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제 1어장: http://bbs.tunaground.net/trace.php/anchor/1499458188/
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[강의어장] 안드로이드 2B쨩이 가르쳐 주는 두근두근☆흥미진진★대학수학 - 3
<제 71강: Kunneth 공식>
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Kunneth 공식에 대해 알아보기 전에, 증명 없이 받아들일 명제를 하나 제시하겠어요.
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(위상적) 다양체 M의 열린 덮개 O가 [좋은 덮개(good cover)]라는 것은,
모든 유한부분집합 F⊂O에 대해 ∩F가 축약 가능하다는 것이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 물론 ∂N = ∅일 수도 있죠!
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[매끄러운 다양체 M이 어떤 (경계 있는) 매끄러운 컴팩트 다양체 N에 대해
M = int(N)(=N-∂N)으로 나타난다면, M은 유한한 좋은 덮개를 갖는다.]
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>>4의 증명을 지금 하지 않는 이유는, 리만기하학이 필요하기 때문이에요.
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그러면, 이제 Kunneth 공식을 알아보도록 해요.
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[Kunneth 공식]
[M,N이 매끄러운 다양체이고, N이 어떤 경계 있는 컴팩트 다양체의 내부와 미분동형이라면,
H*(M×N)은 H*(M) ⊗_{R} H*(N)과 (계층 R-대수) 동형이다.
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여기서 잠깐! 계층대수를 어떻게 텐서곱 할 수 있는 걸까요?
간단해요. 환 S와 계층 S-대수 A,B가 주어질 때,
동급원소 a∈A와 b∈B에 대해, deg(a⊗b) = deg(a)deg(b)로 정의하면 되지요.
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물론, 미분계층대수도 텐서곱 할 수 있지요. d(a⊗b) = da⊗b + (-1)^{deg(a)} · a⊗db로 정의하면 되니까요.
지금 쓸 것은 아니지만, 알아두면 좋아요.
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이제 Kunneth 공식(>>7)을 증명해 보도록 해요.
p(x,y) = x, q(x,y) = y로 정의된 두 함수 p:M×N->M, q:M×N->N을 생각해요.
그러면, 함수 ([α],[β])->([p*α∧q*β])는 계층 R-대수 준동형사상 F_N : H*(M) ⊗_{R} H*(N) -> H*(M×N)이 돼요.
우리는 이 준동형사상 F_N이 동형사상임을 증명해야 해요.
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>>4의 사실에 의해, N은 유한한 좋은 덮개 O를 가져요.
만약 |O| = 1이라면, N이 축약 가능하므로, H*(N) = H^0(N) = R이고,
따라서 H*(M) ⊗_{R} H*(N) = H*(M)이며, F_N은 H*(M)의 항등함수가 되지요.
그러므로 이 경우 F_N은 동형사상이에요.
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이제, 원소 갯수가 n개 이하인 좋은 덮개를 가지는 모든 매끄러운 다양체에 대해,
Kunneth 공식이 성립한다고 가정해요.
그리고, 원소 갯수가 n+1개인 좋은 덮개 O = {U_1,…,U_{n+1}}을 갖는 매끄러운 다양체 N을 잡아요.
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그러면, N의 열린 부분집합 N_0 = U_1 ∪…∪ U_n은 원소 갯수가 n개인 좋은 덮개 {U_1,…,U_n}을 가지고,
N_0∩U_{n+1} 또한 원소 갯수가 n개인 좋은 덮개 {U_1∩U_{n+1},…,U_1∩U_{n+1}}을 가지므로,
>>13의 가정에 의해, 임의의 매끄러운 다양체 M에 대해,
F_{N_0} : H*(M) ⊗_{R} H*(N_0) -> H*(M×N_0)와 F_{N_0∩U_{n+1} : H*(M) ⊗_{R} H*(N_0∩U_{n+1}) -> H*(M×(N_0∩U_{n+1}))은,
모두 계층 R-대수 동형사상이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' d*는 뱀 보조정리으로부터 얻는 연결 사상이에요
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이제, 다음의 그림을 생각해요.
id⊗d*
H*(M) ⊗_{R} H*(N_0) -------> H*(M) ⊗_{R} H*(N_0∩U_{n+1}) -------> H*(M) ⊗_{R} H*(N) -------> H*(M) ⊗_{R} H*(N_0)[1] -------> H*(M) ⊗_{R} H*(N_0∩U_{n+1})[1]
│ │ │ │ │
F_{N_0} F_{N_0∩U_{n+1}} F_N F_{N_0} F_{N_0∩U_{n+1}}
↓ ↓ id⊗d* ↓ ↓ ↓
H*(M×N_0) --------------> H*(M×(N_0∩U_{n+1})) --------------> H*(M×N) ---------------> H*(M×N_0)[1] --------------> H*(M×(N_0∩U_{n+1}))[1]
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이 그림(>>15)이 가환그림이려면, d*가 들어가는 사각형이 가환이라는 것,
즉 F_N ∘ (id⊗d*) = (id⊗d*) ∘ F_{N_0∩U_{n+1}}이라는 것을 보이면 충분해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' (ω는 U∩V 위의 닫힌 미분형식)
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７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 이 사실이 왜 성립하는지 모르겠다면, 뱀 보조정리의 증명을 다시 읽어 보세요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
하지만, 그것(>>16)은 다음의 사실로부터 바로 알 수 있어요.
[매끄러운 다양체 S의 열린 덮개 {U,V]에 대해, {U,V}에 종속된 1의 분할 {f_U,f_V}를 생각할 때,
뱀 보조정리에 의한 (Mayer-Vietoris 수열의) 연결 사상 d* : H^k(U∩V)->H^{k+1}(S)는 d*[ω] = [ω']으로 주어진다.
여기서, ω'는 ω'|_U = -d(f_V · ω), ω'|_V = d(f_U · ω)를 만족하는 유일한 S 위의 미분형식이다.]
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따라서, >>15의 그림은 가환그림에요. 또한, 그림의 윗줄과 아랫줄은 모두 정확수열이에요.
그런데, 우리는 F_{N_0}와 F_{N_0∩U_{n+1}}이 모두 전단사임을 이미 알고 있어요.
따라서, 5-보조정리에 의해, F_N 또한 전단사여야 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' >>15의 윗줄과 아랫줄은 모두 Mayer-Vietoris 수열이죠?
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그러므로, 계층 R-대수 준동형사상 F_N : H*(M) ⊗_{R} H*(N) -> H*(M×N)은 동형사상이에요.
따라서, O의 원소 갯수에 대한 귀납법으로, Kunneth 공식이 증명되었어요!
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여담으로, 좋은 열린 덮개의 원소 갯수에 대한 귀납법을 활용하면,
다음의 사실 또한 증명할 수 있어요.
[매끄러운 다양체 M이 어떤 경계 있는 매끄러운 컴팩트 다양체의 내부와 미분동형이라면, H*(M)은 실수체 위의 유한차원 벡터공간이다.]
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이 사실(>>20)의 증명은, Mayer-Vietoris 수열을 이용하면 되니, 생략하도록 하겠어요.
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(참고: (경계 없는) 컴팩트 다양체는 그 자신의 내부이므로, 자명하게 이 주제글의 20의 조건을 만족하죠)
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Kunneth formula를 사용하면, 곱의 형태로 나타나는 다양체들의 de Rham cohomology 계산을 더 쉽게 할 수 있지요.
예를 들어서, 자연수 n_1,…,n_k에 대해 다양체 S^{n_1}×…×S^{n_k}를 생각할 때,
dim H^n(S^{n_1}×…×S^{n_k}) = (∑_{i∈F} n_i = n을 만족하는 부분집합 F⊂{1,…,k}의 가짓수)가 되지요.
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그러니, 자연수 n에 대해 n-토러스 T^n = S^1×…×S^1 (n번) 을 생각하면,
H^k(T^n) = k!(n-k)!/n!이 성립하지요. (0 ≤ k ≤ n)
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이것으로 이번 강의를 마쳐요.
다음 강의에서는 Poincare 쌍대성을 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 72강: Poincare 쌍대성
앗, 이런 실수를.
>>9에서 deg(a⊗b)는 deg(a)deg(b)가 아니라 deg(a)+deg(b)로 정의해야 해요
<제 72강 : Poincare 쌍대성>
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도-모.
이번 강의에서는, 기초 미분다양체 이론의 꽃!
Poincare 쌍대성을 배우도록 하겠어요!
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(경계 없는) 매끄러운 n차원 컴팩트 가향 다양체 M이 주어질 때,
M의 방향성 o∈O(M)을 하나 선택하면, 우리는 방향다양체 (M,o)에서 n-형식의 적분을 할 수 있지요.
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따라서, 임의의 정수 i에 대해, 다음의 R-선형 사상을 생각할 수 있어요.
PD_M : H^i(M) -> (H^{n-i}(M))*
[ω] -> ([α] -> ∫_{M} ω∧α)
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[Poincare 쌍대성]
[(경계 없는) n차원 컴팩트 방향다양체 M가 주어질 때, 모든 정수 i에 대해, PD_M은 동형사상이다.]
[그러므로, 모든 n차원 컴팩트 가향 다양체 M에 대해, H^i(M) = (H^{n-i}(M))*이다.]
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이 정리의 증명을 위해서는, 새로운 형태의 de Rham 코호몰로지가 필요해요.
이제부터 Poincare 쌍대성의 증명에 필요한 도구들을 만들어 보겠어요.
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매끄러운 다양체 M이 주어질 때, M 위의 미분형식 ω가 [컴팩트지지(compactly supported)]라는 것은,
M의 부분집합 cl({p∈M | ω(p)≠0})⊂M이 컴팩트라는 뜻이에요.
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이제, R-DGCA Ω*(M)의 부분집합, Ω*_c(M) = {ω∈M | ω는 컴팩트지지}를 생각하면,
Ω*_c(M)는 Ω*(M) 안에서 덧셈, (웨지)곱셈, 실수곱셈, 그리고 (외)미분연산에 대해 닫혀 있어요.
그러므로, Ω*_c(M)은 Ω*(M)의 부분 R-DGCA가 돼요.
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그러므로, 우리는 그 코호몰로지 환을 생각할 수 있지요.
R-계층가환환 H*_c(M) = H*(Ω*_c(M))을 우리는 M의 [컴팩트지지 de Rham 코호몰로지(compactly supported de Rham cohomology)]라고 해요.
물론, 그 계층구조를 우리는 H*_c(M) = ⊕{i∈Z} H^i_c(M)으로 쓸 거에요.
일반적인 de Rham 코호몰로지에서와 비슷하게, H^i_c(M)는 i가 0 미만이거나 n 초과일 경우 항상 0이 되지요.
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일반적인 de Rham 코호몰로지와는 다르게, 컴팩트지지 de Rham 코호몰로지에서는 두 가지 연산이 가능해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 위상공간 사이의 연속함수 f:X->Y가 [고유함수]라는 것은,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 임의의 컴팩트 부분집합 K⊂Y에 대해 f^-1(K)가 컴팩트라는 것이에요.
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먼저, 매끄러운 고유함수 f:M->N가 주어질 때, N 위의 컴팩트지지 미분형식 ω에 대해 f*ω 또한 컴팩트지지여야 하기 때문에,
f에 의한 당김 연산 f*은 R-DGA 준동형사상 f* : Ω*_c(N) -> Ω*_c(M)이 되고,
따라서 R-계층환 준동형사상 f* : H*_c(N) -> H*_c(M)을 유도하지요.
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또한, U가 M의 열린 부분집합이라면, i(x)=x로 정의된 함수 i : U->M을 생각해요.
U 위의 컴팩트지지 미분형식 ω에 대해, M 위의 미분형식 i#(ω)(p) = (p∈U일 때 ω(p), p∈M-U일 때 0)을 생각할 수 있어요. (왜 그럴까요?)
그러면, 연산 i#는 R-DGA 준동형사상 i# : Ω*_c(U) -> Ω*_c(M)이 되고,
따라서 R-계층환 준동형사상 i# : H*_c(U) -> H*_c(M)을 유도해요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } inclusion 함수(임의의 점을 자기 자신으로 보내는) 목록
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' i_U : U∩V -> U
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ i_V : U∩V -> V
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ j_U : U -> M
/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ j_V : V -> M
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이제, {U,V}가 M의 열린 덮개라면, 위의 두 가지 연산(>>39-40)을 이용한 다음의 정확수열이 있어요.
ω -> ((i_U)#(ω),(i_V)#(ω)
0 -> Ω*_c(U∩V) -> Ω*_c(U)⊕Ω*_c(V) -> Ω*_c(M) -> 0
(α,β) -> (j_U)#α-(j_V)#(β)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이것을 컴팩트지지 Mayer-Vietoris 수열이라고 해요
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따라서, 뱀 보조정리에 의해, 다음과 같은 긴 정확수열이 생겨요.
d*_c d*_c
… -> H^{i-1}_c(M) -----> H^i_c(U∩V) -> H^i_c(U)⊕H^i_c(V) -> H^i_c(M) -----> H^{i+1}_c(U∩V) -> …
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컴팩트지지 de Rham 코호몰로지는 불행히도 호모토피 동치에 대해 불변이 아니에요.
하지만, 당연히 미분동형에 대해서는 불변이 맞기 때문에, H*_c(M)은 M의 미분동형류(diffeomorphism class)에 대한 불변량이죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이런 연산을 보통 [섬유적분(fiberwise integration)]이라고 불러요.
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７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ p(x,t)=x : M×R -> M
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이제, 매끄러운 다양체 M과 임의의 자연수 i에 대해, H^i_c(M×R)과 H^{i-1}_c(M)의 관계를 알아보도록 하겠어요.
일반적인 de Rham 코호몰로지의 호모토피 불변성을 증명할 때 썼던 사슬 호모토피 기억하시나요?
그 호모토피를 만들 때 우리는 주어진 미분형식을 "세로 방향으로 적분해서" 한 단계 낮은 미분형식을 만들었죠.
마찬가지의 방법으로, 우리는 섬유적분으로 주어지는 함수 p_! : H^i_c(M×R) -> H^{i-1}_c(M)을 만들 수 있어요.
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또한, ∫_{R} e(t)dt = 1을 만족하는 컴팩트지지 함수 e : R -> R을 생각할 때,
우리는 다음과 같은 함수를 만들 수 있어요.
[ω] -> [p*(ω)∧e(t)dt]
e* : H^i_c(M) -> H^{i+1}_c(M×R)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, 그리고 p!와 e*는 코호몰로지에서뿐만 아니라 Ω*_c에서도 정의되는 함수이죠.
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이제, 다음과 같이 정의된 R-선형함수 K : Ω^i_c(M×R) -> Ω^{i-1}_c(M×R)을 생각해요.
(1) ψ∈Ω^i_c(M)과 f∈C^∞(M×R)에 대해 K(f · p*(ψ)) = 0
(2) ψ∈Ω^{i-1}_c(M)과 f∈C^∞(M×R)에 대해 K(f · p*(ψ)∧dt)(x,t) = p*(ψ) · (∫_{-∞ to t} f(x,s)ds) - (p*(ψ)) · (∫_{-∞ to t} e(s)ds) · (∫_{R} f(x,s)ds)
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그러면 모든 ω∈Ω^i_c(M×R)에 대해 ω - e*(p_!(ω)) = (-1)^{i-1} · (d(K(ω)) - K(dω))가 성립해요.
계산해 보세요.
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또한, 모든 ω∈Ω^{i-1}_c(M)에 대해 p_!(e*(ω)) = ω가 성립해요.
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따라서 e*와 p_!는 사슬 호모토피 동치사상이 돼요.
그러므로, 모든 자연수 i에 대해, H^i_c(M×R)은 H^{i-1}_c(M)과 동치이죠!
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즉, 우리는 다음의 사실을 증명했어요.
[모든 매끄러운 다양체 M과 자연수 i에 대해, H^i_c(M×R) = H^{i-1}_c(M)이다.]
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그런데 H^i_c(점)은 당연히 i = 0일 때 R이고 i ≠ 0일 때 0이므로, 귀납법에 의해 다음이 성립해요.
[컴팩트지지 Poincare 보조정리]
[모든 자연수 n에 대해, H^i_c(R^n)은 i = n일 때 R이고, i ≠ n일 때 0이다.]
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이제, Poincare 쌍대성을 증명하기 위해, 우리는 그보다 더 강한 명제를 증명하도록 해요.
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[컴팩트지지 Poincare 쌍대성]
n차원 매끄러운 방향다양체 M이 어떤 경계 있는 매끄러운 다양체의 내부와 미분동형이라면,
모든 자연수 i에 대해, PD_M([ω])([α]) = ∫_{M} ω∧α으로 정의된 선형사상 PD_M : H^i(M) -> (H^{n-i}_c(M))*은 동형사상이다.
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증명을 해 보자면, 조건에 의해 M은 유한한 좋은 덮개 O를 가져요.
우리는 O의 모든 원소가 R^n과 미분동형이 되도록 O를 잡아줄 수 있어요.
(이것 또한 증명에는 리만기하학이 필요해요)
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만약 |O|=1이라면, 조건(>>54)에 의해 M은 R^n과 미분동형이에요.
이 경우에, H^i(M)은 i = 0일 때 R, i ≠ 0일 때 0이며, H^i_c(M)은 i = n일 때 R, i ≠ n일 때 0이고,
PD_M : H^0(M) -> (H^n_c(M))*은 동형사상이므로, (왜 그럴까요?)
우리는 이 경우에 >>53이 성립함을 알게 되었어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 5-보조정리를 쓰는 거에요
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이제, >>53이 |O|=n인 경우에 성립한다고 가정할 때,
우리는 |O|=n+1인 경우 또한 쉽게 증명할 수 있어요.
증명은 >>15-19와 같은 아이디어이니, 스스로 해 보세요.
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따라서, |O|에 대한 귀납법에 의해, >>53이 증명되었어요!
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그런데, 매끄러운 컴팩트다양체 M에 대해,
M 자체가 컴팩트이기 때문에, M 위의 모든 미분형식은 컴팩트지지이고,
따라서 H*(M) = H*_c(M)이 되죠.
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따라서, 컴팩트지지 Poincare 쌍대성을 사용하면,
원래의 Poincare 쌍대성(>>33)이 바로 증명돼요!
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매끄러운 다양체 M이 주어질 때, 자연수 i에 대해, 차원수 dim H^i(M)을,
우리는 M의 i번째 [베티 수(betti number)]이라고 하고, b_i(M)이라고 써요.
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Poincare 쌍대성에 의해 다음의 사실이 성립해요.
[매끄러운 n차원 컴팩트 가향다양체 M이 주어질 때, 임의의 자연수 i에 대해, b_i(M) = b_{n-i}(M)이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' H^n(M) = (H^0(M))* = R* = R
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또한, 다음의 사실이 성립하죠.
[연결된 매끄러운 n차원 컴팩트 가향다양체 M에 대해, H^n(M) = R이다.]
이 때, M의 방향성을 선택하면, [ω] -> ∫_{M} ω로 주어진 함수 ∫: H^n(M) -> R은 동형사상이 되죠!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 체 F 위의 벡터공간 V에 대해, 함수 Q : V×V -> F가 [이중선형형식(bilinear form)]이라는 것은,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ Q가 첫번째와 두번째 변수에 대해 각각 선형이라는 뜻이에요
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이제, M이 연결된 매끄러운 2n차원 컴팩트 방향다양체라면 어떨까요?
Poincare 쌍대성과 >>62의 관찰에 의해,
([α],[β]) -> ∫_{M} α∧β로 주어지는 이중선형형식 H^n(M)×H^n(M) -> R이 존재하죠.
이 이중선형형식을 우리는 M의 [교차형식(intersection form)]이라고 해요.
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Poincare 쌍대성에 의해, 교차형식은 [unimodular]해요.
다시 말해, 교차형식을 행렬 형태로 썼을 때, 그 행렬의 행렬식은 1이에요!
이것은 아주 중요한 사실이니, 기억해 두어야 해요.
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이것으로 이번 강의는 끝이에요.
이번 강의를 마지막으로 기초 미분다양체 이론도 끝이에요.
다음 강의부터는 기초 리만기하학을 강의하도록 하겠어요.
[예고] 제 73강: 리만다양체와 그 곡률
[REMARK: 사실 >>64에서 행렬식이 0이 아니라는 사실만을 지금 알 수 있어요
행렬식이 1인 건 실수가 아닌 정수 위에서의 Poincare 쌍대가 필요해요
이건 나중에 대수적 위상수학을 강의할 때 소개하도록 하죠]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' M 위의 벡터다발 E에 대해,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 우리는 그 단면들의 집합을 Γ(M,E)로 써요.
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매끄러운 다양체 M이 있으면, 우리는 그 위의 벡터다발 S^2(T*M)을 생각할 수 있어요.
그러면, 그 단면 s∈Γ(M,S^2(T*M))이 주어질 때, 각각의 점 p∈M에서, s(p)는 대칭인 이중선형함수 T_p(M)×T_p(M) -> R이 되겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 보통은 리만을 생략하고 그냥 거리라고 불러요
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매끄러운 다양체 M 위의 [리만거리(Riemannian metric)]이란,
모든 점 p∈M에서 s(p) : T_p(M)×T_p(M)->R이 T_p(M) 위의 내적이 되는 단면 s∈Γ(M,S^2(T*M))을 말해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 리만다양체 (M,g)가 주어지면, 임의의 두 벡터장 X,Y에 대해 함수 g(X,Y):M->R가 생기게 되죠
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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그리고, g가 M 위의 리만거리일 때, (M,g)를 우리는 [리만다양체(Riemannian metric)]이라고 해요.
보통 리만다양체에서는 리만거리의 표기를 생략하고, g(X,Y)를 <X,Y>로 쓰게 됩니다
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./ } .| .∧ {ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆヽ＿,∧
| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
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ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
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만약 두 리만다양체 (M,g),(N,h) 사이의 매끄러운 함수 f:M->N이 f*h=g를 만족한다면,
(다시 말해서, 임의의 p∈M과 v,w∈T_p(M)에 대해 g(v,w)=h(df(p)(v),df(p)(w))라면)
우리는 f를 [등거리사상(isometry)]라고 불러요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 두 다양체 사이에 양쪽 방향 모두 (국소) 등거리 사상이 존재한다면,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 우리는 그 두 다양체를 [(국소) 등거리 ((locally) isometric)]라고 해요.
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만약 f가 국소적으로만 등거리사상이라면,
다시 말해서, 모든 p∈M에 대해 p를 포함하는 열린 부분집합 U⊂M이 존재해서, f:U->N이 등거리사상이라면,
우리는 f를 [국소 등거리사상(local isometry)]이라고 불러요.
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리만다양체 (M,g),(N,h)가 주어질 때, 우리는 M×N 위에 다음과 같은 리만거리 g×h를 줄 수 있어요.
(p,q)∈M×N과 (v,w),(v',w')∈T_(p,q)(M×N) = T_p(M)×T_q(N)에 대해, (g×h)((v,w),(v',w')) = g(v,v') + h(w,w').
이 때, 리만다양체 (M×N,g×h)를 우리는 [주어진 두 리만다양체 (M,g),(N,h)의 곱]이라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이것을 일반화하면 매끄러운 함수에 대한 리만거리의 당김(pullback)을 정의할 수 있죠
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ f*g(v,w) = g(df(v),df(w))
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 이 경우에는 g|_N = i*g인 것이죠
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리만다양체 (M,g)가 주어질 때, M의 임의의 부분다양체 N⊂M에는 자연스러운 리만거리 g|_N이 주어져서, (N,g|_N)은 자연스럽게 리만다양체가 돼요.
그 리만거리는, 함수 i(x)=x : N->M을 생각할 때, p∈N과 v,w∈T_p(N)에 대해 g|_N(v,w) = g(di(v),di(w))로 주어지죠.
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또한, 리만다양체 (M,g)가 주어질 때, 우리는 임의의 연속함수 f:M->R을 적분할 수 있어요.
그 방법을 알아보도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 사실 연속함수뿐만 아니라 리만적분가능한 건 다 적분할 수 있어요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 리만적분가능 <-> 불연속점 집합이 측도 0. 기억하지죠?
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 측도 0이라는 성질은 매끄러운 미분동형에 대해 불변이에요
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먼저, M이 R^n의 열린 부분집합이라면, 우리는 리만거리 g를 g = ∑ g_ij dx_i⊗dx_j로 쓸 수 있어요. (g_ij = g_ji를 만족하도록)
이 때, 행렬 G = (g_ij)_{1 ≤ i,j ≤ n}는 매끄러운 함수 G : M -> GL(n,R)이 되지요.
이 때, 연속함수 f:M->R에 대해, 우리는 그 적분값을 ∫_{M} f dvol_g = ∫_{M} f · det(G)로 정의해요.
>>74 1어장부터 순서대로 읽고 오세요.
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이제, 일반적인 M에 대해서는, 미분형식의 적분을 정의했던 방법과 비슷하게, 1의 분할을 생각하면 돼요.
즉, 국소적인 적분값들을 모두 모아 더해서 전체 적분값을 만들어내는 것이죠.
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이제, 아핀커넥션이라는 개념을 살펴보도록 해요.
이 개념은 리만기하학에서 빼놓을 수 없는 중요한 개념이에요.
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매끄러운 다양체 M과 그 위의 벡터다발 E가 주어질 때,
E 위의 [아핀커넥션(affine connection)]이란, 다음의 성질을 만족하는 함수 (X,s)->∇_X(S) : Γ(M,TM)×Γ(M,E) -> Γ(M,E)를 말해요.
(1) ∇는 변수 X에 대해서 C^∞(M)-모듈 준동형사상이며, 변수 s에 대해서 R-선형사상이다.
(2) 모든 벡터장 X와 단면 s∈Γ(M,E), 그리고 f∈C^∞(M)에 대해, ∇_X(f · s) = X(f)s + f∇_X(s).
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우리는 특별히, TM 위의 아핀커넥션을 생각할 거에요.
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TM 위의 아핀커넥션 ∇이 주어지면, 임의의 텐서에 대해서 ∇를 적용할 수 있게 돼요.
특별히, 우리가 사용할 경우에 대해서만 구체적으로 언급하자면,
벡터다발 S^2(T*M)에서의 아핀커넥션 ∇_Z(s)(X,Y) = Z(s(X,Y)) - s(∇_Z(X),Y) - s(X,∇_Z(Y))가 생겨요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 매끄러운 다양체 M 위의 벡터다발 E, 그리고 자연수 i에 대해,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 벡터다발 E⊗∧^i(T*M)을 우리는 Ω^i(E)라고 쓰고, [E-valued i-형식들의 다발]이라고 해요.
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이 때, s∈Γ(M,S^2(T*M))에 대해, ∇s(X,Y,Z) = ∇_Z(s)(X,Y)로 주어지는 단면 ∇s∈Γ(M,Ω^1(S^2(T*M)))을 정의할 수 있어요.
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그러니, TM 위의 아핀커넥션 ∇과 M 위의 리만거리 g가 주어질 때, 우리는 텐서 ∇g를 생각할 수 있어요!
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TM 위의 아핀커넥션 ∇가 주어질 때, 우리는 M 위의 (2,1)-텐서 T(X,Y) = ∇_X(Y) - ∇_Y(X) - [X,Y]를 생각할 수 있어요.
(이게 왜 텐서가 되는지는 직접 계산해 보세요)
이 텐서 T를 우리는 ∇의 [비틀림 텐서(torsion tensor)]라고 해요.
이 때, 만약 T = 0이라면, 우리는 ∇가 [비틀림-자유(torsion-free)]라고 해요.
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이제, TM 위의 아핀커넥션 ∇가 M 위의 거리 g와 [호환된다(compatible)]는 것은, 다음의 조건이 성립한다는 것이에요.
(1) ∇는 비틀림-자유
(2) ∇g = 0
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[M 위의 리만거리 g가 주어질 때, g와 호환되는 TM 위의 유일한 아핀커넥션 ∇이 존재한다]
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그 유일한 아핀커넥션을 우리는 g의 [Levi-Civita 커넥션]이라고 불러요.
유일성은 증명하지 않겠지만, 존재성은 증명해 보도록 할게요.
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존재성은 간단해요.
벡터장 X,Y,Z에 대해 <Z,∇_Y(X)> = (1/2)(X<Y,Z>+Y<Z,X>-Z<X,Y>-<[X,Y],Z>-<[Y,Z],X>+<[Z,X],Y>)로 정의되는 TM의 아핀커넥션 ∇는
(더러운 계산을 하면) 주어진 리만거리 g(X,Y)=<X,Y>와 호환됨을 알 수 있답니다.
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사실은 호환성으로부터 >>90의 식을 유도함으로서 존재성과 유일성을 동시에 보이는 게 정식 증명이에요.
하지만 계산이 너무 짜증나요. 직접 해 보세요.
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이제 리만다양체의 곡률에 대해 이야기해 볼까요.
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리만다양체 M의 [곡률텐서(curvature tensor)]란, 다음과 같이 주어진 M 위의 (3,1)-텐서를 말해요.
R(X,Y,Z) = ∇_Y(∇_X(Z)) - ∇_X(∇_Y(Z)) + ∇_[X,Y}(Z)
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예를 들어서, 유클리드 공간 (R^n, g_{Euc} = ∑dx_i⊗dx_i)의 곡률텐서는 0이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명: 계산. 생략.
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[Bianchi 항등식]
[리만다양체 M의 곡률텐서 R과 임의의 벡터장 X,Y,Z에 대해, R(X,Y,Z)+R(Y,Z,X)+R(Z,X,Y) = 0이다.]
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[리만다양체 M의 곡률텐서 R과 임의의 벡터장 X,Y,Z,W에 대해, 다음이 성립한다.]
(1) <R(X,Y,Z),W> = -<R(Y,X,Z),W>
(2) <R(X,Y,Z),W> = -<R(X,Y,W),Z>
(3) <R(X,Y,Z),W> = <R(Z,W,X),Y>
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' >>96도 증명은 계산이니 생략
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이제, 이 곡률텐서라는 녀석을 가지고 몇 가지 더 간단한 텐서들을 만들어 볼 거에요.
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첫 번째로 소개할 개념은 [단면 곡률(sectional curvature)]에요.
리만다양체 M 위의 점 p∈M과 2차원 선형 부분공간 σ⊂T_p(M)이 주어질 때,
σ의 기저 {v,w}를 선택하면, 단면곡률 K(σ)는 다음과 같이 정의돼요.
K(σ) = <R(v,w,v),w>/(<v,v><w,w>-<v,w>^2)
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당연히, 단면 곡률 K(σ)은 σ의 기저 {v,w}에 상관없이 σ 자체에 의해서 결정돼요.
증명은 계산이니 생략.
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이 단면 곡률 K를 완전히 알고 있다면, 그것으로부터 우리는 원래의 곡률텐서 R을 계산할 수 있어요.
이것도 증명은 계산이에요. 궁금하면 직접 해 보세요.
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이제, Ricci 곡률을 정의하도록 해요.
n차원 리만다양체 M의 곡률텐서 R은 (3,1)텐서에요.
이 때, 점 p∈M과 벡터 x,y∈T_p(M)에 대해, 우리는 M의 [Ricci 곡률] Ric(p)(x,y) = Tr(z-><R(x,z,y),z> : T_p(M) -> T_p(M))을 생각할 수 있어요.
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M의 Ricci 곡률 Ric은, M 위의 대칭 (2,0)-텐서, 즉 S^2(T*M)의 단면이 돼요.
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곡률텐서와 단면 곡률의 관계와 비슷하게, Ricci 곡률은, 길이 1인 접벡터들 x에 대한 값 Ric(x,x)들에 의해 결정돼요.
따라서, p∈M, x∈T_p(M), <x,x>=1일 때, 우리는 (1/(n-1))Ric(x,x)를 Ric_p(x)로 쓰고, 이것 또한 [Ricci 곡률]이라고 불러요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이 주제글의 102에서 오타, z-><R(x,z,y),z>가 아니라 z->R(x,z,y)
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이제, n차원 리만다양체 M의 점 p∈M에 대해, 그 점에서의 [스칼라 곡률(scalar curvature)]란,
T_p(M)의 정규직교기저(orthonormal basis) {z_1,…,z_n}에 대해, 실수값 K(p) = (1/n)∑Ric_p(z_i)로 정의돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 그리고 스칼라 곡률 함수 K:M->R은 매끄럽죠
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이 스칼라 곡률이라는 녀석도, 정규직교기저와 무관하게, 주어진 리만다양체에 의해서만 결정돼요.
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 지오데식에 대해 배우도록 해요.
[예고]제 74강: 지오데식
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다양체 M과 매끄러운 곡선 c : I->M이 있을 때,
I 위의 벡터다발 c*TM의 단면을 우리는 [c 위의 벡터장(vector field along c)]라고 해요.
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우리는, c 위의 두 벡터장 X에 대해, 다음과 같은 방법을 통해 c 위의 또 다른 벡터장 DX/dt를 생각할 수 있죠.
(1) p∈I에 대해, 만약 (dc/dt)(p)=0이라면, (DX/dt)(p)=0
(2) 만약 (dc/dt)(p)≠0이라면, c는 국소적으로 M의 1차원 부분다양체가 되고, 따라서 벡터장 X와 dc/dt를 c의 상 위에서의 TM의 단면으로 볼 수 있으니,
c의 (국소) 상 위에서 정의된 두 벡터장 X와 dc/dt를 M 전체로 확장한 후, (DX/dt)(p) = (∇_{dc/dt}(X))(c(p))로 정의.
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이 때, >>111의 정의는 X와 dc/dt를 M 전체로 확장하는 방법에 무관하게 정의돼요.
왜 그럴까요? 국소적으로 유클리드 공간에 가져다 놓고 생각해 보세요.
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이 때, DX/dt를 우리는 곡선 c 위에서 (∇에 의한) X의 [공변미분(covariant derivative)]이라고 해요.
당연히, 다음의 성질들이 성립하겠죠.
(1) D(X+Y)/dt = DX/dt + DY/dt
(2) 임의의 매끄러운 함수 f : I -> R에 대해 D(fX)/dt = (df/dt)X + f(DX/dt).
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이제, 만약 M이 리만다양체이고, ∇가 M의 Levi-Civita 커넥션이라면,
조건 ∇g = 0에 의해, M 위의 모든 벡터장 X,Y,Z에 대해 X(<Y,Z>) = <∇_X(Y),Z> + <Y,∇_X(Z)>가 성립하겠죠.
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따라서, [매끄러운 곡선 c:I->M과 c 위의 벡터장 V,W에 대해, (d/dt)<X,Y> = <DV/dt,W> + <V,DW/dt>가 성립해요.]
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곡선 c 위의 벡터장 X가 [평행(parallel)]이라는 것은, DX/dt = 0이라는 것이에요.
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벡터장이 평행일 조건은, 국소적으로 유클리드 공간에서 생각하면, ODE로 표현되기 때문에,
컴팩트 다양체 위의 임의의 (매끄러운) 벡터장이 대역 흐름을 갖는다는 사실의 증명에서 쓰인 테크닉을 그대로 쓰면,
다음의 사실을 알 수 있어요.
[리만다양체 M 위의 매끄러운 곡선 c:I->M과 벡터 v∈T_{c(0)}(M)이 주어질 때, V(0)=v를 만족하는 c 위의 평행 벡터장 V이 유일하게 존재한다.]
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그러니 평행 벡터장을 통해, 다음과 같은 것을 생각할 수 있어요.
"리만다양체 M 위의 매끄러운 곡선 c:I->M이 주어질 때, 벡터 v∈T_{c(0)}(M)에 대해,
V(0) = v를 만족하는 c 위의 유일한 평행벡터장 V를 생각한 후, t = 1에서의 값 P_c(v) = V(1)∈T_{c(1)}(M)을 취한다."
이 때, 함수 P_c : T_{c(0)}(M) -> T_{c(1)}(M)은 선형동형사상이 되지요. (왜 그럴까요?)
이 함수를 우리는 곡선 c에 의한 [평행수송(parallel transport)] 사상이라고 해요.
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이제, 지오데식을 정의하도록 해요.
리만다양체 M 위의 매끄러운 곡선 c:I->M이 [지오데식(geodesic)]이라는 것은, c 위의 벡터장 dc/dt가 평행이라는 뜻,
다시 말해서 (D/dt)(dc/dt) = 0이라는 뜻이에요.
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리만다양체 M이 주어질 때, M 위의 지오데식을 탐구하기 위해, 국소적으로 지오데식을 정의하는 방정식을 찾아보기로 해요.
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열린 부분집합 U⊂R^n 과 TU 위의 아핀커넥션 ∇가 주어질 때,
우리는 ∇의 [Christoffel 기호] Γ^{k}_{ij}를, 다음의 조건을 만족하는 실수들로 정의해요.
(조건) ∇_{∂/∂x_i}(∂/∂x_j) = ∑_{k} Γ^{k}_{ij} · ∂/∂x_k
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 리만거리가 주어질 때, 우리는 ∇를 그 Levi-Civita 커넥션으로 쓰고,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ Γ^{k}_{ij}를 ∇의 Christoffel 기호로 써요.
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/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ 아, 당연히 TU = U×R^n이죠?
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그러면, 열린 부분집합 U⊂R^n과 그 위의 리만거리 g가 주어질 때,
매끄러운 곡선 c=(c_1,…,c_n) : I -> U가 (U,g)의 지오데식이 될 필요충분조건은,
TU 위의 매끄러운 곡선 C(t) = (c(t),c'(t)) : I -> TU가,
TU = U×R^n의 좌표를 (x_1,…,x_n,y_1,…,y_n)으로 쓸 때, 다음의 ODE(상미분방정식)을 만족하는 것이에요.
(1) dx_1/dt = y_k
(2) dy_k/dt = -∑_{i,j} Γ^{k}_{ij} y_i y_j
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따라서, TU 위의 벡터장 G(x_1,…,x_n,y_1,…,y_n) = ∑_{i} y_k · ∂/∂x_k + ∑_{i,j,k} Γ^{k}_{ij} y_i y_j ∂/∂y_k를 고려할 때,
c가 (U,g)의 지오데식일 필요충분조건은, C가 G의 궤도인 것이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' >>123의 논의는 M 전체에서 대역적으로도 할 수 있어요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그 경우, G의 흐름을 우리는 M 위의 [지오데식 흐름(geodesic flow)]라고 해요.
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그러므로, 벡터장의 국소 흐름의 존재성과 유일성에 의해, 다음의 사실을 얻어요.
[리만다양체 M과 점 p∈M, 그리고 벡터 v∈T_p(M)이 주어질 때, 충분히 작은 모든 양수 ε에 대해,
c'(0) = v를 만족하는 지오데식 c:[0,ε]->M이 유일하게 존재한다.]
[위의 양수 ε는, M의 모든 컴팩트 부분집합에서 균일하게 잡을 수 있다.]
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여기서, ε를 컴팩트 부분집합 K⊂M에서 균일하게 잡을 수 있다는 말은,
임의의 p∈K와 v∈T_p(M)에 대해서 사용 가능한 양수 ε가 있다는 뜻이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>125에서 조건 ||v|| = 1 추가.
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이제, 리만다양체 M과 점 p∈M, 그리고 충분히 작은 양수 r에 대해, 집합 U = {v∈T_p(M) | ||v|| < r}⊂T_p(M)을 생각할 때,
임의의 v∈U에 대해, c_v(0)=1, (c_v)'(0) = v를 만족하는 유일한 지오데식 c_v:[0,1]->M이 존재해요.
그러면, 함수 exp_p(v) = c_v(1) : U -> M은 매끄러운 함수가 되겠지요. (왜 그럴까요?)
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이 함수 exp_p를 우리는, 점 p에서의 [지수사상(exponential map)]이라고 불러요.
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이 지수사상이라는 녀석은 0∈T_p(M) 주위에서 국소적으로 아주 좋게 행동해요.
[리만다양체 M 위의 점 p∈M이 주어질 때, 충분히 작은 r에 대해, 지수사상 exp_p : U_p(r) = {v∈T_p(M) | ||v|| = r} -> exp_p(U_p(r)) (⊂M)은 미분동형이다.]
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증명은 간단해요. 모든 v∈T_p(M)에 대해 d(exp_p)(0)(v) = v이기 때문에,(왜 그럴까요?)
역함수 정리에 의해, exp_p는 0 주위에서 (그 상으로의) 국소 미분동형이에요. 증명 끝!
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 지오데식의 성질에 대해 배우도록 해요.
[예고] 제 75강: 지오데식의 성질
<제 75강 : 지오데식의 성질>
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이번 강의를 본격적으로 시작하기 전에 증명할 게 하나 있어요.
[매끄러운 다양체 M 위의 아핀커넥션 ∇이 비틀림-자유라면,
임의의 열린 부분집합 U⊂R^2와 매끄러운 함수 s:U->M에 대해 (D/dx)(ds/dy) = (D/dy)(ds/dx)이다.]
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증명은 국소적 계산이에요. 스스로 해 보세요.
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이제, 리만다양체 M과 그 위의 점 p∈M에 대해,
지난번 강의에서 배웠던 지수사상, exp_p : U(⊂T_p(M)) -> M을 떠올려 봐요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 자연스러운 다발동형 T_p(M)×T_p(M) -> T(T_p(M))을 생각해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그러면 v∈U에 대해 d(exp_p)(v) : T_p(M) -> T_p(M)
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[임의의 v∈U와 w∈T_p(M) = T_v(T_p(M))에 대해, <d(exp_p)(v)(v),d(exp_p)(v)(w)> = <v,w>이다.]
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만약 w가 v의 스칼라배라면, >>137은 당연히 성립해요.
따라서, >>137을 증명하기 위해서는, <v,w> = 0인 경우만 생각하면 충분해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여기서, 곡선 v(s) : (-e,e) -> T_p(M)은, v(s) = v+sw로 정의해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 당연히 v(0) = c, v'(0) = w, |v'(s)| = 상수 를 만족하겠죠
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따라서, 일반성을 잃지 않고 <v,w> = 0이라고 가정하고,
아주 작은 양수 e에 대해 집합 A = {(t,s) | t∈I, -e < s < e}와 함수 f(t,s) = exp_p(tv(s)) : A -> M을 생각해요.
그러면, 모든 s∈(-e,e)에 대해, 곡선 t -> exp(t,s)는 M 위의 지오데식이겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 공변미분의 편미분버전은 D/∂(변수)로 써요
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이 때, 다음의 식이 성립해요.
(∂/∂t)<∂f/∂t,∂f/∂s> = <(D/∂t)(∂f/∂t),∂f/∂s> + <∂f/∂t,(D/∂t)(∂f/∂s)> (>>115에 의해)
= <∂f/∂t,(D/∂t)(∂f/∂s)> (>>139의 마지막 줄에 의해)
= <∂f/∂t,(D/∂s)(∂f/∂t)> (>>134에 의해)
= (1/2)(∂/∂s)<∂f/∂t,∂f/∂t> (>>115에 의해)
= 0 (>>138에 의해)
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따라서, <∂f/∂t,∂f/∂s>의 값은 변수 t에 무관해요.
그러므로, <d(exp_p)(v)(v),d(exp_p)(v)(w)> = <∂f/∂t,∂f/∂s>(1,0) = lim_{t->0} <∂f/∂t,∂f/∂s>(t,0)이 되죠.
그런데, ∂f/∂t(t,0)는 0 < t ≤ 1에서 유계이며 lim_{t->0} (∂f/∂s) = lim_{t->0} d(exp_p)(tv)(tw) = 0이므로,
lim_{t->0} <∂f/∂t,∂f/∂s>(t,0) = 0이에요.
따라서, <d(exp_p)(v)(v),d(exp_p)(v)(w)> = 0 = <v,w>가 되지요. 증명 끝!
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편의를 위해, 지수사상 exp_p가 T_p(M)의 열린 부분집합 U에서 미분동형일 때,
그 상 exp_p(U)를 p의 [정규근방(normal neighborhood)]라고 하기로 해요.
만약 U = {v∈T_p(M) | ||v|| < r}이라면, 우리는 exp_p(U)를 [중심이 p이고 반지름이 r인 정규공(normal ball)]이라고 불러요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 정규근방에서 t -> exp(tv) 형태로 주어지는 지오데식을 [방사상 지오데식(radial geodesic)]이라고 부르도록 해요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 참고: 조각 C^1 곡선 c의 길이는 L(c) = ∫|c'|로 정의
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[리만다양체 M의 점 p∈M의 정규근방 U, 그리고 c(0) = p인 조각 C^1 곡선 c : I -> U가 주어질 때,
c(0) = C(0), c(1) = C(1)을 만족하는 방사상 지오데식 C : I -> U에 대해, 만약 L(c) ≤ L(C)가 성립한다면,
어떤 미분동형사상 F : I -> I가 존재해서 C = c∘F가 성립한다.]
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U가 p에서의 정규근방이므로, 어떤 조각 C^1 함수 r : (0,1] -> (0,∞)와 v : (0,1] -> {w∈T_p(M) | ||w|| = 1}에 대해,
주어진 곡선 c를 c(t) = exp_p(r(t)v(t))로 표현할 수 있어요.
