에서 열려 있으므로 둘 모두 X/~에서 열려 있음
(2) X/~의 열린 부분집합들의 일반적인 합집합과 유한 교집합의 역상은 각각 역상들의 일반적인 합집합과 유한 교집합이 되므로 열려 있음
따라서 우리는 X/~에 위상을 주었고, 따라서 X/~를 위상공간으로 만들 수 있어요
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그러면 이 위상공간 X/~는 주어진 조건을 자명히 만족해요
이것을 우리는 [~에 의한 X의 몫공간]이라고 해요
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만약 부분집합 S⊂X가 있다면, 우리는 x,y∈X에 대해 x=y이거나 x,y∈S일 때에 한해 x~y가 되도록 하는
X 위의 동치관계 ~를 생각할 수 있어요
이 동치관계에 의한 X의 몫공간 X/~를 우리는 X/S라고 써요
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다음 예시로 넘어가기 전에 잠시 위상공간의 [부분공간(subspace)]에 대해 짚고 넘어갈게요
위상공간 X와 그 부분집합 S⊂X가 주어질 때, S 위의 위상 {U∩S | U⊂X는 열린 부분집합}을 생각할 수 있어요
이것을 바로 [부분공간 위상(subspace topology]라고 하고, 이 위상을 S에 줘서 만들어진 위상공간 S를 우리는 [부분공간(subspace)]라고 해요
정의에 의해, S의 원소 s를 X의 원소로서의 s로 보내는 자명한 함수 S->X는 연속함수가 돼요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 함수 f를 통해 S와 f(S)를 "붙였다"고 생각하면 돼요
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이제, 위상공간 X,Y와 X의 부분공간 S를 생각하고, 연속함수 f:S->Y가 주어지면,
우리는 분리합공간 X∪Y 위에서 다음과 같이 정의된 동치관계 ~를 생각할 수 있어요
[a,b∈X∪Y에 대해 a~b일 필요충분조건은 a=b이거나 어떤 s∈S가 있어서 {a,b}={s,f(s)}인 것이다]
이 동치관계에 의해 만들어지는 몫공간 X∪Y/~를 우리는 X∪_{f} Y라고 써요
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직접적인 예시를 들어 볼까요
구간 [0,2] 안의 부분집합 {0,1,2}를 생각하면 그 몫공간 [0,2]/{0,1,2}은 원 두 개가 한 점에서 만나는 모양이 돼요
실수공간 R 위에서 x~y <-> (x-y는 정수)가 되도록 정의된 동치관계 ~를 생각하면, R/~는 원이 돼요
구간 [0,1]의 부분공간 {0,1}에서 정의된 연속함수 f(x)=x:{0,1}->[0,1]을 생각하면, [0,1]∪_{f} [0,1] 또한 원이 돼요
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그럼 이번 강의는 여기까지! 위상공간을 머리속으로 주물럭거리며 자유로움을 느껴 보셨으면 좋겠어요!
다음 강의에서 우리는 위상공간의 컴팩트성과 연결성에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 27강: 위상공간의 컴팩트성과 연결성
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다음 강의 들어가기 전에 위상공간들의 예시를 몇 개 들어보도록 해요
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먼저, 임의의 집합 X에 대해, 모든 부분집합들의 집합 P(X)는 당연히 X 위의 위상이 돼요
위상 P(X)를 우리는 X 위의 [이산위상(discrete topology)]라고 해요.
이 위상공간 (X,P(X))에서는 X의 모든 부분집합들이 열려 있고, 따라서 모든 부분집합들이 닫혀 있어요!
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집합 X 위의 이산위상은 사실 적당한 거리에 대한 거리위상이에요
X 위의 거리 d(x,y)=(x=y일 때 0, x≠y일 때 1)을 생각하면, 거리공간 (X,d)의 위상이 정확히 이산위상인 것이에요
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이제, 집합 X에 대해, {∅,X} 또한 X 위의 위상이 돼요
이것을 우리는 X 위의 [비이산위상(indiscrete topology)]라고 해요
이 위상은, 만약 X의 원소 갯수가 둘 이상이라면, X 위의 어떤 거리에서부터도 올 수 없어요!
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당연한 말이지만, 이산위상은 주어진 집합 위의 가장 촘촘한 위상이고,
비이산위상은 주어진 집합 위의 가장 성긴 위상이에요
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임의의 집합에 줄 수 있는 또 다른 한 가지 위상을 더 알아볼게요
집합 X가 있을 때, 집합 {U⊂X | X-U는 유한집합}은 X 위의 위상이 돼요!
이 위상을 바로 X 위의 [여유한위상(cofinite topology)]라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 복국 맛있는데
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어때요, 세상에는 여러 가지 이상한 위상공간들이 많죠?
이 어장을 보는 참치에게 복이 있으라!
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다음 강의 하기 전에 표기법 하나를 확립하고 가도록 해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
집합들의 집합 X가 있을 때,
우리는 편의를 위해 어떤 집합 J를 잡아서 X를 X={X_w|w∈J}로 쓸 수 있어요
이 J는 보통 index set이라고 불러요
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예를 들자면 가산 개의 집합들의 집합 X가 있을 때,
우리는 X={X_0,X_1,X_2,X_3,…}로 쓸 수 있겠죠
이 때 index set은 자연수 집합이 되는 것이에요
우리는 이 표기법을 일반화한 것 뿐이에요
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이 때, X의 모든 원소들의 곱집합 ∏X의 임의의 원소는
임의의 w∈J에 대해 x(w)∈X_w를 만족하는 함수 x : J->∪X로 나타낼 수 있어요
이것을 우리는 순서쌍처럼 생각해서, a∈J에 대해 x(a)를 x_a로 쓰고, x를 함수 형태 대신 (x_a|a∈J), 또는 줄여서 (x_a)로 쓸 거에요
X가 유한집합일 때 X의 원소들의 곱집합의 원소가 유한 순서쌍으로 나타나는 것을 일반화한 표기법일 뿐이에요
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이런 표기법이 앞으로 나온다고 놀라지 말아 주세요!
<제 27강 : 위상공간의 컴팩트성과 연결성>
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도-모, 새로운 강의를 가져왔어요.
