멀록의 수학 썰풀이 및 잡담방

이 어장은 수학 썰풀이 및 수학 관련 잡담을 위한 방이다 아옳옳.
멀록은 기분이 내킬 때 썰풀이를 하러 오겠다 아옳옳.

aa 허용, 나메 허용, 멀록체 허용(?)

수학 관련 잡담!(흥미)

수학으로 떠들고 싶을 때도 많았는데 이런 잡담판이 생기다니-

수학 강의어장 잡담판!

수학을 공부하려면 영어를 잘 할 필요가 있는걸까.

수학멀록 님의 잡담판이 생긴 김에 대학수학 강의어장 다시 정주행 스타트!

외국 서적을 보려면 영어는 어떤 공부에든 필수겠지.

오늘의 썰
3대 작도 불가능 문제 중 첫번째, 입방체의 배적
다른 말로 하면, 길이 1인 선분이 주어질 때, 길이 2^(1/3)인 선분을 작도하라

이것을 이야기하기 전에 먼저 어떤 수를 작도한다는 게 무슨 뜻인지 알아야 한다
작도에 쓰이는 도구는 눈금 없는 자와 컴퍼스.
자는 선을 그리는데 쓰고 컴퍼스는 원을 그리는 데 쓴다.

그리고 작도에서 쓰이는 방법은 세 가지가 있다
선과 선의 교점, 선과 원의 교점, 그리고 원과 원의 교점

그런데 여기서 필요없는 게 한 가지가 있다
원과 원의 교점을 찾는 것은 필요가 없다
왜 그럴까?

작도로 원을 그린다는 것은, 그 중심과 반지름을 작도한다는 것이다
그러니까, 작도 가능한 원이라는 것은, 원의 방정식 x^2+y^2+ax+by+c=0에서 a,b,c가 모두 작도가능한 수라는 것과 같다
물론, 두 작도가능한 수가 있을 때, 그 합,차,곱을 작도가능하며, 0이 아닌 임의의 작도가능한 수의 역수 또한 작도가능하다

이제, 두 원 x^2+y^2+ax+by+c=0과 x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0가 두 점에서 교차할 때, 직선 (a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0은 그 두 점을 지나는 직선의 방정식이다
그런데 a,b,c,a',b',c' 모두 작도가능하므로, 그 직선은 작도가능하다

따라서 원과 원의 교점을 찾는 문제는 선과 선의 교점을 찾는 문제 + 선과 원을 찾는 문제와 같다

이 때, 선과 선의 교점을 찾는 문제는 1차방정식을 푸는 것과 같고,
선과 원의 교점을 찾는 문제는 2차방정식을 푸는 것과 같다.

또한, 2차방정식을 푸는 문제는, 1차방정식을 푸는 문제 + 제곱근을 구하는 문제와 같다

따라서, 다음과 같은 말을 할 수 있다.

"어떤 실수 a가 작도가능한 것은, 유리수와 사칙연산 그리고 제곱근만을 사용해서 a를 만들 수 있다는 것과 동치이다!"

이제, 과연 2^(1/3)이 작도가능한 수인지 생각해 보자.
>>12의 관찰에 의해, 2^(1/3)이 작도가능한 것은, 어떤 유한수열 a_1,...,a_n이 있어서, 다음의 조건을 만족하는 것과 동치이다.
(조건 1) a_1은 유리수이다.
(조건 2) 각각의 i에 대해, a_{i+1}은 a_i에 유리수를 더한 것과 같거나, a_i에 유리수를 곱한 것과 같거나, a_i의 제곱근과 같다..

(조건 3) a_n = 2^(1/3)

이 조건들을 활용해서 2^(1/3)의 작도불가능성을 증명하려면, 체(field)라는 개념이 필요하다.

어떤 집합 F와 그 위의 이항연산 +,×가 주어질 때, (F,+,×)가 체라는 것은 다음의 조건이 성립한다는 뜻이다.
(1) 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 각각 존재하며 서로 다르다.
(2) 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 성립한다.
(3) F의 모든 원소는 덧셈에 대한 역원을 가진다.
(4) 0이 아닌 모든 F의 원소는 곱셈에 대한 역원을 가진다.