함수 f(s,t) = exp_p(t · v(s)) : (0,1]×(0,1] -> U를 정의하면, c(t) = f(r(t),t)로 쓸 수 있겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아 실수, >>145에서 f(s,t)는 exp_p(tv(s))가 아니라 exp_p(sv(t))
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그렇다면, c의 도함수는 c'(t) = (∂f/∂s)(r(t),t)r'(t) + (∂f/∂t)(r(t),t)로 쓸 수 있겠죠.
그런데, >>137에 의해 <∂f/∂s,∂f/∂t> = 0이고, (왜 그럴까요?) ||∂f/∂s|| = 1이므로,
||c'(t)|| = √(||r'(t)||^2 + ||∂f/∂t||^2) ≥ ||r'(t)|| = ||C'(t)||가 되죠.
그러므로 L(c) ≥ L(C)가 성립해요.
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그런데 L(c) ≤ L(C)가 성립한다고 가정했으므로, L(c) = L(C)여야 하고, 따라서 ||∂f/∂t|| = 0, 즉 v' = 0이어야 해요.
따라서 v(t)는 상수함수이고, 그러므로 C = c∘r이 성립해야 해요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이 명제의 조건을 만족하는 W를 우리는 p의 [완전정규근방(totally normal neighborhood)]이라고 해요.
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이제, >>144를 이용하면, 다음의 사실을 증명할 수 있어요.
[모든 p∈M에 대해, 어떤 p의 근방 W가 존재해서, 모든 q∈W에 대해, W는 q의 정규근방이다.]
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TM 안에서 M×0의 적당한 근방 U가 존재해서, 함수 f(p,v) = (p,exp_p(v)) : U -> M×M이 잘 정의되겠죠.
(왜 그럴까요? 지오데식 흐름과 연관지어 생각해 보세요.)
그러면, >>130에 의해, 임의의 p∈M에 대해, 선형사상 df(p,0)은 동형사상이고,
그러므로, 역함수 정리에 의해, (p,0)⊂V⊂U를 만족하는 어떤 열린 부분집합 V가 존재해서, 함수 f:V->f(V)는 미분동형사상이 돼요.
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이제, V를 더 축소시켜서, 어떤 p의 (M에서의) 근방 V'와 양수 e에 대해, V = {(q,v)|q∈V,v∈T_q(M),||v||<e}가 되게 할 수 있어요.
그 다음, W×W⊂f(V)를 만족하는 p의 근방 W⊂M을 잡아요.
그러면, W의 정의에 의해, p∈W이고, 모든 q∈W에 대해, W는 q를 중심으로 하고 반지름이 e인 정규공 안에 포함돼요.
그러므로, 모든 q∈W에 대해 W는 q의 정규근방이에요. 증명 끝!
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>>148과 >>144를 조합하면, 다음의 사실을 바로 알 수 있어요.
[리만다양체 M에 대해, 어떤 조각 C^1 곡선 c : I ->M이, c(0)와 c(1)를 잇는 모든 조각 C^1 곡선들 중 최소의 길이를 가지며,
c의 속도(=||c'(t)||)가 일정하다면, c는 지오데식이다.]
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증명은 생략해요. 자명하니까.
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리만다양체 M 위의 두 점 p,q∈M에 대해, p와 q를 잇는 C^1 곡선들 중 길이가 최소인 것을,
우리는 [최소화 지오데식(minimizing geodesic)]이라고 해요.
당연히, >>151에 의해, 최소화 지오데식은 지오데식이에요.
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어떤 부분집합 S⊂M이 다음의 조건을 만족할 때, 우리는 S를 M의 [강한 볼록부분집합(strongly convex subset)]이라고 해요.
(조건) 모든 p,q∈cl(S)에 대해, p와 q를 잇는 최소화 지오데식 c : I -> M이 유일하게 존재하며, 모든 t∈(0,1)에 대해 c(t)∈S가 성립한다.
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이제, 리만다양체 M의 점 p∈M과 양수 r에 대해,
p를 중심으로 하고 반지름이 r인 정규공을 B_r(p)로 쓰고, 그 경계 ∂B_r(p)를 S_r(p)로 쓸 거에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 당연히 B_r(p)는 M의 열린 부분집합이고, S_r(p)는 M의 닫힌 부분다양체가 되죠
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７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 아, >>153에서 C^1을 조각 C^1으로 바꿔주세요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[모든 p∈M에 대해, 어떤 양수 c가 존재해서, c보다 작은 모든 양수 r에 대해,
어떤 지오데식 γ가 S_p(M)의 어떤 점 q∈M에 접할 경우, q의 적당한 근방 W에 대해,
Im(γ)∩W⊂M-B_p(M)가 성립한다.]
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증명을 위해, p의 완전정규근방 W를 잡고, T_1(W) = {(q,v)∈TW | ||v|| = 1}을 생각한 후,
각각의 (q,v)∈T_1(W)에 대해 t -> γ(t,q,v)가 지오데식이며 γ(0,q,v) = q인 함수 γ: (-e,e)×T_1(W) -> M를 생각해요.
또한, 함수 u(t,q,v) = (exp_p)^-1(γ(t,q,v))와 F(t,q,v) = ||u(t,q,v)||^2 : (-e,e)×T_1(W) -> R을 생각해요.
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그러면, ∂F/∂t = 2<∂u/∂t,u>이고, ∂^2(F)/∂t^2 = 2<∂^2(u)/∂t^2,u> + 2||∂u/∂t||^2이 성립하겠죠.
따라서, 모든 v∈T_1(W)에 대해, ∂^2(F)/∂t^2(0,p,v) = 2||v||^2 = 2가 돼요.
그러므로, 어떤 양수 c가 존재해서, B_c(p)⊂W이며 모든 q∈B_c(p)에 대해 (∂^2(F)/∂t^2)(0,q,v) > 0이 되게 할 수 있어요.
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ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ α가 지오데식이라면 d||α'(t)||^2/dt = 2<dα/dt,(D/dt)(dα/dt)> = 0
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이제, 어떤 M의 (속도 1인) 지오데식 α가, 어떤 양수 r < c에 대해 S_r(p)와 점 α(0) = q∈S_r(p)에서 접한다면,
v = α'(0)에 대해 α(t) = γ(t,q,v)로 쓸 수 있으며, >>137에 의해 (∂F/∂t)(0,q,v) = <(∂u/∂t)(0,q,v),u(0,q,v)> = 0이고,
>>160에 의해 (∂^2(F)/∂t^2)(0,q,v) > 0이므로, 함수 t -> F(t,q,v)는 t = 0에서 극소값을 가져요. 증명 끝!
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이제 >>157을 사용하면 이것을 증명할 수 있어요.
[모든 p∈M에 대해, 어떤 양수 r이 존재해서, B_r(p)는 강한 볼록부분집합이다.]
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이것은 >>144, >>148, >>157에 의해 자명해요.
힌트를 주자면, >>157에 나오는 r을 잡으면, >>144와 >>148에 의해 cl(B_r(p))의 두 점을 잇는 최소화 지오데식이 존재하고,
그 지오데식이 (>>157의) B_c(p)를 벗어난다면 길이를 최소화한다는 조건에 모순되고,
B_c(p)를 벗어나지 않는다면 어떤 r<s<c에 대해 B_s(p)에 내접해야 해서, >>157에 모순이에요.
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이제 이것을 사용해서, 증명하지 않고 넘어갔었던 >>4를 증명해 보도록 해요.
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먼저, 완전볼록부분집합들의 교집합은 완전볼록이고, 완전볼록부분집합은 R^n과 위상동형이죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아니 사실은 위상동형뿐만 아니라 미분동형이죠
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만약 M이 그 자체로 컴팩트라면, 각각의 p∈M에 대해 p를 포함하는 완전볼록인 근방 U_p를 잡은 후,
M의 열린 덮개 {U_p | p∈M}의 유한부분덮개를 찾으면 그게 바로 유한한 좋은 덮개가 되겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이것이 바로 [깃근방 정리(collar neighborhood theorem)]이에요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 깃근방 정리에 등장하는 근방을 깃근방이라고 불러요.
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만약 그렇지 않다면, 어떤 경계 있는 매끄러운 컴팩트 다양체 N에 대해 M = N-∂N이겠죠.
이 때, [N 안에서 ∂N은 ∂N×[0,∞)와 미분동형인 근방을 가져요.]
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그 증명은 간단해요.
모든 p∈∂N에 대해 X(p)가 T_p(∂N)에 속하지 않게 하는 N의 벡터장 X를 하나 잡아요.
(어떻게 잡냐구요? 국소적으로 먼저 생각한 후 1의 분할을 이용해 N 전체의 벡터장을 만들어 보세요)
그러면, X의 국소 흐름에 의한 ∂N의 상은, 역함수 정리에 의해, ∂N×I와 미분동형인 N의 열린 부분집합이에요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 디테일은 스스로 채워넣으세요
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이제 이 경우에 M = N-∂N에 대한 >>4를 증명하는 것은 어렵지 않아요.
N의 경계 ∂N에 ∂N×(-∞,0]을 가져다 붙여서, N을 닫힌 부분집합으로 포함하는 (경계 없는) 매끄러운 다양체 N'을 만든 후,
(아무 리만거리나 하나 주고) >>166과 같이, N'의 부분집합 N의 열린 덮개 {U_p|p∈int(N)}을 생각하면,
N은 컴팩트이므로, 유한부분덮개 {U_p | p∈F}를 만들 수 있어요. (F는 int(N)의 유한부분집합)
이제, {U_p∩int(N) | p∈F}는 M의 유한한 좋은 덮개가 되지요. 증명 끝!
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이것으로 이번 강의를 마치도록 해요.
다음 강의에서는 리만다양체의 immersed 부분다양체에 대해 배우도록 해요.
[예고] 제 76강: 리만다양체의 immersed 부분다양체
<제 76강 : 리만다양체의 immersed 부분다양체>
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리만다양체 M 안의 immersed 부분다양체, 즉 immersion f : N -> M을 생각해요.
그러면, M의 리만거리를 f로 당기면, N의 리만거리를 얻을 수 있죠.
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그러니, 우리는 지금부터 등거리 immersion을 생각하면 충분해요.
다시 말해서, 등거리사상인 immersion f:N->M을 생각하기로 해요.
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리만다양체 M'의 immersed 부분다양체 M이 있을 때,
각각의 p∈M에 대해, T_p(M)은 내적공간 T_p(M')의 선형부분공간이고,
따라서 T_p(M')의 내적에 의한 정사영사상 v -> v^T : T_p(M') -> T_p(M)을 생각할 수 있겠죠.
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이제, M'의 Levi-Civita 커넥션 ∇'을 생각해요.
그러면, M의 Levi-Civita 커넥션 ∇은 어떻게 구할 수 있을까요?
간단해요. M 위의 벡터장 X,Y를 생각하고, 그 M'으로의 임의의 확장 X',Y'를 생각하면, ∇_X(Y) = (∇'_X'(Y'))^T가 성립해요.
그 이유는, 스스로 생각해 봐요.
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이제, 우리는 ∇와 ∇'가 얼마나 차이나는지 알고 싶어요.
그러기 위해서는, M과 "직각인 방향"으로의 ∇'의 성분을 알면 되겠죠.
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따라서, M 위의 벡터장 X,Y에 대해, 그 M'으로의 임의의 확장 X',Y'를 생각할 때,
M 위의 대칭 (2,0)-텐서 B(X,Y) = ∇'_X'(Y') - ∇_X(Y)를 정의해요.
이게 왜 대칭 텐서인지는, 간단한 계산이니, 생략하도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이차형식: 변수에 대한 2차식
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이제, p∈M, 그리고 M에 수직인 v∈T_p(M')에 대해, 이차형식 II_v(x) = <B(x,x),v>를,
우리는 점 p에서 v 방향으로의 M의 [2차기본형식(second fundamental form)]이라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여담으로, 1차기본형식은 M'의 리만거리에 의해 M에 주어진 리만거리, I_p(x) = <x,x>를 뜻한답니다.
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이 2차기본형식을 사용해서, M의 점 p에서의 v 방향으로의 [모양연산자(shape operator)] S_v : T_p(M) -> T_p(M)을 정의할 수 있어요.
(정의) 모든 x,y∈T_p(M)에 대해 <S_v(x),y> = <B(x,y),v>가 성립한다.
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그러면, 이 모양연산자라는 녀석은, S_v(x) = -(∇'_x(v))^T를 만족하죠. (x와 v를 적당히 M'으로 확장한 것을 생각해요)
그 이유는, <S_v(x),y> = <B(x,y),v> = <∇'_x(y)-∇_x(y),v> = <∇'_x(y),v> = -<∇'_x(v),y> = -<(∇'_x(v))^T,y>이기 때문이에요.
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이제, 이것을 이용해서 M'의 곡률과 M의 곡률이 어떤 관계가 있는지 알아보도록 해요.
곡률은 Levi-Civita 커넥션에서 오는데, M과 M'의 Levi-Civita 커넥션은 정사영의 관계에 있으니,
우리는 자연스럽게 M과 M' 사이의 곡률이 밀접한 관계가 있을 거라고 생각할 수 있겠죠.
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[리만다양체 M'의 immersed 부분다양체 M과 점 p∈M, 그리고 길이가 1이며 서로 수직인 두 벡터 x,y∈T_p(M)에 대해,
M'과 M의 단면곡률을 각각 K'와 K로 쓸 때, K(span{x,y}) - K'(span{x,y}) = <B(x,x),B(y,y)> - ||B(x,y)||^2이 성립한다.]
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| .| | ∧ 、 ∨ﾆﾆﾆﾆ=＝---! ﾊ
{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 아, >>178에서 B는 (2,0)차가 아니라 (2,1)차 텐서에요
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증명을 위해서, X(p) = x, Y(p) = y이며 <X,Y> = 0이고 [X,Y](p) = 0인 M의 벡터장 X,Y를 잡고,
X,Y를 X'|_M = X, Y'|_M = Y인 M'의 벡터장 X',Y'로 확장해요.
그러면, 단면곡률의 정의에 의해,
K(span{x,y}) - K'(span{x,y}) = <∇_Y∇_X(X) - ∇_X∇_Y(X) - ∇'_Y'∇'_X'(X') + ∇'_X'∇'_Y'(X') + ∇_[X,Y](X) - ∇'_[X',Y'](X'),Y>(p)
= <∇_Y∇_X(X) - ∇_X∇_Y(X) - ∇'_Y'∇'_X'(X') + ∇'_X'∇'_Y'(X'),Y>(p) (∇_[X,Y](X) - ∇'_[X',Y'](X')는 p에서 M과 수직)
가 성립해요.
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 정확히 말하면 (2,1)차 텐서라고 말하기도 뭐하지만요
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' TM'|_M에서 TM과 수직한 벡터들을 모아서 만든 벡터다발을 N이라고 할 때,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ N-valued (2,0)차 텐서라고 하는 게 제일 정확하지요
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그런데, p 근방에서 M과 수직한 좌표축을 이루는 (M' 안의 p 근방에서 정의된) 벡터장 E_1,…,E_k를 잡으면,
B(X,Y) = ∑H_i(X,Y)E_i라고 쓸 때,
∇'_Y'∇'_X'(X)' = ∇'_Y'(∇_X(X) + ∑H_i(X,X)E_i) = ∑(H_i(X,X)∇'_Y'(E_i) + Y'(H_i(X,X))E_i) + ∇'_Y'∇_X(X)가 되지요.
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따라서, 점 p에서, 다음이 성립해요.
<∇'_Y'∇'_X'(X') - ∇_Y∇_X(X),Y>(p) = ∑(H_i(X,X) · <∇'_Y'(E_i),Y>)(p)
= -∑(H_i(X,X) · <E_i,∇'_Y'(Y)>)(p)
= -∑(H_i(X,X) · <E_i,∇'_Y'(Y) - ∇_Y(Y)>)(p)
= -∑(H_i(X,X)H_i(Y,Y))(p) = -<B(X,X),B(Y,Y)>(p)
마찬가지로, 비슷한 계산을 하면, 다음이 성립해요.
<∇'_X'∇'_Y'(X') - ∇_X∇_Y(X),Y>(p) = -<B(X,Y),B(X,Y)>(p).
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위의(>>189) 두 식을 합치면, >>185에 의해,
Kspan{x,y}) - K'(span{x,y}) = <B(x,x),B(y,y)> - ||B(x,y)||^2을 얻어요. 증명 끝!
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이제, 곡률텐서를 비교해 볼까요?
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리만다양체 M'의 immersed 부분다양체 M이 주어질 때,
우리는 TM'|_M 안에서 TM과 직각인 것들만을 모은 벡터다발,
(TM)^⊥ = {(p,v)∈TM' | p∈M이고 모든 w∈T_p(M)에 대해 <v,w>=0}을 생각할 수 있어요.
그러면, TM'|_M은 TM⊕(TM)^⊥과 다발동형이겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' S는 모양연산자
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
우리는 M'의 Levi-Civita 커넥션 ∇'을 TM으로 정사영해서 얻는 커넥션이 바로 M의 Levi-Civita 커넥션이라는 것을 알아요.
그렇다면, (TM)^⊥으로 정사영하면 어떻게 될까요?
다시 말해, M의 벡터장 X와 M 위에서 M과 수직인 벡터들의 장 Y에 대해,
M위의 벡터다발 (TM)^⊥ 위의 아핀커넥션 ∇'^⊥_X(Y) = ∇'_X(Y) + S_Y(X)을 생각하면 어떨까요?
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | }
乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' R^⊥∈Γ(M,T*M⊗T*M⊗(TM^⊥)*⊗(TM^⊥))
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그러면 우리는 ∇^⊥의 곡률텐서, R^⊥(X,Y)η = ∇^⊥_Y(∇^⊥_X(η)) - ∇^⊥_X(∇^⊥_Y(η)) + ∇^⊥_[X,Y](η)를 생각할 수 있어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' M'과 M의 곡률텐서를 각각 R',R로 쓰도록 해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[Gauss 방정식]
M 위의 벡터장 X,Y,Z,T에 대해, <(R'(X,Y)-R(X,Y))Z,T> = <B(X,T),B(Y,Z)> - <B(Y,T),B(X,Z)>
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
증명:
R'(X,Y)Z = ∇'_Y∇'_X(Z) - ∇'_X∇'_Y(Z) + ∇'_[X,Y](Z)
= ∇'_Y(∇_X(Z) + B(X,Z)) - ∇'_X(∇_Y(Z) + B(Y,Z)) + ∇_[X,Y](Z) + B([X,Y],Z) 이므로,
(R'(X,Y)-R(X,Y))Z = B(Y,∇_X(Z)) + ∇^⊥_Y(B(X,Z)) - S_{B(X,Z)}(Y) - V(X,∇_Y(Z)) - ∇^⊥_X(B(Y,Z)) + S_{B(Y,Z)}(X) + B([X,Y],Z)가 되니,
<(R'(X,Y)-R(X,Y))Z,T> = <S_{B(Y,Z)}(X),T> - <S_{B(X,Z)}(Y)
= <B(Y,Z),B(X,T)> - <B(Y,T),B(X,Z)>.
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[Ricci 방정식]
M 위의 벡터장 X,Y과 (TM)^⊥의 단면 A,B에 대해, <(R'(X,Y)-R^⊥(X,Y))A,B> = <(S_A∘S_B - S_B∘S_A)X,Y>
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아앗, 문자 B가 겹치네요 .실수!
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증명:
R'(X,Y)A = ∇'_Y∇'_X(A) - ∇'_X∇'_Y(A) + ∇'_[X,Y](A)
= ∇'_Y(∇^⊥_X(A)-S_A(X)) - ∇'_X(∇^⊥_Y(A)-S_A(Y)) + ∇^⊥_[X,Y](A0 - S_A([X,Y])이므로,
(R'(X,Y)-R^⊥(X,Y))A = S_{∇^⊥_X(A)}(Y) - ∇_Y(S_A(X)) - B(S_A(X),Y) + S_{∇^⊥_Y(A)}(X)
+ ∇_X(S_A(Y)) + B(X,S_A(Y)) - S_A([X,Y])가 되어,
<(R'(X,Y)-R^⊥(X,Y))A,B> = <B(X,S_A(Y)) - B(S_A(X),Y),B>
= <(S_A∘S_B - S_B∘S_A)(X),Y>.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
이제, 텐서 B를 B(X,Y,η) = <B(X,Y),η> 형태로 써서 T*M⊗T*M⊗(TM^⊥)*의 단면으로 바꿔놓고,
M의 벡터장 X에 대해, 그 공변미분 ∇'_X(B)(Y,Z,η)=X(B(Y,Z,η)) - B(∇_X(Y),Z,η) - B(X,∇_X(Z),η) - B(Y,Z,∇^⊥_X(η))를 생각해요.
그러면, 다음의 방정식이 성립해요.
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[Codazzi 방정식]
M 위의 벡터장 X,Y,Z와 (TM)^⊥의 단면 η에 대해, <R'(X,Y)Z,η> = ∇'_Y(B)(X,Z,η) - ∇'_X(B)(Y,Z,η)
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증명:
∇'_X(B)(Y,Z,η) = X(<B(Y,Z),η>) - <B(∇_X(Y),Z),η> - <B(Y,∇_X(Z)),η> - <B(Y,Z),∇^⊥_X(η)>
= <∇^⊥_X(B(Y,Z)),η> - <B(∇_X(Y),Z),η> - <B(Y,∇_X(Z)),η>이므로,
>>196에 의해,
<R'(X,Y)Z,η> = <B(Y,∇_X(Z)) + ∇^⊥_Y(B(X,Z)) - B(X,∇_Y(Z)) - ∇^⊥_X(B(Y,Z)) + B(∇_X(Y),Z) - B(∇_Y(X),Z),η>
= ∇'_Y(B)(X,Z,η) - ∇'_X(B)(Y,Z,η).
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 시간에도 리만다양체의 immersed 부분다양체에 대해 계속 배우도록 해요.
[예고]제 77강: 리만다양체의 immersed 부분다양체 (2)
<제 77강 : 리만다양체의 immersed 부분다양체 (2)>
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리만다양체 M'의 immersed 부분다양체 M이 [점 p∈M에서 지오데식]이라는 것은,
p를 지나는 M의 모든 지오데식(곡선)이 M'에서도 지오데식이라는 뜻이에요.
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M이 [완전지오데식(totally geodesic)]이라는 것은, M이 M의 모든 점에서 지오데식이라는 뜻이에요.
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[M이 점 p∈M에서 지오데식인 것은, 모든 v∈(T_p(M))^⊥에 대해 II_v = 0인 것과 동치이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>205에서 M'에서도 "점 p에서" 지오데식이라고 해야 돼요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 곡선 c가 점 p에서 지오데식이라는 것은, Dc'/dt가 점 p에서 0이라는 뜻
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증명은 간단해요. M의 접벡터 x∈T_p(M)을 생각하고,
v와 x의 M 전체에서의 벡터장으로의 확장 N,X을 생각하되, p 근방에서 <N,X> = 0이 되게 하면,
II_v(x) = <S_v(x),x> = <-∇'_X(N),X>(p) = -(X<N,X>)(p) + <N,∇'_X(X)>(p) = <N,∇'_X(X)>(p)가 성립해요. 그러므로,
모든 v∈(T_p(M))^⊥에 대해 II_v = 0 <-> ∇'_X(X)는 p 근방에서 M에 수직한 성분을 갖지 않는다
<-> p를 지나는 M 위의 곡선 c에 대해 M에서 계산한 Dc'/dt와 M'에서 계산한 Dc'/dt는 같다
<-> M은 점 p에서 지오데식이다
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' >>207에 의해 자명
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따라서, 다음의 사실을 알 수 있어요.
[M이 완전지오데식인 것은 M의 2차기본형식이 0인 것과 동치이다.]
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완전지오데식인 immersed 부분다양체는 매우 보기 힘들어요.
간단한 예로는 유클리드 공간의 선형부분공간들이 있겠죠.
그래서, 우리는 조건을 대폭 약화시켜서, 극소부분다양체라는 녀석을 정의해요.
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리만다양체 M'의 immersed 부분다양체 M이 [극소(minimal)]라는 것은,
모든 p∈M과 v∈(T_p(M))^⊥에 대해, Tr(S_v) = 0이라는 뜻이에요.
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이 정의에 극소라는 이름이 붙은 이유는, 지오데식이 길이를 국소적으로 최소화하는 것처럼,
극소부분다양체는 부피를 국소적으로 최소화하기 때문인데요,
이것에 대한 이야기는 하지 않도록 하겠어요. 이쪽도 매우 깊은 분야인지라.
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이제, 지난번과 이번 강의에서 배운 것들의 특수한 경우에서의 예시를 들어 보겠어요.
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먼저, M이 M'에서 여차원 1인 경우에, (dim(M') = n+1, dim(M) = n) 만약 M과 M'의 방향성이 주어져 있다면,
각각의 점 p∈M에서, 주어진 방향성에 일치하는, 길이 1인 수직벡터 v∈(T_p(M))^⊥이 유일하게 결정되지요.
이 때, 모양연산자 S_v : T_p(M) -> T_p(M)을 행렬로 나타내면, 그 행렬은 대칭행렬이어야 하기 때문에,
S_v는 대각화 가능하고, 따라서 T_p(M)의 기저를 이루는 S_v의 고유벡터들 {v_1,…,v_n}과 그에 해당하는 고유값들 {λ_1,…λ_n}을 생각할 수 있죠.
이 때, v_1,…,v_n들을 우리는 점 p에서의 M의 [주방향(principal directions)]들이라고 하며, λ_1,…,.λ_n들을 그 [주곡률(principal curvatures)]들이라고 해요.
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물론, 모든 주곡률들의 곱과 모든 주곡률들의 평균값은, M와 p에 대한 불변량이죠.
모든 주곡률들의 곱 det(S_v) = λ_1…λ_n을 우리는 M의 p에서의 [Gauss-Kronecker 곡률]이라고 하고,
모든 주곡률들의 평균값 Tr(S_v)/n = (λ_1 + … + λ_n)/n을 우리는 M의 p에서의 [평균곡률(mean curvature)]이라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' v_i는 주방향, λ_i는 주곡률
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M이 M'에서 여차원 1인 경우, S_v를 대각화하면, >>183은 다음과 같이 정리되지요.
[K(v_i,v_j) - K'(v_i,v_j) = λ_iλ_j이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 리만(Riemannian) 곡면 S의 [가우스곡률(Gaussican curvature)]는, 점 p∈S에서의 접평면 T_p(S)의 정규직교기저 {e_1,e_2}에 대해,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ K(p) = <R(e_1,e_2)e_1,e_2>로 정의해요
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만약, 즉 M'의 곡률텐서가 0이면 어떻게 될까요? (예를 들어서, M' = R^{dim(M)})
그러면 M'의 단면곡률 K'가 항상 0이므로, >>217의 식은 K(v_i,v_j) = λ_iλ_j가 되지요.
거기에, 만약 M이 곡면이고 M'이 R^3이라면, 좌변은 가우스곡률 K가 되니, K = λ_1λ_2가 되죠.
이 식의 좌변은 M 위의 리만거리 자체에 의해 결정되지만, 우변은 M이 M' = R^3에 들어가는 방법에 의해 결정돼요.
신기하지 않나요? 가우스는 이것이 아주 신기하다고 생각했어요.
그래서 이것이 바로 [가우스의 위대한 정리(THEOREMA EGREGIUM)]이에요!
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그 외에도, M'의 곡률이 간단한 형태라면, 우리는 M이 M'에 매장된 형태를 알 때 그것을 통해 M의 곡률을 알 수 있어요.
보통 이것이 바로 M의 곡률을 아는 가장 간단한 방법이 되는 경우가 많아요.
그런 의미에서 아주 중요한 세 가지 리만다양체를 배우고 이번 강의를 마치도록 해요.
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먼저, n차원 구, S^n = {x∈R^{n+1} | ||x|| = 1}이 있어요.
이 구는 R^{n+1}의 부분다양체이니, R^{n+1}의 유클리드 거리에서 유도된 자연스러운 거리가 있죠.
이 때, S^n의 모든 단면곡률은 1이에요.
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다음으로, n차원 유클리드 공간 R^n이 있죠.
이 공간에는 자연스러운 유클리드 거리 g_{Euc} = dx_1⊗dx_1 + … + dx_n⊗dx_n이 있어요.
이 때, R^n의 모든 단면곡률은 0이에요.
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마지막으로, n차원 쌍곡공간 H^n이 있죠.
H^n은 다양체로서 {(x_1,…,x_n)∈R^n|x_n > 0}이며, 그 위의 거리는 g_{hyp} = (dx_1⊗dx_1 + … + dx_n⊗dx_n)/(x_n)^2으로 주어져요.
이 때, H^n의 모든 단면곡률은 -1이에요.
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곡률 계산은 직접 해 보세요.
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이상으로 이번 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 Hopf-Rinow 정리에 대해 배우도록 해요.
[예고]제 78강: Hopf-Rinow 정리
<제 78강 : Hopf-Rinow 정리>
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' L(c) = (c의 길이) = ∫||c'(t)||dt
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리만다양체 M이 주어질 때, 다음과 같은 M 위의 거리를 생각할 수 있어요.
x,y∈M에 대해 d(x,y) = inf_{x와 y 사이의 매끄러운 곡선 c} L(c).
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이 거리는 M을 거리공간으로 만들어요.
거리공간으로서의 M이 완비일 때, 우리는 주어진 리만다양체 M을 [거리완비(metrically complete)]이라고 해요.
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그런데, M에는 완비성의 또 다른 자연스러운 정의가 있어요.
리만다양체 M의 모든 점 p∈M에서, 지수사상 exp_p가 T_p(M) 전체에서 정의될 때, 우리는 M을 [지오데식 완비(geodesically complete)]이라고 해요.
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[Hopf-Rinow 정리]
리만다양체 M이 주어질 때, 다음의 세 명제는 서로 동치이다.
(1) M은 거리 완비이다
(2) M은 지오데식 완비이다
(3) 임의의 p,q∈M에 대해, p와 q를 잇는 최소지오데식이 존재한다.
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(1) -> (2):
M이 거리완비인데 지오데식 완비가 아니라고 가정해요.
그러면 어떤 지오데식 c : (0,1) -> M이 존재해서, c(t)가 t ≥ 1의 범위로 확장될 수 없어요.
이 때, 지오데식은 속도가 일정하므로, 수열 {c(1-1/n)}은 코시수열이에요.
그런데 M이 거리완비이므로, c(1-1/n)은 어떤 점 p∈M으로 수렴해야 해요.
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이제, p의 완전정규근방 U를 생각해요.
그러면, 어떤 양수 e가 존재해서, 모든 x∈U에 대해 exp_x가 B_e(0)⊂T_x(M)에서 정의되게 할 수 있어요.
(왜 그럴까요? 완전정규근방의 존재성의 증명을 찾아보세요.)
이 때, 어떤 자연수 N이 존재해서, 모든 n > N c(1-1/n)∈W이고 모든 m,n > N에 대해 d(c(1-1/n),c(1-1/m)) < e가 성립하겠죠.
그러면, 완전정규근방 안의 임의의 두 점을 잇는 최소지오데식의 존재성과 정규공 안의 방사지오데식의 최소성에 의해,
c(1-1/N)과 p를 잇는 최소지오데식 c_0를 생각하면, c_0와 c는 (1-1/N,1)에서 일치해요. (왜 그럴까요?)
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따라서, c의 조건에 의해, c_0 또한 p 너머로 확장될 수 없어요.
그런데, 어머나? 그럴 리가 없네요? 그냥 c_0를 p에서 반대방향으로 그어 버리면 W 내부에서의 확장가능성이 보장돼요. 모순!
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(2) -> (3):
M 위의 두 점 p,q∈M를 잡고, d(p,q)를 r이라고 해요.
그리고, 적당한 작은 양수 δ에 대해, p에서의 정규공 B_δ(p)를 잡고, 그 경계 S_δ(p) = ∂(B_δ(p))를 잡아요.
그러면, S_δ(p)는 컴팩트이므로, 함수 x -> d(x,q) : S_δ(p) -> [0,∞)은 어떤 점 x_0∈S_δ(p)에서 최소값을 가져요.
또한, c(1) = x_0를 만족하는, p를 중심으로 한 방사지오데식 c(t)=exp(tv) : R -> M을 생각해요. (여기서 v∈T_p(M), ||v|| = 1)
그리고 나서, 집합 A = {t∈[0,r] | d(c(t),q) = r - t}를 생각해요.
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그러면, 당연히 0∈A이므로, A는 공집합이 아니에요.
또한, 당연히 A는 [0,r]의 닫힌 부분집합이에요. (왜 그럴까요?)
이제, 임의의 t∈A를 잡고, 임의의 충분히 작은 양수 e에 대해,
c(t)를 중심으로 하고 반지름이 e인 정규공 B_e(c(t))의 경계 S_e(c(t)) = ∂B_e(c(t))를 잡은 후,
컴팩트집합 S_e(c(t))에서 함수 x -> d(x,q)가 최소값을 갖는 점 x'_0∈S_e(c(t))를 잡으면,
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d(c(t),q) = e + min{d(x,q) | x∈S_e(c(t))} = e + d(x'_0,q)이므로, d(x'_0,q) = d(c(t),q) - e = r-(t+e)가 되죠.
따라서, 삼각부등식에 의해, d(p,x'_0) ≥ d(p,q) - d(x'_0,q) = r - (r-(t+e)) = t+e가 돼요.
그런데, 삼각부등식에 의해 d(p,x'_0) ≤ d(p,c(t)) + d(c(t),q) ≤ t+e이므로,
d(p,x'_0) = t+e가 성립해요.
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그러므로, p에서 c(t)까지의 지오데식 c와 c(t)에서 x'_0까지의 방사지오데식을 이어서 만든 M 위의 조각 C^1 곡선은,
p와 x'_0를 잇는 모든 조각 C^1 곡선들 중 최소의 길이를 가지고 있고 (왜 그럴까요?)
그러므로 최소지오데식이고, 따라서 (매끄러운) 지오데식이에요.
다시 말해, c(t+e) = x'_0가 성립해요.
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그러므로, A는 [0,r]의 열린 부분집합이에요.
즉, A는 [0,r] 안에서 공집합이 아니며 열려 있고 동시에 닫혀 있는 부분집합이에요.
그런데 [0,r]은 연결공간이므로, A = [0,r]이어야 해요. 그러므로 c(r) = q에요.
따라서 c는 p와 q를 잇는 지오데식이에요!
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(물론 정확히는, c는 최소지오데식이죠)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 잠깐, 정규공의 존재성에 의해 M의 다양체로서의 위상과 M의 거리에 의한 거리위상은 같죠?
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(3) -> (1):
M 위의 코시수열 {p_n}이 주어졌다고 해요.
그러면, 주어진 조건 (3)에 의해, 어떤 점 p∈M과 큰 양수 R이 존재해서, 모든 자연수 n에 대해 d(p,p_n) < R이 성립해요. (왜 그럴까요?)
따라서, 주어진 수열 {p_n}은, M의 컴팩트 부분집합 B = exp_p({v∈T_p(M) | ||v|| ≤ R}) 안에 있어요.
그런데, 컴팩트 거리공간은 완비이므로, 수열 {p_n}은 어떤 점 p∈B(⊂M)로 수렴해요.
따라서 M은 거리 완비에요!
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이것으로 Hopf-Rinow 정리가 증명되었어요.
이 정리를 이용하면 신기한 사실을 알 수 있어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 리만다양체의 거리완비성과 지오데식완비성이 Hopf-Rinow 정리에 의해 동치이기 때문에,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 우리는 둘을 합쳐서 [완비성]이라고 말해요.
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[완비 리만다양체의 닫힌 부분다양체는 완비이다.]
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[컴팩트 리만다양체는 완비이다.]
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거리 완비성을 쓰면 당연한 이야기들이죠?
하지만 완비성 대신 지오데식 완비성을 쓴다면 전혀 당연한 이야기가 아니게 돼요.
그래서 Hopf-Rinow 정리가 중요한 거에요.
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이것으로 이번 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 Jacobi 장에 대해 배우도록 해요.
[예고] 제 79강: Jacobi 장
<제 79강 : Jacobi 장>
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리만다양체 M 위의 지오데식 c : I -> M이 주어질 때,
D^2(J)/dt^2 + R(c',J)c' = 0을 만족하는 c 위의 벡터장 J를, 우리는 c 위의 [Jacobi 장]이라고 해요.
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그러면 국소적으로, Jacobi 장 방정식은 2계 상미분방정식으로 쓸 수 있죠.
따라서, J(0)와 J'(0)이 주어질 때, J가 유일하게 결정되고,
그러므로, 주어진 지오데식 c 위의 Jacobi 장들의 공간은 2n차원이 되지요.
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따라서, J(0) = 0인 Jacobi 장은 항상 다음과 같이 쓸 수 있어요.
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[점 p∈M에서 시작하는 (c(0) = p) 지오데식 c:I->M 위의 Jacobi 장 J가 J(0) = 0을 만족할 때, J(t) = d(exp_p)(tc'(0))(tJ'(0))이 성립한다.]
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증명은 간단해요. c 위의 벡터장 V(t) = d(exp_p)(tc'(0))(tJ'(0))은 V(0) = 0, V'(0) = J'(0)을 만족해요.
그러니 V가 c 위의 Jacobi 장이라는 것을 보이면 충분하겠죠.
c'(0) = v, c(t) = exp_p(tv)로 쓸 때, 매끄러운 함수 u(s,t) = exp_p(t(v+sJ'(0))) : I×(-e,e)->M을 생각하면,
e가 충분히 작을 때 u가 잘 정의되고, 모든 t∈(-e,e)에 대해 곡선 s -> u(s,t)는 지오데식이며, u(s,0) = c(s)이므로,
0 = (D/∂t)(D/∂s)(∂u/∂s)
= (D/∂s)(D/∂t)(∂u/∂s) - R(∂u/∂t,∂u/∂s)(∂u/∂t)
= (D/∂s)(D/∂s)(∂u/∂t) - R(∂u/∂t,∂u/∂s)(∂u/∂t)이 되어,
t = 0을 대입하면, D^2(J)/ds^2 = R(c',J)c'가 돼요. 증명 끝!
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이것을 사용해서, 우리는 지오데식 위의 J(0) = 0인 Jacobi 장 J를 테일러 전개할 수 있어요.
>>253에 의하면, 이것은, 지수사상에 의한 방사지오데식의 한 점에서 주위의 지오데식이 퍼져나가는 정도를 의미하게 되죠.
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[리만다양체 M 위의 점 p∈M, 그리고 c(0) = p, c'(0) = v∈T_p(M)을 만족하는 지오데식 c : [0,a] -> M에 대해,
||w|| = 1인 w∈T_0(T_p(M))과 Jacobi 장 J(t) = d(exp_p)(tv)(tw)를 정의할 때, (>>253에 의해 J는 Jacobi 장이 맞죠)
lim_{t->0} R(t)/t^4 = 0인 어떤 함수 R에 대해, ||J(t)||^2 = t^2 - (1/3)<R(v,w)v,w>t^4 + R(t)가 성립한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 참고: J(0) = 0, J'(0) = w
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증명을 위해서는, ||J(t)||^2을 네 번 미분할 수 있으면 돼요.
편의를 위해, c 위의 벡터장의 공변미분을 일반적인 미분 하듯이, '를 붙여서 쓰도록 해요.
그러면, ||J(t)||^2 = <J(t),J(t)>이므로, <J,J>를 (공변)미분하면,
<J,J>(0) = <J(0),J(0)> = 0,
<J,J>'(0) = 2<J(0),J'(0)> = 0,
<J,J>''(0) = 2<J(0),J''(0)> + 2<J'(0),J'(0)> = 2<w,w> = 2가 되죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>254에서 부호가 잘못되었네요. D^2(J)/ds^2 = -R(c',J)c'로 바꿔 주세요.
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또한, J''(0) = (D^2(J)/dt^2)(0) = -R(c'(0),J(0))c'(0) = 0이므로,
<J,J>'''(0) = 6<J'(0),J''(0)> + 2<J(0),J'''(0)> = 0이 돼요.
이제 <J,J>의 0에서의 4계 공변미분계수만 알면 되겠죠.
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마지막으로,
<J,J>''''(0) = 8<J'(0),J'''(0)> + 6<J''(0),J''(0)> + 2<J(0),J''''(0)>
= -8<(D/dt)(R(c',J)c')(0),J'(0)>
= -8<(D/dt)(R(c',J)c')(0),J'(0)>
= -8((d/dt)<R(c',J)c',J'>(0) - <R(c'(0),J(0))c'(0),J''(0)>)
= -8(d/dt)<R(c',J')c',J>(0)
= -8(<(D/dt)(R(c',J')c')(0),J(0)> + <R(c'(0),J'(0))c'(0),J'(0)>)
= -8<R(v,w)v,w>가 돼요.
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그러므로, 모두 합치면, >>256의 테일러 전개가 나오죠.
테일러 정리에 의해, 증명 끝!
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이제, 리만다양체 M 위의 지오데식 c:I->M 위의 어떤 Jacobi 장 J가 있어서,
J(0) = J(1) = 0이고, <J,c'> = 0이며, J'(0) ≠ 0일 때, 우리는 점 c(1)이 c(0)의 [켤레점(conjugate point)]라고 정의해요.
또한, 이 조건을 만족하는 Jacobi 장 J들의 (벡터)공간의 차원수를,
우리는 c(0)의 켤레점 c(1)의 [차수(multiplicity)]라고 해요.
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M이 n차원 다양체일 때, >>253에 의해, 켤레점의 차수는 n-1을 넘을 수 없겠죠.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
사실 <J,c'> = 0이라는 조건은 필요가 없어요.
>>253에 의해, 만약 <J,c'> ≠ 0이라면, J(t) = tc'(t)가 될 것이고, 그렇다면 J(1)은 0이 될 리가 없으니까요.
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리만다양체 M의 점 p∈M에 대해, p에서 출발하는 지오데식이 처음으로 만나는 켤레점들의 집합을,
점 p의 [켤레점 집합(conjugate locus)]이라고 하고, C(p)라고 써요.
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이 때, 켤레점의 차수는 다음의 성질을 만족해요.
[리만다양체 M 위의 지오데식 c:I->M에 대해, 만약 어떤 t∈I에 대해 c(t)가 c(0)의 켤레점이라면,
켤레점 c(t)의 차수는 dim(ker(d(exp_{c(0)})(tc'(0))))와 같다.]
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>>253에 의해 자명하죠?
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이제 Jacobi 장의 몇 가지 성질들을 더 나열하고 강의를 마치겠어요.
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[지오데식 c:I->M 위의 Jacobi 장 J에 대해, <J(t),c'(t)> = <J'(0),c'(0)>t + <J(0),c'(0)>이다.]
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증명:
(d/dt)<J(t),c'(t)> = <J'(t),c'(t)> + <J(t),Dc'(t)/dt> = <J'(t),c'(t)>이고
(d^2/dt^2)<J(t),c'(t)> = (d/dt)<J'(t),c'(t)> = <J''(t),c'(t)> = -<R(c'(t),J(t))c'(t),c'(t)> = 0이므로,
<J(t),c'(t)>는 t에 대한 1차함수이고,
<J(t),c'(t)> = <J(0),c'(0)> + <J,c'>'(0)t = <J(0),c'(0)> + <J'(0),c'(0)>t가 돼요.
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이것을 사용하면, >>264의 논증의 더 쉬운 설명을 할 수 있겠죠.
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이것으로, 이번 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 Hadamard 정리에 대해 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 80강: Hadamard 정리
<제 80강 : Hadamard 정리>
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매끄러운 다양체 M,N 사이의 매끄러운 함수 f:M->N이 [덮개사상(covering map)]이라는 것은,
임의의 p∈N에 대해 적당한 p의 열린 근방 U⊂N, 그리고 어떤 0차원 다양체 F에 대해 미분동형사상 F:U×F->f^-1(U)가 존재해서,
모든 x∈U와 y∈F에 대해 f(F(x,y)) = x가 성립한다는 뜻이에요.
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[f:M->N이 덮개사상인 것은, 임의의 매끄러운 곡선 c_0 : I->N과 f(x)=c_0(0)을 만족하는 점 x∈M에 대해,
c(0) = x이고 f∘c = c_0인 매끄러운 곡선 c : I->M이 유일하게 존재하는 것과 동치이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' >>276에서 c를 c_0의 [올림(lift)]라고 해요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그리고 >>276의 조건을 우리는 [경로 올림 성질(path-lifting property)]이라고 해요
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당연하죠? 임의의 N의 점 근방에서 그 근방 안의 곡선의 유일한 올림을 사용하면 되겠죠.
그런 의미에서 증명은 생략해요.
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[매끄러운 함수 f:M->N이 덮개사상이고 M이 연결되어 있고 N이 단순연결이라면, f는 미분동형사상이다.]
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>>279의 증명을 위해서는, N 안의 임의의 매끄러운 닫힌 곡선 c_0에 대해, c_0의 임의의 올림 또한 닫힌 곡선임을 보이면 충분해요. (왜 그럴까요?)
N은 단순연결이므로, c_0는 상수 곡선과 호모토픽해요. 그러면 우리는, 덮개공간의 정의를 사용해서,
곡선뿐만 아니라, 곡선의 호모토피 또한 M으로 올릴 수 있어요. (잘 생각해 보세요!)