이번 강의에서는 위상공간의 컴팩트성과 연결성에 대해 알아보도록 해요!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 위상공간 안의 수열 (x_n)이 어떤 점 x로 수렴한다는 것은
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ x를 포함하는 임의의 열린 부분집합이 무한히 많은 n에 대해 x_n을 포함한다는 것
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 위상공간 안의 수열이 수렴할 때 그 수렴값은 유일하지 않을 수 있습니다
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거리공간에서 이미 다뤘던 주제들이니 조금 속도있게 지나가도록 해요
위상공간 X가 컴팩트라는 것은 X의 임의의 열린 덮개가 유한부분덮개를 가진다는 것
X가 수열컴팩트라는 것은 X 안의 임의의 수열이 수렴하는 부분수열을 가진다는 것
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 위상공간의 부분집합 S의 폐포는 S를 포함하는 모든 닫힌 부분집합들의 교집합
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 즉 S를 포함하는 가장 작은 닫힌 부분집합
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위상공간 X가 국소컴팩트라는 것은 임의의 x∈X에 대해 x를 포함하는 어떤 열린 부분집합 U가 있어서
그 폐포 cl(U)가 컴팩트라는 것
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위상공간 X가 연결이라는 것은 어떤 닫혀 있으면서 열려 있는 X의 부분집합 S가 존재해서 S가 공집합도 아니고 X도 아니라는 것
위상공간 X가 경로연결이라는 것은 임의의 x,y∈X에 대해 어떤 연속함수 p:[0,1]->X가 있어서 p(0)=x, p(1)=y라는 것
위상공간 X가 국소연결이라는 것은 임의의 x∈X와 x를 포함하는 열린 부분집합 U에 대해 어떤 연결된 열린 부분집합 V가 존재해서 x∈V⊂U라는 것
위상공간 X가 국소경로연결이라는 것은 임의의 x∈X와 x를 포함하는 열린 부분집합 U에 대해 어떤 경로연결된 열린 부분집합 V가 존재해서 x∈V⊂U라는 것
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거리공간에서와 같이, 컴팩트 위상공간의 닫힌 부분집합은 컴팩트가 돼요
하지만 컴팩트 위상공간의 컴팩트 부분집합은 닫혀 있지 않을 수 있어요
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거리공간에서와 같이, 연속함수에 의한 컴팩트 위상공간의 상은 컴팩트가 돼요
증명은 거리공간에서와 똑같아요
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[두 컴팩트 위상공간 X,Y가 주어질 때 X×Y는 컴팩트]
이건 거리공간에서와 증명이 많이 다르기 때문에 증명을 따로 할 거에요
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컴팩트 위상공간 X,Y가 주어졌다고 하고, X×Y의 어떤 열린 덮개 A를 생각해요
임의의 고정된 x∈X를 생각하면, 임의의 y∈Y에 대해, y를 포함하는 Y의 열린 부분집합 V_y와 x를 포함하는 X의 열린 부분집합 W_x가 있어서,
어떤 U∈A에 대해 V_y×W_x⊂U여야 해요. 그러면 {V_y|y∈Y}는 Y의 열린 덮개인데, Y는 컴팩트이므로, 그 유한부분덮개 {V_{y_1},…,V_{y_k}}가 있어야 해요
이 때, U_x=∩{W_{x_i}|i=1,…,k}를 생각하면, U_x는 x를 포함하는 X의 열린 부분집합이고, 어떤 A의 유한부분집합 A_x가 있어서 ∪A_x⊃U_x×Y여야 해요
그런데 이제 {U_x|x∈X}는 X의 열린 덮개이고 X는 컴팩트이므로 그 유한부분덮개 {U_{x_1},…,U_{x_n}}이 있을 거에요
그러면 ∪{U_{x_i}×Y|i=1,…,n} = X×Y이므로, ∪{A_{x_i}|i=1,…,n}은 A의 유한부분덮개가 돼요
그러므로 X×Y는 컴팩트임을 알게 되었어요!
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이제 연결성으로 들어가면
[연결된 위상공간들의 집합 X={X_a|a∈J}가 주어질 때 ∏X는 연결되어 있다]
증명은 간단해요. ∏X가 만약 비연결공간이라면 어떤 두 (공집합이 아닌) 열린 부분집합 U,V가 있어서 U∩V는 공집합이고 U∪V=∏X여야 해요
이제, 임의의 두 원소 (x_a)와 (y_a)가 있을 때, 만약 (x_a)∈U이고 (y_a)∈V라고 하면,
곱위상의 정의에 의해, 각각의 a∈J에 대해 어떤 열린 부분공간 U_a⊂X_a가 있어서, y_a∈U_a이고, 집합 {a∈J|U_a≠X_a}가 유한해야 해요
따라서, 우리는 집합 {a∈J|x_a≠z_a}가 유한집합이 되게 하는 어떤 (z_a)∈V를 찾을 수 있어요.
그렇다면 이제 우리는 거리공간에서 유한 개의 연결된 거리공간들의 곱이 연결이라는 것을 증명했던 방법을 이용해서 모순을 이끌어낼 수 있어요!
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다음으로 경로연결공간들의 곱을 다루기 이전 한 가지 짚고 넘어갈 점
어떤 위상공간 Y와 어떤 위상공간들의 집합 X={X_a|a∈J}, 그리고 각각의 a∈J에 대해 연속함수 f_a:Y->X_a가 주어질 때,
점 p∈Y를 (f_a(p))로 보내는 함수 ∏f_a:Y->∏X는 연속이 돼요
반대로, 어떤 연속함수 f:Y->∏X가 있다면, f를 "a번째 성분으로의 사영함수", 즉 (x_a)를 x_a로 보내는 함수 p_a : ∏X->X_a와 합성하면,
그 합성함수 p_a∘f : Y->X_a는 연속이고, f=∏(p_a∘f)가 돼요
이것이 바로 우리가 곱집합에 언뜻 이상하게 느껴질 수 있는 곱위상이라는 위상을 준 이유에요
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[경로연결된 위상공간들의 집합 X={X_a|a∈J}가 주어질 때, 그 곱공간 ∏X는 경로연결이다]
증명은 아주 간단해요. ∏X의 임의의 두 원소 (x_a)와 (y_a)를 생각하면,
각각의 a∈J에 대해, X_a는 경로연결이므로, x_a와 y_a를 잇는 연속경로 p_a:[0,1]->X_a를 생각할 수 있어요
이제 p=∏p_a:[0,1]->∏X를 생각하면, p는 연속이고, p(0)=(x_a), p(1)=(y_a)여야 해요
따라서 ∏X는 경로연결인 것이에요!
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그렇다면, 임의의 컴팩트 위상공간들의 집합 X가 주어질 때, ∏X는 컴팩트일까요?
그건 지금 대답하기 곤란한 문제에요. 증명은 좀 어려워요.
이 문제는 나중에 다루도록 해요!
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이번 강의는 이걸로 끝이에요!
