참치 인터넷 어장

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1. 메모장입니다.
2. noup합니다.
잡담판 : https://bbs.tunaground.net/trace.php/anchor/1596241656/recent

집합론
1. 어떤 집합의 구성을 원소라 부른다. a ∈ S의 관계를 가진다.
2. φ는 공집합을 표시한다.
3. [잘 정의된 집합]이란 어떤 k가 그 집합의 원소인지 아닌지가 명확함을 뜻한다.
4. {a , b , c , ... } 다음과 같은 표시를 원소 나열법에 의한 집합 정의라 한다.
5. { x | P(x) } 명제 P에 의한 표시를 조건 제시법에 의한 집합 정의라 한다.

부분집합

1. B ⊆ A는 B가 A의 [부분집합]이라는 뜻이다.
2. B ⊂ A는 B가 A의 [진부분집합]이라는 뜻이다. 이것은 B ⊆ A 이되, B ≠ A라는 뜻이다.
3. B ⊆ A ⇔ ∀b ∈ B, b ∈ A

곱집합

A×B = { (a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B }
A×B×C = { (a,b,c) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C }
.....

관계

1. 관계 R은 aRb라 쓰며, a는 b 에 관계되어있다고 한다.
2. 관계를 만족하는 조합은 [곱집합]의 [부분집합]이다.

함수

1. 어떤 함수는 φ:X→Y 라고 써지며, →를 [매핑] 되었다고 하며, X→Y를 X가 Y에 [사상] 되었다고도 한다.
2. X를 [정의역]이라고 한다.
3. Y를 [공역]이라고 한다.
4. φ[X] = { φ(x) | x ∈ X } 를 [치역]이라고 한다.

함수

1. 함수φ:X→Y가 x_1 = x_2 ∈ X 일때, φ(x_1) = φ(x_2)라면 [단사함수]이다.
2. 함수φ:X→Y의 [치역]이 [공역]이면 [전사함수]이다.
3. [전사함수]이면서 [단사함수]인 함수는 [전단사함수]이다.

같은 기수

두 집합의 크기가 같다 = 두 집합의 기수가 같다 = 두 집합 사이에 전단사함수가 존재한다.

분할

어떤 집합을 어떤 특징을 가진 값들로 분할할 수 있다.
그중의 대푯값을 이용하여 bar(a)로 쓸 수 있다.
bar 라는 것은 글자 위에 작대기를 긋는것이다.
_
a

동치관계 : A~B 라 쓰며 다음과 같은 세 성질을 만족한다.

1. A ~ A : 반사성
2. A ~ B ⇒ B ~ A : 대칭성
3. A ~ B , B ~ C ⇒ A ~ C : 추이성

동치관계 분할

어떤 집합S에 대해 어떤 동치관계 ~ 에 대하여 분할한다.
bar(a) = { x ∈ S | x ~ a }

이항연산

집합 S위에서의 이항연산 *은 *:S×S → S로 [매핑]된 [함수]다.
그리고 *(a,b)를 a*b라 쓴다.

교환법칙

집합 S위에서의 [이항연산] *이 교환법칙이 성립한다는 것은
집합 S의 모든 원소들에 대하여 [a*b = b*a] 라는 뜻이다.

결합법칙

집합 S위에서 [이항연산] *이 결합법칙이 성립한다는 것은
집합 S의 모든 원소들에 대하여 [ (a*b)*c = a*(b*c) ] 라는 뜻이다.

Thm.합성함수의 결합성

φ:S→S 인 함수들은 합성에 대해 결합법칙이 성립한다.
즉, (f∘g)∘h = f∘(g∘h) 라는 뜻이다.

증명.
{(f∘g)∘h}(x) = f(g)∘h(x) = f(g(h(x))) = f((g∘h)(x)) = f∘(g∘h)(x)

항등원

이항연산의 구조체 <S, *> 에 대하여 e * s = s * e = s를 만족하게 하는 e를 항등원이라고 한다.

Thm. 항등원의 유일성 : 항등원은 이항연산 구조체 내에 단 하나만 존재할 수 있다.

증명.
한 이항연산 구조체에 두개의 항등원이 존재한다고 하고, 각각을 e, f 라고 하자.
그러면 항등원의 정의에 의해 e = e*f = f 가 되어, e = f가 된다.
e와 f가 같으므로, 항등원은 두개 이상 존재할 수 없다.

동형사상

두 이항연산 [구조체] <S , *> , <S' , *'> 사이에 존재하는 다음과 같이 정의된 [전단사함수]를 동형사상이라고 한다.

φ(x*y) = φ(x) *' φ(y)

Thm. e ∈ X 를 항등원이라고 하자. 이때, 동형사상φ:X→Y 에 대하여 φ(e)는 Y의 항등원이다.

증명.
동형사상의 정의에 의해φ(y) =φ(e * y) = φ(e) *' φ(y)이다.
즉, φ(e) *' φ(y) = φ(y) 이다.
이것이 곧 항등원의 정의다.

군

이항연산 구조체 중, 다음과 같은 세가지 성질을 만족하는 구조체를 군이라고 부른다.
　　공리 1. 결합성. ∀a,b,c ∈ G, ( a * b ) * c = a * ( b * c )
　　공리 2. 항등원. ∀g ∈ G, ∃e ∈ G: e * g = g * e = g
　　공리 3. 역원. ∀g ∈ G, ∃g' ∈ G: g * g' = g' * g = e

가환군

군의 이항연산이 교환법칙을 성립하면 가환군이라고 한다.