예를 들어서, 유리수들의 집합은 체이며, 실수들의 집합, 복소들의 집합 또한 체이다.

체를 다루는 데 있어서 가장 기본적인 개념 중 하나는 체 확장이다.
어떤 체 K의 부분집합 F가 덧셈과 곱셈, 그리고 역원에 대해 닫혀 있을 때, 우리는 F를 K의 부분체(subfield)라고 하고, K를 F의 체 확장(field extension)이라고 한다

또한, K가 F의 체 확장일 때, 만약 어떤 유한부분집합 {x_1,…,x_n}⊂K가 존재해서 F와 x_1,…,x_n을 모두 포함하는 K 안의 가장 작은 부분체가 K 자신일 경우,
우리는 K를 F의 유한확장(field extension)이라고 하고, 가능한 n의 값들 중 최소인 것을 확장차수(extension degree)라고 하며, [K:F]라고 한다.

이 때, 만약 L이 K의 유한확장이고 K가 F의 유한확장이라면, [L:K] = [K:F] · [L:K]가 성립한다.
이 사실에 대한 증명은 생략하도록 한다

이제, 각각의 i=1,…,n에 대해, 실수체 R의 부분체들 중 유리수체 Q, 그리고 실수들 a_1,…,a_i를 포함하는 가장 작은 부분체를 K_i라고 하자.
그러면 당연히 Q=K_1이고 K_1⊂K_2⊂…⊂K_n인데, 이 때 다음의 두 가지 경우를 생각할 수 있다.

(경우 1) 만약 a_{i+1}이 a_i에 유리수를 더한 것과 같거나 a_i에 유리수를 곱한 것과 같다면, K_{i+1}⊂K_i이므로 K_i = K_{i+1}이 되어, [K_{i+1} : K_i] = 1이다.
(경우 2) 만약 a_{i+1}이 a_i의 제곱근이라면, K_{i+1}의 임의의 원소는 (K_i의 원소) + (K_i의 원소) · a_i로 나타낼 수 있으므로, [K_{i+1} : K_i] ≤ 2가 되어, [K_{i+1} : K_i] = 1 또는 2이다.

따라서, [K_n : Q] = [K_n : K_{n-1}] × … × [K_2 : Q]에 의해, [K_n : Q]는 2의 거듭제곱임을 알 수 있다.

이 때, a_n = 2^(1/3)이므로, 유리수들과 2^(1/3)을 모두 포함하는 실수체의 최소 부분체 K = Q(2^(1/3))을 생각하면,
K_i의 정의에 의해 a_n∈K_n이고, 따라서 Q⊂K⊂K_n이다.

그러면, [K_n : Q] = [K_n : K] · [K:Q]인데, [K_n : Q]는 2의 거듭제곱이므로, 그 약수인 [K:Q] 또한 2의 거듭제곱이어야 함을 알 수 있다.

그런데, 실수체의 부분집합 K_0 = {a + b · 2^(1/3) + c · 2^(2/3) | a,b,c는 유리수}를 생각하면,
K_0는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있고(당연), 역원에 대해서도 닫혀 있으며(유리화), 2^(1/3)∈K_0이므로, K⊂K_0여야 한다.
따라서, [K_0 : Q] ≤ 3이므로, [K:Q] ≤ [K_0 : Q} ≤ 3이다.

이 때, [K:Q]가 2의 거듭제곱이어야 하므로 [K:Q] = 1 또는 2인데,
2^(1/3)이 유리수가 아니므로, K≠Q이고, 따라서 [K:Q] = 2여야 한다.

그러므로, 어떤 유리수 a,b,c가 존재해서, a + b · 2^(1/3) + c · 2^(2/3) = 0이 성립해야 한다. (만약 그렇지 않다면, [K:Q] = 3일 것이다!)

이것은, 다시 말해서, 어떤 유리수계수 이차다항식 P(x)가 존재해서, 유리수계수에서 P(x)가 삼차다항식 x^3 - 2를 나누어야 한다는 뜻이다.
그렇다면 (x^3-2)/P(x)는 유리수계수 일차다항식이어야 한다. 따라서 x^3 - 2가 유리근을 가져야 한다.