다음 강의에서는 위상공간의 분리공리(separation axioms)들에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 28강: 위상공간의 분리공리들
<제 28강 : 위상공간의 분리공리들>
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도-모, 수학빌런 DEATH
오늘은 위상공간의 분리공리들에 대해 알아보도록 해요!
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분리공리라는 것은 위상공간에서 서로 다른 점들 또는 부분집합들이 얼마나 분리되어 있는지를 나타내는 조건들이에요
이제부터 어떤 조건이 있는지 알아보도록 할 거에요
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위상공간 X가 T_0라는 것은 임의의 x,y∈X에 대해 x,y 중 단 하나만을 포함하는 열린 부분집합 U가 있다는 거에요
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위상공간 X가 T_1이라는 것은 임의의 x,y∈X에 대해 x를 포함하고 y를 포함하지 않는 열린 부분집합이 있다는 뜻이에요
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위상공간 X가 T_2(또는 Hausdorff)라는 것은 임의의 x,y∈X에 대해 U∩V=∅를 만족하는,
x를 포함하는 열린 부분집합 U와 y를 포함하는 열린 부분집합 V가 있다는 뜻이에요
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위상공간 X가 T_3(또는 regular)라는 것은 임의의 x∈X와 x를 포함하지 않는 임의의 닫힌 부분집합 C에 대해,
U∩V=∅를 만족하는, x를 포함하는 열린 부분집합 U와 C를 포함하는 열린 부분집합 V가 있다는 뜻이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>876의 마지막에 X가 T_0라는 조건을 추가해 주세요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 안 그러면 좀 이상한 일이 일어날 수 있어서
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위상공간 X가 T_3.5(또는 completely regular)라는 것은 X가 T_0이며, 임의의 x∈X와 x를 포함하지 않는 임의의 닫힌 부분집합 C에 대해,
f(x)=0이고 모든 y∈C에 대해 f(y)=1이 되는 어떤 연속함수 f:X->[0,1]이 있다는 뜻이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
위상공간 X가 T_4(또는 normal)라는 것은 A∩B=∅인 X의 임의의 두 닫힌 부분집합 A,B에 대해,
어떤 A를 포함하는 열린 부분집합 U와 B를 포함하는 열린 부분집합 V가 있어서 U∩V=∅라는 뜻이에요
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>878의 마지막에 X가 T_1이라는 조건을 추가해주세요
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위상공간 X가 T_5(또는 completely normal)라는 것은 X의 모든 부분공간이 T_4라는 뜻이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
위상공간 X가 T_6(또는 perfectly normal)라는 것은, X가 T_1이고, A∩B=∅인 X의 임의의 두 닫힌 부분집합 A,B에 대해,
어떤 연속함수 f:X->[0,1]이 존재해서 f^-1({0})=A, f^-1({1})=B를 만족한다는 뜻이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
당연히 T_6이면 T_5이고, T_5이면 T_4이고, …, T_1이면 T_0에요
이제 위에 나열된 분리공리들의 성질을 보도록 할까요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[n=0,1,2,3일 때, T_n 위상공간들의 집합 X가 주어지면, 그 곱공간 ∏X 또한 T_n이다]
증명은 쉬우니 각자 해 보는 것으로 해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[위상공간 X가 T_1이면 모든 x∈X에 대해 {x}는 닫힌 부분집합이다]
당연하죠?
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[위상공간 X가 T_2이면 X의 모든 컴팩트 부분집합은 닫힌 부분집합이다]
컴팩트 부분집합 C⊂X가 주어지고 C에 속하지 않은 x∈X가 있을 때,
각각의 c∈C에 대해 U_c∩V_c=∅, x∈U_c, c∈V_c를 만족시키는 두 열린 부분집합 U_c와 V_c가 있어야 해요.
그러면 {V_c|c∈C}는 C의 열린 덮개인데, C는 컴팩트이므로, 그 유한부분덮개 {V_{c_1},…,V_{c_k}}가 존재해요.
이제 W_x=∩{U_{c_i}|i=1,…,k}는 x를 포함하고 C∩W_x=∅를 만족하는 열린 부분집합이에요.
그런데 X-C=∪{W_x|x∈X-C}이므로, X-C는 열린 부분집합이고, 따라서 C는 닫힌 부분집합이 돼요!
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[위상공간 X가 T_2일 필요충분조건은 X×X에서 {(x,x)|x∈X}가 닫힌 부분집합인 것이다]
증명은 아주 간단하니 생략.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 사실 거리공간은 T_6이에요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[모든 거리공간은 T_5이다]
서로 겹치지 않는 두 닫힌 부분집합 A,B가 있을 때, 각각의 a∈A에 대해 어떤 양수 r_a가 존재해서 B_{r_a}(a)와 B가 겹치지 않아야 해요.
그러면 U=∪{B_{r_a/2}(a)|a∈A}를 생각하면 A⊂U이고 U는 열린 부분집합이에요. 비슷하게 B를 포함하는 열린 부분집합 V를 잡을 수 있어요.
이제 U와 V는 겹칠 수 없어요.(왜 그럴까요?) 그러므로 거리공간이면 T_4이에요.
그런데, 거리공간의 부분공간은 거리공간이므로, 거리공간의 모든 부분공간은 T_4, 따라서 모든 거리공간은 T_5가 돼요!
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[컴팩트이고 Hausdorff(T_2)이면 T_4이다]
컴팩트 공간의 닫힌 부분집합은 컴팩트니까, >>884에서 쓴 논리를 두 번 적용하면 증명할 수 있어요.
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[국소컴팩트이고 Hausdorff이면 T_3이다]
국소컴팩트공간 X 안의 점 x와 x를 포함하지 않는 닫힌 부분집합 C가 있을 때,
X가 국소컴팩트이므로 x를 포함하며 cl(U)가 컴팩트이면 열린 부분집합 U가 있어야 하는데,
이 때 U-C는 x를 포함하는 열린 부분집합이고, cl(U-C)는 컴팩트인 cl(U) 안의 닫힌 부분집합이므로 컴팩트여야 해요.
그러므로 x를 포함하는 열린 부분집합 U-C와 C를 포함하는 열린 부분집합 X-cl(U-C)가 있으니, X는 T_3이에요!
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그럼 분리공리 이야기는 여기까지!
다음 강의에서는 가산성 공리(countability axioms)에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 29강: 위상공간의 가산성공리들
<제 29강 : 위상공간의 가산성공리들>
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도-모, 참치=상, 수학빌런이 돌아왔DEATH.
이번 강의에서는 위상공간의 가산성 공리들을 알아보도록 해요!