그러면 c_0의 올림은 상수곡선의 올림과 호모토픽해야 하는데, N의 상수곡선의 올림은 M의 상수곡선이므로,
c_0는 닫힌 곡선임을 알게 되죠. 증명 끝!
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이제, 이 덮개공간이라는 녀석을 리만다양체에서 써먹어 보도록 해요.
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[M이 완비 리만다양체이고, M의 모든 단면곡률이 0 이하라면,
모든 점 p∈M에 대해 C(p)는 공집합이다. 즉, 지수사상 exp_p : T_p(M) -> M은 국소 미분동형사상이다.]
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증명을 위해서는, 당연히 지난 시간에 배웠던 Jacobi 장 이론을 사용해야겠죠.
만약 C(p)가 공집합이 아니라면, 어떤 지오데식 c:I->M 위의 Jacobi 장 J가 있어서,
c(0) = p이고 J(0) = 0이며, 어떤 양수 t에 대해 J(t) = 0이어야 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 정의: |v∧w| = (||v||^2 + ||w||^2 - <v,w>^2)^{1/2}.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 코시-슈바르츠 부등식에 의해 이 값은 언제나 0 이상이죠.
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/:/ﾆﾆﾆﾆYﾆﾆヾt､ 아, >>283에서 J'(0) ≠ 0이라는 조건을 추가해야 해요
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
그런데, M의 모든 단면곡률이 0 이하이므로,
<J,J>'(0) = 2<J(0),J'(0)> = 0이고,
<J,J>'' = 2<J',J'> + 2<J'',J> = 2<J',J'> - 2<R(c',J)c',J> = 2||J'||^2 - 2K(c',J)|c'∧J|^2 ≥ 0이 되어,
모든 t ≥ 0에 대해 <J,J>'(t) ≥ 0이에요.
따라서, 함수 ||J(t)||는 t에 대한 증가함수죠.
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이제, 조건에 의해, 어떤 t > 0에 대해 J(0) = J(t) = 0이므로,
0과 t 사이에서 J = 0이 성립해야 해요. 그러므로 J'(0) = 0이 되죠. 모순!
그러므로 C(p)는 공집합이에요!
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이제, 다음의 사실을 증명하도록 해요.
[리만다양체 M,N 사이의 매끄러운 함수 f:M->N이 주어질 때,
만약 M이 완비이고 f가 국소미분동형사상이며, 모든 p∈M과 v∈T_p(M)에 대해 ||df(p)(v)|| ≥ ||v||가 성립한다면, f는 덮개사상이다.]
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이것을 증명하기 위해서는, >>276에 의하면, f에 대한 경로 올림 성질을 증명하면 충분해요.
매끄러운 곡선 c_0:I->N과 f(x)=c_0(0)인 점 x∈M을 잡아요.
그리고, I = [0,1]의 부분집합 A = {t∈I | c(0) = x, f∘c = c_0를 만족하는 매끄러운 곡선 c_0:[0,t]->M이 존재한다}
그러면, f가 국소미분동형사상이므로, A는 I의 열린 부분집합이고, 0∈A이므로 A는 공집합이 아니에요.
I는 연결된 공간이므로, 이제 우리는 A가 I의 닫힌 부분집합임을 증명하기만 하면 돼요.
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A의 어떤 수열 {t_n}이 어떤 값 t∈I로 수렴한다고 가정해요.
만약 t_n∈A라면 [0,t_n]⊂A이므로, 일반성을 잃지 않고, 우리는 t_n이 단조증가라고 가정할 수 있어요.
각각의 자연수 n에 대해, c_n(0) = x, f∘c_n = c_0를 만족하는 매끄러운 곡선 c_n:[0,t_n]->M이 존재해요.
이 때, 경로 올림의 유일성에 의해, 구간 [0,t_{n-1}]에서 c_n은 c_{n-1}과 일치해야 하겠죠.
따라서, 어떤 매끄러운 곡선 c:[0,t)->M이 존재해서, c(0) = x이고 f∘c = c_0가 될 거에요.
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t∈A를 보이기 위해서는, t에서 c의 좌극한이 존재함을 보이면 충분해요.
그것을 위해서는, t로 수렴하는 [0,t)의 임의의 단조증가수열 {s_n}에 대해, M의 수열 {c(s_n)}이 수렴함을 보이면 충분해요.(왜 그럴까요?)
그런데, 임의의 자연수 n,m에 대해, n < m이라고 가정할 때, 조건에 의해,
d(c(s_n),c(s_m)) ≤ ∫_[s_n,s_m] ||c'(t)||dt ≤ ∫_[s_n,s_m] ||df(c(t))(c'(t))||dt = ∫_[s_n,s_m] ||(c_0)'(t)||dt < max { ||(c_0)'(t)|| | t∈[0,1] } · |s_n-s_m|이므로,
수열 {c(s_n)}은 M 안의 코시수열이고, M이 완비이므로 수열 {c(s_n)}은 M에서 수렴해야 해요.
따라서 t∈A가 돼요.
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이것으로 c_0의 M으로의 올림이 존재함을 보였어요.
그런데 f는 국소미분동형사상이므로, c_0의 올림은, 존재한다면, 유일해요.
그러므로, f는 경로 올림 성질을 만족하고, 따라서, >>276에 의해, 덮개사상이 돼요!
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이제, 우리는 Hadamard 정리를 증명할 수 있어요.
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[Hadamard 정리]
[M이 완비 리만다양체이고, M의 모든 단면곡률이 0 이하라면, 임의의 p∈M에 대해, 지수사상 exp_p:T_p(M)->M은 덮개사상이다.
또한, 만약 M이 단순연결이기도 하다면, exp_p는 미분동형사상이다.]
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증명은 간단해요.
>>282에 의해, exp_p는 (단사인) 국소미분동형사상이에요.
따라서, 임의의 x∈T_p(M)과 v,w∈T_x(T_p(M))에 대해, <v,w> = <d(exp_p)(x)(v),d(exp_p)(x)(w)>를 사용해서,
T_p(M) 위의 리만거리 <-,->를 만들 수 있어요.
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이 리만거리에 대해, 지수사상 exp_p:T_p(M)->M은 국소 등거리사상이죠.
따라서, >>286에 의해, exp_p는 덮개사상이 돼요!
또한, 만약 M이 단순연결이었다면, T_p(M)은 연결된 공간이므로, >>279에 의해, exp_p는 미분동형사상이 되겠죠!
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이것으로 Hadamard 정리의 증명을 마쳤어요.
Hadamard 정리는 아주 신기한 정리에요.
M이 완비이고 M의 단면곡률이 양이 아니라는 사실만을 가지고, M의 대역적 생김새를 강하게 제약하는, 신기한 녀석이죠.
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다시 말해서, 리만다양체의 곡률의 제약을 주면, 그 다양체 자체의 생김새에 제약이 걸릴 수 있다는 것이죠!
[예고] 제 81강: 지오데식과 에너지
<제 81강 : 지오데식과 에너지>
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리만다양체 M 위의 조각 C^∞ 곡선 c:I->M이 주어질 때, 우리는 그 [에너지(energy)] E(c)를,
E(c) = ∫_||c'(t)||^2 dt로 정의해요.
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그리고, 다음의 조건을 만족하는 연속함수 f:(-e,e)×I->M을, 우리는 조각 C^∞ 곡선 c:I->M의 [변화(variation)]이라고 해요.
(1) c가 t∈I에서 C^∞일 때, 임의의 s∈(-e,e)에 대해, f는 (s,t)에서 C^∞이다.
(2) 모든 t∈I에 대해 f(0,t) = c(t)이다.
이 때, c 위의 벡터장 c'를, 우리는 c의 변화 f의 [변화장(variational field)]라고 해요.
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c의 변화 f가 [진변화(proper variation)]이라는 것은, 모든 s∈(-e,e)에 대해, f(s,0) = c(0)이고 f(s,1) = c(1)이라는 뜻이에요.
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그러면, V(0) = V(1) = 0을 만족하는 c 위의 임의의 벡터장 V에 대해, V를 변화장으로 갖는 c의 진변화 f가 존재해요.
자명한 이야기니, 증명은 생략해요.
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이 때, c의 변화 f가 주어진다면, 임의의 s∈(-e,e)에 대해 곡선 t -> f(s,t)를 c_s로 쓴다면,
에너지 함수 s -> E(c_s)가 s = 0 근방에서 어떻게 행동하는지 관찰해 볼 수 있겠죠.
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[에너지의 1차 변화(First variation of energy)]
[리만다양체 M과 0 = t_0 < t_1 < … < t_{n-1} < t_n = 1을 만족하는 점들 t_1,…,t_n∈I에 대해,
조각 C^∞ 곡선 c:I->M이 i=1,…,n에 대해 구간 (t_{i-1},t_i)에서 C^∞라면,
c의 변화 f:(-e,e)×I->M이 주어질 때, 그 변화장을 V라 하고, 각각의 s∈(-e,e)에 대해 곡선 t -> f(s,t)를 c_s로 쓰면,
(1/2)(dE(c_s)/ds)(0) = -∫<V(t),Dc'/dt>dt -∑<V(t_i),(lim_{t->t_i+0} c'(t) - lim_{t->t_i-0} c'(t)) - <V(0),c'(0)> + <V(1),c'(1)>이 성립한다.]
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증명은 간단해요. 일반성을 잃지 않고 c가 I 전체에서 C^∞라고 가정해요.
그러면, E(c_s) = ∫<∂f/∂t,∂f/∂t>dt를 미분하면,
(1/2)(dE(c_s)/ds) = ∫<(D/∂s)(∂f/∂t),∂f/∂t>dt
= ∫<(D/∂t)(∂f/∂s),∂f/∂t>dt
= ∫(∂/∂t)<∂f/∂s,∂f/∂t>dt - ∫<∂f/∂s,(D/∂t)(∂f/∂t)>dt
= <∂f/∂s,∂f/∂t>|_{t=1} - <∂f/∂s,∂f/∂t>|_{t=0} - ∫<∂f/∂s,(D/∂t)(∂f/∂t)>dt이므로,
(1/2(dE(c_s)/ds)(0) = <V(1),c'(1)> - <V(0),c'(0)> - ∫<V,Dc'/dt>dt가 돼요. 증명 끝!
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이제, 에너지의 1차 변화식(>>304)과 >>302의 사실을 조합하면,
다음의 사실을 알 수 있어요.
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[리만다양체 M 위의 조각 C^∞ 곡선 c가 지오데식인 것은,
c의 임의의 진변화 f에 대해 (d(E(c_s))/ds)(0) = 0인 것과 동치이다.]
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증명은 생략!
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우리는, 곡선의 에너지라는 녀석이 지오데식에서 1차 미분계수(?)가 0임을 알게 되었어요.
그러면, 에너지를 최소화하는 곡선은 어떤 녀석일까요?
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리만다양체 M 위의 곡선 c:I->M에 대해, 그 길이 L(c)와 에너지 E(c)를 생각해요.
그러면, 코시-슈바르츠 부등식에 의해,
L(c)^2 = (∫||c'(t)|| dt)^2 ≤ ∫||c'(t)||^2 dt = E(c)가 성립하겠죠.
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또한, L(c)^2 = E(c)가 성립하는 것은, ||c'(t)||가 상수, 즉 c의 속도가 일정한 것과 동치이죠.
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그러므로, 리만다양체 M 위의 최소지오데식 c:I->M이 주어질 때, c는 속도가 일정하므로 E(c) = L(c)^2이며,
s(0) = c(0), s(1) = c(1)인 임의의 조각 C^∞ 곡선 s:I->M에 대해, E(s) ≥ L(s)^2 ≥ L(c)^2 = E(c)가 성립하죠.
또한, 만약 E(s) = E(c)라면, L(s) = L(c)여야 하니, s 또한 최소지오데식이어야 해요.
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정리하면, 이렇게 돼요.
[리만다양체 M 위의 최소지오데식 c, 그리고 c(0) = s(0), c(1) = s(1)을 만족하는 조각 C^∞ 곡선 s에 대해,
E(c) ≤ E(s)가 성립하며, 만약 E(c) = E(s)라면, s는 최소지오데식이다.]
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에너지의 첫 번째 변화를 살펴봤으니, 이제 두 번째 변화를 살펴보겠어요.
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[리만다양체 M 위의 지오데식 c와 그 진변화 f에 대해, f의 변화장을 V라고 할 때,
(c는 매끄러운 곡선이지만, 조각 C^∞ 곡선으로 취급하여, V는 미분가능이 아닐 수 있음)
(1/2)(d^2(E(c_s))/ds^2)(0) = -∫<V,V''+R(c',V)c'>dt - ∑<V(t_i),(lim_{t->t_i+0} V'(t) - lim_{t->t_i-0} V'(t))>가 성립한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아 >>300에서 오타, 변화장의 정의는 c'가 아니라 V(t) = (∂f/∂s)(0,t)
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일반성을 잃지 않고 V가 매끄럽다고 가정하는 대신, f가 진변화장이 아니라 그냥 변화장이라고 가정하고,
증명을 위해서 에너지의 1차 변화식에서 나온 식,
(1/2)(dE(c_s)/ds) = <∂f/∂s,∂f/∂t>|_{t=1} - <∂f/∂s,∂f/∂t>|_{t=0} - ∫<∂f/∂s,(D/∂t)(∂f/∂t)>dt의 양변을 s에 대해 편미분하고 s = 0을 대입하면,
(1/2)(d^2(E(c_s))/ds^2)(0) = <(D/∂s)(∂f/∂s),∂f/∂t>|_{t=1} - <(D/∂s)(∂f/∂s),∂f/∂t>|_{t=0}
+ <∂f/∂s,(D/∂s)(∂f/∂t)>|_{t=1} - <∂f/∂s,(D/∂s)(∂f/∂t)>|_{t=0}
- ∫<(D/∂s)(∂f/∂s),(D/∂t)(∂f/∂t)>dt - ∫<∂f/∂s,(D/∂s)(D/∂t)(∂f/∂t)>dt가 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 변화는 s방향으로 항상 C^∞라는 조건을 붙이는 것도 까먹었네요
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그런데 여기서, s = 0일 때 (D/∂t)(∂f/∂t) = 0이므로, 전체에 s = 0을 대입하면,
∫<(D/∂s)(∂f/∂s),(D/∂t)(∂f/∂t)>dt = 0이 되고,
<(D/∂s)(∂f/∂s),∂f/∂t>|_{t=1} - <(D/∂s)(∂f/∂s),∂f/∂t>|_{t=0}는 당연히 0이에요.
또한, s = 0에서, (D/∂t)(∂f/∂t) = 0이므로, (D/∂s)(D/∂t)(∂f/∂t)는 s = 0에서 V'' + R(c',V)c'가 되겠죠.
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따라서 우리는 >>316의 식을 얻어요. 증명 끝!
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 에너지의 변화 공식을 이용하는 방법을 알아보도록 해요.
[예고] 제 82강: Bonnet-Myers 정리와 Synge-Weinstein 정리
글을 남김니다
당신이 앵커에 펼치는 지식의 편린을 저는 도저히
따라갈수 없더군요
제 자신의 무지 때문이겠죠
그렇기 때문에 저는 적어도 이 주제글을 인식만
하려고 합니다
자기만족이라곤 하지만 아무도 없는것 보다는 낫겠다 싶어
제 갠적인 생각에 이렇게 글을 남김니다
당신의 행보가 앵커판을 풍요롭게 하기에.....
<제 82강 : Bonnet-Myers 정리와 Synge-Weinstein 정리>
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지난번의 강의에서, 우리는 양이 아닌 곡률을 갖는 리만다양체의 대역적 구조를 다루었죠.
이번 강의에서는 양의 곡률을 갖는 리만다양체의 구조에 대해 다루도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 거리공간 (X,d)에 대해 diam(X) = sup {d(x,y)|x,y∈X}
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[Bonnet-Myers 정리]
[어떤 양수 r에 대해, 주어진 완비 리만다양체 M의 모든 점 p∈M과 모든 벡터 v∈T_p(M)에서 Ric_p(v) ≥ 1/r^2이 성립한다면,
M은 컴팩트이며, diam(M) ≤ πr이 성립한다.]
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만약 diam(M) ≤ πr임을 증명할 수 있다면, M의 완비성에 의해, 임의의 x∈M에 대해 exp_x({v∈T_x(M) | ||v|| ≤ πr}) = M이므로,
M은 연속함수에 의한 컴팩트공간의 상이 되고, 따라서 컴팩트에요.
그러니, diam(M) ≤ πr의 증명을 위해, 임의의 p,q∈M, 그리고 c(0) = p, c(1) = q인 최소지오데식 c:I->M을 잡아요.
그러면 우리는 d(p,q) ≤ πr이 성립함을 증명하면 충분해요.
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증명을 위해, d(p,q) = L(c)가 πr보다 크다고 가정해요.
그리고, {e_1(0),…,e_{n-1}(0),c'(0)}가 T_p(M)의 정규직교기저를 이루게 하는 e_1(0),…,e_{n-1}(0)∈T_p(M)을 잡고,
e_1(0),…,e_{n-1}(0)을 평행수송해서 만들어지는 c 위의 평행벡터장들 e_1,…,e_{n-1}을 잡아요.
그런 다음, 각각의 i = 1,…,n-1에 대해 c 위의 벡터장 V_i(t) = sin(πt)e_i(t)를 잡아요.
그러면, V_i(0) = V_i(1) = 0이에요.
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이제, 각각의 i = 1,…,n-1에 대해, c에서 V_i 방향으로의 에너지의 2차 변화(>>316)는,
(1/2)E''_i(0) = -∫<V_i,V''_i + R(c',V_i)c'>dt = ∫(sin^2(πt)) · (π^2 - L(c)^2 · K(c'(t),e_i(t)))dt이므로,
Ricci 곡률의 정의에 의해 (1/2)∑E''_i(0) = ∫(sin^2(πt))((n-1)π^2 - (n-1)^2 · L(c)^2 · Ric_{c(t)}(c'(t)/L(c)))dt가 돼요.
주어진 조건에 의해 Ric_{c(t)}(c'(t)/L(c)) ≥ 1/r^2이고 L(c) > πr이므로,
(n-1)^2 · L(c)^2 · Ric_{c(t)}(c'(t)/L(c)) > (n-1)π^2이 되어,
(1/2)E''_i(0) < ∫sin^2(πt) · ((n-1)π^2 - (n-1)π^2) = 0이 돼요.
그러므로, 1에서 n-1 사이의 어떤 i가 존재해서, E''_i(0) < 0이어야 해요.
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이것은, 주어진 c를 V_i 방향으로 아주 조금 움직이면 에너지가 감소한다는 뜻이에요. (지오데식에서는 에너지의 1차 변화가 0이죠)
그런데 최소지오데식은 에너지를 최소화하므로, 그럴 수 없어요. 모순! 증명 끝.
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이제, Synge-Weinstein 정리를 살펴보도록 해요.
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[Synge-Weinstein 정리]
[M이 n차원 컴팩트 완비 가향 리만다양체이고, M의 모든 단면곡률이 양수이고,
f:M->M이 M의 방향성을 (n이 짝수인 경우 보존하는/n이 홀수인 경우 뒤집는) 등거리사상일 때,
f(p) = p를 만족하는 점 p∈M이 존재한다.]
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증명을 위해, 임의의 p∈M에 대해 f(p) ≠ p가 성립한다고 가정해요.
이 때, M은 컴팩트이므로, 함수 x -> d(x,f(x)) : M -> (0,∞)는 M의 어떤 점 p에서 최소값을 가져요.
또한, M은 완비이므로, c(0) = p, c(1) = f(p)인 어떤 (속도 1인) 지오데식 c:[0,L]->M이 존재해서, L = d(p,f(p))가 성립해요.
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이제, 평행수송 함수 P : T_{f(p)}(M) -> T_p(M)을 생각하고,
그것을 이용해 함수 A(v) = P(df(p)(v)) : T_p(M) -> T_p(M)을 정의해요.
그러면, f가 등거리사상이고 P는 선형 등거리사상이므로, A 또한 선형 등거리사상이에요.
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이 때, c(t) ≠ p,f(p)를 만족하는 t∈(0,L)을 하나 잡으면, f는 등거리사상이고 c는 최소지오데식이므로,
d(c(t),f(c(t))) ≤ d(c(t),f(p)) + d(f(p),f(c(t))) = d(c(t),f(p)) + d(p,c(t)) = d(p,f(p))인데,
p의 정의에 의해 d(c(t),f(c(t))) = d(p,f(p))이고, 따라서 d(c(t),f(c(t))) = d(c(t),f(p)) + d(f(p),f(c(t)))가 성립하게 돼요.
그러므로, c(t)에서 p까지의 곡선 c|_[t,L]과 p에서 f(c(t))까지의 곡선 f∘c|_[0,t]를 이어붙여 만든 조각 C^∞ 곡선은,
그 길이가 d(c(t),f(c(t)))와 같게 되고, 따라서 c(t)와 f(c(t))를 잇는 조각 C^∞ 곡선들 중 최소의 길이를 갖는 곡선이므로, 최소지오데식이 돼요.
따라서, c|_[t,L]과 f∘c|_[0,t]는 f(p)에서 매끄럽게 이어붙여져야 하고, 그러므로 (f∘c)'(0) = c'(L)이 성립해요.
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따라서, A:T_p(M) -> T_p(M)은 A(c'(0)) = c'(0)을 만족해요.
그러므로, H = {v∈T_p(M) | <v,c'(0)> = 0}을 생각하고 A의 정의역을 H로 제한하면, 선형 등거리사상 A_0 : H->H를 얻어요.
이 때, M의 방향성에 관한 f의 조건에 의해, det(A_0) = det(A) = det(P∘df(p)) = (-1)^n이 성립하고, dim(H) = n-1이므로,
어떤 벡터 e_1(0)∈H가 존재해서 A(e_1(0)) = e_1(0)이 성립해요. (왜 그럴까요? 간단한 선형대수학이에요)
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이제, c를 따라서 벡터 e_1(0)을 평행수송해서 얻는 c 위의 평행벡터장을 e_1이라 해요.
그리고, 작은 양수 e에 대해, b(0) = p, b'(0) = e_1(0)을 만족하는 지오데식 b:(-e,e)->M을 잡아요.
그러면, e_1이 평행이고 P(df(p)(e_1(0))) = A(e_1(0)) = e_1(0)이므로, df(p)(e_1(0)) = e_1(L)이 되므로,
따라서, 지오데식 f∘b는 (f∘b)(0) = f(p), (f∘b)'(0) = e_1(L)을 만족하죠.
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이것을 이용해서, 함수 h(s,t) = exp_{c(t)}(s · e_1(t)) : (-e,e)×[0,L]->M을 정의해요.
그러면, 모든 s∈(-e,e)에 대해, h(s,0) = b(s)이고, h(s,L) = exp_{f(p)}(s · e_1(L)) = (f∘b)(s)가 성립해요.
따라서, 모든 s∈(-e,)에 대해, f(h(s,0)) = h(s,1)이 되고,
그러므로 함수 t -> h(s,t)는 h(s,0)과 f(h(s,0))을 잇는 곡선이 되죠.
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그런데, 모든 t∈[0,L]에 대해 h(0,t) = c(t)이므로 h는 c의 변화이고,
그 변화장을 V라고 하면, V(t) = (∂/∂s)(exp_{c(t)}(s · e_1(t)))(0,t) = e_1(t)가 되므로,
V는 평행벡터장이 되고, 따라서 V'(t) = V''(t) = 0이에요.
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이제, 에너지의 2차 변화 공식을 사용하면, 변화 h에 대한 c에서의 에너지의 2차 변화는,
(1/2)E''(0) = -∫<V(t),R(c'(t),V(t))c'(t) dt + <c'(t),(Db'(s)/∂s)(0)> - <c'(0),(D(f∘b)'(s)/∂s)(0)>
= -∫K(e_1(t),c'(t))dt인데,
M의 모든 단면곡률이 양수라고 가정했으므로, E''(0) < 0이 돼요.
따라서, 충분히 작지만 0이 아닌 수 s∈(-e,e)에 대해, 곡선 c_s(t) = f(s,t)는 E(c_s) < E(c)를 만족해요.
그러므로, L(c_s)^2 ≤ d(b(s),f(b(s))) · E(c_s) ≤ L · E(c_s) < L · E(c) = L(c)^2이 되어, L(c_s) < L(c)라는 결론을 얻어요.
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그런데, c_s는 b(s)와 f(b(s))를 잇는 곡선이므로, L(c) = L = d(p,f(p)) ≤ d(b(s),f(b(s)) = L(c_s)여야 해요.
따라서 L(c) ≤ L(c_s) < L(c). 모순! 증명 끝!
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이제, Bonnet-Myers 정리(>>325)와 Synge-Weinstein 정리(>>331)을 합치면, 다음의 사실을 증명할 수 있어요.
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[모든 단면곡률이 양수인 n차원 컴팩트 리만다양체 M이 주어질 때,
만약 M이 가향이고 n이 짝수라면 M은 단순연결이며,
만약 n이 홀수라면 M은 가향이다.]
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증명을 위해, M의 범피복(universal cover) M'을 생각해요.
범피복이라는 것은, 단순연결인 M의 덮개공간을 의미해요. 이것의 존재성은, 나중에 대수위상을 배울 때 증명할 거에요.
이 때, 덮개사상 p:M'->M을 이용해 M 위의 리만거리를 M'으로 당겨서 M'을 리만다양체로 만들면,
p는 국소 등거리사상이므로, M'의 모든 단면곡률이 양수이고, 따라서 모든 Ricci 곡률 또한 양수에요.
그런데, M이 컴팩트이므로, 어떤 양수 e가 있어서 M의 모든 Ricci 곡률이 e 이상이어야 하고,
따라서 M'의 모든 Ricci 곡률 또한 e 이상이어야 해요.
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그러면, Bonnet-Myers 정리에 의해, M'은 컴팩트여야 해요.
이제, [n이 짝수일 때], 만약 M이 단순연결이 아니라면,
M'의 방향성을 보존하는 어떤 미분동형사상 f:M'->M'이 존재해서, 모든 x∈M'에 대해 f(x) ≠ x를 만족하고, p∘f = p여야 해요.
(이것을 덮개 변환(covering transformation)이라고 하는데, 이것도 나중에 대수위상에서 배울 거에요)
그런데 p가 국소 등거리사상이므로, f는 등거리사상이어야 해요.
따라서, Synge-Weinstein 정리에 의해, 어떤 x∈M이 존재해서 f(x) = x여야 해요. 모순!
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다음으로, [n이 홀수일 때], 만약 M이 가향이 아니라면,
M' 대신 M의 방향성 이중 덮개(orientation double cover) p:M''->M을 생각할 수 있어요. (이것도 대수위상을 기대하세요)
그러면, M''은 M의 유한 덮개이므로 컴팩트이고, M''은 가향이며,
그 덮개변환 f:M''->M''을 생각하면, 모든 x∈M''에 대해 f(x)≠x이고 f는 M''의 방향성을 뒤집는 등거리사상이 되는데,
Synge-Weinstein 정리에 의해 어떤 x∈M''가 존재해서 f(x) = x여야 해요. 모순!
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이것으로 >>342가 증명돼요.
곡률이 양수라는 조건을 가지고도, 양이 아닐 때와 마찬가지로, 주어진 리만다양체의 생김새에 강한 제한을 걸 수 있는 것이죠!
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이번 강의는 이만 마치도록 해요.
다음 강의에서는 상수 곡률을 갖는 다양체에 대해 배우도록 해요.
[예고] 제 83강: 상수 단면곡률을 갖는 다양체
<제 83강 : 상수 단면곡률을 갖는 다양체>
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우리는, 주어진 리만다양체의 단면곡률이 항상 0 이하이거나 항상 어떤 양수 이상일 때,
그 다양체의 대역적인 생김새가 어떤지, 지난 두 강의에서 배웠어요.
이번 강의에서는, 단면곡률이 항상 일정한 다양체가 어떻게 생겼는지를 배우도록 하겠어요.
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먼저, 다음의 사실을 증명하도록 해요.
[매끄러운 다양체 M 위의 두 리만거리 g,g'가 주어질 때, 만약 g와 g'의 단면곡률이 같다면, g와 g'의 곡률텐서는 같다.]
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증명을 위해, g와 g'의 곡률텐서를 각각 R,R'로 쓰도록 해요. 그리고 임의의 p∈M을 잡아요.
g와 g'의 단면곡률이 같으므로, 임의의 v,w∈T_p(M)에 대해 <R(v,w)v,w> = <R'(v,w)v,w>가 성립해야 해요.
그러면, 임의의 x,y,z∈T_p(M)에 대해 <R(x+z,y)(x+z),y> = <R'(x+z,y)(x+z),y>여야 하므로, 양변을 전개하면,
<R(x,y)x,y> + 2<R(x,y)z,y> + <R(z,y)z,y> = <R'(x,y)x,y> + 2<R'(x,y)z,y> + <R'(z,y)z,y>가 되죠.
따라서, <R(x,y)z,y> = <R'(x,y)z,y>를 얻어요.
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이제, 임의의 x,y,z,w∈T_p(M)에 대해서,
<R(x,y+w)z,y+w> = <R'(x,y+w)z,y+w>여야 하므로, 양변을 전개하면,
<R(x,y)z,y> + <R(x,y)z,w> + <R(x,w)z,y> + <R(x,w)z,w> = <R'(x,y)z,y> + <R'(x,y)z,w> + <R'(x,w)z,y> + <R'(x,w)z,w>이므로,
<R(x,y)z,w> + <R(x,w)z,y> = <R'(x,y)z,w> + <R'(x,w)z,y>가 되어,
<R(x,y)z,w> - <R'(x,y)z,w> = <R(y,z)x,w> - <R'(y,z)x,w>가 되죠.
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그런데, Bianchi 항등식(>>95)에 의해,
<R(x,y)z,w> + <R(y,z)x,w> + <R(z,x)y,w> = <R'(x,y)z,w> + <R'(y,z)x,w> + <R'(z,x)y,w> = 0이므로,
3(<R(x,y)z,w> - <R'(x,y)z,w>) = 0이고, 따라서 <R(x,y)z,w> = <R'(x,y)z,w>가 돼요.
그러므로 R = R'가 성립해요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' Kronecker 델타 표기법: δ_ij = (i = j일 때 1, i ≠ j일 때 0)
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>>351에 의해, 다음의 사실을 알 수 있어요.
[리만다양체 M의 모든 단면곡률이 어떤 일정한 상수 K와 같다면,
점 p∈M에 대해, T_p(M)의 정규직교기저 {e_1,…,e_n}을 잡을 때,
1과 n 사이의 임의의 i,j,k,l에 대해,<R(e_i,e_j)e_k,e_l) = K(δ_ikδ_jl - δ_ilδ_jk)가 성립한다.]
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증명: <R'(e_i,e_j)e_k,e_l) = K(δ_ikδ_jl - δ_ilδ_jk)로 주어지는 M 위의 (3,1)-텐서 R'을 생각하면,
임의의 점 p∈M과 x,y,z,w∈T_p(M)에 대해, <R'(x,y)x,y> = K이고 <R'(x,y)z,w> = -<R'(y,x)z,w> = -<R'(x,y)w,z> = <R'(z,w)x,y>이며,
<R'(x,y)z,w> + <R'(y,z)x,w> + <R'(z,x)y,w> = 0이므로, >>352-354의 논지를 그대로 따르면, <R(x,y)z,w> = <R'(x,y)z,w>임을 알 수 있어요. 증명 끝!
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그러므로, 주어진 리만다양체 M의 단면곡률이 일정하다면,
M의 곡률텐서가 >>355로 유일하게 결정되게 되죠.
즉, 우리는 M의 곡률텐서를 완전히 알고 있는 거에요.
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그렇다면, 매끄러운 다양체 위의 리만거리가 주어질 때, 그 리만거리의 곡률텐서를 우리가 이미 알고 있다면,
과연 우리는 그 리만거리를 알 수 있을까요?
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그 질문에 답하기 위해, 우리는 먼저 다음과 같은 상황을 생각하도록 해요.
두 n차원 리만다양체 M과 M', 점 p∈M, p'∈M', 그리고 선형 등거리사상 i : T_p(M) -> T_p'(M')가 주어질 때,
p의 정규근방 V를 생각하면, p'에서의 지수사상 exp_p'는 (i∘(exp_p)^-1)(V)에서 정의돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아니, 정확히는 "그러한 p의 정규근방 V를 잡을 수 있어요"가 되어야겠죠
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 아무 V나 되는 건 아니니까요
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함수 f(q) = exp_p'∘i∘(exp_p)^-1(q) : V -> M'를 생각해요.
또한, 임의의 q∈V에 대해, c(0) = p, c(t) = q를 만족하는 유일한 (속도 1인) 최소지오데식 c:[0,t]->M을 고려한 후,
c에 의한 평행수송 사상 P_t : T_p(M) -> T_q(M)을 잡고,
b(0) = p', b'(0) = i(c'(0))을 만족하는 (속도 1인) 지오데식 b:[0,t]->M'에 의한 평행수송 사상 P'_t : T_p'(M') -> T_{f(q)}(M')을 잡은 뒤,
함수 φ_t(v) = P'_t∘i∘(P_t)^-1 : T_q(M) -> T_{f(q)}(M)을 정의해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' M과 M'의 곡률텐서를 각각 R,R'로 쓰도록 해요
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[Cartan의 정리]
[만약 모든 q∈V와 x,y,u,v∈T_q(M)에 대해 <R(x,y)u,v> = <R'(φ_t(x),φ_t(y))(φ_t(u)),φ_t(v)>가 성립한다면,
함수 f : V -> M'은 국소 등거리사상이며, df(p) = i가 성립한다.]
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증명을 위해, 점 q∈V를 잡고, c(0) = p, c(1) = q를 만족하는 속도 1의 최소지오데식 c:[0,L]->M을 생각해요.
그리고, 임의의 벡터 v∈T_q(V)를 잡고, J(0) = 0, J(L) = v를 만족하는 c 위의 Jacobi 장 J를 생각해요.
또한, e_n = c'(0)을 만족하는 T_p(M)의 정규직교기저 {e_1,…,e_n}를 잡고, 각각의 i에 대해 e_i를 평행수송해서 만들어지는 c 위의 벡터장 e_i(t)를 생각해요.
그러면, 모든 t∈[0,L]에 대해 {e_1(t),…,e_n(t) = c'(t)}는 T_{c(t)}(M)의 정규직교기저이므로,
적당한 함수들 y_i(t)에 대해 J(t) = ∑y_i(t)e_i(t)로 쓸 수 있고,
이 때, Jacobi 장 방정식에 의해, 각각의 j = 1,…,n에 대해 (y_j)'' + ∑<R(e_n,e_i)e_n,e_j>y_i = 0이 성립하게 되죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' t는 [0,L]의 임의의 원소
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이제, b(0) = p', b'(0) = i(c'(0))을 만족하는 속도 1의 지오데식 b:[0,L]->M'을 생각해요.
그러면, φ_t는 선형 등거리사상이므로, b 위의 벡터장 φ_t(e_1),…,φ_t(e_n)은 b 위의 모든 점에서의 M의 접공간에서 정규직교기저를 이뤄요.
이 때, J_b(t) = φ_t(J(t))로 정의된 b 위의 벡터장 J_b를 생각하면,
φ_t의 선형성에 의해, J_b(t) = ∑y_i(t)φ_t(e_i(t))가 성립하게 되죠.
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그런데, 조건에 의해, 임의의 i,j = 1,…,n에 대해 <R(e_n,e_i)e_n,e_j> = <R'(φ_t(e_n),φ_t(e_i))(φ_t(e_n)),φ_t(e_j)>여야 하므로,
모든 j = 1,…,n에 대해 (y_j)'' + ∑<R'(φ_t(e_n),φ_t(e_i))φ_t(e_n),φ_t(e_j)>y_i = 0이 성립해요.
이것은 정확히 J_b에 대한 Jacobi 장 방정식이에요.
따라서, J_b는 b 위의 Jacobi 장이에요.
물론, J_b의 정의에 의해 J_b(0) = 0이며, φ_t는 등거리사상이므로 |J_b(L)| = |φ_t(J(L))| = |J(L)|이 성립해요.
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또한, J_b의 정의에 의해 (J_b)'(0) = i(J'(0))이에요.
그런데, J와 J_b는 모두 t = 0에서 값이 0인 Jacobi 장이므로, >>253에 의해,
J(t) = d(exp_p)(tc'(0))(tJ'(0))이고 J_b(t) = d(exp_p')(tb'(0))(t(J_b)'(0))이 성립하게 되죠.
그러므로, J_b(L) = d(exp_p')(Lb'(0))(L · i(J'(0))) = d(exp_p')(Lb'(0))∘i∘(d(exp_p)(Lc'(0)))^-1)(J(L)) = df(q)(J(L))을 얻어요.
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따라서, 모든 i에 대해 J_i(0) = 0을 만족하며 c의 모든 점 위에서 그 점에서의 M의 접공간의 직교기저를 이루는 c 위의 Jacobi 장 J_1,…,J_n을 잡으면,
φ_t(J_1),…,φ_t(J_n)은 b의 모든 점 위에서 그 점에서의 M'의 접공간의 직교기저를 이루는 b 위의 Jacobi 장들이며,
모든 i에 대해 df(q)(J_i) = φ_t(J_i)가 성립하므로, df(q) = φ_t가 돼요.
그런데, φ_t는 선형 등거리사상이므로, f는 국소 등거리사상이 되고,
q = p일 때, φ_0 = i이므로, df(p) = i가 되죠. 증명 끝!
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단면곡률이 일정한 다양체의 모양을 분석하기 전에, 간단한 보조정리를 하나 증명하도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 등거리사상이라는 말을 우리는 등거리인 미분동형사상이라는 의미로 써요
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그러니까 국소 등거리사상 = 등거리인 국소미분동형사상
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[연결된 리만다양체 M과 리만다양체 N, 그리고 국소 등거리사상 f,g:M->N이 주어질 때,
만약 어떤 p∈M에 대해 f(p) = g(p)이고 df(p) = dg(p)라면, f = g이다.]
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증명을 위해, f|_V:V->f(V), g|_V:V->g(V)가 모두 미분동형사상이 되게 하는 p의 정규근방 V를 잡아요.
그러면, h = (f^-1)∘g : V -> V는 등거리사상이고, h(p) = p이며, dh(p)는 항등함수겠죠.
이 때, h에 의한 지오데식의 상은 지오데식이어야 하고, h는 곡선의 길이를 보존하므로,
p에서의 지수사상을 생각하면, h는 V에서의 항등함수임을 알 수 있어요.(왜 그럴까요?)
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따라서, M의 부분집합 A = {x∈M | f(x) = g(x)}를 생각하면,
f와 g가 연속이므로 A는 닫힌 부분집합이지만, >>370의 논의에 의해 A는 열린 부분집합이고,
p∈A이므로 A는 공집합이 아니며, M은 연결된 공간이므로, A = M이어야 해요.
그러므로 f = g가 성립해요!
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이제, 단면 곡률이 언제나 어떤 실수 K로 일정한 리만다양체 M가 주어졌다고 해요.
만약 K ≠ 0이라면, M의 리만거리에 |K|^{-1/2}를 곱함으로서, 우리는 M의 단면 곡률이 1 또는 -1로 일정하게 만들 수 있어요.
즉, 우리는 단면 곡률이 1, 0, -1 중 하나로 일정한 경우만 생각하면 돼요.
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[실수 K∈{1,0,-1}와, 단면 곡률이 K로 일정한 단순연결 완비 리만다양체 M이 주어질 때,
만약 K = 1이라면 M은 구 S^n과 등거리이고,
만약 K = 0이라면 M은 유클리드 공간 R^n과 등거리이며,
만약 K = -1이라면 M은 쌍곡공간 H^n과 등거리이다.]
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증명을 해 보죠.
먼저, K가 -1인 경우, 점 p'∈M과 p∈H^n을 생각하고, 선형 등거리사상 i : T_p(H^n) -> T_p'(M)을 잡은 후,
함수 f = (exp_p')∘i∘(exp_p)^-1 : H^n -> M을 생각해요.
이 때, H^n과 M은 모두 단면 곡률이 0 이하이고 완비이며 단순연결이므로, Hadamard의 정리(>>292)에 의해
exp_p와 exp_p'는 모두 미분동형사상이고, 따라서 f는 잘 정의된 매끄러운 함수에요.
이제, Cartan의 정리(>>361)에 의해, f는 국소 등거리사상이며,
>>286에 의해 f는 덮개사상인데, M이 단순연결이므로, >>279에 의해, f는 미분동형사상이에요.
그러므로, f는 등거리사상이 돼요!
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다음으로, K가 0인 경우, >>374의 논리 전개를 그대로 활용할 수 있고, 따라서 M은 R^n과 등거리가 돼요.
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마지막으로, K가 1인 경우에는,
점 p'∈M과 p∈H^n을 생각하고, 선형 등거리사상 i : T_p(H^n) -> T_p'(M)을 잡은 후,
S^n에서 p의 반대편에 있는 점을 q라고 하면,
함수 f = (exp_p')∘i∘(exp_p)^-1 : S^n - {q} -> M이 잘 정의된 매끄러운 함수가 돼요.
이 때, Cartan의 정리에 의해, f는 국소 등거리사상이어야 해요.
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이제, 점 p'∈S^n - {p,q}를 잡고, 점 p* = f(p')∈M, 그리고 S^n에서 p'의 반대편에 있는 점 q'를 잡고, i' = df(p')를 생각하면,
이번에는 함수 f' = (exp_{p*})∘i'∘(exp_p')^-1 : S^n - {q'} -> M이 잘 정의된 매끄러운 함수가 되며, Cartan의 정리에 의해 f' 또한 국소 등거리사상이에요.
그런데, S^n -{q,q'}는 연결되어 있고, p'∈S^n - {q,q'}이며, f(p') = p* = f'(p')이고, df(p') = i' = df'(p')이므로,
>>369에 의해, 모든 x∈S^n - {q,q'}에 대해 f(x) = f'(x)가 성립해야 해요.
따라서, 함수 g(x) = (x ≠ q일 때 f(x), x ≠ q'일 때 f'(x)) : S^n -> M은 잘 정의된 매끄러운 함수이며,
f와 f'가 모두 국소 등거리사상이므로, g 또한 국소 등거리사상이 돼요.
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그러므로 g는 국소 미분동형사상이에요.
그런데, S^n은 컴팩트이므로, g는 덮개사상이 돼요.(왜 그럴까요?)
이제, M은 단순연결이므로, g는 미분동형사상이어야 해요.
따라서 g는 등거리사상이에요! 증명 끝!
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>>373으로부터 우리는, 단면 곡률이 일정한 완비 리만다양체는 그 모양에 큰 제약이 있음을 알게 되죠.
단면 곡률이 일정한 완비다양체를 우리는 [공간형식(space form)]이라고 해요!
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이것으로 이번 강의를 마치도록 해요.
리만기하학 강의는 이것으로 끝이에요.
다음 강의부터는 실해석학을 강의하도록 하겠어요.
[예고] 제 84강: 측도공간
<제 84강 : 측도공간>
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어떤 집합 X가 있을 때, M⊂P(X)가 X 위의 [σ-대수(σ-algebra)]라는 것은,
임의의 가산 부분집합 C⊂M에 대해, ∪C와 ∩C가 모두 M의 원소라는 뜻이에요.
당연히, 공집합과 X는 M의 원소여야 하겠죠.
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M이 X 위의 σ-대수일 때, 함수 m : M -> [0,∞)∪{∞}가 M 위의 [측도(measure)]라는 것은,
m(∅) = 0이며, 임의의 E,F∈C에 대해 E∩F=∅가 성립하는 임의의 부분집합 C⊂M에 대해, m(∪C) = ∑_{E∈C} m(E)라는 뜻이에요.
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이 때, (X,M,m)을 [측도공간(measure space)]라고 불러요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 으악 >>384에서 C가 가산이라는 중요한 조건을 빼먹었다
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또한, σ-대수 M 위의 측도 m이.....
(1) 임의의 E∈M에 대해 m(E) < ∞이라면, m이 [유한(finite)]이라고 하고,
(2) 어떤 가산부분집합 C⊂M이 있어서 ∪C = X이고 각각의 E∈C에 대해 m(E) < ∞라면, m이 [σ-유한(σ-finite)]이라고 하고,
(3) m(E) = ∞인 모든 E∈M에 대해 어떤 F∈M이 존재해서 F⊂E이고 0 < m(F) < ∞이라면, m이 [반유한(semifinite)]이라고 해요.
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중요하니까 다시 말할게요. >>384에서 C는 가산이라는 조건이 붙어야 해요.
안 그러면 의미 없는 정의에요.
가산성이 이렇게 중요합니다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' σ-대수 M의 원소들을, 우리는, [M-가측(M-measurable)]이라고 해요.
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이제, 측도의 성질을 알아보도록 해요.
[집합 X 위의 σ-대수 M 위의 측도 m이 주어질 때, 다음이 성립한다.
(1) M-가측인 E,F⊂X에 대해, 만약 E⊂F라면, m(E) ≤ m(F)이다.