그러니, x^3 - 2가 유리근 p/q (p와 q는 서로소인 두 정수, q≠0)를 갖는다고 하자.
그러면 p^3 = 2q^3이므로, p^3은 짝수이고, 따라서 p는 짝수이다.
이 때, p^3은 2^3 = 8의 배수가 되므로 q^3은 4의 배수이다. 그러므로 q 또한 짝수이다.

이 때, p와 q는 모두 짝수이므로, 서로소일 수 없다.
그러므로 방정식 x^3 - 2 = 0은 유리근을 갖지 않는다. 모순!
(이것은 2^(1/3)이 유리수가 아니라는, >>20에서 사용된 사실의 증명이기도 하다!)

그러므로 2^(1/3)은 작도 불가능한 수이다!

이것으로 3대 작도 불가능 문제 중 첫 번째가 증명되었습니다
오늘의 썰은 여기까지

잡담을 좀 하자면
>>4
네, 수학 공부에 있어서 영어는 필수죠
구글신은 모든 것을 알고계시지만 영어로만 알고계시고 말이죠

그런데 어떤 논문들은 프랑스어로 쓰여져 있습니다
가끔 레퍼런스를 뒤지다 보면 그런 논문을 읽어야 할 때가 있습니다
그러니 수학과 지망인 고등학생들은 제2외국어로 프랑스어를 배우는 것을 추천

그런데 왜 잡담판인데 나 혼자 떠들고 있지
내가 멀록이기 때문인가?

But there is a sound─ that no one knows─
What does the murloc say?

아옳옳옳 아옳옳옳! 아옳옳옳 아옳옳옳!

멀록이 부릅니다 탈모르파티

민머리 대머리 맨들맨들 빡빡이
민머리 대머리 맨들맨들 빡빡이

이 어장을 활성화하려면 어떻게 해야 할까
아무래도 오늘 썰을 여러개 더 풀면 될지도?

문제 풀어주시나요

일단 던져봅니다(?)
전체집합 U에 대하여 서로 다른 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하자. r는 'p 또는 q'이기 위한 필요조건일 때, 다음 중 항상 옳은 것이 아닌 것은?

1) P∩R = P
2) Q∪R = R
3) P　C∩Q = Φ
4) Q∩R　C = Φ
5) (P∩Q) ⊂ R

p n q = 'r이라

... 읽을 줄 알면 논리문제잖아

수학문제가 아니고 논리문제면 개념정리를 들으러 온 것?(아무말)

논리 퍼즐이잖아요 이건. P∪Q⊂R이니까 답은 3번

아무래도 수학기호를 읽는 법을 가르쳐주는 것이?(아무말)

어장 활성화를 위한 멀록의 두번째 썰
유리수계수 인수분해와 정수계수 인수분해의 관계

어떤 정수계수 다항식 P(x)가 있는데, 이 다항식이 두 유리수계수 다항식 Q(x),R(x)의 곱으로 인수분해된다고 해요.
그러면, 과연 P는 정수계수 다항식으로도 인수분해할 수 있을까요?

생각해보면, 왠지 그래야만 할 것 같지만, 증명이 자명하지는 않아요.
과연 어떻게 증명할 수 있을까요?

어떤 정수계수 다항식의 0이 아닌 모든 계수들의 최대공약수가 1일 경우, 그 다항식을 [원시적(primitive)]라고 부르도록 해요.

우리가 먼저 증명할 것은, 다음의 사실이에요.
"원시적 다항식들의 곱은 항상 원시적이다"

증명을 위해, 어떤 두 원시적 다항식 P(x) = a_0 + a_1 x + … + a_m x^m과 Q(x) = b_0 + b_1 x + … + b_n x^n, 그리고 소수 p가 존재해서,
다항식 P(x)Q(x)의 모든 계수들이 p의 배수라고 가정하도록 해요.