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사실 가산성 공리"들"이라고 해 봤자 두 개밖에 없어요
1차 가산성(first countability), 그리고 2차 가산성(second countability)
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위상공간 X가 2차 가산이라는 것은, X의 위상이 가산 기저를 갖는다는 것이에요
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그러면 1차 가산은 뭐냐고요?
지금부터 알아보도록 해요
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위상공간 X와 그 안의 점 x∈X가 주어질 때, 어떤 열린 부분집합들의 집합 A가 X의 x에서의 국소 기저라는 것은,
(1) 모든 U∈A에 대해 x∈U이고,
(2) x를 포함하는 임의의 열린 부분집합 V에 대해 어떤 U∈A가 있어서 V⊂U라는 것이에요
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이제, 위상공간 X가 1차 가산이라는 것은, X의 임의의 점이 가산 국소 기저를 갖는다는 것이에요
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1차 가산 공간들은 우리 주위에 아주 많아요!
[모든 거리공간은 1차 가산이다]
거리공간 X와 점 x∈X가 주어질 때, 집합 {B_{1/n}(x)|n은 양의 정수}는 x에서의 가산 국소 기저가 되죠?
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그렇다면, 2차 가산 공간에는 과연 어떤 것들이 있을까요?
사실 우리 주위에 있는 수많은 공간들이 모조리 2차 가산이에요.
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실수집합 R은 2차 가산! (힌트:양 끝 점이 모두 유리수인 개구간들을 모으면 가산기저)
자연수 n에 대해 R^n은 2차 가산!
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[가산 개의 1차 가산 공간들을 곱하면 1차 가산]
[가산 개의 2차 가산 공간들을 곱하면 2차 가산]
증명은 자명하니 생략
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[1차 가산 공간의 부분공간은 1차 가산]
[2차 가산 공간의 부분공간은 2차 가산]
증명은 자명하니 생략
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 복습: 위상공간 X가 분해가능(separable)이라는 것은 조밀한 X의 가산 부분집합이 존재한다는 뜻
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[2차 가산 공간은 분해가능]
주어진 공간의 가산 기저를 잡고, 그 기저에 속한 각각의 열린 부분집합마다 그 안에서 원소를 하나씩 뽑아요
그렇게 뽑힌 원소들의 집합은 가산이고 조밀해요!
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이제 가산성 공리와 분리공리 사이의 관계를 보도록 해요
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[2차 가산이고 T_3인 공간은 T_4이다]
주어진 공간이 2차 가산이므로, 어떤 가산 기저 T를 생각해요.
서로 겹치지 않는 두 닫힌 부분집합 A,B가 주어질 때, 각각의 a∈A에 대해,
a∈U_a, B⊂V_a, U_a,V_a∈T를 만족하는 서로 겹치치 않는 두 열린 부분집합 U_a,V_a가 존재해요
그런데 T는 가산이므로, {U_a|a∈A}와 {V_a|a∈A}는 모두 가산이에요!
따라서 적당한 가산 개의 원소들 a_1,a_2,…∈A에 대한 U_a와 V_a만 생각하면 충분해요.
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이제, T_3 조건에 의해, a를 포함하는 T의 원소 중 그 폐포가 U_a에 포함되는 열린 부분집합 W_a를 잡을 수 있어요
여기서도 역시 가산 개의 원소 a_1,a_2,…에 대한 W_a만 생각하면 충분해요
이제 cl(W_a)와 cl(V_a)는 서로 겹치지 않아요.
따라서, W'_{a_1}=W_{a_1}, V'_{a_1}=V_{a_1}로 정의하고, 귀납적으로 W'_{a_{n+1}}=W_{a_{n+1}}-cl(V_{a_n}), V'_{a_{n+1}}=V_{a_{n+1}}-cl(W_{a_n})을 정의하고,
W'=∪{W'_{a_k}|k=1,2,…}, V'=∪{V'_{a_k}|k=1,2,…}를 정의하면, W'와 V'는 각각 A와 B를 포함하는 열린 부분집합이며, 서로 겹칠 수 없어요.
따라서 주어진 공간은 T_4여야 해요!
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사실 T_3 공간의 부분공간은 T_3이기 때문에, 우리는 이렇게까지 말할 수 있어요.
[2차 가산이고 T_3인 공간은 T_5이다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 2차 가산이면 분해가능이었죠?
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2차 가산공간을 찾는 아주 쉬운 방법이 있어요.
[분해가능한 거리공간은 2차 가산이다]
주어진 거리공간 X에 어떤 조밀한 가산 부분집합 C가 있으면, {B_{1/n}(c)|c∈C, n은 양의 정수}는 X의 가산 기저가 돼요!
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컴팩트 거리공간 X에 대해 연속함수 X->R들의 거리공간 C(X)를 기억하시나요?
이 공간은 분해 가능함을 증명했었죠. 따라서 C(X)는 2차 가산 공간이에요!
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그 외에도.... 거리공간이 컴팩트이면 분해가능임을 증명했었죠?
따라서 컴팩트 거리공간들은 모조리 2차 가산이에요!
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우리는 이런 것도 알 수 있어요.
[분해가능한 1차 가산 공간의 임의의 부분공간은 분해가능이다]
증명은 아주 간단해요. 주어진 공간의 X의 임의의 부분공간 A와 X의 조밀한 가산부분집합 C를 잡고,
각각의 점 c∈C에 대해 c에서의 가산 국소 기저 B_c를 잡고,
각각의 c∈C와 U∈B_c에 대해, 만약 U∩X가 공집합이 아닐 경우, U∩X의 원소 하나씩을 뽑아서, 그것들을 모은 집합 S를 만들면,
S는 A에서 조밀해야 해요. 따라서 A는 분해가능이에요!
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아, >>912에서 실수, U∩X가 아니라 U∩A
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우리는 지금까지 위상공간의 여러 조건들에 대해 알아봤어요!
다음 강의에서는 그 조건들을 성립시키거나 성립시키지 않는 예제들에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 30강: 위상공간들의 예시들과 반례들
<제 31강 : 위상공간들의 예시들과 반례들>
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이번 강의에서는 여러 위상공간들의 예시들을 보고, 그것들이 어떤 조건을 만족하거나 만족하지 않는지를 알아볼거에요
증명은 죄다 생략할 테니, 이 강의를 보시는 참치 여러분들이 알아서 증명하시는 것으로 해요
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[T_0가 아닌 공간]
원소가 두 개 이상이 공간의 indiscrete topology
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[T_0이지만 T_1이 아닌 공간]
집합 {0,1} 위의 위상 {∅,{0},{0,1}}
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[T_1이지만 T_2가 아닌 공간]
무한집합 위의 여유한위상(cofinite topology)
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[T_2이지만 T_3가 아닌 공간]
실수집합 R의 부분집합 K={1/n|n은 양의 정수}를 생각하고,
기저 {(a,b)|a,b∈R}∪{(a,b)-K|a,b∈R}로 생성된 위상을 생각해요.