(2) M-가측인 X의 부분집합들의 가산집합 C = {E_i | i는 자연수}⊂M에 대해, m(∪E_i) ≤ ∑m(E_i)이다.
(3) E_1⊂E_2⊂…를 만족하는 M-가측 부분집합들 E_i⊂X에 대해, m(∪E_i) = lim_{i->∞} m(E_i)이다.
(4) E_1⊃E_2⊃…를 만족하는 M-가측 부분집합들 E_i⊂X에 대해, 만약 m(E_1) < ∞라면, m(∩E_i) = lim_{i->∞} m(E_i)이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>383에서 C∈M일 때 X-C∈M이라는 조건을 빼먹었네요.
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증명은 아주 간단해요.
(1) F-E = F∩(X-E)이므로 F-E는 M-가측이고, 따라서 m(F) = m(E) + m(F-E) ≥ m(E)
(2) F_i = E_i - ∪{E_j | j < i}라고 하면, F_i는 가측이고 ∪E_i = ∪F_i이므로, m(∪E_i) = m(∪F_i) = ∑m(F_i) ≤ ∑m(E_i)
(3) F_i = E_i - E_{i-1}이라고 하면, F_i는 가측이고 E_i = F_i ∪ E_{i-1}이므로, m(∪E_i) = m(∪F_i) = ∑m(F_i) = ∑(m(E_i) - m(E_{i-1}) = lim_{i->∞} m(E_i)
(4) F_i = E_1 - E_i라고 하면, F_1⊂F_2⊂…이고 ∩E_i = E_1 - (∪F_i)이므로, (3)에 의해, m(∩E_i) = m(E_1) - m(∪F_i) = lim_{i->∞} (m(E_1) - m(F_i)) = lim_{i->∞} m(E_i)
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그리고, 측도공간 (X,M,m)이 주어질 때, X에 관한 어떤 명제가, m(E) = 0인 어떤 M-가측인 E⊂X에 대해, X - E에서 성립한다면,
우리는 그 명제가 [(m-)거의 모든 곳에서((m-)almost everywhere)] 성립한다고 해요.
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이제, 측도공간 (X,M,m)이 [완비(complete)]라는 것은, m(E) = 0인 임의의 M-가측 집합 E에 대해, E의 모든 부분집합이 M-가측이라는 것이에요.
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임의의 측도공간이 주어질 때, 우리는 그 측도공간을 확장해서 완비로 만들 수 있고, 그 방법은 유일해요.
[측도공간 (X,M,m)에 대해, N = {E∈M | m(E) = 0}, M' = {E∪F|E∈M, 어떤 S∈N에 대해 F⊂S}를 생각하면,
모든 E∈M에 대해 m(E) = m'(E)이고 (X,M',m')가 완비가 되게 하는 유일한 M' 위의 측도 m'이 존재한다.]
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증명:
먼저, M'이 σ-대수인 것은 자명하며, 임의의 A∈M'가 주어질 때,
A = E∪F = E'∪F', F⊂S, F'⊂S', E,E'∈M, S,S'∈N이라고 하면,
E ⊂ E∪F = E'∪F' ⊂ E'∪S'이므로, m(E) ≤ m(E'∪S') ≤ m(E') + m(S') = m(E')이고,
마찬가지로 m(E') ≤ m(E)여야 하므로, m(E) = m(E')가 되죠.
따라서, A∈M'에 대해, A = E∪F, F⊂S, S∈N으로 나타낸 뒤 m'(A) = m(E)로 정의하면, m'은 잘 정의된 측도가 되고, (X,M',m')은 완비가 돼요.
그리고 m'의 유일성은 자명하죠!
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이제, 외측도(outer measure)에 대해 배우도록 하겠어요.
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집합 X가 주어질 때, 함수 m* : P(X) -> [0,∞)∪{∞}가 다음의 조건을 만족한다면, 우리는 m*를 X 위의 [외측도(outer measure)]라고 해요.
(1) m*(∅) = 0
(2) A⊂B⊂X일 때 m*(A) ≤ m*(B)
(3) 임의의 가산부분집합 C⊂P(X)에 대해 m*(∪C) ≤ ∑_{E∈C} m*(E)
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외측도를 왜 갑자기 소개하는지 이해하기 어려울 수 있지만,
사실 외측도는 측도와 아주 깊은 관련이 있어요.
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집합 X 위의 외측도 m*이 주어질 때, 부분집합 A⊂X가 [m*-가측(m*-measurable)]이라는 것은,
임의의 E⊂X에 대해, m*(E) = m*(E∩A) + m*(E - A)라는 것이에요.
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[Caratheodory 확장 정리]
[집합 X 위의 외측도 m*이 주어질 때, 모든 m*-가측인 X의 부분집합들의 집합을 M이라고 하면,
M은 X 위의 σ-대수이며, (X,M,m*)은 완비인 측도공간이다.]
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증명을 위해, 우리는 먼저 M이 [대수(algebra)]라는 것을 보일 거에요.
참고: M이 집합 X 위의 대수라는 것은, E∈M이면 X-E∈M이며, 임의의 유한부분집합 F⊂M에 대해 ∪F와 ∩F가 모두 M의 원소라는 뜻이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 모든 E∈M에 대해 X-E∈M이고 모든 A,B∈M에 대해 A∪B∈M이라면,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 모든 A,B∈M에 대해, A∩B = X-((X-A)∪(X-B))∈M이죠!
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먼저, E∈M이라면, 당연히 X-E∈M이고,
만약 A,B∈M이라면, 임의의 E⊂X에 대해,
m*(E) = m*(E∩A) + m*(E∩(X-A)) = m*(E∩A∩B) + m*(E∩A∩(X-B)) + m*(E∩(X-A)∩B) + m*(E∩(X-A)∩(X-B))인데,
A∪B = (A∩B)∪(A∩(X-B))∪((X-A)∩B)이므로, m*(E∩A∩B) + m*(E∩A∩(X-B)) + m*(E∩(X-A)∩B) ≥ m*(E∩(A∪B))가 되어,
m*(E) ≥ m*(E∩(A∪B)) + m*(E∩(X-(A∪B)))가 성립하는데, 그 반대 방향의 부등식은 자명히 성립하므로,
결국 m*(E) = m*(E∩(A∪B)) + m*(E∩(X-(A∪B)))가 성립하게 되어, A∪B∈M이 돼요.
따라서 M은 X 위의 대수에요.
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이제, M이 X 위의 σ-대수임을 보이려면, 모든 i,j에 대해 E_i∩E_j = ∅이 성립하는 M의 원소들의 임의의 수열 {E_i}에 대해, ∪E_i∈M임을 보이면 돼요.
그러한 수열 {E_i}가 주어질 때, F_i = ∪{E_j|j < i}와 F = ∪E_i를 생각하면, 모든 i에 대해 F_i∈M이므로, (M이 대수임을 보였으니까요)
임의의 E⊂X를 잡으면, 모든 자연수 n에 대해,
m*(E∩F_n) = m*(E∩F_n∩E_n) + m*(E∩F_n∩(X-E_n)) = m*(E∩E_n) + m*(E∩F_{n-1})이므로,
n에 대한 귀납법을 사용하면, 모든 자연수 n에 대해 m*(E∩F_n) = ∑_{i = 1,…,n} m*(E∩E_i)임을 알 수 있어요.
따라서, m*(E) = m*(E∩F_n) + m*(E∩(X-F_n)) ≥ m*(E∩F_n) + m*(E∩(X-F)) = m*(E∩(X-F)) + ∑_{i = 1,…,n} m*(E∩E_i)이 성립하므로,
양변에 극한 n->∞을 취하면 m*(E) ≥ m*(E∩(X-F)) + ∑m*(E∩E_i)가 성립하는데,
m*(E∩(X-F)) + ∑m*(E∩E_i) ≥ m*(E∩(X-F)) + m*(E∩F) ≥ m*(E)가 성립하므로,
m*(E) = m*(E∩F) + m*(E∩(X-F))가 되어, F∈M라는 결론을 얻어요. 따라서 M은 X 위의 σ-대수에요!
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이제, >>402의 논증에서 E 대신 F를 넣으면,
∑m*(E_i) = m*(F∩(X-F)) + ∑m*(F∩E_i) = m*(F)를 얻으므로,
m*은 M 위의 측도에요!
또한, 만약 B∈M이고 m*(B) = 0이며 A⊂B라면, m*(A) = 0이 되어,
임의의 E⊂X에 대해 m*(E) ≤ m*(E∩A) + m*(E∩(X-A)) ≤ m*(A) + m*(E∩(X-A)) = m*(E∩(X-A)) ≤ m*(E)이므로,
m*(E) = m*(E∩A) + m*(E∩(X-A))가 되어, A∈M이에요.
그러므로, 측도공간 (X,M,m*)은 완비에요. 증명 끝!
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우리는 외측도로부터 측도를 얻을 수 있다는 사실을 알았어요.
그러면, 외측도는 어떻게 만들 수 있을까요?
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집합 X 위의 대수 A가 주어질 때, 함수 m : A -> [0,∞)∪{∞}가 A 위의 [전측도(premeasure)]라는 것은,
m(∅) = 0이며, 모든 i,j에 대해 E_i∩E_j = ∅을 만족하는 A의 원소들의 임의의 수열 {E_i}에 대해,
만약 (∪E_i)∈A라면, m(∪E_i) = ∑m(E_i)가 성립한다는 뜻이에요.
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[집합 X 위의 대수 A, 그리고 A 위의 전측도 m_0가 주어질 때,
함수 m*(E) = inf {∑m_0(E_i) | 모든 자연수 i에 대해 E_i∈A이며 E⊂(∪E_i)}는 X 위의 외측도이며,
A의 모든 원소 E에 대해, E는 m*-가측이며, m*(E) = m(E)이다.]
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증명을 위해서는, 먼저, m*가 X 위의 외측도임을 보여야겠죠.
임의의 가산부분집합 {E_i|i는 자연수}⊂P(X)가 주어질 때, E = ∪{E_i|i는 자연수}를 생각하고 임의의 양수 e을 잡으면,
각각의 자연수 i에 대해, 어떤 가산부분집합 {E_ij|j는 자연수}⊂A가 존재해서, E_i⊂(∪{E_ij|j는 자연수})이며, ∑_{j ≥ 0} m_0(E_ij) < m*(E_i) + e/2^{i+1}가 성립해요.
그러면, E⊂(∪{E_ij|i,j는 자연수})이므로, ∑_{i ≥ 0}∑_{j ≥ 0} m_0(E_ij) ≥ m*(E)가 돼요.
따라서 m*(E) ≤ ∑_{i ≥ 0}∑_{j ≥ 0} m_0(E_ij) < ∑_{i ≥ 0} (m*(E_i) + e/2^{i+1}) = e + ∑m*(E_i)이 되고,
극한 e->0을 양변에 취하면, m*(E) ≤ ∑m*(E_i)를 얻어요. 따라서 m*는 X 위의 외측도에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 만약 E,F∈A이고 E⊂F라면, F = E∪(X-E)이므로, m(F) = m(E) + m(X-E) ≥ m(E).
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이제, 임의의 E∈A를 잡아요. 그리고 어떤 A 안의 수열 {E_i}가 있어서 E⊂(∪E_i)라고 해요.
이 때, 각각의 i에 대해 F_i = E∩(E_i - ∪{E_j|j < i})를 생각하면, F_i∈A이며, 임의의 i,j에 대해, F_i∩F_j = ∅이고, ∪F_i = E가 되죠.
따라서 m_0(E) = ∑m_0(F_i) ≤ ∑m_0(E_i)가 돼요. 그러므로 m*(E) = m_0(E)가 되죠.
또한, 임의의 E⊂X와 F∈A를 잡으면, 임의의 양수 e에 대해, 어떤 A의 원소들의 수열 {E_i}가 있어서, E⊂(∪E_i)이고 ∑m_0(E_i) < m*(E) + e이므로,
m*(E) + e ≥ ∑m_0(E_i) = ∑m_0(E_i∩F) + ∑m_0(E_i∩(X-F)) ≥ m*(E∩F) + m*(E∩(X-F))가 되어,
양변에 극한 e->0을 취하면, m*(E) ≥ m*(E∩F) + m*(E∩(X-F))를 얻는데, 그 반대방향의 부등호는 자명히 성립해야 하므로,
m*(E) = m*(E∩F) + m*(E∩(X-F))를 얻어요. 그러므로 F는 m*-가측이에요. 증명 끝!
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지금까지 증명한 것들을 종합하면, 다음의 사실을 알 수 있어요.
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[집합 X 위의 대수 A, 그리고 A 위의 전측도 m_0가 주어질 때, A를 포함하는 가장 작은 σ-대수를 M이라고 하면,
M 위의 어떤 측도 m이 존재해서, 모든 E∈A에 대해 m_0(E) = m(E)가 성립하며,
만약 같은 성질을 만족하는 M 위의 다른 측도 m'가 있다면, 모든 E∈M에 대해 m'(E) ≤ m(E)를 만족하고, m(E) < ∞인 모든 E∈M에 대해 m'(E) = m(E)를 만족한다.
또한, 만약 m_0가 σ-유한이라면, m' = m이다.]
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우리의 측도 m은 >>407에 쓰여진 대로 만들면 돼요.
그러면, 명제 "m(E) < ∞인 모든 E∈M에 대해 m'(E) = m(E)를 만족한다",
그리고 >>411의 마지막 줄을 제외한 모든 내용은 >>399-409의 논증에 의해 자명해요.
또한, m(E) < ∞인 E∈M가 주어질 때, 임의의 양수 e를 선택한 후, E⊂(∪E_i)인 A의 원소들의 수열 {E_i}를 잡되, ∑m_0(E_i) < m(E) + e가 되게 하면,
m(∪E_i) < m(E) + e이므로, m((∪E_i)-E) < e가 되고,
m'(∪E_i) ≤ m(∪E_i) < ∞이므로 m'(∪E_i) = lim_{n->∞} m'(∪{E_i|i < n}) = lim_{n->∞} m(∪{E_i|i < n}) = m(∪E_i)가 되어,
m(E) ≤ m(∪E_i) = m'(∪E_i) = m'(E) + m'((∪E_i)-e) < m'(E) + e이므로, 극한 e->0을 취하면, m(E) ≤ m'(E)가 되는데,
m'(E) ≤ m(E)여야 하므로, m(E) = m'(E)가 돼요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 전측도의 σ-유한성은 측도의 σ-유한과 똑같이 정의해요
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이제, 주어진 전측도 m_0가 σ-유한이라고 가정하면,
어떤 M 안의 수열 {E_i}가 존재해서, m_0(E_i) < ∞이고 ∪E_i = X여야 하므로,
F_i = E_i - {E_j|j < i}를 생각하면, m_0(F_i) < ∞이고 ∪F_i = X이며, 임의의 i,j에 대해 F_i∩F_j = ∅이 돼요.
이 때, 임의의 E∈M에 대해, m'(E) = ∑m'(E∩F_i) = ∑m(E∩F_i) = m(E)이므로, m' = m을 얻어요. 증명 끝!
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이제, >>411을 사용해서, 실제로 측도를 하나 만들어 보도록 해요.
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위상공간 X가 주어질 때, X의 모든 열린 부분집합들을 원소로 갖는 가장 작은 σ-대수를, X의 [Borel σ-대수]라고 하고, B_X로 써요.
B_X 위의 측도를 우리는 X 위의 [Borel 측도]라고 해요.
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이제, 실수공간 R을 생각하고,
그리고, P(R)의 부분집합 A = {∪[a_i,b_i) | 임의의 i,j에 대해 [a_i,b_i)∩[a_j,b_j) = ∅}을 생각해요.
그러면 A는 R 위의 대수가 되죠.
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이 때, 원소 E∈A가 주어질 때, 임의의 i,j에 대해 [a_i,b_i)∩[a_j,b_j) = ∅인 반개구간들의 수열 {[a_i,b_i)}을 잡아 E = ∪[a_i,b_i)로 표현한 후,
m(E) = ∑(b_i - a_i)를 정의하면, m은 A 위의 반측도가 돼요.
(왜 그럴까요? 직접 증명해 보세요.)
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임의의 자연수 n에 대해 m([n,n+1)) = 1이고, ∪{[n,n+1)|n∈Z} = R이므로,
주어진 반측도 m은 σ-유한이에요. 또한, A를 포함하는 가장 작은 σ-대수는 바로 실수공간의 Borel σ-대수, B_R이에요.
따라서, >>411에 의해, 모든 반개구간 [a,b)에 대해 μ([a,b)) = b - a를 만족하는, 실수공간의 유일한 Borel 측도 μ가 존재해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' >>393에서 소개한, 주어진 측도공간을 확장해서 완비가 되게 만드는 것을, 주어진 측도공간의 [완비화(completion)]이라고 불러요.
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이 때, >>393에 의해, 측도공간 (R,B_R,μ)를 완비화할 수 있고,
그 (유일한) 완비화를 (R,L_R,μ_L)이라고 쓸 때,
우리는 L_R의 원소들을 [Lebesgure 가측]이라고 하며,
μ_R을 (1차원) [Lebesgue 측도]라고 불러요.
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이제, 만약 두 측도공간 (X,M,m), (X',M',m')가 주어진다면,
A = {∪R_i | 어떤 E_i∈M, F_i∈M'에 대해서 R_i = E_i×F_i, 임의의 i,j에 대해 R_i∩R_j = ∅}는 X×X' 위의 대수에요.
이 때, 함수 (m×m')_0(∪R_i) = ∑m(E_i)m'(F_i)는 A 위의 전측도가 돼요.
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그렇다면, A를 포함하는 가장 작은 X×X' 위의 σ-대수를 M⊗M'으로 쓸 때,
>>411에 의해, A 위의 전측도 (m×m')_0의 M⊗M' 위의 측도로의 확장들 중 가장 큰 확장 m⊗m'이 존재해요.
이 때, 측도공간 (X×X',M⊗M',m⊗m')을 우리는 주어진 두 측도공간 (X,M,m),(X',M',m')의 [곱]이라고 불러요.
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이제, 자연수 n이 주어질 때, >>418의 Borel 측도를 (자기 자신과) n번 곱할 수 있겠죠.
이 때, 위상공간 X,Y에 대해 B_X⊗B_Y = B_{X×Y}이기 때문에, (왜 그럴까요?)
우리는 R^n 위의 Borel 측도, μ^n = μ⊗…⊗μ를 얻어요.
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이렇게 만들어진 측도공간 (R^n,B_{R^n},μ^n)의 완비화를 (R^n,L_{R^n},μ_{R^n})이라고 할 때,
L_{R^n}의 원소들을 우리는 [Lebesgue 가측(인 R^n의 부분집합)]이라고 하며,
측도 μ_{R^n}을 우리는 [n차원 Lebesgue 측도]라고 해요.
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이 Lebesgue 측도라는 녀석은, 직관적으로 생각하는 집합의 "부피"를 수학적으로 엄밀화한 녀석이에요.
예를 들어서, [0,1]의 Lebesgue 측도는 1이고, 칸토어 집합의 Lebesgue 측도는 0이에요.(왜 그럴까요? 증명은 쉬워요!)
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이것으로 이번 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 가측함수의 적분을 배우도록 해요.
[예고] 제 85강: 가측함수의 적분
<제 85강 : 가측함수의 적분>
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M이 집합 X 위의 σ-대수일 때, 우리는 (X,M)을 [가측공간(measurable space)]라고 해요.
측도공간이 아니에요. 측도가 없으니까요.
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두 가측공간 (X,M), (X',M')이 주어질 때, 함수 f:X->X'가 [가측(measurable)]이라는 것은,
임의의 E∈M'에 대해, f^-1(E)∈M이라는 뜻이에요.
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만약 X와 X'가 위상공간이고, M과 M'가 각각 X와 X'의 Borel σ-대수라면,
가측인 함수 f:X->X'을 우리는 [Borel 가측]이라고 해요.
물론, 모든 연속함수는 Borel 가측이죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' Borel 집합: Borel σ-대수에 속한 집합
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이제, 실수공간 R을 확장해서 bar(R) = R∪{∞,-∞}을 만들고,
그 위에 위상 {U⊂bar(R) | U∩R은 R의 열린 부분집합}을 주면, bar(R)은 위상공간이 되죠.
이 때, R 위의 Lebesgue 측도 μ를 사용해, bar(R)의 임의의 Borel 집합 E에 대해, μ(E) = μ(E∩R)라고 하면,
(bar(R),B_{bar(R)},μ)는 측도공간이 돼요. 이 측도공간을 [확장된 실수(extended real numbers)] 공간이라고 해요.
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이 때, 측도공간 (X,M,m)에 대해, 함수 f:X->bar(R)이 bar(R) 위의 가측공간 구조 (bar(R),B_{bar(R)})에 대해 가측일 때,
즉, bar(R)의 임의의 Borel 집합 E에 대해 f^-1(E)∈M일 때, 우리는 f를 (아무 수식어 없이) [가측]이라고 불러요.
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이제, 측도공간 (X,M,m)과 가측함수 f:X->bar(R)이 주어질 때,
우리는 f를 적분하고 싶어요.
하지만 적분을 위해서는 아주 간단한 함수부터 시작해야 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 집합 X의 부분집합 E에 대해, 함수 χ_E(x) = (x∈E일 때 1, x∈X-E일 때 0)을,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 주어진 집합 E의 [특성함수(characteristic function)]이라고 하고, χ_E로 써요.
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가측공간 (X,M)이 주어질 때, 함수 f:X->bar(R)이 [단순함수(simple function)]라는 것은,
어떤 E_1,…,E_n∈M과 c_1,…,c_n∈bar(R)에 대해, f = ∑c_i · χ_{E_i}라는 것이에요.
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물론, 두 단순함수의 합과 곱은 항상 단순함수이고,
단순함수의 절대값 또한 단순함수가 되겠죠.
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함수 φ = ∑c_i · χ_{E_i}가 단순함수일 때, 우리는 그 적분값을 ∫φ = ∑c_i · m(E_i)로 정의해요.
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이제, 측도공간 (X,M,m) 위의 가측함수 f:X->bar(R)이 주어질 때,
우리는 그 적분값 ∫f dm을 어떻게 정의해야 할까요?
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측도공간 (X,M,m) 위에서 f ≥ 0인 가측함수 f:X->bar(R)들의 집합을 L^+(X,M,m)으로 쓰기로 해요.
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이 때, 함수 f∈L^+(X,M,m)에 대해, 그 적분값을 ∫f dm = sup {∫φ|φ는 단순함수, 0 ≤ φ ≤ f}로 정의해요.
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그러면, 이 적분은 다음의 성질을 (당연히) 만족하겠죠.
[f ≤ g인 함수 f,g∈L^+(X,M,m)과 양수 c에 대해, ∫f dm ≤ ∫g dm이며, ∫cf dm = c∫f dm이다.]
[임의의 E∈M에 대해, ∫1 dm = m(E)이다.]
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그렇다면, f,g∈L^+(X,M,m)에 대해, 과연 ∫f+g dm = ∫f dm + ∫g dm이 성립할까요?
성립 안 하면 정말 이상하겠죠. 물론 성립해요. 하지만 증명은 자명하지 않아요.
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[단조수렴정리(Monotone convergence theorem)]
[L^+(X,M,m)의 원소들의 수열 {f_i}가 모든 i에 대해 f_i ≤ f_{i+1}을 만족할 때,
함수 f(x) = lim_{n->∞} f_n(x)는 f∈L^+(X,M,m)을 만족하며, ∫f dm = lim_{n->∞} ∫f_n dm이 성립한다.]
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먼저, 주어진 조건에 의해, f(x) = sup {f_n(x) | n은 자연수}이기 때문에,
임의의 실수 a에 대해 f^-1((a,∞]) = ∪{(f_n)^-1((a,∞]) | n은 자연수}인데,
집합 {(a,∞] | a∈R}을 부분집합으로 갖는 가장 작은 bar(R)의 σ-대수는 Borel σ-대수이므로(왜 그럴까요?)
f는 가측이 되어, f∈L^+(X,M,m)이 성립해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' f∈L^+(X,M,m)과 E∈M에 대해, 함수 f|_E 또한 가측이므로, 그 적분값 ∫f|_E dm|_E를 생각할 수 있어요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 이 적분값을 ∫_E f dm으로 써요.
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이제, 임의의 r∈(0,1)을 잡고, 0 ≤ φ ≤ f를 만족하는 임의의 단순함수 φ를 선택해요.
이 때, 각각의 자연수 n에 대해, 집합 E_n = {x∈X|f_n(x) ≥ rφ(x)}를 생각해요.
그러면, E_n∈M이고, E_1⊂E_2⊂…이며, ∪E_n = X가 되죠. 따라서 ∫f _ndm = ∫_{E_n} f_n dm ≥ ∫_{E_n} rφ dm = r∫_{E_n} φ dm이 성립하죠.
그런데, >>389의 (3)에 의해, lim_{n->∞} ∫_{E_n} φ dm = ∫φ dm이므로, lim_{n->∞} ∫f_n dm ≥ r∫φ dm을 얻어요.
이 식의 양변에 극한 r->1을 취하면 lim_{n->∞} ∫f_n dm ≥ ∫φ dm이 돼요.
그러므로, lim_{n->∞} ∫f_n dm ≥ sup {∫φ dm | 0 ≤ φ ≤ f, φ는 단순함수} = ∫f dm이 되죠.
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따라서, ∫f dm ≤ lim_{n->∞} ∫f_n dm이 되죠.
그런데, 모든 n에 대해 f_n ≤ f이므로, lim_{n->∞} ∫f_n dm ≤ ∫f dm이어야 해요.
그러므로 ∫f dm = lim_{n->∞} ∫f_n dm을 얻어요. 증명 끝!
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방금 증명한 단조수렴정리를 사용해서, 우리는 다음의 사실을 증명할 수 있어요.
[f,g∈L^+(X,M,m)에 대해, ∫f+g dm = ∫f dm + ∫g dm이다.]
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증명을 위해서는, 다음의 사실을 쓰도록 해요.
[측도공간 (X,M,m) 위의 가측함수 f:X->bar(R)이 f ≥ 0을 만족할 때, (X,M,m) 위의 어떤 단순함수들의 수열 {φ_i}가 존재해서,
0 ≤ φ_1 ≤ φ_2 ≤ … ≤ f이며, {φ_i}가 f로 점별수렴한다.]
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>>450의 증명은 간단해요.
자연수 n과 0 ≤ k ≤ 2^{2n} - 1인 정수 k에 대해, 집합 E_{n,k} = f^-1((k · 2^{-n},(k+1) · 2^{-n}])과 F_n = f^-1((2^n,∞])를 정의한 후,
φ_n = 2^n · χ_{F_n} + ∑_{k = 0,…,2^{2n}-1} k · 2^{-n} · χ_{E_{n,k}}라고 하면, 수열 {φ_n}은 >>450의 조건을 만족하니까요.
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이제, >>449를 증명하도록 해요.
>>450을 사용해, f와 g로 수렴하는, 0 이상인 단순함수들의 단조증가수열, {φ_n}과 {ψ_n}을 잡아요.
그러면, {φ_n + ψ_n}은 0 이상인 단순함수들의 단조증가수열이고 그 극한은 f+g이므로,
단조수렴정리에 의해, ∫f dm + ∫g dm = lim_{n->∞} ∫φ_n dm + ∫ψ_n dm = lim_{n->∞} ∫φ_n+ψ_n dm = ∫f+g dm이 되죠. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' "거의 모든 곳에서"의 정의는 >>391 참조
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그 외에도, 다음과 같은, 당연해 보이는 사실도 증명할 수 있어요.
[f∈L^+(X,M,m)에 대해, ∫f dm = 0인 것은 거의 모든 곳에서 f = 0인 것과 동치이다.]
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먼저, 만약 f∈L^+(X,M,m)이고 ∫f dm = 0이라면,
각각의 자연수 n에 대해 집합 E_n = f^-1((1/n,∞])을 생각할 때, E = f^-1((0,∞])라고 하면,
E_1⊂E_2⊂…이고 ∪E_n = E인데, 모든 자연수 n에 대해 0 =∫f dm ≥∫_{E_n} f dm ≥ m(E_n)/n ≥ 0이므로, m(E_n) = 0이 되어,
>>389에 의해, m(E) = lim_{n->∞} m(E_n) = 0이에요. 그런데 f ≥ 0이므로, 거의 모든 곳에서 f = 0이에요.
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이제, 만약 f∈L^+(X,M,m)이고 거의 모든 곳에서 f = 0이라면,
0 ≤ φ ≤ f인 임의의 단순함수 φ는 ∫φ dm = 0을 만족해야 하므로(왜 그럴까요?)
∫f dm = sup {∫φ dm|0 ≤ φ ≤ f, φ는 단순함수} = 0이 돼요. 증명 끝!
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마지막으로, L^+ 안의 수열에 대한 사실을 하나 더 보이고 마치도록 해요.
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[Fatou 보조정리]
[L^+(X,M,m) 안의 임의의 수열 {f_n}에 대해, 함수 (lim inf f_n)(x) = lim inf f_n(x)는 L^+(X,M,m)의 원소이며,
∫lim inf f_n dm ≤ lim inf ∫f_n dm이 성립한다.]
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증명은 간단해요.
먼저, lim inf f_n = sup {inf {f_n|n ≥ m}|m은 자연수}이므로, >>446의 논증을 두 번 사용하면, lim inf f_n∈L^+(X,M,m)임을 알 수 있어요.
이제, 각각의 자연수 n에 대해 함수 g_n(x) = inf {f_m(x)|m ≥ n}을 생각하면, >>446의 논증에 의해 g_n∈L^+(X,M,m)이고,
{g_n}은 단조증가하며, 그 극한은 lim inf f_n이므로, 단조수렴정리에 의해∫lim inf f_n dm = lim_{n->∞} ∫g_n dm = sup {∫g_n dm|n은 자연수}인데,
k ≥ n인 모든 자연수 k에 대해 ∫g_n dm ≤ ∫f_k dm이므로, ∫g_n dm ≤ inf {∫f_k dm|k ≥ n}이 되므로,
결국 ∫lim inf f_n ≤ sup {inf {∫f_k dm|k ≥ n}|n은 자연수} = lim inf ∫f_n dm을 얻어요. 증명 끝!
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이번 강의는 이것으로 마치도록 해요.
다음 강의에서도 계속 가측함수의 적분에 대해 배우도록 해요.
[예고] 제 86강: 가측함수의 적분(2)
<제 86강 : 가측함수의 적분(2)>
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지난번 강의에서 우리는 음이 아닌 가측함수의 적분을 다뤘어요.
이번 강의에서는 일반적인 가측함수의 적분을 다루도록 할게요.
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측도공간 (X,M,m)이 주어질 때, 가측함수 f:X->bar(R)에 대해,
우리는 함수 f^+(x) = max{f(x),0}, f^-(x) = min{f(x),0}을 생각할 수 있어요.
이 때, 가측함수의 절대값은 가측이고, f^+ = (f + |f|)/2, f^- = (f - |f|)/2이기 때문에,
f^+와 f^- 모두 가측이에요.
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이제, f^+와 -f^-는 모두 음이 아닌 가측함수이기 때문에, L^+(X,M,m)의 원소이고,
따라서 그 적분값 ∫f^+와 ∫-f^-를 생각할 수 있어요.
이 두 적분값이 모두 유한할 때, 우리는 f가 [적분가능(integrable)]이라고 하고,
적분가능한 가측함수 X->bar(R)들의 집합을 L^1(X,M,m)이라고 써요.
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그러면, L^1(X,M,m)은 실수체 위의 벡터공간이고,
함수 f -> ∫f : L^1(X,M,m) -> R은 선형사상이 되겠죠.
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또한, f,g∈L^1(X,M,m)에 대해, ∫|f-g| dm = 0인 것과 거의 모든 점에서 f = g인 것은 동치에요.
>>453에 의해 그렇겠죠.
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그래서, 우리는 L^1(X,M,m)을, 단순히 적분가능한 함수들의 공간 대신,
적분가능한 함수들을 모으되, 거의 모든 점에서 같은 함수들은 같은 함수로 처리한 공간으로 바꿔요.
다시 말해서, L^1(X,M,m) 위에서, "두 함수가 거의 모든 점에서 같다"라는 조건으로 정의된 동치관계 ∼을 생각하고,
그 동치류 집합을 다시 L^1(X,M,m)로 정의하면, 이것은 여전히 실수체 위의 벡터공간이 되죠.
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이 때, f∈L^1(X,M,m)에 대해 ||f||_1 = ∫|f| dm으로 정의하면,
>>466에 의해, || · ||_1는 L^1(X,M,m) 위의 노름이 돼요.
따라서, L^1(X,M,m)은 자연스럽게 노름공간이 되는 거에요.
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노름공간 L^1(X,M,m)의 위상에서 어떤 수열 {f_n}이 f로 수렴할 때,
즉, lim_{n->∞} ∫|f-f_n| dm = 0일 때,
우리는 {f_n}이 f로 [L^1 수렴(converge in L^1)]한다고 해요.
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이제, 어제의 강의에 이어서, 적분값의 수렴성에 대한 중요한 정리를 서술해 보겠어요.
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[지배수렴정리(Dominated convergence theorem)]
[L^1(X,M,m)의 수열 {f_n}이 어떤 함수 f:X->bar(R)로 거의 모든 점에서 수렴하고,
어떤 g∈L^+(X,M,m)이 존재하여 ∫|g| dm < ∞이며 모든 자연수 n에 대해 |f_n| ≤ g라면,
f∈L^1(X,M,m)이며, ∫f dm = lim_{n->∞} ∫f_n dm이 성립한다.]
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증명은 간단해요. 함수 f는 (거의 모든 점에서) lim inf f_n과 같기 때문에,
(측도 0인 집합에서 함수값을 바꿔 주면) f는 가측이에요.
이제, Fatou 보조정리에 의해, ∫g dm + ∫f dm ≤ lim inf ∫g+f_n dm = ∫g dm + lim inf ∫f_n dm이고,
∫g dm - ∫f dm ≤ lim inf ∫g-f_n dm = ∫g dm - lim sup ∫f_n dm이므로,
lim sup ∫f_n dm ≤ ∫f dm ≤ lim inf ∫f_n dm이 되어, lim_{n->∞} ∫f_n dm = ∫f dm을 얻어요. 증명 끝!
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이 지배수렴정리 라는 녀석은 실해석학에서 아주아주 중요한 정리에요.
이것이 없으면 정말 아무것도 할 수 없어요.
지배수렴정리의 아주 간단한 응용으로서, 리만적분과 측도에 의한 적분의 관계를 알아보도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' L은 [a,b]의 Lebesgue 가측 집합들의 σ-대수, μ는 [a,b] 위의 Lebesgue 측도
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[유계인 함수 f:[a,b]->R이 주어질 때, 만약 f가 리만적분가능하면,
f∈L^1([a,b],L,μ)이고 ∫_{a to b} f(x) dx = ∫f dμ이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' ∫_{a to b} f(x)dx는 리만적분, ∫f dμ는 측도 μ에 대한 적분
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증명은 간단해요. 각각의 분할 P = {a=t_0 < t_1 < … < t_n=b}∈P[a,b]에 대해,
함수 G_P = ∑sup f([t_i,t_{i-1}]) · χ_(t_{i-1},t_i], g_P = ∑inf f([t_i,t_{i-1}]) · χ_(t_{i-1},t_i]를 정의하면,
U(f,P) = ∫G_P dμ, L(f,P) = ∫g_P dμ가 되죠.
이제, f가 리만적분가능하므로, lim_{n->∞} U(f,P_n) - L(f,P_n) = 0, P_1⊂P_2⊂…을 만족하는 분할들의 수열 {P_n}을 잡으면,
{G_{P_n}}과 {g_{P_n}}은 각각 단조감소/단조증가하는 함수열이므로, 그 점별수렴값 G = lim G_{P_n}, g = lim g_{P_n}이 있고,
f가 유계이므로 g_{P_n}, G_{P_n}, g, G 모두가 유계가 되고, μ([a,b]) = b-a < ∞이므로, 지배수렴정리에 의해,
∫G dμ = lim ∫G_{P_n} dμ = lim U(f,P_n) = U(f) = ∫_{a to b} f(x) dx이고, 마찬가지로 ∫g dm = ∫_{a to b} f(x) dx가 되죠.
따라서, ∫|G-g| dμ = ∫G-g dμ = 0이 되므로, >>466에 의해, 거의 모든 곳에서 G = g가 돼요.
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이 때, g ≤ f ≤ G이므로, 거의 모든 곳에서 G = f = g가 되고, G와 g가 가측이고 ([a,b],L,μ)가 완비이므로, f 또한 가측이에요.
그리고 f는 유계이므로, f∈L^1([a,b],L,μ)임을 알 수 있어요.
또한, ∫G dμ ≥ ∫f dμ ≥ ∫g dμ이므로, ∫f dμ = ∫_{a to b} f(x)dx가 돼요. 증명 끝!
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이것으로 이번 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 측도공간에서의 함수열의 수렴성에 대해 배우도록 해요.
[예고] 제 87강: 측도공간에서의 함수열의 수렴성
<제 87강 : 측도공간에서의 함수열의 수렴성>
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측도공간 (X,M,m)과 가측함수들의 함수열 {f_n:X->bar(R)}이 주어질 때,
우리는 그 함수열의 다음과 같은 수렴성을 다룰 수 있죠.
(1) 균등수렴
(2) a.e. 점별수렴
(3) L^1 수렴
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하지만 우리는 또 하나의 자연스러운 수렴성을 아직 정의하지 않았어요.
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가측함수들의 함수열 {f_n:X->bar(R)}이 주어질 때,
{f_n}이 가측함수 f:X->bar(R)로 [측도수렴(converge in measure)]한다는 것은,
임의의 양수 e에 대해, lim_{n->∞} m({x∈X| |f(x)-f_n(x)| < e}) = 0이라는 것이에요.
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물론, 측도수렴성의 코시수열 버전도 정의할 수 있겠죠.
{f_n}이 [측도코시수열(Cauchy in measure)]이라는 것은, 임의의 양수 e에 대해,
lim_{m,n->∞} m({x∈X| |f_n(x)-f_m(x)| < e}) = 0이라는 것이에요.
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[측도코시수열은 어떤 가측함수로 측도수렴한다.]
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[가측함수열 {f_n}이 가측함수 f로 측도수렴하면, f로 a.e. 점별수렴하는 {f_n}의 부분수열이 존재한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이런, >>482와 >>483에서 부등호 방향이 잘못되었네요. < e가 아니라 > e가 되어야 맞아요.
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>>484와 >>485를 한 번에 증명해 보겠어요.
측도코시수열 {f_n}이 주어질 때, 모든 자연수 k에 대해 m({x∈X| |g_{k+1}(x)-g_k(x)| > 2^-k}) < 2^{-k}가 되도록,
{f_n}의 부분수열 {g_k}를 잡을 수 있어요.
(왜 그럴까요? {f_n}의 부분수열들을 무한 번 연달아서 잡은 뒤에 정사각형 모양으로 배치하고 대각선 수열을 읽어 보세요.)
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이 때, E_k = {x∈X| |g_{k+1}(x) - g_k(x)| > 2^{-k}}라고 하면, m(E_k) < 2^{-k}이므로,
집합 F_k = ∪{E_i | k ≥ i}를 잡으면, m(F_k) = 2^{1-k}이며,
모든 x∈X-F_k와 k보다 큰 임의의 i,j에 대해, 일반성을 잃지 않고 i ≤ j라고 하면,
|g_i(x) - g_j(x)| = |g_i(x) - g_{i+1}(x)| + … + |g_{j-1}(x) - g_j(x)| < 2^{-i} + … + 2^{1-j} < 2^{1-i}이므로,
lim_{i,j->∞} |g_i(x) - g_j(x)| = 0이 되어, {g_k(x)}는 코시수열이 돼요.
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그러므로, 집합 F = ∩{F_k | k ≥ 1}을 생각하면, m(F) = 0이며, 모든 x∈X-F에 대해, {g_k(x)}는 코시수열이에요.
따라서, 함수 g(x) = lim sup g_k(x)를 잡으면, 모든 x∈X-F에 대해 {g_k(x)}는 g(x)로 수렴하고,
따라서 {g_k}는 g로 a.e. 점별수렴해요.
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또한, lim_{k->∞} m(F_k) = 0이므로, {g_k}는 g로 측도수렴하죠.
그런데 {g_k}는 {f_n}의 부분수열이고 {f_n}은 측도코시수열이므로, {f_n} 또한 g로 측도수렴해야 해요.
증명 끝!
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이제, 함수열의 L^1 수렴성에 대해서도 비슷한 이야기를 해 보도록 해요.
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[L^1(X,M,m) 안의 수열 {f_n}이 어떤 함수 f∈L^1(X,M,m)으로 L^1 수렴할 때, f로 a.e. 점별수렴하는 {f_n}의 부분수열이 존재한다.]
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이것을 증명하려면, 다음의 명제를 보이면 충분해요.
[L^1 수렴하는 함수열은 측도수렴한다.]
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만약 L^1 함수들의 수열 {f_n}이 f로 L^1 수렴한다면,
임의의 양수 e를 잡을 때, E_{n,e} = {x∈X| |f(x)-f_n(x)| > e}를 정의해요.
그러면 ∫|f-f_n| dm ≥ ∫_{E_{n,e}} |f-f_n| dm ≥ e · m(E_{n,e})인데, 가정에 의해 lim_{n->∞} ∫|f-f_n| dm = 0이므로,
lim_{n->∞} m(E_{n,e}) ≤ (1/e) · lim_{n->∞} ∫|f-f_n| dm = 0이 되어, {f_n}은 f로 측도수렴해요. 증명 끝!
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이제 a.e. 점별수렴성과 균등수렴성 사이의 관계를 알아보도록 할까요?
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[유한측도공간 (X,M,m) 위의 가측함수열 {f_n:X->bar(R)}이 어떤 가측함수 f로 a.e. 점별수렴할 때,
임의의 양수 e에 대해, m(E) < e를 만족하는 E∈M이 존재해서, {f_n}이 X-E에서 f로 균등수렴한다.]
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증명을 위해서, 일반성을 잃지 않고 {f_n}이 f로 점별수렴한다고 해요.
이 때, 임의의 자연수 k,n에 대해 가측집합 E_{n,k} = {x∈X|모든 m ≥ n에 대해 |f(x) - f_m(x)| < 1/k}를 생각하면,
임의의 고정된 k에 대해, E_{1,k}⊃E_{2,k}⊃…이며, ∩{E_{n,k}|n ≥ 1} = ∅인데,
m(E_{1,k}) ≤ m(X) < ∞이므로, 0 = m(∩{E_{n,k}|n ≥ 1}) = lim_{n->∞} m(E_{n,k})가 돼요.
따라서 임의의 양수 e가 주어질 때, 임의의 자연수 k에 대해, 어떤 자연수 n_k가 존재해서, m(E_{n_k,k}) < e/2^k가 성립해야 해요.
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이 때, 가측집합 E = ∪{E_{n_k,k}|k ≥ 1}을 생각하면,
m(E) < e이며, 모든 x∈X-E와 n ≥ n_k에 대해, |f(x) - f_n(x)| < 1/k가 돼요.
따라서 {f_n}은 X-E에서 f로 균등수렴해요. 증명 끝!
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>>495는 사실 [Egoroff 정리]라고 불리는 정리에요.
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마지막으로, Egoroff 정리를 사용해서, 다음의 정리를 증명해 보도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' R^n의 Lebesgue 가측 부분집합 S에서 정의된 함수 f:S->bar(R) (또는 R)이 [Lebesgue 가측]이라는 것은,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ f가 S의 Lebesgue σ-대수와 bar(R)의 Borel σ-대수에 대해 가측,
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 다시 말해서 임의의 Borel 부분집합 E⊂bar(R)에 대해 f^-1(E)가 R^n의 Lebesgue 가측 부분집합이라는 뜻이에요.
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[Lusin 정리]
[임의의 Lebesgue 가측함수 f:[a,b]->R에 대해, 임의의 양수 e가 주어질 때,
어떤 컴팩트 부분집합 E⊂[a,b]가 존재해서, m(E) < e이며 f는 X-E에서 연속이다.]
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증명을 굳이 할 필요가 있을까요? Egoroff 정리와 >>450에 의해 자명하잖아요.
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Lusin 정리는, 르벡 측도에 대해 가측함수와 연속함수가 상당히 비슷하다는, 재미있는 이야기를 해 주죠.
이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 Fubini-Tonelli 정리에 대해 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 88강: Fubini-Tonelli 정리
<제 88강 : Fubini-Tonelli 정리>
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측도공간 (X,M,m),(Y,N,n)이 주어질 때,
우리는 그 곱 (X×Y,M⊗N,m×n)을 정의했죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' X×Y에서 정의된 함수 f가 주어질 때,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 우리는 x∈X에 대해 함수 y->f(x,y)를 f_x로 쓰고, y∈Y에 대해 함수 x->f(x,y)를 f^y로 쓸 거에요.
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그러니, 자연스럽게 떠오르는 질문은 이것이에요.
"가측함수 f:X×Y->bar(R)에 대해, ∫f d(m×n) = ∫(∫f^y dm) dn = ∫(∫f_x dn) dm인가?"