이 때, 다음의 두 귀납 가설을 걸고 귀납법을 써요.
귀납가설 S(k) : "s+t=k를 만족하는 어떤 음이 아닌 두 정수 s,t가 존재해서, 모든 0 ≤ i ≤ s-1인 정수 i에 대해 a_i는 p의 배수이며, 모든 1 ≤ j ≤ t-1인 정수 j에 대해 b_j는 p의 배수이다."

먼저, P(x)Q(x)의 상수항은 a_0 · b_0인데 조건에 의해 이것이 p의 배수이므로 a_0와 b_0중 적어도 하나는 p의 배수죠.
따라서 초기가설 S(1)이 성립해요.

괴델의 불완전성 정리에 의하면 귀류법을 사용한 증명이 언제나 옳다고 할 수 없지만, 수학에서 귀류법은 상당히 강력한 증명 방법 중 하나이기 때문에 어쩔 수 없이 귀류법을 이용해 증명을 하는 경우도 있다고 들었는데요. 귀류법 안 쓰면 수학 증명이 얼마나 더 피곤하고 짜증나고 어려워지나요?

이제, 만약 어떤 1 ≤ k ≤ m+1에 대해 가설 S(k)가 성립한다고 가정해요.
다시 말해, s+t=k를 만족하는 어떤 음이 아닌 두 정수 s,t가 존재해서, 모든 0 ≤ i ≤ s-1인 정수 i에 대해 a_i는 p의 배수이며, 모든 1 ≤ j ≤ t-1인 정수 j에 대해 b_j는 p의 배수라고 가정해요.
물론, P와 Q가 모두 원시적이라고 가정했기 때문에, s ≤ m이고 t ≤ n이에요.

이 때, P(x)Q(x)의 k차항은 ∑_{i+j=k} a_i · b_j이고, 이것이 p의 배수여야 하는데, 이 식에 나오는 항들 중에서 a_s · b_t를 제외하면 모두 p의 배수에요.
따라서 a_s · b_t가 p의 배수여야 하고, 그러므로 a_s와 b_t 중 적어도 하나는 p의 배수여야 해요.
그러므로 가설 S(k+1)이 성립해요.

따라서 귀납법에 의해 결국 S(m+n+2)가 성립해야 하고, 이것은 다시 말해 P(x)와 Q(x)의 모든 계수들의 p의 배수라는 뜻이에요.
이것은 P와 Q가 원시적이라는 가정에 모순이에요.
그러므로 PQ는 원시적이어야 해요!

>>40-49 여기도 귀류법이 쓰이네요.

이제, 어떤 정수계수 다항식 P(x), 그리고 유리수계수 다항식 Q(x),R(x)가 존재해서 P(x)=Q(x)R(x)로 인수분해된다고 해요.
양 변을 P의 계수들의 최대공약수로 나눠줌으로서, 우리는 일반성을 잃지 않고 P가 원시적이라고 가정할 수 있어요.

이 때, 어떤 적당한 0이 아닌 두 유리수 r,s가 존재해서, rQ(x)와 sR(x)가 원시적인 정수계수 다항식이 되게 할 수 있어요.
그러면 그 곱인 rsP(x)=(rQ(x))(sR(x)) 또한 원시적이어야 하는데, P(x)가 이미 원시적이므로, rs=1이어야 해요.

따라서 P(x) = (rQ(x))(sR(x))가 바로 주어진 정수계수 다항식 P의 정수계수 인수분해가 돼요!

이것으로 인수분해 썰 끝

>>47 어쩔 수 없이 귀류법을 쓰는 게 아니라 귀류법은 원래 쓸 수 있는 거에요.
괴델의 불완전성 정리는 귀류법이 언제나 옳지는 않다는 뜻이 아닙니다.

>>53 들으면서도 이상하다 했는데 잘못된 이야기였군요.

괴델의 불완전성 정리의 증명이 참 재미있죠. 거짓말쟁이의 역설과 아주 비슷한데요.
증명을 한 줄로 요약하자면: "이 명제는 증명할 수 없다"라는 명제는 증명할 수 있는가 없는가?

증명의 포인트는, "이 명제는 증명할 수 없다"라는 명제를 실제로 만드는 작업이에요.
다음 썰은 이걸로 하도록 할까요.