그러면 이 위상은 T-2이고, K는 닫힌 부분집합이며, 0은 K에 있지 않은 점이지만,
0을 포함하는 임의의 열린 부분집합과 K를 포함하는 임의의 열린 부분집합은 겹치는 부분이 있어야 하므로 T_3는 되지 않아요.
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[T_3이지만 T_4가 아닌 공간]
가장 작은 비가산 서수(ordinal) Ω를 생각하고, 순서집합 S_Ω에 기저 {(w,w')|w,w'<Ω}로 생성된 위상을 줘요.
그러면 위상공간 X=S_Ω×S_Ω에서 두 닫힌 부분집합 A=S_Ω×{0}과 B={(w,w)|w∈S_Ω}를 생각하면,
A를 포함하는 열린 부분집합과 B를 포함하는 열린 부분집합은 겹치는 부분이 있어야 해요. 따라서 이 공간은 T_4가 아니에요.
그런데, S_Ω가 T_3이기 때문에, X는 T_3이에요.
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위의 예시에서, 사실 S_Ω는 T_4공간이에요.
따라서 우리는 두 T_4공간의 곱이 T_4가 되지 않을 수 있음을 알게 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 위상동형이란 전단사이며 연속이고 그 역함수도 연속인 함수
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 아, >>923에서 오타, X=S_Ω×T_Ω가 되어야 합니다
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[T_4이지만 거리공간과 위상동형이 아닌 공간]
Ω 이하의 모든 서수들의 공간 T_Ω
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[1차 가산이 아닌 공간]
비가산집합 X 위의 여가산위상(co-countable topology) {X-C|C⊂X, C는 가산집합이거나 C=X}을 생각하면 이 공간은 1차 가산이 아니에요
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[1차 가산이지만 2차 가산이 아닌 공간]
실수집합 R 위에서 기저 {[a,b)|a,b∈R}로 생성된 위상은 1차 가산이지만 2차 가산이 아니에요
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[닫히지 않은 컴팩트 부분집합을 갖는 공간]
실수공간 R을 생각하고, {0,1} 위에 비이산위상(indiscrete topology)를 준 공간을 A라고 한 후, X=R×A를 생각해요.
그러면 위상공간 X의 부분공간 (0,1)×{0}∪[0,1]×{1}은 컴팩트이지만 닫힌 부분집합은 아니에요!
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[컴팩트이지만 수열컴팩트가 아닌 공간]
비가산 개의 폐구간 [0,1]들의 곱공간은 컴팩트이지만 수열컴팩트가 아니에요.
이게 컴팩트인 걸 보이려면 아직 우리가 증명하지 않은, Tychonoff 정리라는 게 필요해요.
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[수열컴팩트이지만 컴팩트가 아닌 공간]
위에 나왔던 공간 S_Ω은 수열컴팩트이지만 컴팩트가 아니에요.
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[컴팩트이지만 분해가능하지 않은 공간]
위에 나왔던 공간 T_Ω는 컴팩트이지만 분해가능하지 않아요.
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그럼 이번 강의는 여기까지! 다음 강의에서는 본격적으로 정리들의 증명에 들어가도록 해요!
[예고] 제 32강: Urysohn 정리
<제 32강 : Urysohn 정리>
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도-모, 수학빌런 데스. 이번 강의에서는 Urysohn 보조정리와 Urysohn 거리화정리에 대해 알아보도록 해요!
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우리는 T_3 조건보다 강력한 분리공리로 T_3,5,
즉 한 점과 그 점을 포함하지 않는 닫힌 집합이 연속함수로 구분될 수 있다는 조건을 제시했었죠.
그런데, T_4 조건을 그렇게 바꾸면, 어떨까요?
[서로 겹치지 않는 두 닫힌 집합 A,B가 있을 때 연속함수 f가 있어서 f는 A에서 0이고 B에서 1이다]라는 조건은, 과연 T_4 조건보다 강할까요?
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정답은, 그렇지 않다 입니다.
우리가 만들어 본 위의 조건은, 사실 T_4와 동치가 됩니다.
이것이 바로 우리가 이제 증명하게 될 Urysohn 보조정리에요.
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Urysohn 보조정리를 정식으로 쓰면
[T_4 위상공간 X 안에서 A∩B=Ø인 두 닫힌 부분집합 A,B가 주어질 때, 어떤 연속함수 f:X->[0,1]이 존재하여 f는 A에서 0이고 B에서 1이다]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 증명을 해 보죠
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T_4 위상공간 X와 서로 겹치지 않는 두 닫힌 부분집합 A,B가 있을 때, U_1=X-B라고 하면,
우리는 T_4 조건을 사용해서 A⊂U_{1/2}⊂cl(U_{1/2})⊂U_1를 만족하는 열린 부분집합 U_{1/2}를 잡을 수 있어요.
이제, 다시 T_4 조건을 사용해서, A⊂U_{1/3}⊂cl(U_{1/3})⊂U_{1/2}⊂cl(U_{1/2})⊂U_{2/3}⊂cl(U_{2/3})⊂U_1을 만족하는,
두 열린 부분집합 U_{1/3},U_{2/3}을 잡을 수 있어요.
이렇게 계속 하면, X의 위상을 T라고 할 때, 다음의 조건을 만족하는 함수 U:(0,1]∩Q->T를 잡을 수 있어요. (r의 함수값 U(r)을 U_r으로 쓰도록 해요)
[조건] 임의의 r,s∈(0,1]∩Q에 대해, 만약 r<s라면, A⊂U_r⊂cl(U_r)⊂U_s이며, U_1=X-B이다.
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이제, f(x)=inf{r⊂(0,1]∩Q|x∈U_r}으로 정의된 함수 f:X->[0,1]을 생각해요.
그러면, 양 끝점이 유리수인 임의의 구간 (r,s)에 대해 f^-1((r,s))는 열린 부분집합이에요. (왜 그럴까요?)
그런데 양 끝점이 유리수인 구간들은 실수공간의 위상을 생성하는 기저이므로, f는 연속이 돼요.
또한, 이 함수 f는 당연히 A에서 0이고 B에서 1이어야 해요. 증명 끝!
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방금 증명한 Urysohn 보조정리를 사용해서 우리는 뭘 할 수 있을까요?
어떤 2차 가산인 T_3 공간 X가 주어졌다고 생각해 봐요.
그러면 우리는 이미 X가 사실 T_4임을 알아요.