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지금부터 이 질문을 차근차근 대답해 보도록 하겠어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 부분집합 E⊂X×Y가 주어질 때,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ x∈X에 대해 집합 {y∈Y|(x,y)∈E}를 E_x로 쓰고,
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ y∈Y에 대해 집합 {x∈X|(x,y)∈E}를 E^y로 쓰도록 해요
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먼저 증명할 것은, M⊗N-가측 부분집합들의 성질이에요.
[만약 E∈M⊗N이라면, 모든 x∈X에 대해 E_x∈N이고, 모든 y∈Y에 대해 E^y∈M이다.]
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증명은 아이디어 하나만 있으면 간단해요.
P(X×Y)의 부분집합 S = {E⊂X×Y|모든 x∈X에 대해 E_x∈N이며 모든 y∈Y에 대해 E^y∈M}을 생각하면,
그러면, 임의의 A∈M과 B∈N에 대해 A×B∈S겠죠.
그런데 S는 σ-대수에요. (왜 그럴까요?) 따라서 M⊗N⊂S가 돼요! 증명 끝.
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>>508을 사용하면 다음의 결론을 얻을 수 있어요.
[함수 f:X×Y->bar(R)이 (M⊗N에 대해) 가측일 때, 임의의 x∈X에 대해 f_x:Y->bar(R)은 가측이며,
임의의 y∈Y에 대해 f^y:X->bar(R)은 가측이다.]
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당연하지요? 임의의 부분집합 E⊂bar(R)와 x∈X, y∈Y에 대해,
(f_x)^-1(E)) = (f^-1(E))_x이고 ((f^y)^-1(E) = (f^-1(E))^y니까요.
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다음으로 증명할 것은 단조류 보조정리에요. 이것은 >>506의 질문에 대답하는 데 아주 중요해요!
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집합 X가 주어질 때, 부분집합 C⊂P(X)가 X 위의 [단조류(monotone class)]라는 것은,
만약 E_1⊂E_2⊂…이고 E_1,E_2,…∈C라면 (∪E_i)∈C이며,
만약 E_1⊃E_2⊃…이고 E_1,E_2,…∈C라면 (∩E_i)∈C라는 뜻이에요.
또한, 부분집합 S⊂P(X)가 주어질 때, S를 포함하는 가장 작은 단조류를 우리는 [S로 생성된 단조류]라고 불러요.
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[단조류 보조정리(monotone class lemma)]
[집합 X 위의 대수 A가 주어질 때, A로 생성된 단조류는 A로 생성된 σ-대수와 같다.]
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증명을 위해, A로 생성된 단조류를 C라고 하고, A로 생성된 σ-대수를 S라고 해요.
그러면, 모든 σ-대수는 당연히 단조류이기 때문에, C⊂S가 성립하겠죠.
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그 역방향의 포함관계를 보이기 위해, 임의의 E∈C에 대해, 집합 C(E) = {F∈C|E-F,F-E,E∩F∈C}를 정의해요.
그러면 ∅∈C(E)이고 E∈C(E)이며, E∈C(F)인 것과 F∈C(E)인 것은 동치이고, C(E)는 단조류가 돼요.
이 때, 만약 E∈A라면 A⊂C(E)가 되는데, C(E)는 단조류이므로 C⊂C(E)가 되고, 따라서 모든 F∈C에 대해 F∈C(E)인데,
이것은 모든 F∈C에 대해 E∈C(F)라는 것을 의미하고, 따라서 모든 F∈C에 대해 A⊂C(F)인데, C(F)는 단조류이므로,
결국 모든 F∈C에 대해 C⊂C(F)가 성립하게 돼요.
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따라서, 임의의 E,F∈C가 주어질 때, E∈C(F)이므로, E-F,F-E,E∩F∈C가 돼요.
그런데 ∅,X∈A⊂C이므로, X-E∈C이고 E∪F = X-((X-E)∩(X-F))∈C가 되죠.
그러므로 C는 A를 포함하는 대수에요.
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이 때, C 안의 임의의 수열 {E_i}에 대해, F_i = E_1∪…∪E_i를 정의하면,
C는 대수이므로 모든 i에 대해 F_i∈C겠죠.
그런데, F_1⊂F_2⊂…이고 C는 단조류이므로, ∪E_i = (∪F_i)∈C가 성립해요.
그러므로 C는 A를 포함하는 σ-대수에요. 따라서 S⊂C여야 해요.
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결국 C⊂S이고 S⊂C이므로, C = S를 얻어요. 증명 끝!
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이제 우리의 질문 >>506에 답을 할 시간이에요.
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[두 σ-유한 측도공간 (X,M,m),(Y,N,n)과 X×Y의 가측부분집합 E∈M⊗N이 주어질 때,
함수 f(x)=n(E_x):X->bar(R)과 g(y)=m(E^y):Y->bar(R)은 모두 가측이며, (m×n)(E) = ∫f dm = ∫g dn이 성립한다.]
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먼저, 주어진 두 측도공간이 모두 유한하다고 가정하고,
집합 C = {E∈M⊗N|함수 f(x)=n(E_x), g(y)=m(E^y)는 모두 가측이며 (m×n)(E) = ∫f dm = ∫g dn}을 생각해요.
이 때, >>420에 나오는 대수 A를 생각하면, A⊂C이며, 단조수렴정리에 의해 C는 단조류에요.
따라서, 단조류 보조정리에 의해 M⊗N⊂C가 성립해요!
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다음으로, 일반적인 경우, 즉 주어진 두 측도공간이 σ-유한이라고 하면,
어떤 M 안의 수열 {X_i}와 N 안의 수열 {Y_i}가 있어서,
X_1⊂X_2⊂…이고 Y_1⊂Y_2⊂…이며, ∪X_i = X이고 ∪Y_i = Y이며, m(X_i),n(Y_i) < ∞이에요.
이 때, >>523에 의해, 모든 i에 대해 E∩(X_i×Y_i)는 >>522의 조건을 만족하므로,
단조수렴정리에 의해, E 또한 >>522의 조건을 만족해요. 증명 끝!
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이제 본격적으로, 질문 >>506의 본격적인 대답인 Fubini-Tonelli 정리를 소개하도록 하겠어요.
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[Fubini-Tonelli 정리]
[두 σ-유한 측도공간 (X,M,m),(Y,N,n)과 가측함수 f:X×Y->bar(R)이 주어질 때,
만약 f∈L^+(X×Y,M⊗N,m×n)이라면 함수 f(x) = ∫f_x dn, g(y) = ∫g^y dm은 각각 L^+(X,M,m), L^+(Y,N,n)의 원소이며,
만약 f∈L^1(X×Y,M⊗N,m×n)이라면, 함수 f(x) = ∫f_x dn, g(y) = ∫g^y dm은 각각 L^1(X,M,m), L^1(Y,N,n)의 원소이고,
두 경우 모두 ∫f d(m×n) = ∫f dm = ∫g dn이 성립한다.]
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증명은 간단해요. 우리는 f∈L^+인 경우만 증명하면 충분해요. (왜 그럴까요?)
먼저, 만약 f가 어떤 가측부분집합 E∈M⊗N에 대해 f = χ_E로 주어진다면, >>522에 의해, Fubini-Tonelli 정리가 f에 대해 성립해요.
그 다음으로, 만약 f가 (X×Y,M⊗N)의 단순함수라면, 적분의 선형성에 의해 Fubini-Tonelli 정리가 f에 대해 성립해요.
마지막으로, 만약 f∈L^+라면, f를 0 이상인 단순함수들의 단조증가수열의 극한으로 쓸 수 있고,
따라서, 단조수렴정리에 의해, Fubini-Tonelli 정리가 f에 대해 성립해요. 증명 끝!
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마지막으로, Fubini-Tonelli 정리를 약간 확장한 명제를 서술하도록 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 어라, >>526에서 기호 f가 겹쳐버렸네요. 이런! 적당히 해석해 주세요.
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[두 완비 σ-유한 측도공간 (X,M,m),(Y,N,n)이 주어질 때, 그 곱측도공간 (X×Y,M⊗N,m×n)의 (유일한) 완비화를 (X×Y,L,μ)라고 하자.
이 때, 가측함수 f:X×Y->bar(R)이 L^+(또는 L^1)의 원소라면,
거의 모든 x∈X에 대해 f_x는 L^+(또는 L^1)의 원소이고, 거의 모든 y∈Y에 대해 f^y는 L^+(또는 L^1)의 원소이며,
함수 H(x) = ∫f_x dn과 V(y) = ∫f^y dm은 각각 L^+(또는 L^1)의 원소이고, ∫f dμ = ∫H dm = ∫V dn이 성립한다.]
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
증명은 어렵지 않으니 생략하도록 해요.
힌트: >>522부터 다시 읽고 잘 생각해보세요!
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이것으로 이번 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 부호 측도와 그 분해에 대해 알아보도록 해요.
[예고] 제 89강: 부호 측도와 그 분해
<제 89강 : 부호 측도와 그 분해>
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 실수들의 무한합이 절대수렴한다는 것은, 그 절대값들의 무한합이 수렴한다는 뜻이에요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 미적분학 배웠죠?
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가측공간 (X,M)이 주어질 때, (X,M) 위의 [부호측도(signed measure)]란, 다음의 조건을 만족하는 함수 m:M->bar(R)을 말해요.
(1) m(∅) = 0
(2) m(E) = ∞인 E∈M이 존재한다면, m(F) = -∞인 F∈M은 존재하지 않는다.
(3) 임의의 자연수 i,j에 대해 E_i∩E_j = ∅를 만족하는 M의 원소들의 수열 {E_i}에 대해, m(∪E_i) = ∑m(E_i)이며,
만약 m(∪E_i)∈R이라면, 무한합 ∑m(E_i)는 절대수렴한다.
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간단하게 말하면, 부호측도는 음수값을 가질 수 있는 측도에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 측도공간 (X,M,m) 위의 함수 f:X->bar(R)에 대해, 만약 ∫f^+ dm < ∞이거나 ∫-f^- dm < ∞라면,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 우리는 f를 m에 대해 [확장된 적분가능함수(extended integrable function)]이라고 해요.
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측도공간 (X,M,m)이 주어질 때, 임의의 함수 f∈L^+(X,M,m)에 대해, 함수 E -> ∫_{E} f dm은 (X,M) 위의 측도죠?
마찬가지로, 확장된 적분가능함수 f에 대해, 함수 E -> ∫_{E} f dm은 (X,M) 위의 부호측도에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 다시 말해서, 부호측도 m에 대해,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ m이 양의 부호측도라는 것은 m이 측도라는 뜻이고,
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ m이 음의 부호측도라는 것은 -m이 측도라는 뜻이죠
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당연히 모든 측도는 (항상 음이 아닌 값을 갖는) 부호측도에요.
그런 의미에서, 우리는 측도인 부호측도를 [양의(positive) 부호측도]라고 하고,
부호를 반대로 바꿨을 때 측도가 되는 부호측도를 [음의(negative) 부호측도]라고 해요.
물론, 항상 실수값만을 갖는, 즉 ±∞를 값으로 갖지 않는 부호측도를 [유한(finite)부호측도]라고 해요.
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가측공간 (X,M) 위의 부호측도 m, 그리고 가측부분집합 E∈M이 주어질 때,
만약 F⊂E인 모든 F∈M에 대해 m(F) ≥ 0이라면, 우리는 E를 m의 [양집합(positive set)]이라고 하고,
만약 F⊂E인 모든 F∈M에 대해 m(F) ≤ 0이라면, 우리는 E를 m의 [음집합(negative set)]이라고 하며,
만약 F⊂E인 모든 F∈M에 대해 m(F) = 0이라면, 우리는 E를 m의 [영집합(null set)]이라고 해요.
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그러면 당연히, 주어진 부호측도에 대해,
가산 개의 양집합들의 합집합은 양집합이고,
가산 개의 음집합들의 합집합은 음집합이며,
가산 개의 영집합들의 합집합은 영집합이겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' [정의] 집합 X의 부분집합 S,T에 대해 S△T = (S-T)∪(T-S)
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[Hahn 분해정리]
[주어진 가측공간 (X,M) 위의 임의의 부호측도 m에 대해,
어떤 m의 양집합 P와 음집합 N이 존재해서 P∪N = X이고 P∩N = ∅이며,
이 조건을 만족하는 또 다른 양집합 P'와 음집합 N'이 존재한다면, P△P'와 N△N'은 m의 영집합이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 잠깐! >>389의 (3)과 (4)는 부호측도에 대해서도 성립해요. 이유가 궁금하다면 스스로 증명.
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Hahn 분해정리의 증명을 위해서, 우리는 간단한 보조정리 하나를 증명해야 해요.
[가측공간 (X,M) 위의 부호측도 m이 0 < m(X) < ∞를 만족한다면, 영집합이 아닌 m의 양집합이 존재한다.]
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>>542의 증명은 간단해요.
만약 어떤 E∈M이 존재해서 m(E) = ∞ (또는 m(E) = -∞)가 된다면, m(X-E) = -∞ (또는 m(X-E) = ∞)여야 해요.
그런데 m은 부호측도이므로, 이런 일은 일어날 수 없어요. 따라서 모든 E∈M에 대해 m(E)∈R이어야 해요.
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이제, 영집합이 아닌 m의 양집합이 존재하지 않는다고 해요.
이 때, E_1 = X를 잡으면, 0 < m(E_1) < ∞인데, E_1는 양집합일 수 없으므로, 어떤 가측인 F⊂E_1이 존재해서 m(F) < 0이어야 해요.
그러므로, m(F) < -1/n인 F⊂E_1가 존재하는 자연수 n들 중 가장 작은 녀석을 n_1이라고 하고, m(F_1) < -1/n_1인 가측부분집합 F_1⊂E_1을 잡아요.
그러면, E_2 = E_1 - F_1이라고 할 때, 이 주제글의 543에 의해 m(E_1) < m(E_2) < ∞가 성립해요.
이렇게 계속 반복하면, 우리는 다음의 조건을 만족하는 M의 원소들의 수열 {E_i}와 자연수들의 수열 {n_i}를 얻게 돼요.
(1) X = E_1⊃E_2⊃…
(2) 0 < m(E_1) < m(E_2) < … < ∞
(3) m(E_i - E_{i+1}) < -1/n_i
(3) 임의의 자연수 i가 주어질 때, n_i보다 작은 임의의 자연수 n에 대해, m(F) < -1/n이고 F⊂E_i인 가측부분집합 F는 존재하지 않는다
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이 때, E = ∩E_i를 생각하면, m(E) = lim_{i->∞} m(E_i)이므로, m(E) > 0이에요.
가정에 의해 E는 양집합일 수 없으므로, 어떤 가측인 F⊂E가 존재해서 m(F) < 0이어야 해요.
그런데, >>543에 의해 m(E) < ∞가 되므로, lim_{i->∞} 1/n_i = 0이어야 해요.
따라서 어떤 자연수 k가 존재해서 1/n_k < -m(F)여야 해요.
그렇다면, F는 가측인 E_k의 부분집합이며, m(F) < -1/n_k를 만족하게 돼요. 모순! 이것으로 >>542가 증명되었어요.
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이제 Hahn 분해정리를 증명할 때가 되었어요.
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Hahn 분해정리(>>541)의 증명:
우리는 일반성을 잃지 않고, 주어진 부호측도 m이 ∞를 함수값으로 갖지 않는다고 가정할 수 있어요.
이 때, s = sup {m(E)|E는 m의 양집합}을 생각하면, 어떤 m의 양집합들의 수열 {P_i}가 존재해서, lim_{i->∞} m(P_i) = s여야 해요.
그렇다면, P = ∪P_i를 생각할 때, m(P) = lim_{i->∞} m(P_i) = s가 돼요.
그러면, 가정에 의해, 0 ≤ m(P) < ∞이고, 임의의 m의 양집합 E에 대해, m(E) ≤ m(P)가 성립하겠죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 물론, P는 >>540에 의해 m의 양집합이에요.
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이제, 만약 N = X-P가 음집합이 아니라면, 어떤 가측인 E⊂N이 존재해서, 0 < m(E)이어야 해요.
m은 ∞를 함수값으로 갖지 않는다고 했으니, 0 < m(E) < ∞여야겠죠.
그렇다면, >>542에 의해, m의 어떤 영집합이 아닌 양집합 P_0가 존재해서 P_0⊂E가 성립해야 해요.
이 때, P' = P∪P_0를 생각하면, P'는 m의 양집합이며 m(P') = m(P) + m(P_0) > m(P)가 돼요. 모순!
따라서 N은 음집합이에요. 이것으로 Hahn 분해정리의 존재성 부분이 증명되었어요.
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이제 Hahn 분해정리의 유일성 부분이 남았는데, 이것은 아주 간단하게 증명할 수 있어요.
다시, 일반성을 잃지 않고, m이 ∞를 함수값으로 갖지 않는다고 가정해요.
만약 m의 양집합과 음집합의 두 순서쌍 (P,N),(P',N')이 Hahn 분해정리의 조건을 만족한다면,
P△P'는 (P-P')∪(P'-P)인데, P-P'와 P'-P 모두 m의 양집합이므로, P△P' 또한 양집합이어야 해요.
마찬가지로, N△N'은 음집합이어야 해요.
그런데 P△P' = (P-P')∪(P'-P) = ((X-P')-(X-P))∪((X-P)-(X-P')) = (N'-N)∪(N-N') = N△N'이므로,
P△P'(=N△N')는 m의 양집합이면서 동시에 음집합이고, 따라서 영집합이에요. 증명 끝!
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Hahn 분해정리를 사용하면, 우리는 주어진 부호측도를 그 "양인 부분"과 "음인 부분"으로 나눌 수 있어요.
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가측공간 (X,M) 위의 두 부호측도 m,n이 주어질 때,
만약 어떤 E,F∈M이 존재해서, E∪F = X이고 E∩F = ∅이며, E가 m의 영집합이고 F가 n의 영집합이라면,
우리는 m과 n이 [상호특이]하다고 하고, m⊥n이라고 써요.
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[Jordan 분해정리]
[가측공간 (X,M) 위의 부호측도 m이 주어질 때, (m^+)⊥(m^-)이고 m = (m^+) + (m^-)인 (X,M) 위의 양의 부호측도 m^+와 음의 부호측도 m^-가 유일하게 존재한다.]
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이거, Hahn 분해정리에서 바로 나오죠? 증명은 굳이 쓰지 않을게요.
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가측공간 (X,M) 위의 부호측도 m이 주어질 때, 우리는 Jordan 분해정리에 의해,
유일한 양의 부호측도 m^+와 음의 부호측도 m^-가 존재해서, m = (m^+) + (m^-)이며 (m^+)⊥(m^-)임을 알고 있어요.
이 때, 우리는 양의 부호측도 m^+와 -m^-를 각각 m의 [양의 변화(positive variation)]과 [음의 변화(negative variation)]이라고 하고,
양의 부호측도 |m| = (m^+) - (m^-)를 m의 [총변화(total variation)]이라고 해요.
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또한, m에 대해 적분가능한 가측함수 X->bar(R)들의 공간을 L^1(m) = L^1(m^+)∩L^1(-m^-)로 정의하고,
함수 f∈L^1(m)에 대해, 그 m에 대한 적분값을, ∫f dm = ∫f dm^+ - ∫f d(-m^-)로 정의해요.
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이것으로 이번 강의는 끝이에요.
다음 강의에서는 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리를 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 90강: Lebesgue-Radon-Nikodym 정리
<제 90강 : Lebesgue-Radon-Nikodym 정리>
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가측공간 (X,M) 위의 부호측도 m과 측도 n이 있을 때,
만약 n(E) = 0인 모든 E∈M에 대해 m(E) = 0이라면, 우리는 m이 n에 대해 [절대연속(absolutely continuous)]라고 하고, m << n으로 써요.
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대체 이 정의에 왜 연속이라는 이름이 붙었는가 하면, 다음의 성질을 만족하기 때문이에요.
[m << n인 것은, 임의의 양수 e에 대해 어떤 양수 d가 존재하여, n(E) < d인 모든 E∈M에 대해 |m(E)| < e인 것과 동치이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 연속성과 아주 비슷하죠?
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증명은 어렵지 않아요.
먼저, 만약 m이 양의 부호측도, 즉 그냥 측도라고 가정해요. 이 경우, 역방향은 당연해지니, 정방향만을 증명하면 되겠죠.
만약, m << n인데, 어떤 양수 e가 존재해서 모든 양수 d에 대해 n(E) < d이고 m(E) ≥ e인 E∈M이 존재한다고 가정하면,
모든 자연수 k에 대해, n(E_k) < 1/2^k이고 m(E_k) ≥ e인 E_k∈M이 존재해야 하는데,
이 때 E = ∩{∪{E_k|k ≥ n}|n ≥ 1}을 생각하면, n(E) = 0이고 m(E) ≥ e여야 해요. 이것은 m << n이라는 가정에 모순이에요!
따라서 m이 양의 부호측도인 경우에 >>562가 증명되었어요.
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이제, m이 일반적인 부호측도라면, 그 Jordan 분해 m = (m^+) + (m^-)를 생각하면,
만약 m << n이라면 m^+ << n, m^- << n이고, 따라서 |m| << n이며,
만약 |m| << n이라면 m ≤ n이므로 m << n이 되어,
우리는 m << n과 |m| << n이 동치임을 알 수 있어요.
그런데, |m|은 양의 부호측도이므로, >>563에 의해, >>562가 일반적인 경우에서 증명되었어요!
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임의의 측도가 주어질 때, 우리는 그 측도에 대해 절대연속인 부호측도를 쉽게 만들 수 있어요.
측도공간 (X,M,m)이 주어질 때, 임의의 확장된 (m에 대해) 적분가능 함수 f를 잡을 때,
부호측도 n(E) = ∫_{E} f dm을 생각하면, 당연히 n << m이겠죠.
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그렇다면, 측도공간 (X,M,m)이 주어질 때, (X,M) 위의 임의의 부호측도는,
m에 대해 절대연속인 녀석, 그리고 m과 상호특이인 녀석의 합으로 나타낼 수 있을까요?
또한, 주어진 부호측도가 m에 대해 절대연속이라면, 우리는 그것을 어떤 확장된 적분가능 함수의 적분으로 나타낼 수 있을까요?
지금부터 그것을 알아보도록 해요.
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[가측공간 (X,M) 위의 두 유한측도 m,n이 주어질 때, 만약 m과 n이 상호특이하지 않다면,
어떤 양수 e와 가측부분집합 E∈M이 존재해서, m(E) > 0이고, E는 부호측도 n-em의 양집합이다.]
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증명은 간단해요. m과 n이 상호특이하지 않다고 가정하고,
각각의 자연수 k에 대해, (X,M) 위의 부호측도 n-(1/k)m의 Hahn 분해 X = P_k∪N_k를 생각해요.
그리고, P = ∪P_k, N = ∩N_k (= X-P)를 생각해요.
그러면, 모든 자연수 k에 대해 N은 n-(1/k)m의 음집합이므로, 0 ≤ n(N) ≤ m(N)/k이고, 따라서 극한 k->∞를 취하면 n(N) = 0을 얻어요.
이 때, m과 n은 상호특이하지 않으므로, m(P) > 0이어야 해요. 그런데 m(P) ≤ ∑m(P_k)이므로, 어떤 자연수 s가 존재해서 m(P_s) > 0이어야 해요.
그런데 가정에 의해 P_s는 부호측도 n-(1/s)m의 양집합이에요. 증명 끝!
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이제, >>566의 질문에 대한 대답을 할 때가 왔어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 측도 E -> ∫_{E} f dm을 줄여서 f dm이라고 써요
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[Lebesgue-Radon-Nikodym 정리]
[가측공간 (X,M) 위의 σ-유한 부호측도 n과 σ-유한 측도 m이 주어질 때,
(X,M) 위의 σ-유한 측도 a, 그리고 m에 대한 확장된 적분가능 함수 f가 존재해서 a⊥m, n = a + f dm이 성립하며,
이 조건을 만족하는 또 다른 a'와 f'가 존재한다면, a = a'이고, 거의 모든 곳에서 f = f'이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' (max{f,g})(x) = max{f(x),g(x)}
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먼저, m과 n이 모두 유한인 양의 부호측도, 즉 유한측도라고 가정해요.
이 때, 집합 F = {f:X->[0,∞] | 모든 E∈M에 대해 ∫_{E} f dm ≤ n(E)}를 생각하면, 0∈F에요.
또한, f,g∈F가 주어질 때, A = {x∈X|f(x) > g(x)}를 생각하면, 임의의 E∈M에 대해,
∫_{E} h dm = ∫_{E∩A} f dm + ∫_{E-A} g dm ≤ n(E∩A) + n(E-A) = n(E)이므로, max{f,g}∈F가 성립해요.
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이제 s = sup{∫f dm | f∈F}를 생각하면, s ≤ n(X)이고 n이 유한이므로 0 ≤ s < ∞이에요.
또한, lim_{k->∞} ∫f_k dm = s를 만족하는 F의 수열 {f_k}를 잡고, 그 상한함수 f(x) = sup {f_k(x)|k는 자연수}를 생각하면,
각각의 자연수 k에 대해 함수 g_k = max{f_1,…,f_k} 또한 F의 원소이고, g_1 ≤ g_2 ≤ …이고, {g_k}는 f로 점별수렴하므로,
단조수렴정리에 의해 ∫f dm = lim_{k->∞} ∫g_k dm ≤ s인데,
f ≥ f_k이므로 ∫f dm ≥ ∫f_k dm이고, 여기에 극한 k->∞를 취하면 ∫f dm ≥ s가 되기 때문에, 결국 ∫f dm = s여야 해요.
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이 때, f dm ≤ n이기 때문에, n - f dm은 (X,M) 위의 측도에요. 이 측도를 a라고 쓰도록 해요.
만약 a과 m이 상호특이하지 않다면, >>567에 의해, 어떤 양수 e와 가측부분집합 E∈M이 존재해서, m(E) > 0이고 E는 a - em의 양집합이어야 해요.
그렇다면 eχ_E dm ≤ a = n - f dm이므로, (eχ_E + f) dm ≤ n이어야 해요. 따라서 eχ_E + f는 F의 원소이므로, ∫eχ_E + f dm ≤ s여야 해요.
그런데 m(E) > 0이므로, ∫eχ_E + f dm = em(E) + ∫f dm > ∫f dm = s를 얻어요. 모순! 그러므로 a⊥m이어야 해요.
이것으로, m과 n이 모두 유한측도인 경우에 대한 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리가 증명되었어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' (물론, 존재성만 증명된 거에요. 유일성은 나중에 다시 다뤄야 하겠죠.)
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다음으로, m과 n이 모두 σ-유한 측도라고 가정해요.
그러면, 어떤 M 안의 수열 {E_i}가 존재해서, m(E_i),n(E_i) < ∞이고, 임의의 i,j에 대해 E_i∩E_j = ∅여야 해요.
그렇다면, 이미 증명을 끝낸 유한측도에 대한 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리(의 존재성 부분)에 의해,
각각의 자연수 k에 대해, E_k에서 n을 n = a_k + f_k dm, a_k⊥m으로 쓸 수 있고,
이 때 a = ∑a_k, f = ∑f_k를 생각하면, n = a + f dm, a⊥m을 얻어요.
따라서 m과 n이 모두 σ-유한 측도인 경우에 대한 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리(의 존재성 부분)이 증명되었어요.
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다음으로, 일반적인 경우, 즉 m이 σ-유한 부호측도이고 n이 σ-유한 측도인 경우를 가정하면,
n의 Jordan 분해 n = (n^+) + (n^-)를 생각할 때 n^+과 -n^- 는 모두 (X,M) 위의 σ-유한 측도에요.
따라서, 우리가 이미 증명한, m과 n이 모두 σ-유한 측도인 경우에 대한 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리(의 존재성 부분)에 의해,
n^+ = (a^+) + (f^+) dm, -n^- = (-a^-) + (-f^-)dm, a^+,a^-⊥m으로 쓸 수 있어요.
그러므로, a = (a^+) + (a^-), f = (f^+) + (f^-)를 생각하면, n = a + f dm, a⊥m을 얻어요.
따라서 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리의 존재성 부분이 증명되었어요.
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마지막으로, Lebesgue-Radon-Nikodym 정리의 유일성 부분을 증명하도록 해요.
만약 n = a + f dm = a' + f' dm, a,a'⊥m이라면, a-a' = (f-f') dm인데, a-a'⊥m이고 (f'-f) dm << m이므로,
부호측도 s = a-a' = (f'-f) dm을 생각하면, s는 s⊥m과 s << m을 동시에 만족해요.
이 때, s⊥m이므로, 어떤 E,F∈M이 존재해서 E∪F = X, E∩F = ∅이고, F는 m의 영집합, E는 s의 영집합이어야 하는데,
s << m이므로 F 또한 s의 영집합이어야 해서, X 전체가 s의 영집합이 돼요. 이것은 s = 0, 즉 a = a'를 의미해요.
또한, (f'-f) dm = s = 0이므로, 거의 모든 곳에서 f'-f = 0이고, 따라서 거의 모든 곳에서 f = f'여야 해요. 증명 끝!
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우리가 증명한 Lebesgue-Radon-Nikodym 정리에 의하면 다음의 명제가 성립하겠죠.
[가측공간 (X,M) 위의 σ-유한 측도 m과 σ-유한 부호측도 n이 n << m을 만족한다면,
어떤 (거의 모든 곳에서 유일한) m에 대한 확장된 적분가능 함수 f가 존재해서, n = f dm이다.]
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이 때, 거의 모든 곳에서 유일하게 결정되는 함수 f를 우리는 m에 대한 n의 [Radon-Nikodym 미분]이라고 하고, dn/dm이라고 써요.
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그러면, 다음이 성립해요.
[가측공간 (X,M) 위의 σ-유한 측도 m,n과 σ-유한 부호측도 s가 s << m, m << n을 만족한다면,
임의의 g∈L^1(s)에 대해 g · (ds/dm)∈L^1(m)이고 ∫g ds = ∫g · (ds/dm) dm이며, ds/dn = (ds/dm)(dm/dn)이 성립한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여기서 등식 ds/dn = (ds/dm)(dm/dn)은, "거의 모든 곳에서 성립한다"고 읽어 주시면 돼요.
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증명은 간단해요.
만약 g가 어떤 E∈M에 대해 g = χ_E로 나타난다면, ∫g ds = s(E) = ((ds/dm) dm)(E) = ∫g · (ds/dm) dm이죠.
그러므로, 만약 g가 (X,M) 위의 단순함수라면, 적분의 선형성에 의해 ∫g ds = ∫g · (ds/dm) dm이어야 해요.
따라서, 단조수렴정리에 의해, 임의의 g∈L^+(s)에 대해 g · (ds/dm)∈L^+(m)이고 ∫g ds = ∫g · (ds/dm) dm이 성립하며,
다시 한 번 적분의 선형성을 이용하면, 임의의 g∈L^1(s)에 대해 g · (ds/dm)∈L^1(m)이고 ∫g ds = ∫g · (ds/dm) dm이 성립함을 알 수 있어요.
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따라서, 임의의 E∈M에 대해, ∫χ_E · (ds/dm) dm = ∫χ_E · (ds/dm) · (dm/dn) dn이어야 하는데,
∫χ_E · (ds/dm) dm = ∫_{E} (ds/dm) dm = s(E) = ∫_{E} (ds/dn) dn이고 ∫χ_E · (ds/dm) · (dm/dn) dn = ∫_{E} (ds/dm)(dm/dn) dn이므로,
모든 E∈M에 대해 ∫_{E} ((ds/dn) - (ds/dm)(dm/dn)) dn = 0이어야 해요.
그러므로 거의 모든 곳에서 ds/dn = (ds/dm)(dm/dn)이 성립해요. 증명 끝!
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어때요? Radon-Nikodym 미분은 정말로 뭔가 미분스럽죠?
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 Banach 공간과 유계선형범함수에 대해 배우도록 해요.
[예고] 제 91강: Banach 공간과 유계선형범함수
<제 91강 : Banach 공간과 유계선형범함수>
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실수체 위의 노름벡터공간 V=(V,|| · ||)가 주어지면,
노름 || · ||은 V 위에서 거리 d(x,y) = ||x-y||를 유도하고,
따라서 V에 자연스러운 거리위상을 주게 되죠.
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이 위상에 대해, 덧셈함수 +:V×V->V, 스칼라 곱셈함수 ×:R×V->V, 그리고 노름함수 || · ||:V->[0,∞)는 모두 연속이에요.
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만약 노름벡터공간 V=(V,|| · ||)이, 거리공간으로서 완비라면,
우리는 V를 [Banach 공간]이라고 불러요.
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이제, 우리는 노름벡터공간 사이의 선형사상을 살펴볼 거에요.
가장 자연스러운 선형사상은, 연속인 선형사상들이겠죠.
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하지만 노름벡터공간들 사이에서는 연속성과 동치이지만 더 간단해 보이는 조건이 있어요.
바로 "유계"라는 조건이죠.
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두 노름벡터공간 V,W 사이의 선형사상 T : (V,|| · ||_V) -> (W,|| · ||_W)가 주어질 때,
만약 어떤 양수 C가 존재해서, 모든 v∈V-{0}에 대해 ||T(v)||_W < C||v||_V가 성립한다면,
우리는 T가 [유계(bounded)]라고 해요.
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다시 말해서, T가 유계인 것은, 함수 v -> ||Tv||_W/||v||_V : V-{0} -> W가 유계라는 말과 같아요.
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[두 노름벡터공간 (V,|| · ||_V),(W,|| · ||_W) 사이의 선형사상 T:V->W가 주어질 때, T가 연속인 것은 T가 유계인 것과 동치이다.]
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증명을 위해, 먼저, T가 연속이라고 가정해요.
그러면, W의 열린 단위공 B_W(0,1) = {w∈W | ||w||_W < 1}을 생각하면, T^-1(W)는 V의 열린 부분집합이어야 해요.
그런데 T는 선형이므로 T(0) = 0이고, 따라서 0∈T^-1(W)이죠.
그러므로 어떤 양수 r이 존재해서 B_V(0,r) = {v∈V | ||v||_V < r} ⊂ T^-1(W)이 성립해야 해요.
이제, T의 선형성에 의해, 이것은 모든 v∈V에 대해 ||Tv||_W < (1/r)||v||_V임을 의미해요. 그러므로 T는 유계에요.
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이제, T가 유계라고 가정해요.
그렇다면, ε-δ 논법에 의해 T는 0에서 연속이에요.
그런데, T의 선형성에 의해, 임의의 점 v∈V에 대해, T가 0에서 연속인 것과 T가 v에서 연속인 것은 동치에요! (왜 그럴까요?)
따라서 T는 연속이에요. 증명 끝.
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그러므로, 노름벡터공간 V,W가 주어질 때,
우리는 벡터공간 L(V,W) = {T:V->W|T는 유계}를 정의해요.
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이 벡터공간 L(V,W)에는, 다음과 같이 정의된, 자연스러운 노름이 있어요.
[정의] T∈L(V,W)에 대해 ||T|| = sup {||Tv||_W/||v||_V | v∈V,v≠0}.
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이 노름을 사용해서, 우리는 L(V,W)를 자연스럽게 노름벡터공간으로 만들어요.
만약 W = R이라면, 우리는 L(V,R)을 V의 [연속쌍대공간(continuous dual)]이라고 하고, V*라고 써요.
또한, V*의 원소들, 즉 V에서 R로 가는 유계선형사상들을 우리는 [유계 선형 범함수(bounded linear functional)]이라고 해요.
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[만약 W가 Banach 공간이라면, L(V,W)는 Banach 공간이다.]
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증명은 간단해요.
L(V,W)의 임의의 코시수열 {T_i}을 잡아요. 그러면, 임의의 v∈V에 대해 {T_i(v)}는 W의 코시수열이에요.
그런데 W는 Banach 공간이에요. 따라서 {T_i(v)}의 극한이 존재하겠죠.
이제, 함수 T(v) = lim_{i->∞} T_i(v) : V->W를 생각해요. 그러면 T는 당연히 선형사상이지요.
이 때, {||T_i||}는 R의 코시수열이므로, 그 극한을 C라고 하면, 임의의 v∈V에 대해 ||Tv|| ≤ lim_{v->∞} ||T_i|| · ||v|| = C||v||이므로,
T는 유계에요. 따라서 {T_i}는 L(V,W)에서 T로 수렴해요. 그러므로 L(V,W)는 Banach 공간이에요. 증명 끝.
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사실 V가 Banach이면 임의의 T∈L(V,W)에 대해 ||Tv|| = ||T|| · ||v|가 되는 v∈V-{0}을 찾을 수 있는데....
이건 weak topology에 대해 알아야 증명할 수 있어요. 나중에 함수해석 시간에 배우도록 해요.
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어쨌든, 실수체 R은 그 자체로 완비이기 때문에,
임의의 노름벡터공간 V에 대해 그 연속쌍대 V*는 Banach 공간이에요.
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이제, 임의의 노름벡터공간 V에 대해,
L(v)(T) = T(v)로 정의된 선형사상 L : V -> V**를 생각할 수 있어요.
임의의 v∈V에 대해, ||L(v)|| = sup {||Tv||/||T|| | T∈V*-{0}} = ||v||이므로, (왜 등호가 성립할까요?)
L은 등거리사상이고, 그러므로 우리는 V를 V**의 부분공간으로 볼 수 있어요.
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만약 V = V**라면, 즉 L이 전단사라면, 우리는 V를 [반사공간(reflexive space)]라고 해요.
당연히, >>602에 의해, 반사공간이 되려면 일단 Banach 공간이어야 하겠죠.
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세상에 반사공간이 아닌 Banach 공간은 아주 많아요.
하지만, 아주 특수한 Banach 공간의 경우에는 항상 반사공간이 돼요.
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(실수체 위의) 내적공간 V=(V,<-,->)가 주어질 때,
만약 V가 노름벡터공간으로서 Banach 공간이라면, 우리는 V를 [Hilbert 공간]이라고 해요.
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Hilbert 공간 V=(V,<-,->)가 주어질 때, 우리는 자연스러운 선형사상,
S(v)(w) = <v,w>, S : V->V*를 정의할 수 있어요.
Cauchy-Schwarz 부등식에 의해, 임의의 v∈V에 대해 ||Sv|| = ||v||이고, 따라서 S는 등거리사상이에요.
그러므로, 우리는 V를 V*의 (닫힌) 부분공간으로 볼 수 있어요.
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[Riesz 표현정리]
[Hilbert 공간 V에 대해 임의의 T∈V*가 주어질 때, 유일한 v∈V가 존재하여 모든 w∈V에 대해 T(w) = <v,w>가 성립한다.]
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이 정리를 증명하려면 Hilbert 공간의 기초적인 성질들을 알아야 해요.
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[Hilbert 공간 V와 그 닫힌 선형부분공간 W가 주어질 때,
임의의 x∈V에 대해 ||x-y|| = inf {||x-z|| | z∈W}를 만족하는 y∈W가 유일하게 존재하며, 임의의 z∈M에 대해 <x-y,z> = 0이다.]
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>>610의 증명은 간단해요.
먼저, L = inf {||x-z|| | z∈W}이라고 하면, 어떤 W 안의 수열 {y_i}가 존재해서 lim_{i->∞} ||x-y_i|| = L이 되어야 하는데,
내적의 평행사변형 법칙에 의해, 임의의 i,j에 대해,
(1/2)||y_i-y_j||^2 = ||x-y_i||^2 + ||x-y_j||^2 - 2||x-((y_i+y_j)/2)||^2 ≤ ||x-y_i||^2 + ||x-y_j||^2 - 2L^2이 되므로, 양변에 극한 i,j->∞를 취하면,
lim_{i,j->∞} (1/2)||y_i-y_j||^2 ≤ L^2 + L^2 - 2L^2 = 0이 되어, lim_{i,j->∞} ||y_i-y_j||^2 = 0을 얻어요.
그러므로 {y_i}는 코시수열인데, W는 완비공간의 닫힌 부분공간이어서 완비이므로, 어떤 y∈W가 존재해서 {y_i}가 y로 수렴해야 해요.
그러면 당연히 ||x-y|| = L이 되겠죠.
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이제, 어떤 y,y'∈W에 대해 ||x-y|| = ||x-y'|| = L이라고 하면, 평행사변형 법칙에 의해,
(1/2)||y-y'||^2 = ||x-y||^2 + ||x-y'||^2 - 2||x-((y+y')/2)||^2 ≤ L^2 + L^2 - 2L^2 = 0이므로, ||y-y'|| = 0이 되어, y = y'를 얻어요.
따라서 y는 유일해요.
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마지막으로, 임의의 z∈W에 대해, 그리고 임의의 실수 t에 대해,
||x-y||^2 ≤ ||x-y-tz||^2 = ||x-y||^2 - 2t<x-y,z> + t^2 · ||z||^2이므로, <x-y,z> = (t/2)||z||^2를 얻어요.
양변에 극한 t->0을 취하면 <x-y,z> = 0이 돼요. 증명 끝!
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따라서, Hilbert 공간 V의 닫힌 선형부분공간 W에 대해 그 [직교여공간(orthogonal complement)] W^⊥ = {v∈V|모든 w∈W에 대해 <v,w> = 0}을 정의하면,
>>610으로부터, 우리는 다음의 결론을 얻을 수 있죠.
[Hilbert 공간으로서 V = W⊕(W^⊥)이다.]
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이제 >>608을 증명할 수 있어요.
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[Riesz 정리의 증명]
T∈V*가 주어질 때, ker(T)는 V의 닫힌 선형부분공간이고, dim (V/ker(T)) = 1이다.
따라서, >>614에 의해, (ker(T))^⊥는 V의 (닫힌) 1차원 선형부분공간이에요.
그러므로, 0이 아닌 임의의 v_0∈(ker(T))^⊥을 하나 선택하면, 임의의 w∈V에 대해,
유일한 원소 w_p∈ker(T)와 유일한 실수 c가 존재해서 w = w_p + cv_0가 되죠.
이 때, T(w) = T(w_p+cv_0) = cT(v_0)이고, <w,v_0> = <w_p+cv_0,v_0> = c||v_0||^2가 되므로,
벡터 v = (T(v_0)/||v_0||^2) · v_0를 생각하면, 모든 w∈W에 대해, T(w) = <v,w>가 성립하게 돼요.
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또한, 만약 두 원소 v,v'∈V가 존재해서, 모든 w∈V에 대해 T(w) = <v,w> = <v',w>를 만족한다면,
모든 w∈V에 대해 <v-v',w> = 0이어야 하는데, w에 v-v'를 대입하면 ||v-v'||^2 = 0을 얻으니, ||v-v'|| = 0, 즉 v = v'여야 해요.
따라서 v는 유일해요. 증명 끝!
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Riesz 표현정리에 의해, 우리는 다음의 사실을 (자명히) 알 수 있죠!
[모든 Hilbert 공간은 반사공간이다.]
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이것으로 이번 강의를 마치도록 해요.
다음 강의에서는 L^p 공간과 그 반사성에 대해 알아보도록 해요.
[예고] 제 92강: L^p 공간과 그 반사성
<제 92강 : L^p 공간과 그 반사성>
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측도공간 (X,M,m), 그리고 실수 p∈[1,∞]가 주어질 때,
가측함수 f:X->bar(R)에 대해, 우리는 다음과 같이, f의 [L^p 노름], ||f||_p를 정의해요.
(1) 만약 p≠∞라면, ||f||_p = (∫|f|^p dm)^{1/p}
(2) 만약 p = ∞라면, ||f||_∞ = sup {r > 0|m({x∈X | |f(x)| > r}) = 0}.
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또한, 벡터공간 L^p(X,M,m) = {가측 f:X->bar(R) | ||f||_p < ∞}을 정의해요.
그러면, 과연 L^p 노름 || · ||_p은 정말로 L^p(X,M,m)에서 노름이 될까요?
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p = 1일 때와 p = ∞일 때, || · ||_p가 L^p에서 노름이 되는 것은 자명해요.
따라서 우리는 1 < p < ∞일 때만 생각하면 충분해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 1/p + 1/q = 1일 때, 우리는 q를 p의 [켤레승수(conjugate exponent)]라고 해요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 만약 p = 1이라면 그 켤레승수는 q = ∞로 정의하고,
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 만약 p = ∞이라면 그 켤레승수는 q = 1로 정의해요.
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[Young의 부등식]
[1 < p < ∞, 1/p + 1/q = 1일 때, 임의의 음이 아닌 실수 a,b에 대해 ab ≤ a^{p}/p + b^{q}/q이다.]
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Young의 부등식의 증명:
a와 b, 둘 중 하나가 0일 때는 부등식의 양 변이 모두 0이 되어 자명해지니, 우리는 a,b > 0이라고 가정할 수 있어요.
이 때, 1/p + 1/q = 1이므로, 로그함수의 오목성에 의해,
ln((1/p)a^p + (1/q)b^q) ≥ (1/p)ln(a^p) + (1/q)ln(b^q) = ln(a) + ln(b)를 얻어요.
위 식의 양변에 지수함수를 취해 주면 ab ≤ a^{p}/p + b^{q}/q를 얻어요. 증명 끝!