다음 썰을 괴델 불완전성 정리로 하기엔 수리논리 내공이 부조카당......
학부때 집합론 수업도 안듣고 위키피디아 보면서 야매로 때우던 멀록입니다

그런 의미에서 오늘은 재미있는 극.한.문.제.!

[오늘의 문제]
연속인 실수함수 f : (0,∞) -> R이 모든 양수 x에 대해 lim_{n->∞} f(nx) = 0을 만족할 때, lim_{x->∞} f(x) = 0이 성립하는가?

극한은 배우신 분들이 많으실 테니, 한번 풀어보세요!

재미있는 극한문제 츄라이 츄라이

그리고 아무도 풀지 않았다고 한다
풀이는 오늘 밤에 공개

f : continou 니까 성립하는거 아닌가여?

야심한 밤에 돌아온 멀록!
정답을 공개합니다!

정답은 YES. 물론 증명이 중요하겠죠.

이 문제는 기초적인 극한 문제인 것 처럼 보이지만 사실은 학부 해석학 수준의 문제입니다.

증명하는 데 Baire 범주 정리가 필요하기 때문이죠.
다르게 말하면, 선택공리가 활용되지 않는 기초적인 테크닉만을 이용해서는 풀 수 없는 문제라는 소리입니다.

Baire 범주 정리
완비인 거리공간 X와 그 안의 가산 개의 조밀한 열린 부분집합들 U_1,U_2,…이 주어질 때, 그 교집합 ∩U_i은 조밀하다.

이 정리를 이용해서 이제 문제 >>58을 풀어보도록 하죠!

임의의 양수 ε를 잡고, 각각의 양의 정수 n에 대해, 다음과 같이 정의된 R의 부분집합 U_n을 생각합니다.

U_n = { x∈(0,∞) | |f(kx)| <ε를 만족하는 n보다 큰 양의 정수 k가 존재한다 }

이 때, 주어진 조건에 의해, ∩U_n = Ø입니다.
또한, U_n = ∪_{k>n} {x∈(0,∞) | -ε< f(kx) <ε}이므로, f의 연속성에 의해 U_n은 (0,∞)의 열린 부분집합입니다.

따라서, Baire 범주 정리에 의해(>>65), 어떤 양의 정수 n이 존재해서, U_n이 (0,∞)에서 조밀하지 않습니다.
그러므로, a<b를 만족하는 어떤 양수 a,b가 존재해서 (a,b)∩U_n = Ø이어야 합니다.

이 때, U_n의 정의에 의해, n보다 큰 모든 양의 정수 k, 그리고 모든 x∈(a,b)에 대해, |f(kx)| <ε이 성립합니다.
따라서, a/(b-a)보다 큰 최소의 양의 정수를 N이라고 하고, 양수 δ= Na를 정의하면,
(n+1)a < nb이므로, 구간 (na,nb)와 ((n+1)a,(n+1)b)가 겹치게 되므로, δ보다 큰 모든 양수 x에 대해 |f(x)| <ε이 성립하게 됩니다.

그러므로, 극한의 정의(ε-δ법)에 의해, lim_{x->∞} f(x) = 0을 얻습니다. 증명 끝!

어때요? 문제는 간단했지만, 증명은 그리 간단하지 않았죠?
이 문제에서처럼, 점별로 주어진 조건을 문제의 영역 전체로 확장하고 싶을 때, Baire 범주 정리가 중요한 역할을 할 수 있어요!
신기하죠?

그럼 저는 재미있는 문제를 하나 더 던져놓고 사라지도록 하겠습니다.
재미있는 적분 문제에요.

[오늘의 문제]
(1) 어떤 연속인 실수함수 f : [0,1] -> R이 모든 음이 아닌 정수 n에 대해 ∫f(x) · x^n dx = 0을 만족할 때, f = 0임을 증명하여라. (적분기호는 0에서 1까지의 정적분을 뜻한다)
(2) 만약 f가 [0,1]이 아닌 [0,∞)에서 정의된 연속함수라면, 여전히 f = 0이 성립하는가?

정답은 (1) YES, (2) NO.
이 문제는 기초적인 적분 문제인 것 같이 보이지만 사실 학부 위상수학 수준의 문제입니다.