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X가 2차 가산이라고 했으니 우리는 X의 위상의 가산기저 B를 생각할 수 있어요.
이 때, X의 임의의 점 x와 그 점을 포함하지 않는 임의의 닫힌 집합 A에 대해,
우리는 x∈V⊂cl(V)⊂X-A와 V∈C를 만족하는 열린 집합 V를 찾을 수 있어요.
이것을 다시 한 번 사용하면, 우리는 x∈U⊂cl(U)⊂V⊂cl(V)⊂X-A를 만족시키는 두 열린 부분집합 U,V∈C를 찾을 수 있어요.
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여기서 Urysohn 보조정리를 사용하면,
우리는 cl(U)에서 0의 값을 갖고 X-V에서 1의 값을 갖는 연속함수 f_{U,V}를 찾을 수 있어요.
이 연속함수는 x에서 0의 값을 갖고 A에서는 1의 값을 가져요.
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따라서, 위의 함수 f_{U,V}들을 모든 가능한 U,V에 대해 모두 모은 집합,
F={f_{U,V}|U,V∈C, U⊂V}를 생각하게 되면, 이 집합은 다음의 조건을 만족해요.
(1) F는 가산집합이다
(2) 임의의 x∈X, 그리고 x를 포함하지 않는 임의의 닫힌 부분집합 A⊂X에 대해, 어떤 f∈F가 존재해서, f(x)=0이며 모든 a∈A에 대해 f(a)=1이다
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' (f(x))_{f∈F}는 각각의 f∈F에 대해 "f번째 좌표"가 f(x)인 [0,1]^F의 원소
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이제, [0,1]^F, 즉 폐구간 [0,1]을 F의 원소 갯수만큼 곱해서 만든 곱공간을 생각해요.
그러면 F의 모든 원소는 연속이므로 X의 원소 x∈X를 (f(x))_{f∈F}로 보내주는 함수 G는 연속이에요.
그런데 x≠y를 만족하는 두 점 x,y∈X가 있을 때, 조건에 의해 어떤 f∈F가 존재해서 f(x)=0, f(y)=1을 만족해야 하므로,
우리는 G(x)와 G(y)의 "f번째 좌표"가 다름을 알 수 있어요. 따라서 G는 전사함수에요.
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이제 G의 공역을 G의 상, 즉 G(X)로 제한하도록 해요. (다시 말해, 이제부터 G는 X에서 G(X)로 가는 전단사 연속함수)
그러면, 임의의 열린 부분집합 U⊂X에 대해, 임의의 원소 z∈G(U)를 생각하고, G(x)=z를 만족하는 x∈U를 잡으면,
조건에 의해 f(x)=0이고 모든 p∈X-U에 대해 f(p)=1을 만족하는 어떤 f∈F가 존재해야 해요.
그러면, [0,1]^F의 원소를 그 f번째 좌표로 보내주는 함수 p_f:[0,1]^F->[0,1]을 생각하면,
임의의 w∈(p_f)^-1((-∞,1)∩[0,1])∩G(X)에 대해, 만약 어떤 y∈X에 대해 G(y)=w가 성립한다면, f(y)=(p_f)(w)<1인데,
f는 X-U에서 1의 값을 가지므로, y∈U여야 하고, 따라서 w∈G(U)가 성립해야 해요!
이것은 즉, (p_f)^-1((-∞,1)∩[0,1])∩G(X)⊂G(U)라는 뜻이므로, 우리는 함수 G가 열린 부분집합을 열린 부분집합으로 보낸다는 사실을 알게 돼요.
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그러면 우리의 함수 G:X->G(X)는 전단사이고, 연속이며, 열린 부분집합을 열린 부분집합으로 보내요.
그러면 그 역함수 G^-1 또한 연속이어야 하므로, G는 위상동형이어야 해요.
따라서 우리는 주어진 공간 X가 사실 [0,1]^F의 어떤 부분공간과 위상동형임을 알게 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 어떤 위상공간 X가 거리화가능(metrizable)이라는 것은 X가 어떤 거리공간과 위상동형이라는 뜻
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그런데, F는 가산이므로 F의 원소를 나열해서 F={f_0,f_1,…}로 쓰고,
집합 [0,1]^F 위의 거리함수 d((x_{f_i}),(y_{f_i}))=∑|x_{f_i}-y_{f_i}|/2^i를 생각하면,
이 거리함수가 만들어내는 거리위상은 [0,1]^F 위의 곱위상과 같아져요. (왜 그럴까요?)
따라서 위상공간 [0,1]^F는 사실 거리공간이므로, 그 안의 모든 부분공간 또한 거리공간이 돼요!
그러므로, 우리는 주어진 공간 X가 거리공간과 위상동형, 즉 거리화가능(metrizable)이라는 사실을 알게 되었어요.
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정리하면, 우리는 이런 정리를 증명한 것이에요.
[임의의 2차 가산인 T_3 공간은 거리화가능하다]
이게 바로 Urysohn 거리화정리에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 복습: 거리공간은 T_6이다
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예전에 우리는 2차 가산인 T_3 공간이 T_5임을 증명했었죠?
이번에 증명한 정리는 그것보다 훨씬 강력한 것이에요.
거리화가능은 T_5보다 훨씬 강력하기 때문이에요.
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아쉽지만 이번 강의는 여기까지에요!
다음 강의에서는 Tychonoff 정리에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 33강: Tychonoff 정리
<제 33강 : Tychonoff 정리>
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도-모, 수학빌런 DEATH. 이번 강의에서는 Tychonoff 정리를 증명하는 시간을 갖도록 해요!
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예전 강의에서 우리는 유한 개의 컴팩트공간들의 곱이 컴팩트임을 증명했어요.
하지만 무한 개의 컴팩트공간들의 곱에 대해서는 어떨까요? 그 곱공간은 과연 컴팩트일까요?
이번 강의에서는 그걸 알아보도록 해요.
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하지만 그걸 알아보기 전에 먼저─
선택공리의 동치명제 하나를 알고 가도록 해요.
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어떤 집합 S 위의 관계 R이 [부분순서(partial order)]라는 것은, R이 다음의 조건들을 만족한다는 뜻이에요
(1) x∈S에 대해 xRx
(2) x,y∈S에 대해 만약 xRy, yRx라면 x=y
(3) x,y,z∈S에 대해 만약 xRy, yRz라면 xRz
이 때, 우리는 순서쌍 (S,R)을 [부분순서집합]이라고 해요.
만약 모든 x,y∈S에 대해 xRy 또는 yRx라면, 우리는 (S,R)을 [완전순서집합(totally ordered set)]이라고 해요.