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또한, Young의 부등식에서 등호는 정확히 a^p = b^q일 때만 성립하겠죠?
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[Holder의 부등식]
[측도공간 (X,M,m)과 실수 p∈[1,∞], 그리고 p의 켤레승수 q가 주어질 때,
임의의 가측함수 f,g:X->bar(R)에 대해, ||fg||_1 ≤ ||f||_p · ||g||_q이며,
등호는, 어떤 음이 아닌 실수 a,b가 존재하여, 거의 모든 곳에서 a|f|^p = b|g|^q일 때에만 성립한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' Holder의 부등식에서 0×∞ = ∞×0 = 0으로 해요.
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Holder의 부등식의 증명:
p = 1 또는 p = ∞인 경우는 자명하니, 우리는 1 < p < ∞라고 가정할 수 있어요.
또한, ||f||_p와 ||g||_q, 둘 중 하나가 0 또는 ∞인 경우 또한 자명하니, 우리는 0 < ||f||_p,||g||_q < ∞라고 가정할 수 있어요.
이 때, f와 g를 각각 f/||f||p와 g/||g||_q로 나눠도 부등식은 변하지 않으니, 우리는 ||f||_p = ||g||_q = 1이라고 가정할 수 있어요.
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이 때, Young의 부등식에 의해, |fg| ≤ |f|^{p}/p + |g|^{q}/q이고,
따라서 양변을 적분하면 ||fg||_q ≤ 1/p + 1/q = 1 = ||f||_p · ||g||_q를 얻어요.
또한, 여기서 등호가 성립할 조건은, Young의 부등식의 등호조건에 의해, |f|^p = |g|^q인 것이겠죠. 증명 끝!
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[Minkowski의 부등식]
[1 ≤ p ≤ ∞, f,g∈L^p일 때, ||f+g||_p ≤ ||f||_p + ||g||_p이며,
등호는 어떤 음이 아닌 실수 a,b에 대해 af = bg일 때에 한해 성립한다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 정확히 말하면, "거의 모든 곳에서" a|f| = b|g|
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Minkowski 부등식의 증명:
p = 1 또는 p = ∞일 때는 부등식이 자명하게 성립하니, 우리는 1 < p < ∞라고 가정할 수 있어요.
이 때, p의 켤레승수를 q라고 하면, Holder의 부등식에 의해,
∫|f+g|^p dm = ∫|f| · |f+g|^{p-1} dm + ∫|g| · |f+g|^{p-1} dm ≤ (||f||_p + ||g||_p) · (∫|f+g|^p dm)^{1/q}이므로,
양변을 (∫|f+g|^p dm)^{1/q}로 나누면 ||f+g||_p ≤ ||f||_p + ||g||_p를 얻어요.
등호는, Holder 부등식의 등호조건에 의해, 어떤 음이 아닌 실수 a,b,c에 대해 거의 모든 곳에서 a|f|^p = c|f+g|^p = b|g|^p,
즉 어떤 음이 아닌 실수 a,b에 대해 거의 모든 곳에서 af = bg일 때 성립해요. 증명 끝!
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Minkowski 부등식에 의해, 우리는 || · ||_p가 L^p 위의 노름이 됨을 알 수 있어요!
이 때 노름벡터공간 L^p(X,M,m) = (L^p(X,M,m),|| · ||_p)을 우리는 주어진 측도공간 (X,M,m)의 [L^p 공간(L^p space)]이라고 해요.
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그런데 사실 L^p는 단순한 노름벡터공간이 아니에요!
[측도공간 (X,M,m)과 모든 실수 p∈[1,∞]에 대해, L^p(X,M,m)은 Banach 공간이다.]
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증명을 위해, 먼저, p∈[1,∞)인 경우를 가정하고, L^p(X,M,m) 안의 코시수열 {f_n}을 잡아요.
그리고, ||g_{n+1} - g_n||_p < 1/2^n을 만족하는, {f_n}의 부분수열 {g_n}을 잡아요.
이 때, 함수 g = ∑|g_{n+1} - g_n|을 생각하면, Minkowski 부등식과 단조수렴정리에 의해, ||g||_p ≤ ∑||g_{n+1} - g_n||_p < ∑1/2^n = 1을 얻어요.
따라서 g∈L^p이죠.
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그러므로 거의 모든 곳에서 |g| < ∞이고, 따라서 무한급수 ∑(g{n+1} - g_n)은 거의 모든 곳에서 수렴해요.
따라서, 함수 f = g_1 + ∑(g_{n+1} - g_n)을 정의할 수 있겠죠.
그러면 ||f||_p ≤ ||g_1||_p + ||g||_p < ∞이므로 f∈L^p이며, {g_k}는 f로 거의 모든 곳에서 점별수렴하며, |g_k| ≤ |g_1| + |g|이므로,
지배수렴정리에 의해 {g_k}는 L^p에서 f로 수렴해요.
그런데 {g_n}은 {f_n}의 부분수열이고 {f_n}은 L^p에서 코시수열이었으므로, {f_n} 또한 L^p에서 f로 수렴해야 해요.
따라서 1 ≤ p < ∞일 때 L^p는 Banach 공간이에요!
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이제, p = ∞인 경우를 가정해요.
그러면 L^∞에서 수열 {f_n}이 코시수열인 것은 {f_n}이 측도코시수열인 것과 동치이고,
L^∞에서 수열 {f_n}이 어떤 f∈L^∞로 수렴하는 것은 {f_n}이 f로 측도수렴하는 것과 동치에요.
그런데 우리는 이미 모든 측도코시수열이 측도수렴함을 알고 있으므로(>>484), L^∞는 Banach 공간이에요. 증명 끝!
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L^p 공간들 중, L^∞ 공간은 조금 이상한 녀석이에요.
애초에 L^∞ 노름의 정의 자체부터가 다른 L^p 노름들과 달랐죠.
그것에는 다 이유가 있어요.
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[측도공간 (X,M,m)이 m(X) = 1을 만족할 때, 임의의 f∈L^∞(X,M,m)에 대해, lim_{p->∞} ||f||_p = ||f||_∞이다.]
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증명은 아주 간단해요. 우리는 일반성을 잃지 않고 |f| ≤ 1이라고 가정할 수 있어요. (왜 그럴까요?)
이 때, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞인 p,q에 대해, Holder의 부등식에 의해 (||f||_p)^p = ||1 · |f|^p||_1 ≤ ||1||_{q/(q-p)} · || |f|^p ||_{q/p} = (||f||_q)^p이므로,
양변에 1/p승을 취하면 ||f||_p ≤ ||f||_q를 얻어요. 따라서 함수 p -> ||f||_p:[1,∞) -> [0,∞)은 단조증가함수이고, 그러므로 그 극한 lim_{p->∞} ||f||_p가 존재하며,
그 극한값 L = lim_{n->∞} ||f||_p를 생각하면, L ≤ ||f||_∞가 성립해야 해요.
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이제, 임의의 양수 e를 생각할 때, 집합 E = {x∈X | |f(x)| ≤ ||f||_∞ - e}를 정의하면 m(E) > 0이 성립해야 해요.
따라서, (||f||_p)^p = ∫|f|^p dm ≥ ∫_{E} |f|^p dm ≥ m(E) · (||f||_∞ - e)^p이므로, ||f||_p ≥ (m(E))^{1/p} · (||f||_∞ - e)인데,
m(E) > 0이므로, 양변에 극한 p->∞을 취하면, L ≥ ||f||_∞ - e를 얻어요.
이제 이 부등식의 양변에 극한 e->0을 취하면 L ≥ ||f||_∞가 돼요. 그러므로 L = ||f||_∞여야 해요. 증명 끝!
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L^∞ 공간 외에 특이한 공간이 있다면, L^2 공간이에요.
L^2 공간 위에는 자연스러운 내적 <f,g> = ∫fg dm이 있어요.
이 내적이 유도하는 노름은 ||f|| = √<f,f> = (∫|f|^2 dm)^{1/2} = ||f||_2이므로,
우리는 L^2 공간이 사실, Banach 공간일 뿐만 아니라, Hilbert 공간임을 알 수 있어요.
그러므로, Hilbert 공간의 Riesz 표현정리(>>608)에 의해, L^2 공간은 반사공간이에요!
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그렇다면, 2가 아닌 다른 p∈[1,∞]에 대해, L^p 공간은 과연 반사공간일까요?
이 질문은 다음 강의시간에서 대답하도록 하겠어요.
[예고] 제 93강: L^p 공간과 그 반사성(2)
<제 93강 : L^p 공간과 그 반사성(2)>
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측도공간 (X,M,m)이 주어질 때, 1/p + 1/q = 1을 만족하는 (p∈[1,∞]) 임의의 함수 f∈L^p(X,M,m)에 대해,
T_f(g) = ∫fg dm로 정의되는 선형범함수 T_f : L^q(X,M,m) -> R을 생각해요.
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그러면, Holder 부등식에 의해, 임의의 g∈L^q(X,M,m)에 대해 ||T_f(g)|| = ||fg||_1 ≤ ||f||_p · ||g||_q이므로, T_f는 유계이고 ||T_f|| ≤ ||f||_p에요.
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[만약 p∈[1,∞)이거나, 또는 p = ∞이고 m이 반유한이라면, ||T_f|| = ||f||_p이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' sgn x = (x < 0일 때 -1, x = 0일 때 0, x > 0일 때 1)
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먼저, 만약 p∈[1,∞)일 때, 주어진 f∈L^p에 대해, 함수 g = |f|^{p-1} · sgn(f) · (||f||_p)^{1-p}을 생각하면,
fg = |f|^p · (||f||_p)^{1-p}이므로, T_f(g) = ∫fg dm = ||f||_p가 되며, ||g||_q = (||f||_p)^{1-p} · (∫|f|^p dm)^{1/q} = 1이므로,
||T_f|| ≥ |T_f(g)|/||g||_q = ||f||_p가 되어, ||T_f|| = ||f||_p를 얻어요.
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이제, p = ∞이고 m이 반유한이라고 하면, 임의의 양수 e를 잡고 집합 A = {x∈X | |f(x)| > ||f||_∞ - e}를 생각할 때,
m(A) > 0이므로, m의 반유한성에 의해, 어떤 B⊂A가 존재해서 0 < m(B) < ∞여야 해요.
그렇다면, 함수 g = χ_B · sgn(f)/m(B)를 생각하면, ||g||_1 = 1이고 T_f(g) = (1/m(B)) · ∫_{B} |f| dm ≥ ||f||_∞이므로,
||T_f|| ≥ |T_f(g)|/||g||_1 = ||f||_∞가 되어, ||T_f|| = ||f||_∞을 얻어요. 증명 끝!
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이제, 1/p + 1/q = 1을 만족하는 p,q∈[1,∞]에 대해, T(f) = T_f로 정의된 함수 L^p -> (L^q)*를 생각하면,
>>652에 의해, p∈[1,∞)이거나 또는 p = ∞이고 m이 반유한일 때, T는 선형 등거리사상이에요!
따라서, L^p는 (L^q)*의 닫힌 선형부분공간으로 볼 수 있어요.
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만약 T가 단사함수라면 L^p = (L^q)*가 성립하겠죠. 과연 T는 단사함수일까요?
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그에 대한 대답을 하기 전에, 다음의 사실을 증명하고 가도록 해요.
[측도공간 (X,M,m)과 1/p + 1/q = 1인 p,q∈[1,∞]가 주어질 때, 집합 S = {가측 f:X->bar(R)|f는 단순함수, m(X-f^-1({0})) < ∞, ||f||_p = 1}을 정의하자.
이 때, 어떤 가측함수 g:X->bar(R)이, 모든 f∈S에 대해 ||fg||_1 < ∞을 만족하며, X-g^-1({0})가 σ-유한이거나 m이 반연속이라면,
g∈L^q(X,M,m)이며, sup {||fg||_1 | f∈S} = ||g||_q이다.]
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증명을 위해 M(g) = sup {||fg||_1 | f∈S}이라고 해요.
그러면, m(X-f^-1{0})) < ∞이고 ||f||_p = 1인 유계가측함수 f:X->R에 대해, ||fg||_1 ≤ M(g)가 성립해요.
그 이유는 간단해요. f를 (X-f^-1{0})에서 0이고 절대값이 |f| 이하인) 단순함수들의 수열의 (거의 모든 곳에서의)점별극한값으로 표현하면,
지배수렴정리를 사용하여, ||fg||_1 ≤ M(g)를 얻을 수 있기 때문이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>658에서 오타... 모든 f∈S에 대해 ||fg||_1 < ∞인 것이 아니라 sup {||fg||_1 | f∈S} < ∞이라고 가정해야 해요.
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먼저, q < ∞이라고 가정해요.
이 때, 만약 m이 반연속이라면 X-g^-1(0)이 σ-유한이 되므로, (왜 그럴까요?) 우리는 X-g^-1(0)이 σ-유한이라고 가정할 수 있어요.
E_1⊂E_2⊂…이고 모든 자연수 i에 대해 m(E_i) < ∞이며 ∪E_i = X-g^-1(0)인 가측집합들의 수열 {E_i}를 잡아요.
이 때, g로 점별수렴하고 모든 자연수 n에 대해 |s_n| ≤ |g|인 단순함수들의 수열 {s_n}을 잡고, g_n = s_n · χ_{E_n}를 생각하면,
{g_n}은 여전히 g로 점별수렴하며, |g_n| ≤ |g|이고, g_n은 X-E_n에서 0이에요.
따라서, f_n = |g_n|^{q-1} · sgn(g) · (||g_n||_q)^{1-q}라고 하면, ||f_n||_p이 되고,
Fatou 보조정리에 의해 ||g||_q ≤ lim inf ||g_n||_q = lim inf ∫|f_n| · |g_n| dm ≤ lim inf ∫|gf_n| dm = lim inf ∫gf_n dm ≤ M(g)가 돼요.
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다음으로, q = ∞이라고 가정해요.
이 때, 임의의 양수 e가 주어질 때, 집합 A = {x∈X | |g(x) ≥ M(g) + e}를 생각해요.
만약 m(A) > 0이라면, 다음의 두 가지 경우를 생각해요.
(1) 만약 m이 반연속이라면 어떤 B⊂A가 존재해서 0 < m(B) < ∞이고,
(2) 만약 X-g^-1(0)이 σ-유한이라면, A⊂X-g^-1(0)이므로 어떤 B⊂A가 존재해서 0 < m(B) < ∞여야 해요.
따라서, 어느 경우에든, 어떤 B⊂A가 있어서 0 < m(B) < ∞여야 해요.
이 때, 함수 f = χ_B · sgn(g)/m(B)를 생각하면, ||f||_1 = 1이고 ∫fg dm = (1/m(B)) · ∫_{B} |g| dm ≥ M(g) + e이므로, M(g) ≥ M(g) + e가 돼요. 모순!
그러므로 m(A) = 0이에요. 이것이 모든 양수 e에 대해 성립해야 하므로, ||g||_∞ ≤ M(g)를 얻어요.
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결국, 어떤 경우에든, ||g||_q ≤ M(g)가 성립해요.
그런데, Holder의 부등식에 의해, M(g) ≤ ||g||_q여야 해요.
그러므로 ||g||_q = M(g)를 얻어요. (따라서 g∈L^q(X,M,m)이에요.) 증명 끝!
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우리는 드디어, 이번 강의의 하이라이트에 도달했어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 참고: p = ∞일 때는 절대 안 돼요!
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[측도공간 (X,M,m)과 1/p + 1/q = 1인 p,q∈[1,∞), 그리고 유계선형범함수 L∈(L^p(X,M,m))*가 주어질 때,
만약, p∈[1,∞)이거나, p = ∞이고 m이 σ-유한이라면, 어떤 g∈L^q(X,M,m)이 존재해서 T(g) = L이다.]
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먼저, 만약 m이 유한측도라면, 모든 단순함수들은 L^p겠죠.
그러니, n(E) = L(χ_E)로 정의된 함수 n:M->R을 생각하면,
i≠j인 임의의 자연수 i,j에 대해 E_i∩E_j = ∅를 만족하는 임의의 M의 원소들의 수열 {E_i}에 대해, E = ∪E_i라고 할 때,
∑m(E_i) = m(E) < ∞이고 ||χ_E - ∑_{i=1,…,k} χ_{E_i}||_p = ||∑_{i > k} χ_{E_i}||_p = (∑_{i > k} m(E_i))^{1/p}이므로,
함수열 {∑_{i=1,…,k}χ_{E_i}}는 L^p(X,M,m)에서 χ_E로 수렴해요.
이 때, 주어진 선형범함수 L은 유계이므로 연속이어야 하니, L(χ_E) = ∑L(χ_{E_i})이므로, n(E) = ∑n(E_i)가 돼요.
그러므로 n은 가측공간 (X,M) 위의 유한부호측도에요.
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이 때, m(E) = 0인 임의의 E∈M에 대해, L^p의 원소로서 χ_E는 0과 같으니, n(E) = L(χ_E) = L(0) = 0이에요. 다시 말해, n << m이에요.
그러므로, Lebesgue-Radon-Nikodym 정리에 의해, 어떤 확장된 적분가능함수 g:X->bar(R)이 존재해서, 모든 E∈M에 대해 n(E) = ∫_{E} g dm이어야 해요.
이제, 적분의 선형성에 의해, 임의의 단순함수 f:X->R에 대해 L(f) = ∫fg dm이며, Holder의 부등식에 의해 |∫fg dm| = |L(f)| ≤ ||L|| · ||f||_p이므로,
>>658에 의해, g∈L^q(X,M,m)이에요. 따라서 L = T(g)가 돼요!
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이제, m이 σ-유한 측도라고 가정하면, m이 유한측도일 때의 증명과 T가 전사함수라는 사실(등거리사상이므로)에 의해,
여전히 >>665가 성립하게 돼요. 자세한 증명은 생략.
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마지막으로, m이 임의의 측도이고 p∈(1,∞)이라고 하면,
임의의 σ-유한 가측 부분집합 E⊂X에 대해, 거의 모든 곳에서 유일한 g_E∈L^q(E)가 존재해서,
모든 f∈L^p(E)에 대해 L(f) = ∫_{E} fg_E dm이며, 따라서 Holder의 부등식에 의해 ||g_E||_q ≤ ||L||이 되죠.
또한, 유일성에 의해, 만약 E⊂F⊂X이고 E,F가 σ-유한이라면, 거의 모든 곳에서 g_F|_E = g_E이고, 그러므로 ||g_F||_q ≥ ||g_E||_q가 되겠죠.
이제, M = sup {||g_E||_q | E⊂X는 σ-유한 가측 부분집합}을 정의하면, |M| ≤ ||L||이므로 M은 실수에요!
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그러므로, lim_{n->∞} ||g_{E_n}||_q = M을 만족하는 X의 σ-유한 가측 부분집합들의 수열 {E_n}을 생각하고, E = ∪E_n이라고 하면,
E는 σ-유한이고 모든 자연수 n에 대해 ||g_E||_q ≥ ||g_{E_n}||_q이므로, ||g_E||_q ≥ M이 되어, ||g_E||_q = M을 얻어요.
또한, E⊂A인 임의의 σ-유한 가측부분집합 A⊂X에 대해, ∫|g_E|^q dm + ∫|g_{A-E}|^q dm = ∫|g_A|^q dm ≤ M^q = ∫|g_E|^q dm이므로,
∫|g_{A-E}|^q dm = 0이 되어, 거의 모든 곳에서 g_{A-E} = 0이에요. 다시 말해, g_A는 A-E의 거의 모든 곳에서 0이에요.
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그런데, 만약 f∈L^p(X,M,m)이라면, 집합 A = E∪(X-f^-1({0}))은 σ-유한이므로, (왜 그럴까요?)
L(f) = ∫_{A} fg_A dm = ∫_{E} fg_E dm을 얻어요.
따라서, 함수 g = g_E · χ_E를 생각하면, ||g||_q = ||g_E||_q = M이므로 g∈L^q(X,M,m)이며, 모든 f∈L^p(X,M,m)에 대해 L(f) = ∫fg dm이 돼요.
따라서 L = T(g)가 돼요. 증명 끝!
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>>665에 의해 우리는 다음의 결론을 얻어요.
[임의의 측도공간 (X,M,m)에 대해, 만약 p∈(1,∞)이거나, p = 1이고 m이 σ-유한이라면,
p의 켤레승수를 q라고 할 때, 선형사상 T : L^q(X,M,m) -> (L^p(X,M,m))*는 등거리 동형사상이다.]
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그러므로, 다음의 결론 또한 얻을 수 있죠.
[임의의 측도공간 (X,M,m)과 실수 p∈(1,∞)에 대해, L^p(X,M,m)은 반사공간이다.]
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이것으로 우리는 L^p 공간의 반사성에 대해 알게 되었어요.
그런데, L^∞ 공간의 연속쌍대공간은, 왜 L^1과 다른 걸까요?
다음 시간에는 그것을 알아보도록 해요.
[예고] 제 94강: L^1이 L^∞의 쌍대가 아닌 이유
<제 94강 : L^1이 L^∞의 쌍대가 아닌 이유>
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지난 시간에 우리는, 모든 p∈(1,∞)에 대해서 L^p의 쌍대는 L^{p/(p-1)}이며,
만약 주어진 측도공간이 σ-유한이라면, L^1의 쌍대는 L^∞이라는 사실을 배웠어요.
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그런데, L^∞의 쌍대에 대해서는 아무 말이 없었어요.
어라? 대체 왜 우리는 L^∞을 무시했던 걸까요?
rヘ ヽ,} _,...........,
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이유는 간단해요. L^∞의 쌍대는, 아주아주아주 간단한 경우를 제외하면, 절대 L^1이 되지 않을 것이기 때문이에요.
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보통 해석학 교과서에서는, L^1(R)은 분해가능(separable)하지만 L^∞은 분해가능하지 않다는 것을 관찰한 후,
"E가 Banach 공간일 때 E*가 분해가능하면 E가 분해가능해야 한다"라는 사실을 사용하여, L^1이 L^∞의 쌍대가 되지 않는다는 것을 보이죠.
그런데, 우리는 위의 사실을 증명하기 위해 필요한 도구가 부족하고, 또한, 그런 증명은 명시적이지 않아서,
L^∞의 쌍대의 원소 중 어떤 것이 L^1에 없는지를 알 도리가 없어요.
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그러니 우리는, 매우 명시적인 방법을 사용해 보죠.
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임의의 집합 X가 주어질 때, m_c(S) = (S가 유한집합일 때 |S|, S가 무한집합일 때 ∞)로 정의된 함수 m_c : P(X) -> [0,∞]는,
X 위의 σ-대수 P(X) 위의 측도에요. 이 측도를 우리는 [X 위의 셈측도(counting measure)]라고 해요.
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자연수집합 N 위의 셈측도 공간 (N,P(N),m_c)를 생각해요.
이 측도공간 위에서, 함수 f:N->bar(R)이 L^1인 것은 수열 ∑f(n)이 절대수렴하는 것과 동치이고,
함수 f:N->bar(R)이 L^1인 것은 수열 {f(n)}이 유계인 것과 동치에요.
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또한, 측도공간 (N,P(N),m_c)는 σ-유한이기 때문에, L^1(N)의 쌍대는 L^∞(N)이에요.
과연 L^∞(N)의 쌍대는 L^1(N)일까요?
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L^∞(N)의 쌍대가 L^1(N)이라고 가정해 봐요.
그러면, 임의의 유계 선형 범함수 T : L^∞(N) -> R에 대해, 어떤 g∈L^1(N)이 존재해서,
임의의 f∈L^∞(N)에 대해, T(f) = ∫fg dm_c = ∑f(n)g(n)이어야 해요.
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이제, 잠시 N 위의 이산위상(discrete topology)를 생각해 봐요.
이 위상공간은 국소컴팩트 Hausdorff이기 때문에, 명백히 T_3.5이고,
따라서 그 Stone-Cech 컴팩트화, βN이 존재해요.
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(이산 위상을 준) 자연수공간 N은 컴팩트가 아니므로,
βN≠N이에요. 따라서, 어떤 점 p∈βN-N이 존재해요.
이 때, Stone-Cech 컴팩트화의 정의에 의해, 임의의 유계함수 f:N->R에 대해, f의 유일한 확장 F:βN->R이 존재하므로,
함수 f∈L^∞(N)가 주어질 때, 그 확장 F:βN->R의 p에서의 함수값 F(p)를 대응시키는 함수 T : L^∞(N) -> R을 생각하면,
당연히 T는 선형함수에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' "유일한 확장"은 "연속함수로서의 유일한 확장"이라는 말이에요
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또한, N은 βN 안에서 조밀하므로, 임의의 f∈L^∞(N)에 대해 |T(f)| ≤ ||f||_∞가 성립해요.
따라서, ||T|| ≤ 1이고, 그러므로 T는 유계선형범함수에요.
이 때, 가정(>>686)에 의해, 어떤 g∈L^1(N)이 존재해서, 임의의 f∈L^∞(N)에 대해, T(f) = ∑f(n)g(n)이어야 해요.
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각각의 자연수 k에 대해, χ_{k}∈L^∞(N)이므로, T(χ_{k}) = ∑(χ_{k})(n)g(n) = g(k)에요.
그런데, {k}는 N의 컴팩트 연결성분이므로, βN의 컴팩트 연결성분이기도 해요.
따라서, 함수 χ_{k}:N->R의 βN으로의 유일한 (연속)확장은 여전히 χ_{k}이에요.
이 때, k∈N이고 p∈βN-N이므로, p≠k이고, 그러므로 T(χ_{k}) = χ_{k}(p) = 0이죠!
따라서 모든 자연수 k에 대해 g(k) = 0이 되어, g = 0을 얻어요.
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그러므로, 임의의 f∈L^∞(N)에 대해 T(f) = ∑f(n)g(n) = ∑f(n) · 0 = 0이 되어, T = 0이어야 해요.
그런데, 1의 값을 갖는 상수함수 1:N->R의 βN으로의 유일한 연속확장은 여전히 1의 값을 갖는 상수함수 1:βN->R이므로,
T(1) = 1이어야 해요. 모순!
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따라서 L^∞(N)의 쌍대는 L^1(N)보다 커요! 즉, L^1(N)≠(L^∞(N))*이 돼요.
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그런데, L^1(N)의 쌍대는 L^∞(N)이므로, 우리는 다음의 사실 또한 알 수 있어요.
[L^1(N)은 Banach 공간이지만 반사공간이 아니다.]
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어때요? 신기하죠! 이것으로 이번 강의를 마치겠어요.
다음 강의에서는 Radon 측도와 컴팩트 지지 연속함수에 대해 배우도록 하죠.
[예고] 제 95강: Radon 측도와 컴팩트 지지 연속함수
<제 95강 : Radon 측도와 컴팩트 지지 연속함수>
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위상공간 X가 주어질 때, 우리는 X의 Borel σ-대수를 생각할 수 있어요.
X의 Borel σ-대수 위의 측도를 우리는 X 위의 Borel 측도라고 정의했었죠.
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X 위의 Borel 측도 m이 주어질 때, 임의의 Borel 부분집합 E⊂X에 대해,
만약 m(E) = inf {m(U)|E⊂U, U는 X의 열린 부분집합}이라면, 우리는 m이 E에서 [외부정칙(outer regular)]라고 하고,
만약 m(E) = sup {m(K)|K⊂E, K는 X의 컴팩트 부분집합}이라면 우리는 m이 E에서 [내부정칙(inner regular)]라고 하고,
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만약 X 위의 Borel 측도 m이, X의 모든 컴팩트 부분집합에서 유한하고, 모든 열린 부분집합에서 내부정칙이며,
모든 Borel 부분집합에서 외부정칙이라면, 우리는 m을 X 위의 [Radon 측도]라고 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' C_c(X)가 Banach 공간은 아니에요!
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이제 잠시 다른 이야기를 해 보겠어요.
위상공간 X가 주어질 때, 우리는 (실수체 위의) 벡터공간 C_c(X) = {f:X->R|f는 컴팩트지지 연속함수}를 생각할 수 있어요.
이 벡터공간에는 자연스러운 노름 ||f|| = sup {|f(x)| | x∈X}가 존재하고,
따라서 C_c(X)는 이 노름을 줌으로서 노름벡터공간이 돼요.
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선형범함수 T:C_c(X)->R이 주어질 때, 만약 f ≥ 0인 모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) ≥ 0이라면,
우리는 T를 C_c(X) 위의 [양의 선형범함수(positive linear functional)]이라고 해요.
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그런데 양의 선형범함수는 항상 유계일까요?
그렇지 않아요. 하지만 유계 비스무리한 조건이 성립하지요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' LCH 공간: 국소컴팩트(locally compact) Hausdorff 공간
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[LCH 공간 X와 양의 선형범함수 T:C_c(X)->R이 주어질 때, 임의의 컴팩트 부분집합 K⊂X에 대해 어떤 양수 C_K가 존재하여,
supp(f)⊂K인 모든 f∈C_c(X)에 대해 |T(f)| ≤ C_K · ||f||가 성립한다.]
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증명은 간단해요. X는 T_4 공간이므로, 컴팩트 부분집합 K가 주어질 때,
Urysohn의 보조정리를 이용해, K의 모든 점에서 1의 함수값을 갖는 함수 s∈C_c(X)가 존재함을 알 수 있어요.
따라서, supp(f)⊂K인 임의의 f∈C_c(X)에 대해, f ≤ ||f|| · s이므로, T(f) ≤ T(||f|| · s) = ||f|| · T(s)가 성립해요.
그러므로, T(s)를 C_K로 놓으면 >>704가 성립해요. 증명 끝!
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이제, 우리는 C_c(X) 위의 양의 선형범함수들과 X 위의 Radon 측도 사이의 관계를 알아보도록 하겠어요.
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X 위의 Radon 측도 m이 주어질 때, T_m(f) = ∫f dm으로 주어지는 선형함수 T_m:C_c(X)->R을 생각해요.
그러면, T_m은 당연히 양의 선형범함수이죠.
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그렇다면, 그 반대방향으로는 어떨까요?
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[양의 선형범함수 T:C_c(X)->R이 주어질 때, 모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) = ∫f dm이 성립하게 하는 유일한 X 위의 Radon 측도 m이 존재한다.
또한, 모든 열린 부분집합 U⊂X에 대해 m(U) = sup {T(f) | f∈C_c(X), supp(f)⊂U, f ≤ χ_U}이며,
모든 컴팩트 부분집합 K⊂X에 대해 m(K) = inf {T(f) | f∈C_c(X), f ≥ χ_K}이다.]
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먼저, 유일성을 증명하도록 해요.
만약 X 위의 Radon 측도 m이 존재해서 모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) = ∫f dm이라면,
임의의 열린 부분집합 U⊂X가 주어질 때, supp(f)⊂U이고 f ≤ χ_U인 모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) ≤ m(U)여야 해요.
그런데, 임의의 컴팩트 부분집합 K⊂U가 주어질 때, Urysohn의 보조정리를 사용해 f|_K = 1, 0 ≤ f ≤ 1, supp(f)⊂U인 f∈C_c(X)를 잡으면,
m(K) ≤ ∫f dm = T(f)이 되는데, m은 U에서 내부정칙이므로, 결국 m(U) = sup {T(f) | f∈C_c(X), supp(f)⊂U, f ≤ χ_U}를 얻어요.
그러므로 m의 함수값이 X의 모든 열린 부분집합에 대해 유일하게 결정되게 돼요.
그런데, Radon 측도는 모든 Borel 부분집합에서 외부정칙이므로, 결국 m의 함수값이 모든 Borel 부분집합에서 유일하게 결정돼요.
그러므로 m은 유일해요!
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그러므로, 우리는 주어진 조건을 만족하는 Radon 측도 m이 존재한다는 것만 보이면 충분해요.
우리는 이것을 몇 가지 단계를 거쳐 보이도록 하겠어요.
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양의 선형범함수 T:C_c(X)->R이 주어질 때,
모든 열린 부분집합 U⊂X에 대해 실수 m(U) = sup {T(f) | f∈C_c(X), supp(f)⊂U, f ≤ χ_U}를 생각하고,
모든 부분집합 E⊂X에 대해 실수 m*(E) = inf {m(U) | E⊂U, U는 X의 열린 부분집합}을 생각해요.
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그러면, U⊂V일 때 m(U) ≤ m(V)이며, 따라서 모든 열린 부분집합 U에 대해 m(U) = m*(U)가 되겠죠.
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[단계 1]
[m*는 X 위의 외측도이다]
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이것을 증명하기 위해서는,
임의의 X의 열린 부분집합들의 수열 {U_i}들과 그 합집합 U = ∪U_i가 주어질 때, m(U) ≤ ∑m(U_i)임을 보이면 충분해요.
왜냐 하면, 만약 그게 참이면 결국 m*(E) = inf {∑m(U_i) | E⊂(∪U_i), U_i는 X의 열린 부분집합}이 되고,
이것은 자명히 X 위의 외측도이기 때문이에요.
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이제, supp(f)⊂U, f ≤ χ_U를 만족하는 임의의 f∈C_c(X)가 주어질 때, K = supp(f)를 생각하면,
K는 컴팩트이고 {U_i}는 K의 열린 덮개이므로, 어떤 자연수 n에 대해 {U_1,…,U_n}이 K의 열린 덮개가 되어야 해요.
이 때, X는 LCH이므로 파라컴팩트이므로, 1의 분할이 존재하고,
따라서, i = 1,…,n에 대해, supp(g_i)⊂U_i, 0 ≤ g_i ≤ 1, ∑g_i = 1인 함수들 g_i∈C_c(U_i)가 존재해서, (∑g_i)|_K = 1이어야 해요.
그런데 supp(f)⊂K이므로 f = ∑fg_i이고, supp(fg_i)⊂U_i, fg_i ≤ χ_{U_i}이므로, T(f) = ∑T(fg_i) ≤ ∑_{i = 1,…,n} m(U_i) ≤ ∑m(U_i)가 돼요.
그러므로 m(U) ≤ ∑m(U_i)를 얻어요. 이것으로 단계 1이 증명되었어요!
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[단계 2]
[X의 모든 열린 부분집합은 m*-가측이다]
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단계 2를 증명하기 위해서는,
X의 열린 부분집합 U, 그리고 m*(E) < ∞인 X의 부분집합 E가 주어질 때, m*(E) ≥ m*(E∩U) + m*(E-U)임을 보이면 충분해요.
먼저, E가 열린 부분집합이라고 가정하면, E∩U 또한 열린 부분집합이고,
따라서, 임의의 양수 e에 대해 어떤 f∈C_c(X)가 존재해서, supp(f)⊂E∩U, 0 ≤ f ≤ χ_{E∩U}, T(f) > m(E∩U) - e여야 해요.
또한, E-supp(f) 또한 열린 부분집합이므로, 어떤 g∈C_c(X)가 존재해서,
supp(g)⊂E-supp(f), 0 ≤ g ≤ χ_{E-supp(f)}, T(g) > m(E-supp(f)) - e가 성립해야 해요.
그런데, 이 때 supp(f+g)⊂E, f+g ≤ χ_E이므로,
m*(E) = m(E) ≥ T(f) + T(g) > m(E∩U) + m(E-supp(f)) - 2e ≥ m*(E∩U) + m*(E-U) - 2e가 성립해요.
양 변에 극한 e->0을 취하면 m*(E) ≥ m*(E∩U) + m*(E-U)를 얻어요.
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이제, E가 m*(E) < ∞을 만족하는 X의 임의의 부분집합이라고 가정해요.
그러면, 임의의 양수 e에 대해, E⊂V인 X의 열린 부분집합 V가 존재해서, m(V) < m*(E) + e가 성립해요.
이 때, >>719에 의해, m*(E) + e > m(V) ≥ m*(V∩U) + m*(V-U) ≥ m*(E∩U) + m*(E-U)를 얻어요.
양 변에 극한 e->0을 취하면, m*(E) ≥ m*(E∩U) + m*(E-U)가 돼요.
이것으로 단계 2가 증명되었어요!
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[단계 1]과 [단계 2]를 증명했으므로, Caratheodory 확장 정리에 의해,
X의 모든 Borel 부분집합은 m*-가측이고,
X의 Borel 부분집합 E에 대해 m(E) = m*(E)로 정의한 함수 m은 X 위의 Borel 측도임을 알 수 있어요.
이 때, m*의 정의에 의해, m은 모든 Borel 부분집합에서 외부정칙이고,
모든 열린 부분집합 U⊂X에 대해 m(U) = sup {T(f) | f∈C_c(X), supp(f)⊂U, f ≤ χ_U}가 성립해요.
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[단계 3]
[모든 컴팩트 부분집합 K⊂X에 대해 m(K) = inf {T(f) | f∈C_c(X), f ≥ χ_K}이다]
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단계 3의 증명은 간단해요.
임의의 컴팩트 부분집합 K⊂X, 그리고 f ≥ χ_K인 함수 f∈C_c(X)가 주어질 때, 임의의 양수 e에 대해, 집합 U_e = {x∈X|f(x) > 1-e}를 생각해요.
그러면 U_e는 X의 열린 부분집합이며, supp(g)⊂U_e, 0 ≤ g ≤ χ_{U_e}인 임의의 g∈C_c(X)에 대해, f/(1-e) ≥ g이므로, T(g) ≤ T(f)/(1-e)를 얻어요.
따라서 m(K) ≤ m(U_e) ≤ T(f)/(1-e)이고, 양 변에 극한 e->0을 취하면, m(K) ≤ T(f)를 얻어요.
그런데, K⊂U인 임의의 열린 부분집합 U가 주어질 때, Urysohn 보조정리를 사용해 f ≥ χ_K, supp(f)⊂U, 0 ≤ f ≤ 1인 함수 f_U∈C_c(X)를 잡으면,
m(K) ≤ T(f_U) ≤ m(U)가 되는데, m은 모든 Borel 부분집합에서 외부정칙이므로,
m(K) ≤ inf {T(f) | f∈C_c(X), f ≥ χ_K} ≤ inf {T(f_U) | K⊂U, U는 열린 부분집합} ≤ m(K)를 얻고,
따라서 m(K) = inf {T(f) | f∈C_c(X), f ≥ χ_K}를 얻어요.
이것으로 단계 3이 증명되었어요!
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[단계 3]에 의해, 우리는 m이 모든 컴팩트 부분집합에서 유한임을 알 수 있어요.
또한, 열린 부분집합에 대한 m의 정의에 의해, m이 모든 열린 부분집합에서 내부정칙임을 알 수 있어요.
다시 말해서, m은 X 위의 Radon 측도가 돼요.
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[단계 4]
[모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) = ∫f dm이다]
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단계 4를 증명하기 위해서는, 0 ≤ f ≤ 1인 모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) = ∫f dm임을 보이면 충분해요.
그러한 f가 주어질 때, 임의의 자연수 N에 대해, 모든 j = 1,…,N에 대해 집합 K_j = {x∈X|f(x) ≥ j/N}을 정의하고, K_0 = supp(f)라고 해요.
또한, 각각의 j = 1,…,N에 대해 함수 f_j = min {max {f - (j-1)/N,0},1/N}∈C_c(X)를 정의해요.
그러면, (1/N)χ_{K_j} ≤ f_j ≤ (1/N)χ_{K_{j-1}}이므로, m(K_j)/N ≤ ∫f_j dm ≤ m(K_{j-1})/N을 얻어요.
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이 때, K_{j-1}⊂U인 임의의 열린 부분집합 U에 대해, 0 ≤ Nf_j ≤ 1이고 supp(Nf_j)⊂U이므로, T(f_j) ≤ m(U)/N가 되어,
[단계 3]과 m의 외부정칙성에 의해, m(K_j)/N ≤ T(f_j) ≤ m(K_{j-1})/N을 얻어요.
또한, f = ∑f_j이므로, (1/N)∑_{j = 1,…,N} m(K_j) ≤ ∫f dm ≤ (1/N)∑_{j = 0,…,N-1} m(K_j)이고,
(1/N)∑_{j = 1,…,N} m(K_j) ≤ T(f) ≤ (1/N)∑_{j = 0,…,N-1} m(K_j)에요.
따라서, |T(f) - ∫f dm| ≤ (m(K_0)-m(K_N))/N ≤ m(supp(f))/N이 돼요.
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그런데 supp(f)는 X의 컴팩트 부분집합이고 m은 Radon 측도이므로, m(supp(f)) < ∞이에요.
따라서, |T(f) - ∫f dm| ≤ m(supp(f))/N의 양 변에 극한 N->∞를 취하면, |T(f) - ∫f dm| = 0이 되므로,
우리는 T(f) = ∫f dm을 얻어요. 증명 끝!
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, 깜박하고 안 썼지만, 이번 강의를 통틀어서, 우리는 X가 LCH 공간이라고 가정하고 있어요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 다음 강의, 다다음 강의에서도 그럴 거에요.
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이것으로 >>710이 증명되었어요.
어때요? (X가 LCH 공간일 때) C_c(X) 위의 양의 선형범함수는 곧 X 위의 Radon 측도와 같다니, 정말 신기하지요.
이번 강의는 이것으로 끝이에요.
다음 강의에서는 Radon 측도의 성질에 대해 알아보도록 해요.
[예고] 제 96강: Radon 측도의 성질
<제 96강 : Radon 측도의 성질>
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[위상공간 X 위의 Radon 측도 m이 주어질 때, 모든 σ-유한 부분집합 E⊂X에 대해 m은 E에서 내부정칙이다.]
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먼저, m(E) < ∞라고 가정해요.
그러면, 임의의 양수 e에 대해, E⊂U인 열린 부분집합 U와 K⊂U인 컴팩트 부분집합 K가 존재해서, m(U) < m(E) + e, m(K) > m(U) - e여야 해요.
이 때, m(U-E) = m(U) - m(E) < e이므로, U-E⊂V인 열린 부분집합 V가 존재해서, m(V) < e여야 해요.
이제, F = K-V를 생각하면, m(F) ≥ m(K) - m(V) > m(U) - 2e ≥ m(E) - 2e가 돼요.
그러므로 m(E) = sup {m(F) | F⊂E, F는 X의 컴팩트 부분집합}이고, 따라서 m은 E에서 내부정칙이에요.
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다음으로, m(E) = ∞라고 가정하면, E가 σ-유한이라고 했으므로, 임의의 자연수 N에 대해, N < m(F) < ∞인 F⊂E가 존재해요.
이 때, >>733에 의해, 어떤 컴팩트 부분집합 K⊂F가 존재해서 N < m(K)여야 해요.
그러므로, sup {m(K)|K⊂E, K는 X의 컴팩트 부분집합} = ∞ = m(E)이고, 따라서 m은 E에서 내부정칙이에요. 증명 끝!
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위상공간 X 위의 Borel 측도 m이 X의 모든 Borel 부분집합에서 내부정칙이고 외부정칙일 때, 우리는 m이 [정칙(regular)]이라고 해요.
>>733에 의해, 모든 σ-유한 Radon 측도는 정칙이며, 따라서 σ-컴팩트 위상공간 위의 모든 Radon 측도는 정칙이에요.
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그렇다면, σ-유한 Radon 측도는, 정칙 이외에 또 어떤 좋은 성질을 만족할까요?
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[위상공간 X 위의 σ-유한 Radon 측도 m과 Borel 부분집합 E⊂X가 주어질 때, 임의의 양수 e에 대해,
X의 어떤 열린 부분집합 U와 닫힌 부분집합 C가 존재해서, C⊂E⊂U이고 m(U-C) < e이다.]
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.....자명하죠? 굳이 증명할 필요 없지요?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' F_σ 집합 : 가산 개의 닫힌 부분집합들의 합집합
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ G_δ 집합: 가산 개의 열린 부분집합들의 교집합
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이것은, 다르게 말하면, 다음과 같이 쓸 수도 있어요.
[위상공간 X 위의 σ-유한 Radon 측도 m과 Borel 부분집합 E⊂X가 주어질 때,
어떤 F_σ 집합 A와 G_δ 집합 B가 존재해서, A⊂E⊂B이고 m(B-A) = 0이다.]
.......이것도 자명하지요?
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그렇다면, 우리는 이제 σ-컴팩트 LCH 공간 위의 Radon 측도가 아주 좋음을 증명할 수 있어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 요약하면 "모든 열린 부분집합이 σ-컴팩트인 LCH 공간 위에서, 모든 Borel 측도는 '거의' Radon 측도이다!"
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[모든 열린 부분집합이 σ-컴팩트인 LCH 공간 X과 그 위의 Borel 측도 m이 주어질 때,
만약 모든 컴팩트 부분집합 K⊂X에 대해 m(K) < ∞이라면, m은 정칙이고, 따라서 Radon 측도이다.]
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증명은 어렵지 않지만, Radon 측도와 C_c(X) 위의 양의 선형범함수간의 일대일대응을 사용해요.
먼저, 조건에 의해 C_c(X)⊂L^1(m)이고, 따라서 T(f) = ∫f dm은 선형범함수 T : C_c(X) -> R이 되죠.
그런데 f ≥ 0이면 T(f) = ∫f dm ≥ 0이므로, T는 양의 선형범함수에요.