먼저, (1)을 증명하기 위해서는 하나의 개념과 하나의 정리가 필요해요.

함수열의 균등수렴
어떤 집합 X와 함수들의 수열 {f_n : X -> R}이 주어질 때, 만약 어떤 함수 f : X -> R이 존재해서,
모든 양수 ε에 대해 어떤 양의 정수 N이 존재해서, N보다 큰 모든 정수 n, 그리고 모든 x∈X에 대해 |f(x) - f_n(x)| <ε가 성립할 때,
우리는 주어진 함수열 {f_n}이 함수 f로 균등수렴한다고 한다.

Stone-Weierstrass 정리
임의의 연속함수 f : [0,1] -> R에 대해, [0,1]에서 f로 균등수렴하는 다항식들의 수열 {p_n}이 존재한다.

이 정리를 사용하면, 문제 >>72의 (1)을 다음과 같이 증명할 수 있어요.

조건을 만족하는 연속함수 f : [0,1] -> R을 잡자. 그러면, Stone-Weierstrass 정리에 의해, f로 균등수렴하는 다항식들의 수열 {p_n}이 존재한다.
이 때, 적분의 선형성에 의해, 모든 양의 정수 n에 대해 ∫f(x)p_n(x) dx = 0이므로,
∫f(x)^2 dx = lim_{n->∞} ∫f(x)p_n(x) dx (왜 그럴까요? 균등수렴성을 생각해보세요)
　　　　　　　= lim_{n->∞} 0 = 0이에요.
그런데, 함수 f(x)^2은 연속이며 음이 아닌 함수값만을 가지므로, f = 0이어야 해요. (왜 그럴까요? 연속성을 생각해보세요)
증명 끝!

그런데, 문제 >>72의 (2)는 왜 답이 NO인 걸까요?

가장 중요한 차이는, (1)에서 f의 정의역이 닫힌 유계(bounded)구간인 반면,
(2)에서 f의 정의역은 닫혀 있긴 하지만 유계가 아닌 구간이라는 것이에요.

그래서 (1)의 풀이를 쓸 수가 없어요.

답이 NO라면, 역시 반례를 제시해야겠죠?
가능한 반례로는, Stieltjes ghost function f(x) = e^{-x^{1/4}} · sin(x^{1/4})이 있어요.

이것이 진짜 반례임을 증명하려면 모든 양의 정수 n에 대해 f(x) · x^n을 0에서 ∞까지 적분한 값이 0임을 증명해야겠죠?
이것은 x = u^4로 치환적분을 한 뒤 부분적분을 세 번 하면 n에 대한 귀납법을 사용해 증명할 수 있어요.
기초적인 적분계산이니까 참치들이 충분히 직접 해 볼 수 있겠죠.

이제 저는 또 문제 하나를 던지고 사라지도록 하겠습니다.
이번에도 재밌는 문제에요.

[오늘의 문제]
초월수의 예시를 하나 들고, 그 예시가 초월수임을 증명하시오.

자가갱신

초월수라고 하면 사람들은 e나 π 등을 생각합니다.
하지만 e와 π가 실제로 초월수임을 증명하는 것은 결코 쉽지 않습니다.
어려워요. 아이디어도 독특한 게 필요하고 말이죠.

제가 제시하고 싶은 초월수의 예시는,
실수 r = 0.110001000000000000000001000… (각각의 양의 정수 n에 대해 n!번째 자리수에 1, 다른 모든 자리수에 0)입니다.
무한합의 형태로 쓰면 r = ∑10^{-n!}이라고 쓸 수 있겠네요.

대체 이 녀석이 왜 초월수인 걸까요? 무슨 생각으로 이런 실수를 제시했는지 궁금하겠지요.
그 이유는, 바로 대수적인 수로 수렴하는 유리수열의 수렴 속도에는 한계가 있기 때문입니다.
그러니, 어떤 유리수열이 "지나치게 빨리" 수렴하면, 그 수렴값이 초월수라고 할 수 있겠죠.

왜 그럴까요?