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어떤 부분순서집합 (S,≤)의 부분집합 T⊂S에 대해, 어떤 s∈S가 T의 [상한(upper bound)]라는 것은,
s≤t를 만족하는 t∈T가 존재하지 않는 것을 의미해요.
어떤 부분순서집합 (S,≤)의 [최대원]이란 S의 부분집합으로서의 S의 상한을 의미해요.
당연히 부분순서집합의 부분집합에는 자연스러운 부분순서가 주어져요.
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[Zorn의 보조정리] 어떤 부분순서집합 S의 모든 완전순서부분집합이 S에서 상한을 갖는다면 S는 적어도 하나의 최대원을 갖는다
증명은 하지 않는 것으로 해요
선택공리의 동치명제이고─
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이제 Zorn의 보조정리로 약간 신기한 명제를 하나 증명해 보도록 해요
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[위상공간 X의 위상을 생성하는 어떤 부분기저 S가 있을 때,
만약 S의 원소들로 구성된 임의의 X의 열린 덮개가 유한부분덮개를 갖는다면, X는 컴팩트이다]
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X가 컴팩트하지 않다고 가정해요. 그러면, 유한부분덮개를 가지지 않는 X의 모든 열린 덮개들의 집합 A는 공집합이 아니에요.
집합 A의 원소들 사이의 포함관계 ⊂를 생각하면, (A,⊂)는 부분순서집합이 돼요.
A의 임의의 완전순서부분집합 T⊂A를 하나 잡고, T의 원소들의 합집합 B=∪T를 생각해요. 그러면 B는 X의 열린 덮개겠죠.
만약 B가 어떤 유한부분덮개 F를 갖는다면, 각각의 f∈F에 대해 f를 포함하는 T의 적당한 원소 T_f∈T를 선택할 수 있어요.
그러면, T는 포함관계에 대해 완전순서집합이므로, ∪{T_f | f∈F}는 T의 원소이며, F를 부분집합으로 가져요.
그런데 F는 X의 열린 유한 덮개이므로, 결국 우리는 T의 원소들 중 유한부분덮개를 갖는 원소가 존재함을 알게 되었어요. 모순!
따라서 B는 유한부분덮개를 가질 수 없고, 그러므로 정의에 의해 B∈A이고, B는 T의 상한이 돼요.
그러므로, [Zorn의 보조정리]에 의해, 부분순서집합 A는 어떤 최대원 O를 가져요.
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이제, 집합 O∩S를 생각해요.
만약 O∩S가 X의 열린 덮개가 아니라면, 그 원소들의 합집합 ∪(O∩S)에 속하지 않는 어떤 x∈X가 있어야 해요.
그런데 O는 X의 열린 덮개이므로, 어떤 U∈O가 존재해서 x∈U여야 해요.
또한, 집합 S는 X의 위상을 생성하는 부분기저이므로, 어떤 유한부분집합 F⊂S가 존재해서 x∈∩F⊂U가 성립해야 해요.
그러면 당연히 모든 V∈F에 대해 V는 O의 원소가 아니어야 해요.
그런데 O는 A의 최대원이므로, 각각의 V∈F에 대해 X의 열린 덮개 O∪{V}는 유한부분덮개를 가져야 해요.
그 유한부분덮개를 우리는, 어떤 유한부분집합 O_V⊂O에 대해, (O_V)∪{V}로 쓸 수 있겠죠.
그러면 X-V⊂(∪O_V)가 성립할 거에요. 그런데 ∩F⊂U이므로, 유한집합 O'=∪{O_V|V∈F}를 생각하면, X-U⊂(∪O')가 성립해요.
따라서 O'∪{U}는 O의 유한부분덮개가 돼요. 모순!
그러므로 X는 컴팩트여야 해요!
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이제 우리는 임의의 컴팩트공간들의 집합 X에 대해, 그 곱공간 ∏X를 생각할 거에요.
각각의 Z∈X에 대해 "Z번째 좌표로의 사영함수" p_Z:∏X->Z를 생각하면,
우리는 집합 {(p_Z)^-1(U)|U⊂Z는 열린 부분집합}이 ∏X의 위상을 생성하는 부분기저임을 알고 있어요.
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그렇다면, 그 부분기저를 S라고 쓰고, S의 원소들로 이루어진 어떤 X의 (열린) 덮개 P를 생각해요.
그리고, 각각의 Z∈X에 대해, P의 부분집합 P_Z={U|(p_Z)^-1(U)∈P}를 생각해요.
만약 임의의 Z∈X에 대해 ∪P_Z≠Z라면, 각각의 Z에 대해 우리는 적당한 점 w_Z∈Z-(∪P_Z)을 선택할 수 있어요.
그러면, ∏X의 점 w=(w_Z)_{Z∈X}는 ∪P에 속할 수 없어요. 그러면 P는 X의 덮개가 아니게 돼요. 모순!
따라서 어떤 Z∈X가 존재해서 ∪P_Z=Z여야 해요. 그러면 P_Z는 Z의 열린 덮개가 되죠.
그런데 Z는 컴팩트이므로, P_Z는 어떤 유한부분덮개 F_Z를 가져야 해요.
그렇다면, 집합 {(p_Z)^-1(U)|U∈F_Z}는 P의 유한부분덮개가 돼요!
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따라서 우리는 ∏X의 어떤 열린 덮개가 부분기저 S의 원소들로만 이루어져 있다면,
항상 그 유한부분덮개가 존재함을 알게 되었어요.
그런데, 위에서 우리가 증명한 명제에 의해, 이것은 ∏X가 컴팩트임을 의미해요!
그러므로 컴팩트공간들의 임의의 곱은 항상 컴팩트공간이 돼요!
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이것으로 우리는 Tychonoff 정리를 증명했어요.
이번 강의는 이걸로 끝이에요!
다음 강의에서는 Tietze 확장 정리를 증명하도록 해요!
[예고] 제 34강: Tietze 확장 정리
<제 34강 : Tietze 확장 정리>
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도-모, 다시 찾아온 수학빌런 DEATH,
이번 강의에서는 Tietze 확장 정리를 증명할 차례!
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하지만 그 전에, 잠깐 해결하고 가야 할 것이 있어요.
거리공간에서 정의된 함수들의 균등수렴을 기억하시나요?
잘 생각해 보면, 균등수렴의 개념이 적용되기 위해서는, 함수들의 정의역이 거리공간일 필요가 없지요?
그 공역이 거리공간이기만 하면 잘 정의되는 것이에요.