따라서, 어떤 Radon 측도 n이 존재해서, 모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) = ∫f dn이고,
모든 열린 부분집합 U⊂X에 대해 n(U) = sup {T(f) | f∈C_c(X), supp(f)⊂U, f ≤ χ_U}이며,
모든 컴팩트 부분집합 K⊂X에 대해 n(K) = inf {T(f) | f∈C_c(X), f ≥ χ_K}이에요.
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이제, 임의의 열린 부분집합 U⊂X가 주어질 때, U는 σ-컴팩트이므로, U = ∪K_i, K_i⊂X는 컴팩트가 되게 할 수 있어요.
귀납적으로, 각각의 자연수 j에 대해, 0 ≤ f_j ≤ 1이고 supp(f_j)⊂U이며,
모든 x∈(K_1∪…∪K_j)∪(supp(f_1)∪…∪supp(f_{j-1}))에 대해 f_j(x) = 1인 f_j∈C_c(X)를 잡아요.
그러면, {f_n}는 단조증가하며 χ_U로 점별수렴하므로, 단조수렴정리에 의해, m(U) = lim_{j->∞} ∫f_j dm = lim_{j->∞} ∫f_j dn = n(U)를 얻어요.
따라서, m(U) = n(U)가 되죠.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 여기서 잠깐, >>710의 유일성 부분에 의해 결국 m = n이 돼요.
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이제, 임의의 Borel 부분집합 E⊂X가 주어질 때, 임의의 양수 e에 대해,
>>737에 의해, 어떤 X의 열린 부분집합 V와 닫힌 부분집합 F가 존재해서, F⊂E⊂V이며 n(V-F) < e가 돼요.
그런데 V-F는 X의 열린 부분집합이므로, >>744에 의해, m(V-F) = n(V-F) < e가 되죠.
따라서, m(V)-m(E) = m(V-E) ≤ m(V-F) < e이므로, m은 외부정칙이에요.
또한, X는 σ-컴팩트이므로, 그 닫힌 부분집합인 F 또한 σ-컴팩트이고, 따라서 어떤 컴팩트 부분집합 K가 존재해서 K⊂F이고 m(F-K) < e가 돼요.
그러면 m(E) - m(K) = m(E-K) ≤ m(V-F) + m(F-K) < 2e가 되죠. 따라서 m은 내부정칙이에요.
그러므로 m은 정칙인데, m은 모든 컴팩트 부분집합에서 유한하다고 가정했으므로, m은 Radon 측도에요. 증명 끝!
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>>742에 의해, 우리는 R^n 위의 Lebesgue 측도가 정칙임을 알 수 있어요!
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이제, LCH 공간 위의 Radon 측도에 대해, 가측함수를 컴팩트 지지 함수로 근사하는 방법에 대해 이야기해 보겠어요.
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[LCH 공간 X 위의 Radon 측도 m이 주어질 때, 임의의 p∈[1,∞)에 대해, C_c(X)는 L^p(m) 안에서 조밀하다.]
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증명은 간단해요.
임의의 f∈L^p(m)이 주어질 때, f로 거의 모든 곳에서 점별수렴하며 |f_n| ≤ |f|인 단순함수열 {f_n}을 잡으면,
{|f-f_n|^p}는 0으로 a.e. 점별수렴하며 |f-f_n|^p ≤ 2^p · |f|^p이므로, 지배수렴정리에 의해 {f_n}은 L^p(m)에서 f로 수렴해요.
이제, 임의의 양수 e를 잡아요. 그러면 어떤 자연수 n이 존재해서 ||f-f_n||_p < e에요.
이 때 f_n은 단순함수이므로, f_n = ∑_{i = 1,…,k} c_i · χ_{E_i}로 쓰되,
임의의 i에 대해 c_i≠0, 임의의 i,j에 대해 E_i∩E_j = ∅가 되게 해요. 그러면, 당연히 모든 i에 대해 m(E_i) < ∞이에요.
따라서, 이 주제글의 732에 의해, 어떤 컴팩트 부분집합 K_i와 열린 부분집합 U_i가 존재해서, K_i⊂E_i⊂U_i이고 m(U_i-K_i) < (e/∑|c_i|)^p가 돼요.
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이제, Urysohn 보조정리에 의해, χ_{K_i} ≤ f_i ≤ χ_{U_i}인 f_i∈C_c(X)를 잡을 수 있어요.
이 때, ||χ_{E_i} - f_i||_p ≤ (m(U_i - K_i))^{1/p} = e/(∑|c_i|)가 돼요.
따라서, g = ∑c_i · f_i를 생각하면, g∈C_c(X)이고, ||f_n-g||_p < e가 되므로, ||f-g||_p < ||f-f_n||_p + ||f_n-g||_p < 2e에요.
그러므로 C_c(X)는 L^p(m) 안에서 조밀해요. 증명 끝!
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이제, Radon 측도에 대한 Lusin 정리를 증명할 수 있어요.
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[Lusin의 정리]
[LCH 공간 X 위의 Radon 측도 m, 그리고 m(X-f^-1({0})) < ∞인 가측함수 f:X->R이 주어질 때,
임의의 양수 e에 대해, 어떤 s∈C_c(X)가 존재해서, m({x∈X|s(x)≠f(x)}) < e이다.
또한, 만약 f가 유계라면, ||s||_∞ ≤ ||f||_∞가 되도록 s를 잡을 수 있다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' e는 임의의 양수
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증명을 위해, 집합 E = X-f^-1({0}) = {x∈X|f(x)≠0}을 생각하고, 먼저 f가 유계라고 가정해요.
그러면 f∈L^1(m)이므로, >>748에 의해, C_c(X) 안의 어떤 수열 {g_n}이 존재해서, L^1(m)에서 {g_n}이 f로 수렴해요.
따라서, >>491에 의해, {g_n}의 어떤 부분수열 {h_n}이 존재해서, {h_n}이 f로 a.e. 점별수렴해요.
이 때, Egoroff 정리(>>495)에 의해, 어떤 가측부분집합 A가 존재해서, A⊂E이고 m(E-A) < e/3이며 A에서 {g_n}이 f로 균등수렴해요.
그런데, m(E) < ∞이므로, 어떤 X의 컴팩트 부분집합 B와 열린 부분집합 U가 존재해서, B⊂A, E⊂U이고 m(U-E) < e/3, m(A-B) < e/3이 돼요.
또한, B에서 g_n이 f로 균등수렴하는데 각각의 g_n이 연속이므로, f는 B에서 연속이고,
따라서 Tietze 확장 정리에 의해 어떤 h∈C_c(X)가 존재해서, B에서 h = f이며 supp(h)⊂U에요.
그러면 {x∈X|f(x)≠h(x)}⊂U-B이므로, m({x∈X|f(x)≠h(x)}) ≤ m(U-B) = m(U-E) + m(E-A) + m(A-B) < e/3+e/3+e/3 = e에요.
그러므로, 함수 s(x) = (|h(x)| ≤ ||f||_∞일 때 h(x), |h(x)| > ||f||_∞일 때 ||f||_∞ · sgn h(x))를 정의하면,
||h||_∞ ≤ ||f||_∞이고 m({x∈X|s(x)≠f(x)}) ≤ m({x∈X|h(x)≠f(x)}) + m({x∈X | |f(x)| > ||f||_∞}) < e+0 = e가 돼요!
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이제, f가 유계가 아니라고 가정하면, 각각의 자연수 n에 대해 집합 A_n = {x∈X|0 < |f(x)| ≤ n}을 정의할 때,
A_1⊂A_2⊂…이고, ∪A_n = E에요. 따라서 lim_{n->∞} m(A_n) = m(E)에요.
그런데, m(E) < ∞이므로, 어떤 자연수 n이 존재해서, m(E-A_n) < e/2여야 해요.
또한, 함수 fχ_{A_n}은 가측이고 유계이므로, >>755에 의해, 어떤 s∈C_c(X)가 존재해서 m({x∈X|s(x)≠(fχ_{A_n})(x)}) < e/2가 성립해요.
따라서, m({x∈X|s(x)≠f(x)}) ≤ m({x∈X|s(x)≠(fχ_{A_n})(x)}) + m(E-A_n) < e/2+e/2 = e가 돼요. 증명 끝!
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이것으로 이번 강의를 마쳐요.
다음 강의에서는 Riesz-Markov 정리를 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 97강: Riesz-Markov 정리
<제 97강 : Riesz-Markov 정리>
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LCH 공간 X가 주어질 때, Banach 공간 C_b(X) = {유계연속함수 f:X->R}을 생각해요.
(물론, f∈C_b(X)에 대해, ||f|| = ||f||_∞로 정의)
그러면, C_c(X)⊂C_b(X)이기 때문에, 우리는 그 폐포, C_0(X) = cl(C_c(X))를 생각할 수 있어요.
그러면, C_0(X)는 Banach 공간 C_b(X)의 닫힌 선형 부분공간이기 때문에, Banach 공간이 되겠지요.
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또한, C_0(X) 안에서 C_c(X)는 조밀해요.
따라서, Hahn-Banach 확장 정리라는 녀석에 의해(나중에 배울 거에요),
선형범함수 T:C_c(X)->R이 C_0(X)에서의 연속 선형범함수로 확장될 필요충분조건은, T가 유계인 것이에요.
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그런데, 만약 T가 어떤 Radon 측도 m에 대해 T(f) = ∫f dm으로 나타난다면,
T가 C_c(X)에서 유계인 것은 m(X) < ∞인 것과 동치에요.
따라서, 임의의 양의 유계 선형범함수 T∈(C_0(X))*에 대해, 어떤 유일한 유한 Radon 측도 m이 존재해서 모든 f∈C_c(X)에 대해 T(f) = ∫f dm이며,
m(X) < ∞이므로, 결국 모든 f∈C_0(X)에 대해 T(f) = ∫f dm이 돼요.
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그렇다면, 양의 유계 선형범함수가 아니라 임의의 유계 선형범함수 T∈(C_0(X))*에 대해서는 어떻게 될까요?
이 문제를 해결하는 데 필요한 핵심 아이디어는, T의 "Jordan 분해"를 만들 수 있다는 거에요.
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[X가 LCH 공간일 때, 임의의 T∈(C_0(X))*에 대해, 어떤 양의 유계선형범함수 T^+,T^-∈(C_0(X))*가 존재해서, T = T^+ - T^-이다.]
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0 ≤ f인 함수 f∈C_0(X)에 대해 T^+(f) = sup {T(g) | g∈C_0(X), 0 ≤ g ≤ f}를 정의하고,
일반적인 f∈C_0(X)에 대해, f = f^+ - f^-, 0 ≤ f^+,f^-로 쓴 후 T^+(f) = T^+(f^+) - T^+(f^-)로 정의해요.
그러면, 당연히 임의의 f∈C_0(X)와 실수 c에 대해 T^+(cf) = cT^+(f)이며,
임의의 f,g∈C_0(X)에 대해 T^+(f+g) = T^+(f) + T^+(g)이므로, (왜 그럴까요?) T는 선형이에요.
또한, 0 ≤ f인 f∈C_0(X)에 대해 |T^+(f)| ≤ sup {|T(g)| | g∈C_0(X), 0 ≤ g ≤ f} ≤ ||T|| · ||f||_∞이므로,
모든 f∈C_0(X)에 대해서 |T^+(f)| ≤ 2||T|| · ||f||_∞이고, 그러므로 T^+는 유계에요.
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물론, 정의에 의해 0 ≤ f일 때 T(f) ≥ 0이므로, T는 양의 유계선형함수에요.
이제, T^- = T^+ - T라고 하면, 0 ≤ f일 때 T^-(f) = T^+(f) - T(f) ≥ T(f) - T(f) = 0이므로, T^- 또한 양의 유계선형함수에요.
당연히 T = T^+ - T^-이므로, 증명 긑!
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>>764에 의해, 우리는 C_0(X)의 쌍대공간의 원소는 유한이고 부호가 있는 Radon 측도 같은 녀석들이라고 추측해 볼 수 있겠죠.
그런데 부호 있는 Radon 측도란 대체 뭘까요?
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' |m| = m^+ + m^-는 m의 총변화 측도
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위상공간 X와 그 위의 Borel 부호측도 m이 주어질 때, 만약 m을 그 Jordan 분해, m = m^+ - m^-로 나타냈을 때,
m^+와 m^-가 각각 X 위의 Radon 측도라면, 우리는 m을 [Radon 부호측도(signed Radon measure)]라고 해요.
이 때, X 위의 유한 Radon 부호측도들의 벡터공간을 M(X)로 쓰고,
그 위의 [총변화 노름(total variation norm)]을 ||m|| = |m|(X)로 정의해요.
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당연히, 유한 Borel 부호측도 m이 Radon인 것은, |m|이 Radon인 것과 동치에요.
자명하니 증명은 생략해요.
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이제 드디어 (C_0(X))*의 정체를 밝힐 때가 왔어요!
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[Riesz-Markov 정리]
[LCH 공간 X가 주어질 때, m∈M(X)에 대해 T_m(f) = ∫f dm으로 정의되는 선형함수 T_m : C_0(X)->R을 생각하면,
T_m∈(C_0(X))*이며, T(m) = T_m으로 정의되는 함수 T : M(X) -> (C_0(X))*는 등거리 동형사상이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명은 간단해요!
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
먼저, m∈M(X)가 주어질 때, 임의의 f∈C_c(X)에 대해 |T_m(f)| = |∫f dm| ≤ |∫f d|m|| ≤ ||f||_∞ · ||m||이므로, ||T_m|| ≤ ||m||이고, 따라서 T_m∈(C_0(X))*가 돼요.
이 때, m에 의한 X의 Hahn 분해 X = P∪N을 생각하고, 함수 h(x) = (x∈P일 때 1, x∈N일 때 -1) : X -> R을 정의하면,
Lusin의 정리(이 주제글의 754)에 의해, 임의의 양수 e에 대해, 어떤 f∈C_c(X)가 있어서, ||f||_∞ = 1이고 |m|({x∈X|f(x)≠h(x)}) < e/2에요.
그러면, ||m|| = m(P) - m(N) = ∫h dm ≤ |∫f dm| + |∫f-h dm| ≤ |∫f dm| + 2e ≤ ||T_m|| + 2e이므로,
양 변에 극한 e->0을 취하면 ||m|| ≤ ||T_m||을 얻어요.
따라서 ||m|| = ||T_m||이고, 그러므로 함수 T는 선형 등거리사상이에요.
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따라서 T는 전사함수에요. 그런데, >>764와 >>710에 의해 함수 T는 단사함수에요.
그러므로 T는 전단사이고, 그러므로 등거리 동형사상이에요. 증명 끝!
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그러므로, 우리는 다음과 같은 사실을 알 수 있어요.
[모든 LCH 공간 X에 대해, C_0(X)의 연속쌍대는 M(X)이다.]
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어때요? 아주 신기하지 않나요?
이것으로 이번 강의를 마치겠어요.
다음 강의부터는, 추상적인 위상적 벡터공간 이론을 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 98강: Hahn-Banach 정리
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(실수체 위의) 벡터공간 V가 주어질 때, 함수 p:V->R이 [부선형(sublinear)]이라는 것은,
임의의 x,y∈V에 대해 p(x,y) ≤ p(x)+p(y)이고, 모든 x∈V, c ≥ 0에 대해 p(cx) = cp(x)라는 거에요.
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예를 들어서, [세미노름(seminorm)] (노름같은 함수이지만 0이 아닌 녀석의 함수값이 0일 수 있는 것)은 부선형이에요.
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[Hahn-Banach 정리]
[벡터공간 V와 부선형 함수 p:V->R, 그리고 V의 선형 부분공간 M과 선형함수 f:M->R이 주어질 때,
만약 모든 x∈M에 대해 f(x) ≤ p(x)라면, 어떤 선형함수 F:V->R이 존재해서, 모든 x∈V에 대해 F(x) ≤ p(x)이고 모든 x∈M에 대해 F(x) = f(x)이다.]
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먼저, 만약 어떤 x∈V-M이 존재해서 V = M + Rx라면,
임의의 y,y'∈M에 대해 f(y) + f(y') = f(y+y') ≤ p(y+y') = p(y-x) + p(y'+x)이므로, f(y) - p(y-x) ≤ p(y'+x) - f(y')이고,
따라서 sup {f(y)-p(y-x)|y∈M} ≤ inf {p(x+y)-f(y)|y∈M}이 성립해요.
그러므로, sup {f(y)-p(y-x)|y∈M} ≤ a ≤ inf {p(x+y)-f(y)|y∈M}인 실수 a를 잡고,
함수 g:V->R을 g(y+cx) = f(y)+ca로 정의하면, 임의의 y∈M과 실수 c에 대해,
만약 c > 0이라면 g(y+cx) = c(f(y/c)+a) ≤ c(f(y/c)+p(x+(y/c))-f(y/c)) = p(y+cx)이고,
만약 c < 0이라면 g(y+cx) = (-c)(f(-y/c)-a) ≤ -c(f(-y/c)-f(-y/c)+p(-(y/c)-x)) = p(y+cx)가 되어, g는 주어진 조건을 만족해요.
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이제, 일반적인 경우에,
집합 S = {(W,f) | M⊂W, W는 V의 선형부분공간, f:W->R는 선형함수, 모든 x∈W에 대해 f(x) ≤ p(x), 모든 x∈M에 대해 f(x) = p(x)}를 생각해요.
그리고, (W,f),(W',f')∈S에 대해, 만약 W⊂W'이고 모든 x∈W에 대해 f(x) = f'(x)일 때, (W,f) < (W',f')라고 정의해요.
그러면, (S,<)는 부분순서집합이 돼요.
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그런데, (S,<)의 임의의 완전순서부분집합 T⊂S에 대해, W_T = ∪{W⊂V|어떤 f:W->R에 대해 (W,f)∈S}를 생각하고,
x∈W_T가 주어질 때, x∈W, (W,f)∈S인 W⊂V와 f:W->R을 선택하고 f_T(x) = f(x)로 정의하면,
W_T는 V의 선형부분공간이고 f_T : W_T -> R은 선형함수이며, (W_T,f_T)∈T가 돼요.
따라서, Zorn의 보조정리에 의해, S는 어떤 최대원 (W,f)∈S를 가져요.
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이제, 만약 W≠V라면, 어떤 x∈V-W가 존재하므로, >>782에 의해, 어떤 선형함수 f':V->R이 존재해서, (W+Rx,f')∈S가 돼요.
따라서 (W,f)는 S의 최대원일 수 없어요. 모순!
따라서 W = V에요. 그러므로 Hahn-Banach 정리가 성립해요. 증명 끝!
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Hahn-Banach 정리는, 아주 단순해 보이지만, 아주 중요한 정리에요.
해석학에서 이 정리의 활용법은 그야말로 무궁무진해요.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
[노름벡터공간 V가 주어질 때,
(1) 만약 M⊂V가 닫힌 선형부분공간이고 x∈V-M이라면, 어떤 f∈V*가 존재해서, 모든 y∈M에 대해 f(y) = 0이고, ||f|| = 1이며, f(x) = inf {y∈M | ||x-y||}이다.
(2) 모든 x∈V - {0}에 대해, 어떤 f∈V*가 존재하여, ||f|| = 1이고 f(x) = ||x||이다.
(3) 임의의 x,y∈V에 대해, 어떤 f∈V*가 존재하여, f(x)≠f(y)이다.
(4) 자연스러운 전사함수 L:V->V**는 선형 등거리사상이다.]
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(1)의 증명: y∈M, c∈R에 대해 f(y+cx) = c · inf {||x-z|| | z∈M}로 정의된 함수 f : M+Rx -> R을 생각해요.
그러면 ||f(y+cx)|| = |c| · inf {||x-z|| | z∈M} ≤ |c| · ||x + y/c|| = ||y+cx||이므로, Hahn-Banach 정리에 의해,
어떤 선형함수 f:V->R가 존재해서, 모든 x∈V에 대해 |f(x)| ≤ ||x||이고, 모든 y∈M, c∈R에 대해 f(y+cx) = c · inf {||x-z|| | z∈M}이에요.
이 함수는 주어진 조건을 만족해요.
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(2)는 (1)의 특수한 경우에요.
(3)은 (2)를 이용해 f(x-y)≠0인 f∈V*를 잡으면 돼요.
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마지막으로, (4)는 (2)에 의해 자명해요. 증명 끝!
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[노름벡터공간 V와 그 안의 조밀한 선형부분공간 W, 그리고 유계선형함수 f_0∈W*에 대해,
어떤 f∈V*가 유일하게 존재하여, 모든 x∈W에 대해 f(x) = f_0(x)를 만족한다.]
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증명은 아주 간단해요. 먼저, 모든 x∈W에 대해 |f_0(x)| ≤ ||f_0|| · ||x||이므로,
Hahn-Banach 정리에 의해, 어떤 f:V->R이 존재해서, 모든 x∈V에 대해 |f(x)| ≤ ||f_0|| · ||x||이고, 모든 x∈W에 대해 f(x) = f_0(x)에요.
이것은 ||f|| = ||f_0||를 의미하므로, f∈V*에요. 따라서 주어진 조건을 만족하는 f가 존재해요.
그런데, f는 연속이고 W는 V 안에서 조밀하므로, f는 유일해요. 증명 끝!
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{ .| | ⌒ヽ}ﾆ/´ } | } 증명은 >>792와 같으니 패스
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
조밀하지 않은 선형부분공간에 대해서는, 이런 말을 할 수 있겠죠.
[노름벡터공간 V와 그 선형부분공간 W, 그리고 유계선형함수 f_0∈W*에 대해,
어떤 f∈V*가 존재하여, ||f|| = ||f_0||이고, 모든 x∈W에 대해 f(x) = f_0(x)를 만족한다.]
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 Hahn-Banch 정리의 기하학에 대해 알아보도록 해요.
[예고] 제 99강: Hahn-Banach 정리의 기하학
<제 99강 : Hahn-Banach 정리의 기하학>
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이번 강의에서는 Hahn-Banach 정리의 기하학적 의미에 대해 알아보기로 해요.
요약하자면, Hahn-Banach정리는 사실 볼록집합을 초평면으로 분리하는 의미가 있어요.
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벡터공간 V의 부분집합 S⊂V가 [볼록(convex)]이라는 것은,
임의의 v,w∈V와 c∈[0,1]에 대해 cv + (1-c)w∈C라는 것이에요.
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노름벡터공간 E 안의 [초평면(hyperplane)]이란, 어떤 T∈E*와 c∈R에 대해,
H = T^-1({c}) 형태로 나타나는 E의 부분집합 H를 의미해요.
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[노름벡터공간 E의 임의의 열린 볼록부분집합 U, 그리고 점 p∈E-U에 대해,
어떤 T∈E*가 존재해서 모든 x∈U에 대해 T(x) < T(p)가 성립한다.]
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증명을 위해, 우리는 일반성을 잃지 않고 0∈U라고 가정할 수 있어요.
U는 E의 열린 부분집합이므로, 어떤 양수 r이 존재해서 B_r(0)⊂U겠지요.
이 때, p(x) = inf {a|a > 0, x/a∈U}를 생각하면, p(x) ≤ (1/r)||x||가 돼요.
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그런데 p는 당연히 E 위의 부선형함수이고, g(tp) = t로 정의된 함수 g : Rp -> R은 g ≤ p를 만족하므로,
Hahn-Banach 정리에 의해, 어떤 선형함수 f:E->R이 존재해서, f ≤ p이며, 모든 t∈R에 대해 f(tp) = t에요.
이 때, >>801에 의해, ||f|| ≤ 1/r이고, 따라서 f는 유계, 즉 f∈E*에요.
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그런데, 모든 x∈U에 대해, p(x) < 1이므로, f(x) ≤ p(x) < 1 = f(p)에요.
따라서 f는 주어진 조건을 만족해요. 증명 끝!
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[기하학적 Hahn-Banach 정리]
[노름벡터공간 E의 부분집합 A와 B가 모두 볼록이며 공집합이 아니고, A∩B = ∅이며, A가 열린 부분집합일 때,
어떤 T∈E*와 a∈R이 존재해서, 모든 x∈A와 y∈B에 대해 T(x) < a ≤ T(y)이다.]
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증명을 위해, 집합 C = {x-y|x∈A,y∈B}를 생각해요.
그러면, C = ∪{A-y|y∈B}이고 A는 열린 부분집합이므로 C 또한 열린 부분집합이며, C는 당연히 볼록집합이에요.
또한, A∩B = ∅이므로, 0∈E-C이고, 따라서 >>800에 의해, 어떤 f∈E*가 존재하여 모든 z∈C에 대해 f(z) < 0이에요.
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따라서 모든 x∈A와 y∈B에 대해 f(x) < f(y)이고, 그러므로 sup {f(x)|x∈A} ≤ inf {f(y)|y∈B}에요.
그러므로, sup {f(x)|x∈A} ≤ a ≤ inf {f(y)|y∈B}인 실수 a를 잡으면, 모든 y∈B에 대해 sup {f(x)|x∈A} ≤ a ≤ f(y)에요.
그런데, A는 E의 열린 부분집합이므로, 모든 x∈A에 대해 f(x) < sup {f(x)|x∈A}이고,
그러므로 모든 x∈A와 y∈B에 대해 f(x) < a ≤ f(y)가 돼요. 증명 끝!
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[기하학적 Hahn-Banach 정리 2]
[노름공간 E 안의 볼록부분집합 A,B가 모두 공집합이 아니며, A는 닫힌 부분집합이고, B는 컴팩트이며, A∩B = ∅일 때,
어떤 f∈E*와 a∈R, 그리고 양수 e가 존재해서, 모든 x∈A와 y∈B에 대해 f(x) ≤ f(a) - e이며 f(a) + e ≤ f(y)이다.]
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증명을 위해 집합 C = {x-y|x∈A,y∈B}를 생각해요.
그리고 C 안의 어떤 수열 {z_n = x_n - y_n}, x_n∈A, y_n∈B가 점 z∈E로 수렴한다고 가정해요.
이 때, {y_n}은 B 안의 수열인데 B는 컴팩트이므로, {y_n}의 어떤 부분수열 {y_{n_k}}가 어떤 점 y∈B로 수렴해요.
그러면 {x_{n_k}}는 z+y로 수렴해야 하는데, x_{n_k}∈A이고 A는 E의 닫힌 부분집합이므로, z+y∈A에요.
따라서 z = (z+y)-y ∈C에요. 그러므로 C는 E의 닫힌 부분집합이에요.
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이제 C는 E의 닫힌 볼록부분집합이고 0∈E-C이므로, 어떤 양수 r이 존재해서 B_r(0)⊂E-C에요.
그러면, >>805에 의해, 어떤 f∈E*가 존재해서, (f≠0이고) 모든 x∈A, y∈B, 그리고 z∈B_1(0)에 대해 f(x-y) ≤ rf(z)에요.
따라서 f(x-y) ≤ -r||f||에요. 이 때, 양수 e = r||f||/2를 생각하면, 모든 x∈A와 y∈B에 대해 f(x)+e ≤ f(y)-e에요.
그러므로 어떤 a∈R이 존재해서 sup {f(x)|x∈A} + e ≤ a ≤ inf {f(y)|y∈B} - e에요.
이 때, f,a,e는 주어진 조건을 만족해요. 증명 끝!
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어때요?
Hahn-Banach 정리의 기하학적 의미는, 노름벡터공간 안에서 두 볼록부분집합을 초평면으로 분리하는 방법임을 알 수 있었죠?
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이 기하학적 의미를 이용해 증명할 수 있는 간단한 정리를 하나 소개하고 이번 강의를 마치도록 하겠어요.
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[노름벡터공간 E 안의 선형부분공간 F⊂E가 주어질 때, 만약 f|_F = 0인 모든 f∈E*가 f = 0을 만족한다면, F는 E 안에서 조밀하다.]
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증명을 위해, F가 E에서 조밀하지 않다고 가정해요. 그러면 어떤 점 p∈E-cl(F)가 존재해요.
이 때, cl(F)는 E의 닫힌 볼록부분집합이고, {p}는 E의 컴팩트 부분집합이며 cl(F)∩{p} = ∅이므로,
>>808에 의해, 어떤 f∈E*와 a∈R가 존재해서, 모든 x∈F에 대해 f(x) < a < f(p)가 존재해요. 따라서 모든 양수 e에 대해 f(x)/e = f(x/e) < a < f(p)에요.
이제 f(x) < ef(p)이므로, 양 변에 극한 e -> 0을 취하면 모든 x∈F에 대해 f(x) ≤ 0을 얻어요. 그런데 -x∈F이므로 f(x) = -f(-x) ≥ 0이어야 해요.
따라서 모든 x∈F에 대해 f(x) = 0이에요. 그런데 f(p) > 0이므로 f(p)≠0이고, 따라서 f≠0이에요.. 모순! 증명 끝!
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이것으로 이번 강의는 끝이에요. 다음 강의에서는 Banach 공간의 삼신기를 배우도록 해요.
[예고] 제 100강: Banach 공간의 삼신기
<제 100강 : Banach 공간의 삼신기>
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이번 강의에서는 Banach 공간에서 쓸 수 있는 3개 신기를 소개할 거에요.
이것들은 사실 모두 동치이지만, 모두 사용법이 다르며,
Banach라는 조건이 나오면 일단 이것들을 사용할 생각부터 해야 돼요.
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[열린 사상 정리]
[X와 Y가 Banach 공간이고 T:X->Y가 단사 유계선형함수라면, 임의의 열린 부분집합 U⊂X에 대해, T(U)는 Y의 열린 부분집합이다.]
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먼저, T가 단사이므로 Y = ∪{cl(T(B_n(0)))|n은 자연수}에요.
그런데, Y는 완비 거리공간이므로 Baire공간이고, 따라서 Baire 범주정리에 의해,
어떤 자연수 n이 존재해서 int(cl(T(B_n(0)))≠∅이고, 그러므로 선형성에 의해 0∈int(cl(B_1(0))을 얻어요. (왜 그럴까요?)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 오타, 0∈int(cl(T(B_1(0))))이어야 해요
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따라서 어떤 양수 r이 존재해서 B_r(0)⊂cl(T(B_1(0)))이에요.
이제, 임의의 y∈B_r(0)(⊂Y)가 주어질 때, 어떤 x_0∈X가 존재해서 ||x_0|| < 1이고 ||y - T(x_0)|| < r/2에요.
그리고, 귀납적으로, 각각의 자연수 n에 대해, 어떤 x_n∈X가 존재해서 ||x_n|| < 1/2^n이고 ||y - T(x_0 + … + x_n)|| < r/2^{n+1}이에요.
그런데 X는 완비이므로, 무한합 x = ∑x_n은 X의 원소이고, y = Tx에요. 또한, ||x|| ≤ ∑||x_n|| < 2에요.
그러므로 B_r(0)⊂T(B_2(0))을 얻어요.
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그러므로, 임의의 열린 부분집합 U⊂X와 점 y∈T(U)가 주어질 때, y = T(x)인 x∈U를 잡고, B_e(x)⊂U인 양수 e를 잡으면,
선형성에 의해 x∈B_{re/2}(y)⊂T(U)를 얻어요. 그러므로 T(U)는 Y의 열린 부분집합이에요. 증명 끝!
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그 다음으로 증명할 것은 닫힌 그래프 정리에요.
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[닫힌 그래프 정리]
[Banach 공간 X,Y와 선형함수 T:X->Y가 주어질 때, 만약 T의 그래프 Γ(T) = {(x,Tx)|x∈X}가 X×Y의 닫힌 부분집합이라면, T는 유계이다.]
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증명을 위해, X×Y 위의 노름 ||(x,y)|| = ||x|| + ||y||를 생각해요.
이 노름은 X×Y의 곱위상을 생성하며, X×Y를 Banach 공간으로 만들어요.
그런데 Γ(T)는 X×Y의 닫힌 부분집합이므로, Γ(T) 또한 Banach 공간이 돼요.
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이제, S(x,Tx) = x로 정의된 선형함수 S:Γ(T)->X를 생각해요. 모든 x∈X에 대해 ||S(x,Tx)|| = ||x|| ≤ ||x|| + ||Tx|| = ||(x,Tx)||이므로, S는 유계에요.
또한, S는 전단사이므로, 그 역함수인 선형함수 S^-1:X->Γ(T)를 생각할 수 있어요.
그런데 열린 사상 정리에 의해, S^-1은 연속이고, 따라서 유계선형함수에요! (왜 그럴까요?)
이 때, P(x,Tx) = Tx로 정의된 선형함수 P:Γ(T)->Y 또한 자명히 유계이고, T = P∘(S^-1)이므로, T는 유계선형함수에요. 증명 끝!
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이제, 삼신기 중의 마지막을 소개하겠어요.
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[균등 유계성 원리(Uniform boundedness principle)]
[Banach 공간 X와 노름벡터공간 Y, 그리고 어떤 부분집합 F⊂L(X,Y)가 주어질 때,
만약 모든 x∈X에 대해 sup {||Tx|| | T∈F} < ∞라면, sup {||T|| | T∈F} < ∞이다.]
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증명을 위해, 각각의 자연수 n에 대해, 집합 X_n = {x∈X|모든 T∈F에 대해 ||Tx|| ≤ n}을 생각해요.
그러면 X_n은 X의 닫힌 부분집합이에요.
그런데 X는 완비이므로, Baire 범주정리에 의해, 어떤 자연수 n이 존재해서 int(X_n)≠∅이어야 해요.
그러므로, 어떤 x_0∈X_n과 양수 e가 존재해서, B_e(x_0)⊂X_n이겠죠.
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이 때, 임의의 T∈F와 ||x|| ≤ 1인 임의의 x∈X에 대해, x_0와 x_0 + ex/2는 모두 B_e(x_0)의 원소이므로,
||Tx|| ≤ (2/e) · (||T(x_0 + ex/2)|| + ||T(x_0)||) ≤ (2/e) · (n+n) = 4n/e를 얻어요.
그러므로 sup {||T|| | T∈F} ≤ 4n/e가 돼요. 증명 끝!
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이제, 이 삼신기를 가지고 할 수 있는 것들의 예시를 간단히 들고 이번 강의를 마치도록 해요.
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[Banach 공간 X와 노름벡터공간 Y, 그리고 L(X,Y) 안의 수열 {T_n}이 주어질 때,
만약 모든 x∈X에 대해 수열 {T_n(x)}가 X에서 수렴한다면, T(x) = lim_{n->∞} T_n(x)로 정의된 선형함수 T:X->Y는 유계이다.]
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증명: 균등 유계성 원리를 사용하면 바로 증명되니까 생략.
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[노름벡터공간 X,Y와 유계선형함수 T:X->Y가 주어질 때, 그 쌍대 T*:Y*->X*는 유계이다.]
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증명: X*의 부분집합 S = {f∘T|f∈Y*, ||f|| ≤ 1}을 생각해요.
이 때, 임의의 x∈X와 f∈Y*에 대해 ||(f∘T)(x)|| ≤ ||Tx||이므로, 모든 x∈X에 대해 sup {||Ax|| | A∈S} ≤ ||Tx|| < ∞이에요.
그런데 Y*는 Banach 공간이므로, 균등 유계성 원리에 의해, sup {||f∘T|| | f∈Y*, ||f|| ≤ 1} < ∞이 돼요.
그러므로, ||T*|| = sup {||T*(f)|| | f∈Y*, ||f|| ≤ 1} = sup {||f∘T|| | f∈Y*, ||f|| ≤ 1} < ∞를 얻어요.
따라서 T*는 유계에요. 증명 끝!
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[X와 Y가 Banach 공간일 때, 임의의 전단사 유계선형함수 S:X->Y에 대해, 그 역함수 S^-1는 유계이다.]
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증명: 열린 사상 정리에 의해 자명하죠?
사실 이건 >>826에서도 사용한 명제에요.
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이것으로 이번 강의를 마치도록 해요.
다음 강의에서는 약한 위상과 약한* 위상을 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 101강: 약한 위상과 약한* 위상
<제 101강 : 약한 위상과 약한* 위상>
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E가 (실수 위의) 벡터공간임과 동시에 위상공간일 때, E가 [위상벡터공간(topological vector space)]이라는 것은,
E가 Hausdorff공간이며, 덧셈과 스칼라 곱셈이 모두 연속이라는 뜻이에요.
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당연히 모든 노름벡터공간은 위상벡터공간이에요. 하지만 그런 건 재미가 없어요.
이번 강의에서 오늘은, 노름벡터공간 위에 다른 위상을 줘서, 재미있는 위상벡터공간을 만들고자 해요.
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노름벡터공간 E가 주어질 때, 그 쌍대 E*를 생각해요.
그러면, 임의의 T∈E*와 열린 부분집합 U⊂R에 대해, E의 부분집합 T^-1(U)를 생각할 수 있어요.
이 때, {(T_1)^-1(U_1)∩…∩(T_n)^-1(U_n) | T_1,…,T_n∈E*, U_1,…,U_n은 R의 열린 부분집합}은 E 위의 위상이 돼요.
이 위상을 우리는 E의 [약한 위상(weak topology)]이라고 해요.
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정의에 의해, 위상공간 X와 노름벡터공간 E가 주어질 때, 함수 f:X->E가, E의 약한 위상에 대해 연속인 것은,
임의의 T∈E*에 대해 Tf:X->R이 연속인 것과 동치겠죠.
따라서, E의 약한 위상에 대해, 스칼라 곱셈 함수 R×E->E와 덧셈 함수 E×E->E는 연속이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 임의의 위상적 성질 P에 대해, [약하게 P]라는 것은 "약한 위상에 대해서 P가 성립한다"는 뜻이에요.
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그렇다면, E의 약한 위상은 Hausdorff일까요?
임의의 x,y∈E에 대해, 우리는 어떤 T∈E*가 존재해서 T(x-y) = ||x-y||임을 알고 있어요.
따라서, 만약 x≠y라면, T(x-y)≠0이 되어 T(x)≠T(y)이므로, 일반성을 잃지 않고 T(x) < T(y)라고 가정하고,
E의 약하게 열린 부분집합 U = T^-1((-∞,T(x+y)/2)), V = T^-1((T(x+y)/2,∞))를 생각하면,
x∈U, y∈V이며 U∩V = ∅이므로, E의 약한 위상은 Hausdorff에요.
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그러므로, E의 약한 위상은 위상벡터공간이에요!
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E의 약한 위상을 파악하기는 쉽지 않아요.
하지만, 우리는 다음의 사실을 알 수 있어요.
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[노름벡터공간 E의 임의의 닫힌 볼록부분집합은 약하게 닫혀 있다.]
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이거, 왠지 당연해 보이지 않아요?
네, 당연해요. 왜냐면 이것은 기하학적 Hahn-Banach 정리를 사용하면 바로 증명되기 때문이에요.
그러니 증명은 생략해요.
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그러므로, 닫힌 단위공 B_E = {x∈E | ||x|| ≤ 1}은 약하게 닫혀 있어요.
그런데, 단위구 S_E = {x∈E | ||x|| = 1}은 과연 약하게 닫혀 있을까요?
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먼저, S_E⊂B_E이고 B_E는 약하게 닫혀 있으므로, S_E의 약한 폐포 cl(S_E)를 생각하면, cl(S_E)⊂B_E여야 해요.
이제, 임의의 x∈B_E를 생각하고, x의 임의의 약한 근방 U를 생각하면,
약한 위상의 정의에 의해, 어떤 T_1,…,T_n∈E*, 그리고 양수 e가 존재해서 {y∈E|모든 i에 대해 |T_i(x-y)| < e}⊂U여야 해요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 물론, 만약 dim E < ∞이라면, E의 약한 위상은 E의 강한 위상(노름벡터공간으로서의 위상)과 같아요.
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하지만, 만약 dim E = ∞라면, 어떤 z∈E-{0}이 존재해서, 모든 i에 대해 T_i(z) = 0이 되겠지요.
따라서, 임의의 실수 t에 대해, x-tz∈U가 돼요.
그런데 ||x|| ≤ 1이고 lim_{t->∞} ||x-tz|| = ∞이므로, 중간값 정리에 의해, 어떤 실수 t가 존재해서 ||x-tz|| = 1이에요.
즉, x-tz∈S_E이고, 따라서 U∩S_E≠∅이 돼요. 그러므로 B_E⊂cl(S_E)에요.
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따라서 우리는 다음의 사실을 알게 되었어요.
[임의의 무한차원 노름벡터공간 E에 대해, 그 단위구 S_E의 약한 폐포는 B_E이다.]
[그러므로, E의 약한 위상은 E의 강한 위상과 다르다.]
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이제, 약한 위상과 강한 위상 사이의 관계를 알아보도록 해요.
사실, 그 둘 사이의 관계는, "약한 위상이 강한 위상보다 성기다" 이외에는 그리 많지 않아요.
하지만, 우리는 다음의 사실을 증명할 수 있어요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' [정의] 위상공간 X가 주어질 때, 함수 f:X->R이 [상(하)반연속]이라는 것은,
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 임의의 실수 r에 대해, f^-1((-∞,r)) (하반에 대해서는 f^-1((r,∞)))이 X의 열린 부분집합이라는 것이다.
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[임의의 연속 볼록함수 f:E->R은 약하게 하반연속이다.]
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증명은 아주 간단해요.
함수 f:E->R가 연속이고 볼록함수일 때, 임의의 양수 r에 대해, f^-1([-∞,r))은 E의 닫힌 볼록집합이고, 따라서 약하게 닫혀 있어요.
그러므로 f는 약하게 하반연속이에요.
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예를 들어서, 노름 함수는 연속이고 볼록이므로, 약하게 하반연속이에요. 그러므로......
[E의 어떤 수열 {x_n}이 x로 약하게 수렴한다면, 수열 {||x_n||}은 유계이며, ||x|| ≤ lim inf ||x_n||이 성립한다.]
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이제, 우리는 약한 위상보다도 성긴 위상인, 약한* 위상에 대해 알아보도록 해요.
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노름벡터공간 E가 주어질 때, 그 쌍대 E*를 생각해요.
그러면, 임의의 x∈E와 열린 부분집합 U⊂R에 대해, E*의 부분집합 x^-1(U) = {T∈E*|T(x)∈U}를 생각할 수 있어요.
이 때, {(x_1)^-1(U_1)∩…∩(x_n)^-1(U_n) | x_1,…,x_n∈E*, U_1,…,U_n은 R의 열린 부분집합}은 E* 위의 위상이 돼요.
이 위상을 우리는 E*의 [약한* 위상(weak* topology)]이라고 해요.
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약한* 위상에서도, 당연히 덧셈연산과 스칼라 곱셈 연산은 연속이에요.
또한, 약한* 위상은 당연히 Hausdorff에요. (왜 그럴까요?)
그러므로, 임의의 노름벡터공간 E에 대해, E*의 약한* 위상은 위상벡터공간이 돼요.
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노름벡터공간 E가 주어질 때, 만약 E가 반사공간이라면, E = E**이고,
따라서 E*의 약한 위상과 약한* 위상은 같을 거에요.
하지만, E가 반사공간이 아니라면, 일반적으로 E*의 약한* 위상은 약한 위상보다 성기기만 할 뿐, 같지 않아요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 임의의 위상적 성질 P에 대해, [약하게* P]라는 것은 "약한* 위상에 대해서 P가 성립한다"는 뜻이에요.
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약한* 위상은 약한 위상보다도 더 성겨서, 다음의 사실을 성립하게 해요.
[노름벡터공간 E와 약하게* 연속인 임의의 선형함수 T:E*->R에 대해, 어떤 x∈E가 존재해서, 모든 f∈E*에 대해 T(f) = f(x)이다.]
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증명은 어렵지 않아요.
약하게* 연속인 선형함수 T:E*->R이 주어질 때, T^-1((-1,1))은 0을 포함하는 약하게* 열린 E의 부분집합이므로,
어떤 x_1,…,x_n∈E와 양수 e가 존재해서, {f∈E*|모든 i에 대해 |f(x_i)| < e}⊂T^-1((-1,1))이어야 해요.
따라서, 선형성에 의해, f(x_1) = … = f(x_n) = 0을 만족하는 모든 f∈E*에 대해, T(f) = 0이어야 해요.
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이제, F(f) = (T(f),f(x_1),…,f(x_n))으로 정의된 선형함수 F:E*->R^{n+1}을 생각해요.
그러면, >>863에 의해, 벡터 (1,0,…,0)∈R^{n+1}은 F의 상 Im(F)의 원소가 아니어야 해요.
이 때, Im(F)는 R^{n+1}의 선형부분공간이고, 따라서 볼록이므로, 기하학적 Hahn-Banach 정리에 의해,
어떤 실수 c,c_1,…,c_n, 그리고 실수 a가 존재해서, 모든 f∈E*에 대해 c < a < c · T(f) + c_1 · f(x_1) + … + c_n · F(x_n)이어야 해요.
그런데 -f∈E*이므로, 여기에 f 대신 -f를 넣어도 같은 부등식이 성립해야 하고, 따라서 모든 f∈E*에 대해 c · T(f) + c_1 · f(x_1) + … + c_n · f(x_n) = 0이며, c≠0이에요.
그러므로, x = ∑(c_i/c)x_i를 생각하면, 모든 f∈E*에 대해 T(f) = f(x)가 성립해요. 증명 끝!
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그러니까, 우리는 다음의 사실을 알 수 있어요.