먼저, 초월수와 대수적 수의 정의부터 시작하도록 하죠.
어떤 복소수 a가 주어질 때.......
(1) 만약 어떤 유리수계수 다항식 P가 존재해서 P(a)=0이라면, a는 대수적 수입니다.
(2) 만약 a가 대수적 수가 아니라면, a는 초월수입니다.

물론, 만약 복소수 a와 유리수계수 다항식 P(a)=0이라면,
다항식 P의 계수들의 분모들의 최소공배수를 n이라고 할 때, nP는 정수계수 다항식이며, nP(a)=0이므로,
대수적 수의 정의에서 유리수계수 다항식을 정수계수 다항식으로 바꿔도 무방합니다.

이제, >>85에서 서술한 내용을 수학적으로 써 보겠습니다.

(Diophantine aproximation에 관한) Liouville 정리
n차 유리수계수 다항식 P와 그 실근 a이 주어질 때, 어떤 양의 상수 K가 존재하여,
임의의 양수 q와 정수 p에 대해 |a-p/q| > K/q^n이 성립한다.

이 정리에 대한 증명은, 가능한 K값을 제시하는 것으로 시작하겠습니다.

주어진 다항식 P를 P(x) = (A/B) · (x-a)(x-a_1)…(x-a_{n-1})으로 쓸 때, (A는 정수, B는 양의 정수, a_1,…,a_{n-1}은 복소수)
K = (1/2B) · min {1, 1/(|a-a_1|+1)…(|a-a_{n-1}|+1)}.

그러면, 임의의 정수 p와 양의 정수 q에 대해 P(p/q) = (p/q - a)(p/q - a_1)…(p/q - a_{n-1})이므로,
|p/q - a| = |P(p/q)|/|p/q - a_1|…|p/q - a_{n-1}| ≥ P(p/q)/(|a-a_1| + |p/q - a|)…(|a-a_{n-1}| + |p/q - a}|)에요.

이 때,
(1) 만약 |p/q - a| > 1이라면, K < 1이고 q^n ≥ 1이므로, |p/q - a| > K/q^n이 성립해요.
(2) 만약 p/q가 P의 근이라면, |p/q - a| = 0 < K/q^n이 성립해요.
(3) 위의 두 경우에 해당하지 않으면, |p/q - a| ≤ 1이므로,
　　 |p/q - a| ≥ |P(p/q)| / (|a-a_1|+1)…(|a-a_{n-1}|+1)이고, p/q가 P의 근이 아니므로 P(p/q)≠0인데,
　　 B · q^n · P(p/q)은 정수이므로, |P(p/q)| ≥ 1/(B · q^n)이 되어, |p/q-a| ≥ (1/B(|a-a_1|+1|)…(|a-a_{n-1}|+1)) · (1/q^n) = 2K/q^n > K/q^n이 돼요.

증명 끝!

이제, 우리의 실수 r = ∑10^{-n!}가 초월수임을 증명해 보도록 해요.
각각의 양의 정수 n에 대해 유리수 q_n = ∑_{k=1,…,n} 10^{-k!}를 생각할 때,
모든 양의 정수 n에 대해 |r - q_n| = ∑_{k>n} 10^{-k!} < 1/10^{(n+1)!-1}이 성립하는데, 10^{n!} · q_n은 정수이므로,
만약 r이 대수적 수라면, 어떤 양의 정수 N이 존재해서, 모든 양의 정수 n에 대해 (n+1)! - 1 - n! < N이어야 해요.

그런데, (n+1)!-1-n! = (n · n!)-1이고, 극한 n->∞을 취할 때 n · n!은 ∞로 발산하므로,
>>93에서 언급한 양의 정수 N은 존재할 수 없어요.
그러므로 r은 초월수에요. 증명 끝!

그러면 저는 또 문제를 하나 던지고 사라지겠습니다.

[오늘의 문제]
원주율 π가 초월수임을 증명하시오.

참치가.... 한마리도 없다.... (절망)

어장주는 곧 참치

>>96

다른 어장에 추천 듣고 왔습니다...

초월수라는게...파이나 e 처럼 끝이 없는 수를 말하나요?