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위상공간 X와 거리공간 Y가 있을 때,
함수열 {f_n::X->Y}가 함수 f:X->Y로 균등수렴한다는 것은,
임의의 양수 e에 대해 어떤 자연수 N이 있어서, N보다 큰 모든 자연수 n에 대해,
그리고 모든 x∈X에 대해, d(f_n(x),f(x))<e라는 뜻이에요.
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그렇다면, 연속함수들의 균등수렴값은 연속함수일까요?
네, 그렇습니다.
[위상공간 X와 거리공간 Y 사이의 연속함수열 {f_n:X->Y}가 어떤 함수 f:X->Y로 균등수렴할 때, f는 연속]
시도는 계속 할 거지만 어려워요!
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증명은 간단해요. 임의의 x∈X와 양수 r을 생각해요.
그러면 충분히 큰 어떤 자연수 n이 존재해서 모든 p∈X에 대해 d(f_n(p),f(p))<r/3이어야 해요.
그런데 f_n은 연속이므로 U=(f_n)^-1(B_{r/3}(f_n(x)))는 x를 포함하는 X의 열린 부분집합이에요.
이 때, 모든 y∈U에 대해 d(f(y),f(x))≤d(f(y),f_n(y))+d(f_n(y),f_n(x))+d(f_n(x),f(x))<r/3+r/3+r/3=r이므로, U⊂f^-1(B_r(f(x))가 돼요.
그러므로 f는 연속이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' R은 실수공간
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이제 어떤 T_4 위상공간 X와 그 닫힌 부분집합 A⊂X가 주어졌다고 해요.
그리고, 어떤 연속함수 f:A->R이 주어졌다고 해요.
그러면, 우리는 이 f의 연속성을 유지한 채 그 정의역을 X 전체로 넓힐 수 있을까요?
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먼저, 주어진 연속함수 f:A->R이 |f|≤1을 만족한다고 가정해 봐요. (다시 말해서, f의 상이 [-1,1]에 포함된다고 해요)
그런 f가 주어질 때, X의 부분집합, S=f^-1((-∞,-1/3]) 그리고 T=f^-1([1/3,∞))을 생각해요.
그러면 S와 T는 서로 겹치지 않는 X의 두 닫힌 부분집합이에요.
그런데 X는 T_4 공간이므로, Urysohn 보조정리에 의해, 다음의 조건을 만족하는 연속함수 g:X->R이 있어요.
(1) f(x)≤-1/3인 모든 x∈A에 대해 g(x)=-1/3
(2) f(x)≥1/3인 모든 x∈A에 대해 g(x)=1/3
(3) 모든 x∈X에 대해 |g(x)|≤1/3
따라서, 이 연속함수 g는 X 전역에서 정의되면서, 모든 x∈A에 대해 |f(x)-g(x)|≤2/3을 만족해요.
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위에서 정의된 연속함수 g를 g_0라고 쓰면, 함수 f-g_0는 A에서 정의된 연속함수이며 그 상이 [2/3,2/3]에 포함돼요.
따라서, 위의 논리를 다시 한 번 사용하면, 어떤 연속함수 g_1:X->R이 있어서, 다음의 조건을 만족해요.
(1) 모든 x∈X에 대해 |g_1(x)|≤(1/3)·(2/3)
(2) 모든 x∈A에 대해 |f(x)-g(x)-g_1(x)|≤(2/3)^2
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따라서 우리는 귀납적으로, 각각의 자연수 k에 대해 연속함수 g_k:X->R을 잡아서, 다음을 만족하게 할 수 있어요.
(1) 모든 x∈X에 대해 |g_k(x)|≤(1/3)·(2/3)^k
(2) 모든 x∈A에 대해 |f(x)-(g_0(x)+…+g_k(x))|≤(2/3)^{k+1}
따라서, 함수열 {∑g_k}는 그 점별수렴값 G로 균등수렴하며, 모든 x∈A에 대해 f(x)=G(x)가 돼요.
그런데 모든 g_k가 연속이므로, G도 연속이어야 해요.
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그렇다면, 만약 원래 주어진 함수 f의 상이 [-1,1]에 포함되지 않는다면 어떻게 해야 할까요?
그 경우에, 우리는 적당한 위상동형사상 H:R->(-1,1)과 합성해서, f의 상을 (-1,1)로 줄여요.
그러면 우리는, 위에서 증명한 것을 사용해, 어떤 연속함수 g:X->[-1,1]이 존재해서 모든 x∈A에 대해 f(x)=g(x)가 성립함을 알 수 있어요.
그런데 이것을 다시 H^-1과 합성하려면 g^-1({-1,1})이 공집합이어야 하는데, 항상 그렇다는 보장은 없어요.
우리는 어떻게 이 문제를 해결할 수 있을까요?
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함수 g는 연속이므로 g^-1([-1,1})는 X의 닫힌 부분집합이에요.
그리고, A 또한 X의 닫힌 부분집합이며, A∩g^-1([-1,1])은 공집합이어야 해요.
그런데 X는 T_4 공간이므로, Urysohn 정리에 의해, 다음의 조건을 만족하는 연속함수 h:X->[0,1]이 있어요.
(1) 모든 a∈A에 대해 h(a)=1
(2) g(x)가 -1 또는 1인 모든 x∈X에 대해 h(x)=0
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따라서, 우리는 g와 h를 곱해서 나오는 연속함수 gh에 위상동형사상 H^-1를 합성할 수 있어요!
그렇게 만든 함수를 G라고 하면, 다음의 조건들이 성립하겠죠.
(1) G는 연속
(2) 모든 x∈A에 대해 f(x)=G(x)
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결국 우리는 다음의 정리를 증명했어요.
[Tietze 확장 정리] 임의의 T_4 위상공간 X와 닫힌 부분집합 A⊂X, 그리고 연속함수 f:A->R이 주어질 때,
어떤 연속함수 g:X->R이 존재하여 모든 a∈A에 대해 f(a)=g(a)이다.
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이번 강의는 이것으로 끝이에요!
다음 강의에서는 위상공간의 컴팩트화에 대해 알아보도록 해요!
[예고] 제 35강: 위상공간의 컴팩트화에 대해
미리 만들어 놓는 다음 어장
http://bbs.tunaground.net/trace.php/anchor/1501249436/
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10레스밖에 안 남았는데 그냥 이 어장은 가속해서 채워버릴까요
그러도록 하죠
가아아아아소오오오옥
가아아아아소오오오옥
가아아아아소오오오옥
가아아아아소오오오옳옳옳
가아아아아소오오오옳옳옳
가아아아아소오오오옳옳옳
가아아아아소오오오옳옳옳
가소옳옳옭ORK WAAAGHH
WAAAAGH!!
WAAAAGH!!