[노름벡터공간 E가 주어질 때, E*의 약한 위상과 약한* 위상이 일치하는 것은, E가 반사공간인 것과 동치이다.]
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증명은 간단하죠?
만약 E가 반사공간이라면 당연히 E*의 약한 위상과 약한* 위상이 일치할 것이고,
만약 E*의 약한 위상과 약한* 위상이 일치한다면, 임의의 T∈E**에 대해 어떤 x∈E가 존재해서 모든 f∈E*에 대해 T(f) = f(x)이어야 하고, 따라서 E는 반사공간이어야 해요.
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이번 강의는 이것으로 마치도록 해요.
다음 강의에서는 약한 위상과 약한* 위상에서의 컴팩트성에 대해 알아보도록 하겠어요.
[예고] 제 102강: 약한 위상과 약한* 위상에서의 컴팩트성
<제 102강 : 약한 위상과 약한* 위상에서의 컴팩트성>
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실수 위의 유한차원 노름벡터공간이 주어질 때, 그 벡터공간의 단위공은 당연히 컴팩트에요.
과연, 무한차원에서는 어떨까요?
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[Riesz 보조정리]
[Banach 공간 E와 그 닫힌 선형부분공간 F가 주어질 때, 만약 F≠E라면, 임의의 실수 r∈(0,1)에 대해,
어떤 y∈Y가 존재해서, ||y|| = 1이고 inf {||y-x|| | x∈F} ≥ r이다.]
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증명을 위해, 임의의 z∈E-F를 잡고, R = inf {||z-x|| | x∈F}라고 하면, F는 닫힌 부분집합이므로 R > 0이에요.
이제, 임의의 양수 e에 대해, ||z-x|| < R+e인 x∈F를 잡고, y = (z-x)/||z-x||를 생각하면,
||y|| = 1이고, inf {||y-x|| | x∈F} = inf {||x - (z/||z-x||)|| | x∈F} = (1/||z-x||) · inf {||x-z|| | x∈F} > R/(R+e)가 돼요.
따라서, e가 충분히 작게 하면, Riesz 보조정리를 얻어요. 증명 끝!
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Riesz 보조정리를 이용하면, 우리는 다음의 사실을 알 수 있어요.
[임의의 무한차원 노름벡터공간 E에 대해, E의 단위구 B_E = {x∈E | ||x|| ≤ 1}은 컴팩트가 아니다.]
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증명은 아주 간단해요. E는 거리공간이기 때문에, B_E의 컴팩트성과 수열컴팩트성은 동치에요. 그러므로 B_E가 수열컴팩트가 아님을 보이면 돼요.
만약 B_E가 수열컴팩트라면, B_E 안의 임의의 수열은 수렴하는 부분수열을 가져야 해요.
그런데, Riesz 보조정리에 의해, 모든 자연수 n에 대해 ||x_n|| = 1이고 m≠n인 모든 자연수 m,n에 대해 ||x_m - x_n|| ≥ 1/2을 만족하는 B_E의 수열 {x_n}이 존재해요.
이런 수열은 절대로 수렴하는 부분수열을 가질 수 없어요. 모순! 증명 끝.
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그러므로, 무한차원에서 우리는 컴팩트성을 기대할 수 없어요.
하지만, 컴팩트의 성질이라 하면 임의의 연속함수가 유계라는 것을 들 수 있겠는데,
무한차원 노름벡터공간 위의 임의의 연속 선형함수는 유계에요.
어라? 뭔가 촉이 오지 않나요? 그렇습니다. 약한* 위상에서는 컴팩트성을 기대하실 수 있습니다.
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[Banach-Alaoglu 정리]
[임의의 노름벡터공간 E에 대해, E*의 단위공 B_{E*}는 약하게* 컴팩트이다.]
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' net이 무엇인지는 위키피디아에 검색해 보세요 친절하게 알려줄겁니다
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 직관적으로는 수열의 확장버전 같은 거에요
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증명을 위해, F(f) = (f(x))_{x∈B_E}로 정의된 함수 F : B_{E*} -> [0,1]^{B_E}를 생각해요.
그러면 F는 매장사상(embedding)이에요. (왜 그럴까요? Stone-Cech 컴팩트화의 증명을 다시 한 번 읽고 생각해 보세요.)
이제, 임의의 x∈cl(F(B_{E*}))를 잡으면, x로 수렴하는 F(B_{E*})의 어떤 net {F(f_v)}_{v∈I}가 존재해요. (f_v∈B_{E*})
이 때, 각각의 p∈B_E에 대해, x의 p번째 성분 x_p는 [0,1]의 net {f_v(p)}의 수렴값이므로,
T(y) = x_{y/||y||}로 정의된 함수 T:E->R을 생각하면, T는 선형이고, ||T|| ≤ 1이에요. 따라서 T∈E*이에요.
그런데 T의 정의에 의해 F(T) = x가 돼요. 그러므로 F의 상은 [0,1]^{B_E}의 닫힌 부분집합이에요.
이제, Tychonoff 정리에 의해 [0,1]^{B_E}는 컴팩트이므로, F의 상은 컴팩트이고, F가 매장사상이므로 B_{E*}가 컴팩트임을 알 수 있어요. 증명 끝!
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이제, 약한 위상에서의 컴팩트성에 대해 알고 싶은데,
이것은 약한* 위상에서의 컴팩트성보다는 더 까다로워요.
그래서, 우리는 먼저 몇 가지 보조정리를 증명하도록 해요.
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[Banach 공간 E, 그리고 원소 f_1,…,f_k∈E*, r_1,…,r_k∈R이 주어질 때, 다음의 두 조건은 동치이다:
(1) 임의의 양수 e에 대해 어떤 x∈E가 존재해서, ||x|| ≤ 1이고, 모든 i = 1,…,k에 대해 |f_i(x) - r_i| < e이다.
(2) 임의의 실수 b_1,…,b_k에 대해 |∑b_i · r_i| ≤ ||∑b_i · f_i||이다.]
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
(1)->(2):
실수 b_1,…,b_k∈R이 주어질 때, S = ∑|b_i|를 생각해요.
그러면, 조건 (1)에 의해, |∑b_i · f_i(x) - ∑b_i · r_i| ≤ eS가 성립해요.
따라서, |∑b_i · r_i| ≤ ||∑b_i · f_i|| · ||x|| + eS ≤ ||∑b_i · f_i|| + eS가 돼요.
이제, 양 변에 극한 e->0을 취하면, |∑b_i · r_i| ≤ ||∑b_i · f_i||를 얻어요. 그래서 조건 (2)를 얻어요.
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(2)->(1):
벡터 r = (r_1,…,r_k)∈R^k, 그리고 f(x) = (f_1(x),…,f_k(x))로 정의된 선형함수 f:E->R^k를 생각해요.
만약 조건 (1)이 성립하지 않는다면, r을 cl(f(B_E))의 원소가 아니어야 해요.
따라서, 기하학적 Hahn-Banach 정리에 의해, 어떤 벡터 b = (b_1,…,b_k)∈R^k와 실수 a가 존재해서,
모든 x∈B_E에 대해 <b,f(x)> < a < <b,r>이어야 해요. 따라서 모든 x∈B_E에 대해 (∑b_i · f_i)(x) < a < ∑b_i · r_i를 얻어요.
그러므로 ||∑b_i · f_i|| ≤ a < ∑b_i · r_i가 성립해요. 이것은 조건 (2)에 모순이에요. 증명 끝!
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[임의의 Banach 공간 E에 대해, 자연스러운 선형 매장사상 J:E->E**를 생각할 때, J(B_E)는 B_{E**} 안에서 약하게* 조밀하다.]
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증명을 위해, 임의의 z∈B_{E**}를 잡고, z의 임의의 약한* 근방 V를 생각해요.
그러면, 어떤 f_1,…,f_k∈E*와 양수 e가 존재해서, V_0 = {w∈E**|모든 i에 대해 |(w-z)(f_i)| < e}가 V_0⊂V를 만족해요.
이 때, 임의의 실수 b_1,…,b_k에 대해, |∑b_i · z(f_i)| = z(∑b_i · f_i) ≤ ||z|| · ||∑b_i · f_i|| = ||∑b_i · f_i||가 돼요.
따라서, >>881에 의해, 어떤 x∈B_E가 존재해서, 모든 i에 대해 |f_i(x) - z(f_i)| < e를 만족해요.
이것은 x∈V_0∩J(B_E)임을 의미해요. 따라서 V∩J(B_E)≠∅가 돼요.
그러므로 J(B_E)는 B_{E**} 안에서 약하게* 조밀해요. 증명 끝!
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이제, 약한 위상에서의 컴팩트성에 대해 알아보도록 하겠어요.
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[E가 Banach 공간일 때, E가 반사공간인 것과 B_E가 약하게 컴팩트인 것은 동치이다.]
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먼저, 만약 E가 반사공간이라면, E**의 약한 위상과 약한* 위상은 일치에요.
그런데, Banach-Alaoglu 정리에 의해 B_{E**}는 약하게* 컴팩트이므로, 약하게 컴팩트여야 해요.
또한, E가 반사공간이므로, 자연스러운 함수 J:E->E**는 E의 약한 위상과 {E**}의 약한 위상 사이의 위상동형이에요.
이 때, J(B_E) = B_{E**}이므로, B_E 또한 약하게* 컴팩트에요!
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이제, B_E가 약하게 컴팩트라고 가정해요.
이 때, 자연스러운 함수 J:E->E**를 생각할 때, 임의의 f∈E*에 대해 (ev_f)(T) = T(f)로 정의된 선형함수 ev_f:E**->R을 생각할 때,
합성함수 (ev_f)∘J:E->R은, 임의의 x∈E에 대해 ((ev_f)∘J)(x) = f(x)가 되므로, 사실 f와 같은 함수이고, 따라서 약하게 연속이에요.
그러므로, 함수 J는, E의 약한 위상과 E**의 약한* 위상에 대해 연속이에요.
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우리는 B_E가 약하게 컴팩트라고 가정했으므로, J(B_E) 또한 컴팩트여야 해요.
약한* 위상은 Hausdorff이고 J(B_E)⊂B_{E**}이므로, J(B_E)는 B_{E**} 안에서 약하게* 닫힌 부분집합이에요.
그런데, >>884에 의해 J(B_E)의 약한* 폐포는 B_{E**}이므로, J(B_E) = B_{E**}여야 해요.
따라서, 선형성에 의해 J(E) = E**를 얻어요. 그러므로 E는 반사공간이에요. 증명 끝!
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이 컴팩트성은 아주 중요해요. 예를 들어서, 우리는 다음의 명제가 성립함을 알 수 있어요.
[반사공간 E의 (공집합 아닌) 닫힌 볼록부분집합 A⊂E, 그리고 하반연속인 볼록함수 f:A->R이 주어질 때,
만약 lim_{||x||->∞} f(x) = ∞가 성립한다면, f의 최소값이 존재한다.]
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증명은 아주 간단하지요. A와 f의 볼록성에 의해 f는 약하게 하반연속인데,
E의 반사성과 A의 볼록성에 의해, 임의의 양수 R에 대해 집합 {x∈A | ||x|| ≤ R}은 약하게 컴팩트에요.
따라서 f의 최소값이 존재해요. 증명 끝!
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[반사공간의 임의의 닫힌 선형부분공간은 반사공간이다.]
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증명을 위해, 반사공간 E와 그 닫힌 선형부분공간 F를 생각해요.
이 때, B_E는 약하게 컴팩트이고, (F의 볼록성에 의해) B_F는 B_E의 약하게 닫힌 부분집합이에요.
그런데, Hahn-Banach 정리에 의해 임의의 T_0∈F*에 대해 어떤 T∈E*가 존재해서 T_0 = T|_F가 성립하므로,
E의 약한 위상 안에서 E의 부분집합으로서의 F의 위상은, F의 약한 위상과 일치해요.
따라서 B_F는 (F 안에서) 약하게 컴팩트에요. 그러므로 F는 반사공간이에요. 증명 끝!
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[Banach 공간 E가 주어질 때, E가 반사공간인 것과 E*가 반사공간인 것은 동치이다.]
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만약 E가 반사공간이라면, E = E**이므로 E* = E*** = (E*)**가 되어, E*는 반사공간이에요.
이제, 만약 E*가 반사공간이라면 (E*)* = E** 또한 반사공간이에요.
그런데, E는 E**의 닫힌 부분공간이므로, >>893에 의해, E는 반사공간이어야 해요. 증명 끝!
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 Banach 공간의 분해가능성에 대해 알아보기로 해요.
[예고] 제 103강: Banach 공간의 분해가능성
<제 103강 : Banach 공간의 분해가능성>
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위상수학 강의에서 배웠듯이, 어떤 위상공간이 [분해가능(separable)]이라는 것은,
그 공간이 조밀한 가산부분집합을 갖는다는 뜻이에요.
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이번 강의에서는, 분해가능인 Banach 공간의 성질에 대해 알아보고자 해요.
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[Banach 공간 E가 주어질 때, 만약 E*가 분해가능이라면, E 또한 분해가능이다.]
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증명을 위해, E*의 조밀한 가산부분집합 {f_n|n은 자연수}를 잡아요.
그러면, 각각의 자연수 n에 대해, 어떤 x_n∈E가 존재해서, ||x_n|| = 1이고 f_n(x_n) ≥ (1/2)||x_n||이 성립해요.
이 때, 집합 S = {∑c_n · x_n | 모든 n에 대해 c_n은 유리수, {n|c_n≠0}은 유한집합}은 E의 가산부분집합이에요.
또한, L = span {x_n|n은 자연수}를 생각하면, S는 L 안에서 조밀해요.
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이제, f|_L = 0을 만족하는 임의의 f∈E*을 잡으면, 임의의 양수 e에 대해, 어떤 자연수 n이 존재해서 ||f - f_n|| < e/3여야 해요.
그렇다면, (1/2)||f_n|| ≤ f_n(x_n) = (f_n - f)(x_n) < ||f - f_n|| · ||x_n|| < e/3이므로, ||f_n|| < 2e/3이 성립하고,
따라서 ||f|| ≤ ||f - f_n|| + ||f_n|| < e/3 + 2e/3 = e가 돼요. 이 식의 양 변에 극한 e->0을 취하면, ||f|| = 0을 얻어요.
그러므로 f = 0이고, 따라서 L은 E 안에서 조밀해요. 다시 말해, S는 E의 조밀한 가산부분집합이에요.
따라서 E는 분해가능해요. 증명 끝!
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>>902를 사용해서, 우리는 다음의 결론을 얻을 수 있어요.
[Banach공간 E에 대해, E가 분해가능한 반사공간인 것과 E*가 분해가능한 반사공간인 것은 동치이다.]
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증명은 아주 간단해요.
만약 E*가 분해가능한 반사공간이라면, >>895와 >>902에 의해 E는 분해가능한 반사공간이에요.
또한, 만약 E가 분해가능한 반사공간이라면, E = E**이므로, E** 또한 분해가능한 반사공간이어야 하는데,
E** = (E*)*이므로, E*가 분해가능한 반사공간이어야 해요. 증명 끝!
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이제, 분해가능한 Banach 공간의 약한* 위상에 대해 살펴보도록 해요.
약한* 위상에 대해, 분해가능성은 그 단위공의 거리화가능성과 직결되어 있어요.
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[Banach 공간 E에 대해, E가 분해가능한 것은 E*의 단위공 B_{E*}가 약하게* 거리화가능한 것과 동치이다.]
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증명을 위해, 먼저 E가 분해가능하다고 가정하고, E의 조밀한 가산부분집합 {x_n|n은 자연수}를 잡아요.
이 때, 각각의 f∈E*에 대해, 실수 [f]를 [f] = ∑(1/2^n) · |f(x_n)|으로 정의해요.
그러면, [ · ]는 E*의 노름이 되고, 모든 f∈E*에 대해 [f] ≤ ||f||가 성립해요.
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B_{E*}의 임의의 약하게* 열린 부분집합 V와 그 원소 f_0∈V를 잡을 때,
어떤 양수 e와 원소 y_1,…,y_k∈B_E가 존재해서 {f∈B_{E*} | |(f-f_0)(y_i)| < e}⊂V가 성립해요.
이 때, 각각의 i = 1,…,k에 대해, ||y_i - x_{n_i}|| < e/4인 자연수 n_i를 잡고, (e/2) · min{2^{-n_i}|i = 1,…,k}보다 작은 양수 r을 잡아요.
그러면, [f-f_0] < r인 임의의 f∈B_{E*}를 잡으면, 모든 i = 1,…,k에 대해 (1/2^{n_i}) · |(f-f_0)(x_{n_i})| < r이므로,
|(f-f_0)(y_i)| ≤ |(f-f_0)(y_i - x_{n_i})| + |(f-f_0)(x_{n_i})| < e/2 + e/2 = e가 되어, f∈V를 얻어요.
그러므로 {f∈B_{E*} | [f-f_0] < r}⊂V가 성립해요.
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이제, B_{E*} 안의 (노름 [ · ]에 대한) 임의의 열린 공, U = {f∈B_{E*} | [f-f_0] < r}을 잡아요.
이 때, 1/2^{k-1} < r/2가 되게 하는 자연수 k를 잡고, B_{E*}의 약하게* 열린 부분집합 V = {f∈B_{E*} | 모든 i = 1,…,k에 대해 |(f-f_0)(x_i)| < r/2}를 생각하면,
모든 f∈V에 대해 [f-f_0] = ∑_{n=1,…,k} |(f-f_0)(x_n)|/2^n + ∑_{n>k} |(f-f_0)(x_n)|/2^n < r/2 + (∑_{n>k} 1/2^{n-1}) = r/2 + 1/2^{k-1} < r이 되죠.
그러므로 V⊂U가 성립해요.
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따라서, B_{E*}의 약한* 위상은, 노름 [ · ]에 의해 유도된 위상과 같아요.
그러므로 B_{E*}는 약하게* 거리화가능해요!
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이제, B_{E*}가 약하게* 거리화가능하다고 가정해요. 그러면 B_{E*} 위의 어떤 거리함수 d가 존재해서, d로 유도된 위상이 약한* 위상과 일치해야 해요.
이 때, 각각의 자연수 n에 대해, B_{E*}의 부분집합 U_n = {f∈B_{E*} | d(f,0) < 1/n}을 잡으면, U_n은 0의 약한* 근방이므로,
어떤 양수 e_n과 유한부분집합 F_n⊂E가 존재해서, 집합 V_n = {f∈B_{E*} | 모든 x∈F_n에 대해 |f(x)| < e_n}이 V_n⊂U_n을 만족해요.
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이제, E의 부분집합 D = ∪{F_n|n은 자연수}, 그리고 유리수체 위에서 D에 의해 span된 E의 (Q-선형) 부분공간 F를 생각해요.
또한, 실수체 위에서 D에 의해 span된 E의 선형부분공간을 L이라고 해요. 그러면 F는 E의 가산부분집합이고, L 안에서 조밀해요.
그런데, 만약 f∈E*가 f|_L = 0을 만족한다면, 모든 자연수 n에 대해 f∈V_n이므로, d(f,0) < 1/n이에요.
이 때, 양 변에 극한 n->0을 취하면, d(f,0) = 0이 되어, f = 0을 얻어요.
그러므로 L은 E 안에서 조밀함을 알 수 있고, 따라서 F는 E의 조밀한 가산부분집합이에요.
따라서 E는 분해가능해요. 증명 끝!
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약한 위상에 대해서도, 우리는 비슷한 말을 할 수 있어요.
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[E*가 분해가능한 Banach 공간 E가 주어질 때, 그 단위공 B_E는 약하게 거리화가능이다.]
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증명은 >>909-912와 같아요. 그러니 생략해요.
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이제, >>908, >>916, Banach-Alaoglu 정리, 그리고 >>887, >>905를 조합하면, 다음의 사실을 알 수 있어요.
[E가 분해가능한 Banach 공간일 때, E*의 단위공 B_{E*}는 약하게* 수열컴팩트이다.]
[E가 분해가능한 반사공간일 때, 그 단위공 B_E는 약하게 수열컴팩트이다.]
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이번 강의는 여기까지에요.
다음 강의에서는 Eberlein-Smulian 정리를 배우도록 하겠어요.
[예고] 제 104강: Eberlein-Smulian 정리
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강의가 엄청나게 날아간 관계로 당분간 아주 간단하게 요약된 강의를 하겠습니다
그리고 어차피 강의 날아간 거 이제 강의에 몇 강인지 붙이지 말죠. 귀찮고 짜증나요.
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Eberlein-Smulian 정리: Banach 공간의 부분집합이 weakly compact인 것과 weakly sequentially compact인 것은 동치이다.
증명 아이디어: separable인 경우에 metrizability를 통해 갔죠? 이 경우에는 "weakly compact인 부분집합은 weakly metrizable이다"를 증명하면 충분.
이것은 separable Banach space의 closed unit ball의 weak metrizability와 아주 유사한 아이디어로 증명할 수 있습니다.
혼자 해 보시고, 못하겠으면 구글에게 물어보세요.
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locally convex space: convex이며 원점에 대해 대칭이고 cone인(어떤 점이 있으면 그 점과 원점을 잇는 선을 모두 포함하는) 원점의 local base가 존재하는 topological vector space.
이것은, 다시 말해서, (점들을 분리하는) 적당한 seminorm(non-degeneracy 조건이 없는 norm)의 family로 유도된 topology를 가진다는 말과 동치.
실제로 locally convex space를 다룰 때는 seminorm 조건이 아주 유용하게 사용된다.
그 이유는 간단 - normed space에서처럼, linear operator가 연속일 필요충분조건이 seminorm들에 대한 부등식으로 나타나기 때문.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 설명이 너무 부족하다고 생각하시면 구글신에게 물어보세요.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 죄송해요. 서버 폭파로 멘탈이 너무 흔들려서요.
７:i:≧ﾔ､ﾆ{ﾆ(⌒^ 강의를 아예 멈추지 않으려면 이것밖에 답이 없네요.
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이제 유클리드 공간 위의 Lebesgue 측도론으로 넘어갑니다.
리만적분에 대한 change-of-variable 공식 기억하시나요? 그 공식이 Lebesgue 가측함수와 C^1 미분동형사상에 대해서도 성립합니다.
왜 그런지 궁금하신가요? 독자 여러분은 이미 이것을 증명하기에 충분하고도 넘치는 도구들을 갖고 있습니다. 잘 생각해보세요.
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유클리드 공간 위에서는 아주 재밌는 것이 있어요. 바로 vitali covering lemma라는 것이에요.
Vitali covering lemma: 유클리드 공간 안의 open ball들의 집합이 주어질 때, 만약 그 반지름들이 유계라면, 그 집합의 어떤 부분집합이 존재하여,
그 부분집합의 원소들은 서로 겹치지 않고, 그 원소들의 반지름을 5배로 늘린 후 합집합을 취하면 원래 주어진 집합의 모든 원소들을 덮는다.
증명은 아이디어 하나만 있으면 충분해요.
간단히 말하자면 - 서로 겹치지 않는 원소들로 이루어진 부분집합들 중 최대인 것을 고려한다!
자세한 설명은 (영문)위키를 보세요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 주어진 가측함수 f의 distribution function: λ_f(s) = 집합 {x|f(x)>s}의 측도.
ヽ＿込,___＼､ .ﾑ ＿ .｡s个イ 그 성질: ∫|f|^p = p · ∫_{0 to ∞} s^{p-1} · λ_f(s) ds.
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이 lemma를 이용하면 Hardy-Littlewood maximal inequality를 증명할 수 있어요.
R^n에서 locally L^1인 함수 f가 주어질 때, 그 Hardy-Littlewood maximal function은 Mf(x) = sup {f의 B_r(x)에서의 평균값 | r은 양수}.
Hardy-Littlewood maximal inequality:
(weak type) 어떤 상수 C가 존재하여 λ_f(s) < C/s · ||f||_1. (C는 n에 의해 결정됨)
(strong type) 어떤 상수 C가 존재하여 임의의 p∈(1,∞]에 대해 ||Mf||_p ≤ C · ||f||_p. (C는 n,p에 의해 결정됨)
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 자세한 증명은 영문위키를 찾아보세요
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Hardy-Littlewood maximal inequality를 사용하면 Lebesgue differentiation theorem을 증명할 수 있어요.
Lebesgue differentiation theorem: R^n 위의 L^1 함수 f가 주어질 때, 거의 모든 점 x에서, f의 B_r(x)에서의 평균값은 r -> 0에서 f(x)로 수렴한다.
증명 아이디어:
f가 연속함수라면 이것은 자명하다.
그러니, 연속함수의 L^p 공간에서의 조밀성을 이용해, L^1 공간에서 f와 아주 가까운 연속함수 g를 잡는다.
그러면 우리는 f 대신 f-g를 쓸 수 있다. 그런데 f-g는 L^1에서 매우 작다.
또한 우리는 "open ball에서의 평균값"을 다루고 있다. 그렇다면 그 평균값을 M(f-g)로 위쪽에서 bound해줄 수 있겠다.
그런데 Hardy-Littlewood maximal inequality에 의해 M(f-g)의 distribution function은 매우 작아야 한다. 이걸로 잘 주물럭해주면 증명이 된다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' m은 Lebesgue 측도
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비슷한 논리로, Vitali covering lemma에서 다시 출발하면, 이런 걸 증명할 수 있어요.
R^n 위의 Borel 측도 n이 주어질 때, n의 m에 대한 Lebesgue-Radon-Nikodym 분해를 n = f dm + n'이라고 하면,
거의 모든 x에 대해, n(B_r(x))/m(B_r(x))에 극한 r->0을 취하면 f(x)로 수렴한다.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 곁다리 결론: bounded variation이면 거의 모든 점에서 미분가능하다.
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이것을 사용해서, R 위의 bounded variation 함수를 분해할 수 있어요.
Lebesgue 측도를 만든 방법을 생각해 보면, R 위의 bounded variation 함수 f가 주어질 때,
어떤 finite signed Borel 측도 n이 존재해서, f(b) - f(a) = m([a,b))가 되게 할 수 있어요.
따라서, 다음의 분해가 가능해요.
f = f_1 + f_2 + f_3,
f_1은 abolutely continuous,
f_2는 연속이지만 거의 모든 점에서 미분계수가 0,
f_3은 계단형 함수.
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이제 L^p 이론을 조금 더 전개해 볼까요.
Chebyshev 부등식: f가 L^p이면 λ_f(t) ≤ (||f||_p / t)^p
증명: distribution function과 ||f||_p의 관계를 사용해라 애송이
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 이제 부등식도 쓰기 귀찮습니다
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Minkowski 적분 부등식: https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_inequality#Minkowski's_integral_inequality
증명: p의 켤레가 q이고 g가 임의의 L^q라고 할 때, ∫(∫f(x,y) dy)|g(x)| dx = ∫f(x,y)|g(x)| dxdy ≤ ||g||_q · ∫(∫f(x,y)^p dx)^{1/p} dy.
이제 L^p의 켤레가 L^q인 것의 증명을 생각해 봅시다. 왜 이것이 Minkowski 적분 부등식의 증명인걸까요?
으아아아악아앙ㆍ아악!!
복구가 가능하면 좋겠네요....
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위의 두 부등식을 잠깐 응용해 볼까요.
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σ-finite 측도공간 X,Y, X×Y 위의 measurable function K가 있을 때,
만약 어떤 양수 C가 있어서 거의 모든 x,y에 대해 ∫|K(x,-)| ≤ C, ∫|K(-,y)| ≤ C라면,
임의의 p∈[1,∞]와 f∈L^p(Y)에 대해 적분 Tf(x) = ∫K(x,y)f(y) dy는 거의 모든 x에서 절대수렴하며, ||Tf||_p ≤ C||f||_p이다.
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증명 아이디어: p = 1,∞일 때는 생략.
1 < p < ∞, p의 켤레를 q라고 하자. 이 때, |K(x,y)f(y)| = |K(x,y)|^{1/q} · (|K(x,y)|^{1/p} · |f(y))로 나타낸 후,
Holder 부등식과 Fubini-Tonelli 정리를 사용한다.
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K가 (0,∞)×(0,∞) 위의 Lebesgue measurable 함수이며 모든 양수 c에 대해 K(cx,cy) = K(x,y)/c라면,
그리고 어떤 p∈[1,∞]에 대해 ∫_{0 to ∞} |K(x,1)| · x^{-1/p} dx = C < ∞라면, p의 켤레를 q라고 할 때,
임의의 f∈L^p(X), g∈L^q(Y)에 대해 적분값 Tf(y) = ∫_{0 to ∞} K(x,y)f(x)dx, Sg(x) = ∫_{0 to ∞} K(x,y)g(y)dy는 거의 모든 x,y에서 절대수렴하며,
||Tf||_p ≤ C||f||_p, ||Sg||_q ≤ C||g||_q가 성립한다.
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증명 아이디어: z = x/y로 치환하고 Minkowski 적분 부등식을 사용해라 애송이
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이제 잠시 weak L^p공간에 대해 이야기해보죠.
L^p 함수 f가 주어질 때, 그 distribution function은 ∫|f|^p = p · ∫t^{p-1} · λ_f(t) dt를 만족하죠.
하지만 우리는 이것보다 더 나아갈 수 있어요.
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함수 f가 λ_f < ∞를 만족한다면, λ_f는 감소함수이므로 유계구간에서 bounded variation이니, 그에 의해 유도된 [0,∞) 위의 Borel measure를 dλ_f로 쓸 때,
임의의 Borel measurable φ:(0,∞)->[0,∞)에 대해, ∫φ∘|f| = -∫_{0 to ∞} φ(t) dλ_f가 성립해요.
증명 아이디어: 먼저 φ가 단순함수일 때 증명하고, 단조수렴정리를 사용해서 L^+로 올리고, 그 다음 일반적인 경우로 확장하세요.
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따라서, ∫|f|^p = -∫_{0 to ∞} λ_f(t)^p dt가 성립하죠.
그러므로, 주어진 함수 f의 weak L^p norm ||f||_{p,w} = (sup {t^p · λ_f(t) | t > 0})^{1/p},
그리고 weak L^p space L^{p,w} = {f | ||f||_{p,w} < ∞}를 생각할 때,
weak L^p norm은 사실 norm이 아니지만, ||f+g||_{p,w} ≤ 2 · (||f||_{p,w}^p + ||g||_{p,w}^p)^{1/p}이고 ||cf||_{p,w} = |c| · ||f||_{p,w}이므로,
weak L^p norm에 의한 open ball들은 L^{p,w} 위의 위상 basis를 이루고, 따라서 L^{p,w}는 topological vector space가 돼요.
물론 L^p ⊂ L^{p,w}죠.
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이제 interpolation에 대해 이야기해 보죠.
1 ≤ p < q < r ≤ ∞일 때, L^p∩L^r ⊂ L^q ⊂ L^p + L^r이죠.
왜 그럴까요? L^q 함수가 주어질 때, 그 함수의 절대값이 1 이상인 부분과 1 미만인 부분으로 나눠서 생각해 보세요.
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그래서 우리는, L^p와 L^r에서 정의된 연산자가 좋으면 L^q에서도 좋냐는 질문을 자연스럽게 하게 되죠.
이게 바로 interpolation 정리들이 말하는 바에요.
물론 세상에는 여러 가지로 많은 interpolation 정리들이 있어요.
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하지만 그 중에서 가장 기초적인 정리는, Riesz-Thorin interpolation(보간) 정리에요.
이 정리는 아주 신묘한 증명법을 필요로 해요. 신기하게도 복소해석학을 사용한답니다.
Three Lines Lemma: strip 0 ≤ Re z ≤ 1에서 정의된 연속함수 f가 주어진 strip의 interior에서 홀로모픽일 때,
만약 Re z = 0에서 |f| ≤ M_0, Re z = 1에서 |f| ≤ M_1이라면, Re z = t에서 |f| ≤ (M_0)^{1-t}(M_1)^t이다.
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이 복소해석적 lemma의 증명은 간단해요.
적당히 scaling을 거친 후 strip에서 정의된 홀로모픽함수 f_e(z) = exp(ez(z-1))과 비교해 보고,
maximum modulus principle을 사용해 strip 내부에서의 부등식을 도출한 후, 극한 e->0을 취하면 돼요.
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[Riesz-Thorin interpolation theorem]
측도공간 (X,M,m),(Y,N,n), 승수 p_0,p_1,q_0,q_1∈[1,∞]가 주어질 때,
(만약 q_0 = q_1 = ∞라면, n이 semifinite이라고 가정)
t∈(0,1), 그리고 1/p_t = (1-t)/p_0 + t/p_1, 1/q_t = (1-t)/q_0 + t/q_1을 만족하는 p_t,q_t에 대해,
만약 선형함수 T : L^{p_0}(X) + L^{p_1}(X) -> L^{q_0}(Y) + L^{q_1}(Y)가 f∈L^{p_0}에 대해 ||Tf||_{q_0} ≤ M_0 · ||f||_{p_0}, f∈L^{p_1}에 대해 ||Tf||_{q_1} ≤ M_0 · ||f||_{p_1}을 만족할 때,
모든 f∈L^{p_t}(X)에 대해 ||Tf||_{q_t} ≤ (M_0)^{1-t} · (M_1)^t · ||f||_{p_t}가 성립한다.
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仝x、ﾆﾆﾆ）ﾆﾆﾆ!:i〉
X와 Y에서 정의된 finite support를 갖는 simple function들의 공간을 각각 S_X, S_Y라고 해요.
증명의 첫 단계는, 다음을 증명하는 거에요.
||f||_{p_t} = 1인 f∈S_X와 ||g||_{q_t} = 1인 g∈S_Y에 대해, |∫(Tf)g dn| ≤ (M_0)^{1-t} · (M_1)^t이다.
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f = ∑c_i · s_i · χ_{E_i}, g = ∑d_j · t_j · χ_{F_j}로 쓴 후, (c_i,d_j > 0, s_i,t_i = ±1)
함수 a(z) = (1-z)/p_0 + z/p_1, b(z) = (1-z)/q_0 + z/q_1,
f_z = ∑(c_i)^{a(z)/a(t)} · s_i · χ_{E_i}, g_z = ∑(d_j)^{(1-b(z))/(1-b(t))} · d_j · χ_{F_j}를 생각하고,
함수 F(z) = ∫(Tf_z)g_z dn = ∑∑c_i · d_j · ∫(Tχ_{E_i})χ_{F_j} dn · (c_i)^{a(z)/a(t)} · (d_j)^{(1-b(z))/(1-b(t))}을 정의해요.
그러면 F는 strip 0 ≤ Re z ≤ 1에서 연속이고 그 interior에서 홀로모픽이에요.
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 아, >>963에서 q_t 대신 q'_t가 들어가야 합니다
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이 때, 모든 실수 s에 대해 |f_is| = |f|^{p_t/p_0}, |g_is| = |g|^{q'_t/q'_0}이므로 (q'_t는 q_t의 conjugate exponent)
Holder 부등식에 의해, |F(is)| ≤ ||Tf_is||_{q_0} · ||g_is||_{q'_0} ≤ M_0 · ||f_is||_{p_0} · ||g_is||_{q'_0} = M_0 · ||f||_{p_t} · ||g||_{q'_t} = M_0.
마찬가지로 |F(1+is)| ≤ M_1. 그러므로 Three Lines Lemma에 의해 >>953의 목표가 증명되죠.
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그러므로, L^p의 dual이 L^q임의 증명을 되새겨 볼 때,
우리는 모든 f∈S_X에 대해 ||Tf||_{q_t} ≤ (M_0)^{1-t} · (M_1)^t · ||f||_{p_t}임을 알 수 있어요.
이제 이것을 L^{p_t}(X) 전체로 확장하면 되는데, 어떻게 할까요? L^{p_t} 함수를 L^{p_0}, L^{p_1} 함수의 합으로 나타낸 후,
finitely supported simple function들의 sequence의 극한으로 나타내고, 그 simple function들도 마찬가지의 합으로 나타낸 후,
그렇게 생긴 두 sequence가 L^{p_0}, L^{p_1}에서 수렴함을 보이고(지배수렴정리를 사용),
거기서 적당한 부분수열을 잡아서 a.e. 수렴성을 가져온 뒤에 Fatou lemma를 사용하면 되니, 직접 해 보세요.
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Riesz-Thorin 정리를 사용하면, 같은 조건에서, 함수 M(t) = ||T : L^{p_t}(X) -> L^{q_t}(Y)||를 생각할 때,
log M이 t에 대한 볼록함수임을 알 수 있지요.
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그 다음으로 소개할 정리는, Marcinkiewicz interpolation 정리에요.
이 정리는, Riesz-Thorin 정리와 달리, 선형연산자뿐만 아니라 sublinear 연산자에도 적용되며,
L^p가 아닌 weak L^p 조건으로도 충분하지만, 그 반대급부로 exponent 부분에 제한이 아주 조금 더 강하다는 것에 유의해 주세요.
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정리를 소개하기 전에 약간의 표기법을 정리하고 가죠.
측도공간 (X,M,m),(Y,N,n)이 주어질 때, X 위의 가측(실수)함수들의 공간의 어떤 선형부분공간 D에서 정의되고,
Y 위의 가측(실수)함수들을 값으로 갖는 함수 T가 주어질 때,
T가 [sublinear] <-> 모든 양수 c에 대해 |T(cf)| = c|Tf|, 그리고 |T(f+g)| ≤ |Tf| + |Tg|
T가 [weak type (p,q)] <-> L^p(X) ⊂ D, T(L^p(X)) ⊂ L^{q,w}(Y), 함수 T : L^p(X) -> L^{q,w}(Y)는 연속
T가 [strong type (p,q)] <-> L^p(X) ⊂ D, T(L^p(X)) ⊂ L^q(Y), 함수 T : L^p(X) -> L^q(Y)는 연속
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乂! 乂 ‘, ∨ ｒ:.､． ノ /' 증명은 복잡하니 생략해요. 구글신에게 물으세요.
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[Marcinkiewicz interpolation 정리]
측도공간 (X,M,m),(Y,N,n)이 주어지고, 승수 p_0,p_1,q_0,q_1∈[1,∞]가 p_0 ≤ q_0, p_1 ≤ q_1, q_0 ≠ q_1을 만족하며,
어떤 t∈(0,1)이 주어질 때 1/p = (1-t)/p_0 + t/p_1, 1/q = (1-t)/q_0 + t/q_1을 만족하는 p,q를 잡자.
이 때, 어떤 sublinear 함수 T : L^{p_0}(X) + L^{p_1}(X) -> L^{q_0}(Y) + L^{q_1}(Y)가 weak type (p_0,q_0)이고 weak type (p_1,q_1)이라면, T는 strong type (p,q)이다.
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이 정리를 사용하면 Hardy-Littlewood maximal inequality의 weak type에서 strong type을 이끌어낼 수 있지요.
Hardy-Littlewood weak type 부등식이 말하는 것은, 정확히, H-L maximal operator M이 weak type (1,1)이라는 것이니까요.
돌아왔습니다. 내일부터 연재 재개합니다.
이제 우린 모두 뇌가 인수분해 될거야(아무말)
우리 뇌는 이제 수학수학하고 울게 될거야!
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이제 푸리에 해석을 조금 해 볼까 해요.
푸리에 해석의 기초가 되는 공간은 역시 Schwartz 공간이에요.
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편의를 위해, 다음과 같은 표기법을 설정하도록 해요.
당연히 1변수가 아닌 다변수 실함수를 사용할 것이기 때문에,
n개의 자연수들(0 포함)의 순서쌍을 우리는 다중지표(multi-index)라고 부르고,
x∈R^n과 다중지표 a가 주어질 때, x^a = {x_1}^{a_1} …{x_n}^{a_n}으로 쓰도록 해요.
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또한, 다중지표 a = (a_1,…,a_n)이 주어질 때, |a| = ∑a_i를 정의하고,
|a| = k인 다중지표 a와 n변수 C^k 실수함수 f가 주어질 때 ∂^a(f) = (∂^{a_1}/∂{x_1}^{a_1}) … (∂^{a_n}/∂{x_n}^{a_n})(f)를 정의해요.
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이제, Schwartz 공간을 정의하도록 해요.
먼저, 함수 f∈C^∞(R^n)과 자연수 N, 그리고 다중지표 a가 주어질 때, ||f||_{N,a} = sup {(1+|x|)^N · |∂^a(f)(x)| | x∈R^n}을 정의해요.
이 때, C^∞(R^n)의 선형부분공간 S = {f∈C^∞(R^n) | 모든 N,a에 대해 ||f||_{N,a} < ∞}를 생각하면,
S는 실수 위의 벡터공간이며, 각각의 N,a에 대해 || · ||_{N,a}는 S 위의 반노름이 돼요.
따라서 S는 자연스럽게 국소볼록공간이 되고, 이 공간을 우리는 [Schwartz 공간]이라고 불러요.
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이 Schwartz 공간의 원소들은 다음과 같은 조건으로도 특정되지요.
[조건] f∈C^∞(R^n)에 대해, f∈S일 필요충분조건은 모든 다중지표 a,b에 대해 ∂^a(x^b · f)가 유계인 것이며, 이것은 모든 a,b에 대해 x^a · ∂^b(f)가 유계인 것과도 동치이다.
증명은.......글쎄요, 쉽죠? 자명해 보이지 않나요?
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그러니까 쉽게 말하면, Schwartz 공간의 함수들은 |x|->∞로 갈 때 졸라게 빨리 감소하는 녀석들이에요.
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Schwartz 공간 S는 국소볼록일 뿐만 아니라, Frechet 공간이 돼요.
이것을 증명하려면, 모든 반노름 ||·||_{N,a}에 대해 코시수열이 되는 S의 수열 {f_n}이 주어질 때, 그 수열은 어떤 g∈S로 수렴함을 보이면 되죠.
그런데 이 조건 하에서는 모든 a에 대해 {∂^a(f_n)}이 C^0(R^n)에서 코시수열이 되는지라, 그 극한을 g_a라고 놓고,
미적분학의 기본 정리를 사용하면, 쉽게 g_a = ∂^a(g_0)임을 알 수 있어요.
이것을 사용하면 {f_n}이 S에서 g_0로 수렴함을 증명할 수 있어요.
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이제, 잠시 Schwartz 공간을 떠나서, L^p(R^n) 공간을 생각해 보도록 해요.
이 공간에는 아주 자연스러운 연산자가 있어요.
y∈R^n이 주어질 때, 우리는 자연스러운 선형연산자 τ_y(f)(x) = f(x-y)를 생각할 수 있죠.
이 선형연산자는 당연히 L^p 함수를 L^p함수로 보내므로, 각각의 p에 대해 L^p(R^n) 위의 선형연산자가 되지요.
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[각각의 p∈[1,∞)와 함수 f∈L^p(R^n)에 대해, y->τ_y(f)로 정의된 함수 R->L^p(R^n)은 연속이다.]
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τ_{y+z} = τ_yτ_z이므로, y = 0에서의 연속성만 보이면 충분해요.
먼저, 만약 f∈C_c(R^n)이라면, 어떤 컴팩트 K⊂R^n이 존재하여, |y| < 1인 모든 실수 y에 대해 supp(τ_y(f)) ⊂ K이고,
f는 균등연속이므로, 극한 y->0을 취할 때 ∫|τ_y(f) - f|^p ≤ (||τ_y(f) - f||_∞)^p · m(K) -> 0이에요.
따라서 이 경우에 연속성이 증명되죠.
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이제, 일반적인 L^p 함수 f∈L^p(R^n)이 주어질 때, 임의의 양수 e를 잡으면,
C_c는 L^p에서 조밀하므로 어떤 g∈C_c(R^n)이 존재해서 ||f-g||_p < e/3이고,
g∈C_c(R^n)이므로 >>976에 의해, 충분히 작은 모든 y에 대해 ||τ_y(g) - g||_p < e/3이 되므로,
합치면 ||τ_y(f) - f||_p ≤ ||τ_y(f-g)||_p + ||τ_y(g) - g||_p + ||g-f||_p < e/3 + e/3 + e/3 = e가 되죠.
따라서 >>974가 증명되었어요.
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오늘의 연재는 여기까지로 하죠.
Schwartz 공간을 이야기하다 말고 갑자기 translation 연산자를 왜 언급했냐고요?
그것은 바로 convolution을 이야기하기 위해서에요. 이건 다음 시간에 하도록 해요!
1학기 분량 그러니까 앞부분 절반이요.
일단 최소 청강은 할 생각인데 고민되서 질문드려봅니다.
왜 듣기 힘들다고 생각하시나요? 현대대수는 어렵지도 않고 무섭지도 않아요. 걱정부터 하지 말고 일단 들으세요. 어려우면 그 때 가서 생각하세요.
학점이 걱정되기는 하지만 정 망하면 재수강이라도 하지 뭐.
답변 감사합니다.
그리고 빌란님의 강의도 많이 참고하고 있습니다. 배우면서 보니 압축률이 엄청 커서 놀랐는데 그 특징덕에 예습 복습용으로 잘 보고 있습니다. 감사합니다
현대대수가 재미있기는 하지만 노력이 부족해 B+이 한계였습니다.
이번에 전부 전공과목으로만 꽉꽉 채워서 수강했더니 비교적 어려운 과목은 시간 배분이 쉽지 않네요. 그래도 대부분은 A 받았습니다 ㅎㅎ